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1、热点07 平面向量、复数【命题趋势】复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轨复数，复平面以及复数之间的一些运算。一般出现在选择题的第一或者是第二题。平面向量也是新高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。本专题也是学生必会的知识点。通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量。【满分技巧】复数一般考查共扼复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求
2、复数类题目可采取答案带入式运算。平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。【考查题型】选择题，填空【常考知识】复数的概念和几何意义、复数的运算、向量的概念和意义、平面向量的线性运算、平面向量的数量积【限时检测】（建议用时：60分钟）一、单选题1.（2 0 2 0 福建高三其他模拟）己知复数z =l +彳为1 +zZ的共辗复数，则
3、三=（）3 +z 1 +3 1A.2 B.23 +3 iC.21 +ZD.F【答案】B【分析】由复数z =l +i,得到z =1 7,1 +z _ 2 +进 而 得 到 z l-i,根据复数的除法运算法则，即可求解.【详解】1 +z 2 +i （2 +i）（l +i）l +3 i由题意，复数z =l +i,可得z =l-i,则 z l-i O-OO+O 2.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共辑复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共甑复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2.（2 0 2 0 年新高考全国卷I 数学高考试题（山东）
4、已知产是边长为2的正六边形/故怀内的一点，则AP-AB的取值范围是（）A.（6）B.（一 6,2）c.(-2,4)D.T6)【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到万在石方向上的投影的取值范围是（一 L 3）,利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】万 的模为2,根据正六边形的特征，可以得到淳 在 刘 方向上的投影的取值范围是（一 L 3）,结合向量数量积的定义式，可知万 方 等 于 荏 的模与存 在 方 方向上的投影的乘积，所 以 万 存 的 取值范围是（-2,6）,故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量
5、积的定义式,属于简单题目.3.（2 0 2 0 山东济宁高三其他模拟）已知点用 是边长为2的正方形/8 C Z）的内切圆上一动点，则而 而 的取值范围是（）A.一 响 及 一 C.3 D,-U【答案】B【分析】建立坐标系如图所示，设”(c o sa sin,),利用坐标求 出 痂.而，即可根据三角函数的性质求出范围.【详解】建立坐标系如图所示,设 M(c o s6,sin 0)其中/(一1,一 1),5(1,-1)易 知 布 痂=(c se +l，sin e +l(c o se-L sin e +l)=c o s2 -1 +sin2 e +2 sin e +l =2 sin 6 +l故选：B.
6、【点睛】关键点睛：本题考查数量积范围的求解，解题的关键是建立恰当的直角坐标系，将数量积的运算转化为坐标运算，将材设为(c sasin)更便于利用三角函数的性质求范围，这也是解决几何与向量结合的问题中常用的方法.(1 +(2 +一Z24.(2 0 2 0 河南焦作高三一模(理)设Q R+,复数 一口),若忖则。=()A.1 0B.9C.8D.7【答 案】I）【分 析】根据复数的模的性质求模，然后可解得【详 解】（l +i）2（2 +i）4|1 +黑2 +力，）心1 _ 5 0 7（1-4 if f/Tw l 】+/、解：1/,解 得a =7.故选：D.【点 睛】本题考查复数的模，掌 握 模 的
7、性 质 是 解 题 关 键.设 复 数2 =0 +次（/6火），则 目=,z _ JfJ.模的性质：上论|=|向忆|,上|=|z （M e N*）z2 z25.（2 0 2 0 广 西 高三其他 模 拟（理）已知彳，B均为单位向量，它 们 的 夹 角 为1 2 0 ,c=Aa-/jb f若G _ L 1,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A 2 2 +/=0 B 2 2 /=0 c 4 =0 0 2 +幺=0【答 案】A【分 析】根 据）工干，由展己=展（几彳-1区）=0求解【详 解】因为所 以5己=-=0即 A a2-ia-b=0丸+丝=0所以 2 ,即2 4+4 =0故选：A.【点睛】
