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1、第六章数列6.1数列的概念【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【知识梳理】1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列为+iN。”递减数列区。其中GN*常数列斯+1=斯摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列 如 的第n项 斯与它的崖 号&之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4.数列的递推公
2、式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.【常用结论】S,n=1,1.已知数列 斯 的前项和S”则%=、SnSn-y”22.2.在数列 斯 中，若斯最大，则J 、（“22,）；若 为最小，则，（22,1 斯与斯+i【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（X）1,1,1,1,，不能构成一个数列.（X ）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（X ）（4）如果数列 斯 的前项和为S”，则对任意“G N*,都有如+i=S“+i-S“.（V ）【教材题改编】1 若数列
3、知 满 足=2,6Zz?+l f则。2023的值为（）1 斯A.2 B.-3 C.一；D.g答 案 C解 析 因为 0=2,a +i=j 1 斯同理可得3=一/a 4=y的=2,，可得知+4=，则。2 023=。505入4+3=。3=2 .数列，焉，的通项公式是如=.答 案 又 为,C N*解 析,”=X（；+2）=4_ 1 _ 1 2=2 义（2+2）=今_ 1 _ 1“3=3 X（3 +2）=可_ _ _ _ _ _ 1_ _ _ _ _ _ _ 1 _“4=4 义（4+2）=正_ 1 _ 1f l 5-5 X（5+2）-3 5,通过观察，我们可以得到如上的规律，则。，=7 二 G N*.
4、n（n+2）3 .已知数列 斯 的前项和S“=2 2 3 ，则数列 斯 的通项公式如=.答 案 4/2 5解析 a j=S i=2 3 =1,当 2 2 时，an=SnSn-=（2 层一3 ）一 2（-I）23（-1）=4 n-5,因为cii也适合上式，所以斯=4 一 5.题型一 由如与S的关系求通项公式例 1 (1)设S为数列伍 的前项和，若 2s“=3小-3,则如等于()A.27 B.81C.93 D.243答 案 B解 析 根据2s,尸3为一3,可得 2s+i=3a+i3,两式相减得2。+1=3。+1 3小，即。+1 3斯，当=1 时，2$=3卬-3,解得m=3,所以数列 斯 是以3 为
5、首项，3 为公比的等比数列，所以 44=。同 3=34=81.(2)设数列 斯 满足的+3 6+(2-1)m=2 ，则斯=.2,=1,答 案 j 2厂12 几1解 析 当=1 时，ai=2l=2.c i +3公+(2 n-l)dn=2,.,。+3 2H-F(2 3)如 一 1=2 i(22),由一得，(2-1卜如=2-2 =2 一 1,2 一 显然=1 时不满足上式，2,n=1,【备选】1.已知数歹ij a“的前项和S“=2+2W,贝 I.答 案 2n+l解析 当 =I 时，a=Si=3.当2 时，an=SnS-I=2+2”(1尸+2(-l)=2 n+1.由于a 1=3适合上式，；a”=2 +
6、1.2.已知数列 斯 中，5“是其前项和，且 S,=2斯+1,则 数 列 的 通 项 公 式 如=.答 案2 r解 析 当=1 时，ai=Si=2 ai+l,=1 1.当22时，=2%+1,Sn-l=2%-1 +1.一得 S 一S -1 =2 a,2 6f,i-1,即 a”一2 斯 2 4 -1,即 a=2 a-i(n2),，如 是首项为ai=-1,公比为q=2的等比数列.an=ai-q =-2 .51,n 1,思 维 升 华(1)已知S,求斯的常用方法是利用斯=、转化为关于斯的关系式,再求通项公式.S,与。关系问题的求解思路方向1:利用。=5 5-1(2 2)转化为只含s“Si 的关系式，再
7、求解.方向2:利用5“一义-1=斯(2)转化为只含斯，飙t的关系式，再求解.跟踪训练1 (1)已知数列 斯 的前项和为S”，且 S =2 2+l,“GN*,则斯=.答案4,n=1,4 九一1,九2 2解 析 根据题意，可得 Sn-1 =2(n 1 )2+(n-1)+1.由通项公式与求和公式的关系，可得 C ln=Sn-Sn-1代入化简得。“=2 层+1 -2(-1)2(-1)1=4n 1.经检验，当=1 时，S i=4,1 =3,所以S iW m,所以c in=4,n=4H 1,N 2.(2)设 是数列 的前项和，且 i =-1,%+i=S 6+i,则如=.1,几=1,答 案 1而片，心 2解
