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1、高考模拟测试数学试题时 间：1 20分钟 满 分：1 50分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 .已知集合用=4 2 V x-1 ,则 M C N=()A.x|-1 c x 1 B.|x|-lx ljC.x|-2 cx1 D.R-2c x/5 D.正3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 八和i p,样本标准差分别为和 品，样本极差分别为力和力,则()A.X A XB SA SB，yA yBXA SR，yA y RC.XA Xu y%，yA yRD.XA XB Y 臬 b c B.a c b C.
2、b a c D.b c a二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分1 3 .已知函数/(X+1)=X2+2X+Q,若=则。=.r r r1 4 已知向量=(2,1),b=(1,0),c =(1,2),若 c/(a+m b),则 m.1 5 .已知抛物线C V=4x的焦点为F,过尸的直线/交C于4、B 两点(点A在点B 的上方)，若|A 同=2|EB|,则直线/的方程为.1 6.在长方体A B C。AgG A中，BC=3,CG=2,M为 CO的中点，动点P在侧面B CCg内，且Z A P B =NMP C,则动点P的轨迹的长度为.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程与
3、演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22.23为选考题，考生根据要求作答.1 7 .为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了 20 名学生进行5 0 米往返跑和跳绳测试,测试结果如下表：、跳绳5 0米 往 彘一般良好优秀一般131良好b32优秀31a由于部分数据丢失，仅知道从这20 名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为4 求 m(的值;(2)从 5 0 米往返跑为优秀的学生中任意抽取2 人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率.1 8 .在 AABC 中，a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边，c(a c o s 3+/?c
4、o s A)=力？+8 c.求 A；(2)若角A 平分线4。交 B C 于 D,且 B/2D C,A D =2#,，求”.1 9 .如图，A6 是。的直径，Q4垂直于。所在的平面，。是圆周上异于4B 的任意一点，A M P C于 M,A N A.PB 于 N.(1)证明：平面E W _L 平面AAW；(2)若 A5=AP=2,求三棱锥A-P B C 的体积V的最大值.20.已知椭圆C：兰+父/b1=1 (ab0)的左、右焦点分别为F 1,K，点满足|M|+|M 段=勿，且3A/月孔 的面积为士.-2(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C上的顶点为P,不过点P的直线/交C于 A,B 两 点,若 证
5、 明 直 线/恒 过 定 点.21 已知函数-i n x +l n a.(1)若曲线y =/(%)在点(2,/(2)处的切线方程为y =|x-l,求 的值；(2)若aNe,证明：/(x)2.,fx =/COS6Z,22.在直角坐标系x O y 中，圆 C：(x 3+(y 3)=9,直线/的参数方程 Q为参数).以坐 y =/s i n z.标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C和直线/的极坐标方程；(2)若圆C的 圆 心 到/的 距 离 为 逑，求直线/的直角坐标方程.223 .已知/(x)=2|x-l|+|x-2|-a,若/己)2 0 在 R上恒成立.(1)求实数a的取
6、值范围；(2)设实数。的最大值为加，若正数方，c 满足=求 b c+c+26的最小值.c b答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合”=小2 兀 1,N=x|xN 1 ,则 Mp|N=()A.x|-B.|x|-l x l|C.x|-2 c x 1 D.R-2V x-1 答案B 解析 分析 根据集合的交集是取两个集合M与N的公共部分，即可得到答案.详解 由集合M=x|2 x XB$A SK，%B.XA S,S 8 ,%C.XA XB,5八%0.XA XB ，力）B 答案B 解析 分析 观察图形可知，样本A的数
7、据均在 2.5,1 0 之间，样 本8的数据均在 1 0,1 5之间，利用平均数，标准差，极差的定义可得解.详解 观察图形可知，样本A/卜）数据均在 2.5,1 0 之间，样本B的数据均在 1 0,1 5之间，由平均数的计算可知3 为样本B的数据波动较小，故5“,故选：B4.为了得到函数y=co s2 x的图象，可以将函数y=sin 2 x的图象（）TTA.向右平移 个单位长度C.向右平移二个单位长度2 答案B 解析 分析B.向左平移了个单位长度471D.向左平移一个单位长度2由 co s 2x=sin利用三角函数图象变换规律可得出结论.详解.co s2 x =sinI 2j=sinTT所以，