8、本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.6.（2 0 2 0 江西高三 二 模（理）已知（2 +）歹=+加，x,y&R 则 y（）A.&B./C.2 3.加【答案】D【分析】先由复数相等的定义得到J,再求值.【详解】因为xeR/eH 且（2+i）y =x +M2 y=X|-+z|=|2+z|=V 5所 以 y=y，所 以y,故选【点睛】本题考查了复数的基本运算,复数的模,复数相等的概念,属基础题.7.（2020 四川遂宁高三零模（理）在口4 3。中，点。为边Z C上一点，4 B =2 B C =2,且就=2 而，=C M =2 M B,A N =NB t 则 而.方+丽衣=（)9A.5
9、B.27C.2 D.3【答案】D【分析】1 AM=AB+B(依题意画出图形，可得Z=3 ,从而得到N8=90,再由 3 1 CN=-BC AB2,根据平面向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：因 为 前=丽，所以N为 中 点，因为CA/=2M3,所以 为8 c的三等分点，因 为 就=2彳5,所以。为/C中点,因为 图 卜2 M AC=2AD,所以AD=CD=BD,所以4 =90。AM=AB+BM=AB+-BC CN=CB+BN=-BC-AB所以 3,2因为刀 口 胫=0,AB=2BC=2,AM-AB+CN-BC AB+-BC-AB+-BC-AB-C所以 I 3 J I 2 J 一 2 1 ，
10、2 1 一 ，一=AB+BC AB-BC 一一 AB BC3 271 9 1=22+-X0-12 x0=33 2故选：D【点 睛】本题考查平面向量的数量积，解答的关键是利用“6、8 c坐标平面内的一组基底，表示出国、AM,最后再利用平面向量的运算律计算:8.（2020 四 川 成 都 外 国 语 学 校 高 三 月 考（理）已 知 复 数z满 足z（li）=2 i,则 复 数z在复平面内对应的 点 所 在 象 限 为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答 案】B【分 析】利用复数的除法运算求得复数z的值，进而得到复数所对应的点的坐标，从而得到所在象限.【详 解】2i 2
11、z（l+0 ,因 为z（l _，）=2i,所以（l-z）（l+z）即z在复平面内所对应的点为（T），在第二象限.故 选：B.【点 睛】本题考查复数的除法运算和由复数判定对应点的象限，属基础题.9.（2020 四川遂宁高三零模（理）若复数（1-）（+）（是虚数单位）为纯虚数，则实数”的 值 为（A.2B.1C.0D.-1【答案】D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解.【详解】（1 -i）（a+i）=a+i-ai-i=a+1+（1-a）i,它为纯虚数，Q +l =0V则 U-awO,解得a =-l.故选：D.10.（2020 河南焦作高三一模（理）已知向量 =Qx，l）与g
12、=（乂一2）互相垂直，则卜+3囚的最小值 为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】A【分析】由向量的数量积为。求 出 的 关 系 式，然后把向量的模用坐标表示后，结合基本不等式可得最小值.【详解】解：坂，二 2 个-2=0,.孙=1A|2x +3y 2y/6xy=2/6,当且仅当2x =3y =#或-时等号成立，.a+3b=7（2x +3y）2+52 7故选：A.11.（2020 贵州遵义高三其他 模 拟（理）己知匚力8c的外接圆的的圆心是机若PA +P B +P C =2 P M,则#是 口2 5 cl 的（）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心【答案】1）【分析】由题意画出相关示意图
13、，D、C分别是4 3、0 C的中点，连P。，D M ,F M ,根据向量在几何图形中的应用有瓦i+而=2而，即 得 两 与 所 共 线即可知户与口/B C的关系.【详解】如图，D、R分别是Z 8、PC的中点，连尸 ,D M ,F M ,则有P4+P B =2 P D,而PA +R B +P C =2 P M P C.定=2冲-而）=2加即有。八尸八二有两与丽共线,.N 3 C的 外 接 圆 的 的 圆 心 是 机有M D上A B ,则P C 1/8,同理有P 8 I N C,PA 1 BC,尸是口/BC的垂心.故选：D.【点 睛】本题考查了向量的几何应用，根据几何线段的向量表示，结合向量线性运
14、算求证点与三角形的关系.3-ai-=1 -i1 2.(2 0 2 0 广 东 湛 江 高 三 其 他 模 拟)已 知 了 是 虚 数 单 位，a为实数，且2 +i,则a=()A.2 B.1 C.-2 D.-1【答 案】B【分 析】可得 3 -a z =(2 +i)(l -i)=3 -j,即得 =.【详 解】由 3 山=(2 +z)(l z)=2 2 z +i-?2=3 j 得?=1故选：B.1 3.(2 0 2 0 贵 州 遵 义 高 三 其 他 模 拟(理)设 复 数z满 足b+1|=1,且z在复平面内对应的点为(X J)则 羽 歹 满 足()A.(x +l)2+/=l B.(-1)2+/=
15、1 c,-+3-1 =1 口.f+S+l)2=l【答 案】A【分 析】设Z=X+W(X/GR),代 入I z +h=l,再由复数模的计算公式求解.【详 解】设2 =彳+何（羽歹e R）由 1 z +”=l 得：|x +1 +M|=J（x +1）2 +/=即（x +l）2+/=lt故选：A【点睛】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.1 4.（2 0 2 0 云南高三其他 模 拟（理）在矩形4腼 中，4 B =2,力。=1,点材在边切上运动，则而砺 的 最 小 值 为（）A.-1 B.0 C.1 D.逝【答案】B【分析】以/原点，4 6所在的直线为x轴，4所在的直线为