8、析 由已知得知+=S+S=S+S“,两边同时除以Sn+lSn,1 1 仔跳.故数列 上 是以-1 为首项，1为公差的等差数列，则不=一 1(-1)=.所以S”=_*当时，_ _ _ 1 ,1 1a”=Sn-S”-i=一 小=?=(_ )，I,n=l,故 如=10,。=1,则。=答 案2 皿解析 由2（+1忌+5+2 。”+1分屈+1=0 得nQ 点+an-an+1 一届+1）+2 an（an+an+1）=0,+i）（2。-+）+2“（。+。十 ）0,（斯+斯+1）（2%即+1），7+2 斯=0,又。0,.*2 H s+2 a,t-n-an+=0,.ClnW 2（H+1）,an n又 a1=1,
9、，当 22时，aan aT。3。2n=二 二 idn-Cln-2 02 2。?一 1)2(-2)z zx zx.n 1 n2 32X32X21x-XX l=2%.又=1 时，0=1适合上式，思 维 升 华(1)形如斯+=/()的数列，利用累加法，即利用公式斯=(“一 斯-1)+(斯-1一斯-2)H-b(2 即可求数列 斯 的通项公式.(2)形如 一=八)的数列，常 令 分 别 为 1,2,3,n-1,代入/一=4 )，再把所得的(一C ln1)个等式相乘，利用虫 9_(屋 2:2)即可求数列 的通项公式.他 an-1跟踪训练2(1)已知数列 斯 的前n 项和为，若。1=2,斯+1=+2-1+1
10、,则 an=.答 案 2 一 1十 解 析:斯+1=斯+2 +1,cin+1-斯=2 1H-1 当”N2 时，斯=(。”一四-1)+(”-1。-2)+(3一。2)+(2-。1)+。1=2-2+2 3+212n-1+1+-1=:丁+2+-1=2 1+n.1 2又卬=2 满足上式,斯=2+n.(2)已知数列 4”满足：。=2,且。+1+斯=2(斯+1-a)(N),则=答 案 4/12解析 由 dn+1 +C trl 2H(a“+1 a,),可得(2-1 )为+1=(2+l)ant所 以 等=招，则 当 时,an。一 I ”一 2 a3 a2斯-斯-2 ”-3 一-a2n-1 2n-3=-X-X2-
11、3 2n55 3X/jX 2=2(2-1)=4-2,当=1 时，0=2 也符合上式,所以 a,=4n2.题 型 三 数列的性质命题点1数列的单调性例 4已知数列 如 的通项公式为%=/一 2崩(G N*),则“20,.,.(+1)222(+1)-/2+2zn=2+1 2%0,即 2+122对任意的“G N*都成立,于是有2(9),则数列 诙 的最大项为()A.。8 或9 B.4 9 或 00C.R o 或 a”D.mi 或。1 2答 案 B解 析 结合/%)=(%+1)(当 的单调性，设数列 斯 的最大项为。，所 以、/即 一1 9卜+1)谓)(+2 喘下所七+M 阳避卜.解不等式组可得9 W
12、 W 1 0.所以数列”“的最大项为“9 或 0 0.【备选】1 .己知数列 小 的通项公式为若数列 “为递减数列，则实数k 的取值范围为()A.(3,+0 0)C.(1,+0)答 案 DB.(2,+8)D.(0,+8)解析因为 an+an3 +3+”2+13 n+k2 3 3 nk=-由数列 m 为递减数列知，3 3 nk对任意 e N,an+1an=踵Tj 3-3 n对任意 W N*恒成立，所以&d(0,+o o).2.在数列%中，0 1 =1,4 Ml+3=1,则 lo g5 ai+lo g5 a2 H-H o g5 a2 0 2 3 等于()A.-1 B.0C.lo g53 D.4答
13、案 B解析 因为0 以 +3=1,所以斯十3”+6=1,所以期+6=，所以 斯 是周期为6 的周期数列,所以 10g56Zl+10g52H-H10g52 023=lo g5 3 1 2 3 2 0 2 3)=1 0 g5 K。I。2。6产7,又因为以4 =。2。5 =。3。6=1，所以4 Q%=1,所以原式=10g5(1337 X 1)=10g51 =0.思 维 升 华(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据斯+4 的符号判断数列 斯 是递增数列、递减数列还是常数列.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)求数列的最大项与