8、为了得到函数y=co s2 x的图象，可以将函数y=sin 2 x的图象向左平移了个单位长度,故选：B.5.设等差数列 g的前项和为S“，若%+4=4+4,则*=()A.4 B.1 7 C.6 8 D.1 3 6 答案C 解析 分析 由等差数列的通项公式得出q+&/=4 ,再由求和公式得出S|7.详解 设数列的公差为d,因为。5+4=。2+4，所以 24+9 d =q+d+4,即 q+8 d =4,$=17(；4 7)=17(4+(+1 6 d)=7(4+8 d)=7 x 4 =6 8.故选：C6 .已知函数/(x)是奇函数，当无20时，/(x)=1 0 0 -l,贝厅(l g；J=()A.1
9、B.-1 C.3 D.-3 答案D 解析 分析 根据函数为奇函数及对数的运算，可 以 得 到/(电；)=-/(坨2),进而根据解析式求出/(l g 2),最后求得答案.详解 因为函数为奇函数，所以/(1 g；卜/(-炮2)=/(1 g 2),而/(l g 2)=1 0 0盛1 =1。2口 一1 =电4 _ 1 =4 1 =3 .所以=/(l g 2)=3.故选：D.7.刘徽(2 2 52 95)是我国魏晋时期杰出的数学家，擅长利用切割的方法求几何体的体积.他将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.己知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体
10、的三视图如图所示，则该几何体的体积是()2 0A.33 2 -1 6 2 6B.C.D.3 3 3 答案A 解析1 分析 该几何体由柱体和锥体构成，可以通过三视图画立体图.详解 如下图所示V:=(|x 2 x 2)x 2 +1 x(2 x 2)x 2 =y故选：A8.在正方体-中，M,N分别为AG，G用的中点，则异面直线A M与C N所成角的余弦值为（）1A.1 0R G C&D 而D.-C.-U.-3 2 1 0 答案D 解析 分析 取A B的中点G,连接N G,MN,G C,则A M/N G,则N G N C （或其补角）就是异面直线A M 与 C N所成的角，运用余弦定理可求出答案.详解
11、 解：如图，取A B的中点G,连接N G,MN,GC,AG，M,N分别为4G，的 中 点，所以M N AB,M NAB ,所以M N/A G,M N =A G ,所以四边形AGNM是平行四边形，所以2A M H N G，所以4 G N C（或其补角）就是异面直线A M与C N所成的角，设正方体ABC。一 4 4 G A的棱长为2,则A=J 5,所以A M=J W +A”=+（用=&=G N，又 CN=GC=#+2 2 =6，所以在ANGC中，COS/G N C-G N N C L G C?（+（石）、（6）;而,所以异面直线AM2 G N -N C 2a x 非 10与CN所成角的余弦值为画.
12、10故选：D.9.已知3sina+4cosa=5,则tan2(z=()24A.-7C.空D.242547 答案 CI解析 分析 利用同角三角函数的基本关系求出sin e,co sa,进而求出ta n a,再利用二倍角公式计算可得.详解 联立3sina+4cosa=5sin2+cos2 a =解得-3sin a=-5sin a34,tan a=-=-cos a4cos a-5/.tan 2a-2 tan a1-tan2 ac2 x 341624T故选：c2 2i o.设 耳，工 分 别 为 双 曲 线 二 一 与=1（0,力 o）的左、右焦点，若双曲线上存在一点尸使得a h|尸耳|+归闾=2 ,
13、且|P4|.|尸闾=,则该双曲线的离心率为（）A.2 B.V 2 C.V 5 D.好2 答案 B 解析 分析 由双曲线的定义得到|P用-|成=2 即 再 由 题 意 知 户制+|”|=2 而，|尸 外 归 局=赤 三个式子组合即可得到4 a b =8 一4 a 2,解出2的值，在由双曲线的离心率为e =1+空，即可得到答a a a2案.详解.上用+归用=2 后,二（伊用+归入=8 ，即|P用2+卢用+2 归耳|.|P闾=8 .根据双曲线的定义可得归埒归闻=2%.“归耳|归居=4。2,即伊耳+仍 闻 a.2 归耳卜忸玛|=4 以 2 ,减去 得 4 忸 制 疗 用=8 必-4 a 2 .归耳卜
14、归 用=而 ，故4 ab-Sb2-4 a2=ah-2 b2 a2=2 In2 1 =0 解得2=1 或一=（舍）.双a a）a）a a a 2曲线的离心率为e=-=.1+=V 2 -a a故 选:B.1 1.已知等比数列%的公比为9,前项和为S“，则下列命题中错误的是（）A.S +|=S,+a,j qB.S N=Si+qSnc.s2,s4-s2,6 s4 成等比数列D.“4 =-是“S“，S,+2，S“+1 成等差数列”的充要条件 答案 C 解析 分 析 根 据Sn+l-Sn=an+l和 等 比 数 列 的 概 念，即 可 判 断 选 项 A 是 否 正 确；根据S 1+恭“=4+4(4+&+