16、y轴，建立平面直角坐标系，设x e ，2 ,用向量数量积的坐标运算求出数量积后可得最小值.【详解】如图，以4原点，4 9所 在 的 直 线 为x轴，4所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系，AB=2,1 则“(，),3(2,0),又 点 在 切 上，设 OU),x e 0,2 ,则 必=(x,l),MB=(2-x,-Y)M4-M5=X2-2X+1 =(X-1)2当x =l时，有 最 小 值0.故选：B.【点 睛】本题考查向量数量积的最小值，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示向量的数量积，化数量积为函数，从而求得最小值.1 5.(2 0 2 0 江 西 高 三 二 模(理)如 图，
17、在U 7 0 A C B中，E是A C的中点，F是B C上的一点，且B C=3 B F,若OC=mOE+nOF,其中 m,n E R,0 A3A.1 B.2【答 案】c【分 析】根据题意 将 反 用基底向量04则m+n的 值 为()7 7C.5 D.3B表示出来，然后通过基底向量进行计算.【详 解】在平行四边形中OA=BC,OB=AC.OCOA+OB因为E是 AC中点,AE=-AC=-OB所以 2 2OE=OA+AE=OA+-O B所以 2因为8c=38b 1 一 1 BF=-B C =-O A所以 3 3OF=OB+BF=OB+-O A所以 3因为 OC=mOE+nOFOC=所以1m+34m
18、=53n=5m+n=31,m+n=i2,解得7m+n=所以 5故选C【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行运算.16.（2020 江 苏高三月考）对于给定的复数z,若满足上 一 匐=2的复数对应的点的轨迹是圆，则I-1!的 取 值 范 围 是（）八717-2,717+2B V17-1,V17+1D.百 T百+1【答 案】A【分 析】求出圆心坐标和半径，利 用 上一表 示 点Z到1对应的点的距离，山这点到圆心的距离加减半径可得.【详 解】满足上一而|二 2的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是4 半 径 为2,上一”表示点z到1对应的点的距离，
19、又=后,.|z-1 1 717-2,717+2故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查圆上的点到定点距离的最值问题，解题方法是把圆上的点到定点的距离转化为求定点到圆心距离.二、填空题-17.（2020年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理科）（新 课 标H）已 知 单 位 向 量 人的 夹 角 为45,k a-b与 a垂直，则公.V2【答 案】2【分 析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数的值.【详 解】T T F 1a-h=l xl x c o s 4 5 0 =-由题意可得：2 ,k a-b y a =Q由向量垂直的充分必要条件可得：（J ,-B
20、kxa-a-b=k-=0 k=即：2 ,解 得：2 .V 2故答案为：2 .【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必耍条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.1 8.（2 0 2 0年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标H ）设 复 数4 ,Z 2满 足 固=%|=2,z1+z2=V 3 +i）则|Zi_Z2l=.【答案】2月【分 析】方法一：令 Z|+z2=c+dt,（ce R,d e R）根据复数的相等可求得 a c +6 d =-2 ,代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设 复 数Z i，Z 2所对应的点为Z”Z 2,
21、0 p =O Zi+O Z2根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边 形。乙 心2为菱形，|痂|=|O Z=|O Z 2|=2，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算M-Zzl【详解】方法设 Z =a+bi,(a R,b R)z2=c+di,(c R,d s R)Z +Z 2=+c+(b+d)i=V5+，a+c=/3*、b+d=1,又%|=凡|=2,所以 2+/=4,/+屋=4,(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+h2+d2+2(ac+hd)4/.ac+bd=-2-Z 2 1 =|(Q -c)+3 -d)i=yj(ci-c)2+(b-d)2=8-2(ac+)=78+4=273故答案为