14、最小项的常用方法函数法，利用函数的单调性求最值.利用、伽22)确定最大项，利用J-(22)确定最小项.anan+2a,i，/，1若 的=小 则。2 0 2 3的值为()2an-1,a会3,3 4 2 1A.B.,C.D.答 案 D4 i解 析。1=52，.2=c2 -1I=53 1,c i 1 1.a3=2a2 1=72,-2 1 4 2 3 52=-2,/b3 bib 2 1=3,匕4=力3-岳=-1,儿=仇一仇=1(3)=2,)6=/一=2 一(1)=3,岳=氏一儿=3-2=1.仇 是周期为6 的周期数列，且 Ss=l231 +2+3=0.、S 2 0 2 4 =S 3 3 7 x6+2=
15、一 1 6.若数列 斯 满足:对任意正整数，斯+i 如 为递减数歹!J,则称数列 厮 为“差递减数列”.给出下列数列 a (N ),其中是“差递减数列”的是()A.B.。=层+1C.D.a l r)一答 案 c解 析 对于A,若斯=3 几，则斯+1斯=3(+1)3 =3,所以 斯+i斯 不为递减数列，故A错误；对于B,若%=/+1,则 为+1=(+1)2九 2=2几+,所以 斯+一如 为递增数列，故 B错误；对于 C,若 an=yly则 斯+L，尸尸-6=扁+而，所以 为+1一如 为递减数列，故 C正确；对于 D,若。=l n 7 则 如+i-4=l n 芯 一 In =l n 肃 7=也 由
16、函数y=-l n(l+在(0,+8)上单调递增，所以%+1一小)为递增数列，故 D错误.7.数列 知 的前“项和为S”若 幻=1,%+i=3 S“(G N*),则斯=.”,=1，答案 l 3-4n-2,“2 2解 析.,a“+i=3 S,(GN*),当n 1 时，痣=3；当 N2 时，=3S,L1,斯+i 斯3 斯，得斯+1=4 斯，数列 如 从第二项起为等比数列，当2 2 时，=3-4-2,故 an=-1,nl,3 4“一 2,心 2.8 .(20 22 临沂模拟)已知“尸 川+初，且对于任意的9GN*,数列 m 是递增数列，则实数2的取值范围是.答 案(-3,+8)解析 因为 如 是递增数
17、列，所以对任意的”6 N*,都有如+如，即(+1)2+，+l)n2+A,整理，得 2+1+拉0,即拉一(2+1).(*)因为“WN”,所以一(2+l)W 3,要使不等式(*)恒成立，只需23.JI+29.已知数列 斯 中，a i=L 前 项和S=g 一斯.(1)求。2,3；求 斯 的通项公式.4解 由 S 2=4 2 得 3(+2)=4 4 2,解得 ci2 3 a l=3,由 S 3=3,得 3(0+4 2+3)=5。3,解得4 3 =|(3+。2)=6.(2)由题设知当=1时，a=.当时，有+2+1斯S-Sn 1 3 斯 3 3 l I,-_ n-1整理仔 dn 7Cln-,n 1工日 3
18、 4 .J 。2-4 1,。3 22*a”-1 -n _ 2-2,将以上一1个等式中等号两端分别相乘，整理得知=及 尹.当=1 时，0 1=1 满足%=(/综上可知，斯 的通项公式为斯=磅#.1 0.求下列数列 斯 的通项公式.(1)(21=1,。+1=。+3；(2)0=1,an+1=2小.解(1)由 +1 =。+3 得。+。=3,当 2 2 时，斯=+(。2。1)+(。3 2)+(4 。3)+斯-1)=l+3I+32+33+-+3n-,1义(1-3)3-1=1-3 =2，31 1当=1时，ai=l=-2,满足上式，3-1*=一(N).由 an+12nan 得:a一?1=2,当2 2时，尸X丝
19、X丝X友X c i ai s an-=1 X 2 X 22X 23X-X 2n-1=21+2+3+(-1)=2-2 当=1 时，0 =1 满足上式，n(w-l)，恁=2-().(3 几 W6,11.已知数列 斯 满足斯=T ，且 斯 是递增数列，则实数。的取值范围是)C.(1,3)D.(2,3)答 案 D3。0,解析 若 斯 是递增数列，则上1，3,即卜1,&26(3。)一 2,解得2。3,即实数。的取值范围是(2,3).12.数列 斯 中的前几项和S=2+2,数列 l o g 2 的前项和为，则 720 等于()A.190 B.192C.18 0 D.18 2答 案 B解析 当 =1 时，a
20、=S=2+2=4；当心 2 时,an=Sn-Sn-1=2n+2-(2n1+2)=2n-2nl=2n1f经检验0=4不满足上式，所以an=4,=1,心 2,设力”=10 g 2 .则bn=2,=1,H 1,“2+3 产13.已知数列 斯 的 通 项 公 式 若 m s 斯 以对GN*恒成立，则正整数k的值为.答 案 5解析 斯=舒，当W 5时，斯1；当 ”2 6 时，a4 4 23 4,的。6。7，数列 斯 中的最大项为0 5 =2,最小项为6/4 =0.15“-1+a+2(n-l)=1+一 限 工，n 2已知对任意的 G N*,都有a.W%成立，1结合函数4 工)=1 +上二的单调性，x 一_V2a可知 5 6,即一10 4 8.即。的取值范围是(-10,-8).