22、：2石.方法二：如图所示，设复数Z1*2所对应的点为Z”Z2,而=。+反2,由已知回 卜g=2 =|0讣|。功.平行四边形Z为为菱形，且口0Pzl1 0%都是正三角形，.0 2 =120。,|Z/212=|OZ,I2+1OZ212-2|OZ,|OZ2|COS120=22+22-2-2-2-(-1)=12.|Z,-Z2|=|Z,Z2|=2V3 z:pOZ1【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解19.(2020 安徽高三其他模拟(理)已知非零向量，B满足W=且1,(2 5-
23、B),则a与B的夹角为.兀【答案】3【分析】根据向量垂直，先得到4 4 一 /=0,再由向量夹角公式，以及题中条件，即可得出结果.【详解】.a l(2 a-b).a-(2a-h)0.2af-a-b=Q，f ,印2同2-同 向CO S,B)=0.W =4同.2同2-4同2cosR,B=0，COS,B)=g,.,0 (万,71,/.(落=7 1故答案为：3.【点 睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于基础题型.20.（2020年浙江省高考数学试卷）设G,2为单位向量，满 足|2ee2|4应，a=q+e2,=3e,+e2（设3的夹角为,则cos?6的最小值
24、为 _28【答案】29【分 析】q 4 2一 2利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得 4,再根据向量夹角公式求cos 6函数关系式，根据函数单调性求最值.【详 解】UI U LQ 2q-g I-v 2UI u4 一 4q*62+1 (1-)=3 5+3耳 q 3 5+3x3 29428故答案为：29.【点 睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量枳求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.-r I-I_Q I r.-cos -21.（2020 吉 林 高三其他 模 拟（文）设 向量。，满 足H l=3,S l=l,且3,2,则|2一小的取值范围是_.答案【分析】
25、将12-5 I两边平方，再利用向量数量枳即可求解.【详 解】解：向 量I,B满 足1刈=3,出|=1,-可=l4a2-4a-b+b2=-4x3xlxcos（4,B）=j37-12cos（万,1-cos 13,2,可得 4 12 cos 6,6-12cos1,b x-4,.3137-12cos c)=-2,则卜|的取值范围是.已知向量扇 是单位向量，若，区=0,且I e-a+c-2b=V 5 心+2a1 1 1 则 的取值范围是.一3 5一,一【答案】L 2 2【分析】(1)根据向量不等式可得式3 +5)35川万+加，从而得到关于修的不等式，即可得答案；(2)根据已知设出向量值和向量3，向量0的
26、坐标，代入等式化简，再利用距离的几何意义可看成一个动点到两个定点的距离之和，而所求的可看成是一个定点到线段的距离，由此可求得最值.【详解】十 W 7 -2 12 25ub r|_ Q a+b=解：由 4,I。一解得 2,乂由伍_)0 _ 0)=区 _8 11+6)+/=-2 ,15-|c|2+=c C(a +6)|c|x|a +6|=4|c|代入已知值可得 4,化简可得：41讦-16 111+1540,|c解得2 2.(2)因为7是单位向量，且 =。，设”0，)3=()，设己=(2)则万-万=(x-l)?-2 3=(3-2)因为一 小+1-2”=近，即 J(XT)2+/+西 +。-2=下,化简
27、得，2x +y 2=O,(O W l)所 以卜+=辰+2)+y 2表 示 线 段2x +y-2=0,(0)上的点到点(-2,0)的距离,c+2a.=dII mm所以2x(-2)一 2|_ 6君A/22+1 5I 2九产H I=3,羽 吟故答案为：2 2J,L J【点 睛】利用向量数量积的定义可得向量不等式，即；向量问题进行坐标化处理，将模的范围问题转化为距离的最值问题.25.(20 20 浙江省东阳中学高三其他模拟)己知口力80中，8 =3,AC =2,。是NC延长线上一点,C BC DC E -C A =+2 且/D =2C,E为8。的中点，2,贝/8|=_；若P为 口2 3。所在平面上的一
28、个动点，且4 P =D +D B(4 R),则 当I取最小值时，4=.16【答案】5 25【分 析】用 方，就 表 示出各向量，整理条件式得出“8再 计 算80,由8,O,P三点共线可知AP1 BD时AP最 小，利用相似比计算D P即可得出彳的值.【详 解】解：由题意可知 为 力。的中点,CE-AB,CD ACCE为/8 O的中位线，故 2-CBCDCECA=+2 2,1 一 一.1 二 一 一一AB-AC=-（AB-AC）-AC+22 2,一 1 2AB-AC AC+2=02,-A C2=2 -又 2,AB AC=0,.ABI AC,：.BD=lAB2+AD2=5,即 阳 卜 5,.JP=AD+A（A B-JD）=AB+（-A bD,P三点共线，.当4P_L8Z）时，2尸取得最小值，即I P最小.AD DP cn AD2 16=DP=-=由 可得 8。AD,BD 5,DP 16A=-=BD 25,16故答案为：5,25.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题.