15、%+%)和等比数列的概念，即可判断选项B是否正确；当4 =一1时，5,=54-52=56-54=0 ,即 可 判 断 选 项C是 否 正 确；若S“，Sn+2,S“+1成 等 差 数 列，可得Sll+2-Sn=Sn+i-Sn+2,即2 all+2=-an+i,由此根据等比数列的概念，即可判断选项D是否正确 详解 对于选项A,因为，+|-3=。用，又等比数列4的公比为9,所以所以 S“+1 S“即 S“M=S”+a“v，故 A 正确；因为 S +q Sn=q +q(q +a2+%+a“)=q +aiq+a2q+a3q+.+altq=4 +%+”3+-+!=S“+,所以S“+i=S i+q S“，
16、故B正确;当q =-l时，52=54-52=56-54=0,显然此时邑，S4-S2,不能成等比数列，故C错误；若 S,，S,+2,S“M 成等差数列，则 S“+2 S“=S”+S”+2,所以。+2+。“+1=-4+2,即2 a,+2=-4+i，所以所以。=一:”是 S ，S +2，成等差数列”的充要条件，故D氏+1 2 2正确.,In 31 2.已知a =e c =l n 2,则 的 大 小 关 系 为()A.a b cB.a c bC.b a cD.b c a 答案B 解析 分析 根据题意可判断出a1,上c e(0,1),在比较4c的大小，即比较解 当与l n 2的大小，即比较/与2的大小，
17、由于3日 e=l.In 3b=N/3In 3 3 ln306(30 6)5-27,25=32,27306 In30-6 in3 b c b.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分1 3 .已知函数/(X+1)=X2+2X+Q,若=则。=.答案1 解析 分析 取x =0,代入计算得到答案.详解 取x =0,则/(l)=a=l.故答案为：1.r r r1 4.已知向量M=(2,l),5=(1,0),c=(l,2),若c/(a+仍)，则片.3 答案 一-#-1.52 解析 分析 先求出万+加6的坐标，再根据向量平行得出关于加的方程，得出答案.详解 由题意可得分+心=(2 +m,l)
18、由 +可得 lx l-(2 +m)x 2 =0,解得m=一。3故答案为：-21 5.已知抛物线C：V=4%附焦点为F,过尸的直线/交C于A、B两点(点A在点B的上方)，若|AF|=2|冏，则直线/的方程为.答案2&x-y -2及=0 解析 分析 结合已知条件，设出直线/的方程，然后联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线定义求解直线/斜率，进而求出直线方程.详解 由题意，V=4 x的焦点尸的坐标(1,0),准线：x=-,因为|A同=2|F B|且点A在点B的上方，故直线/的斜率一定存在且大于0,不妨设直线/的方程：y =%(x-l),k0,A(X|,y),B(x2,y2),xx2,由4,可得，k2
19、x2-(2 k2+4)x+k2=0,y=4%A=-(2 k1+4)2-4/=1 6=2 +1)0 ,X+入2 =2+，%w=1，由抛物线定义可知，|AE|=N+1,|B F|=X2+1,又由|AF|=2|FB|,即再=2+1,结合玉=1 口 I得，X）=3，芯=2,4 5从而玉 +W=2+yy=一，解得=2/，k 2故直线方程为：y=2&（x 1）,即 2&x-y-2&=0.故答案为：2&x-y-2夜=0.16.在长方体A8CD-A4CQ|中，8c=3,C CX=2,M为CO的中点，动点P在侧面B C C 4内，且Z A P B =Z M P C,则动点P的轨迹的长度为.答案1彳 解析 分析
20、由线面垂直的性质以及相似三角形的性质得出PB=2 P C,再建立坐标系得出动点尸的轨迹，利用弧长公式得出动点P的轨迹的长度.详解 由线面垂直的性质可知，M C L P C,P B A B,又Z A P B =/M P C,所以AM C尸与A43尸相似，由得出心=2PC,以3为 坐 标 原 点，建 立 如 下 图 所 示 的 直 角 坐 标 系，由2B（0,0）,C（3,0）,P（x,y）,可得 Y+y =41（x 3?+/,化简得出 4?+丁=4,则点 p的轨迹为，因为sinNEG/=走，所以/EGE=1,则跖的长度为2 3 3故答案为:三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程与演
21、算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23为选考题，考生根据要求作答.1 7.为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了 2 0名学生进行50米往返跑和跳绳测试,测试结果如下表：由于部分数据丢失，仅知道从这2 0名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为4 求”，人的值；(2)从50米往返跑为优秀削学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率.答案(1)。=2,。=4；解析 分析(1)根据学生总数为2 0,和抽到跳绳优秀的学生的概率为建立方程组，解得答案即可;4(2)列举出所有可能情况，进而根据古典概型求概率的方法求得答案
22、.小 问 1 详解由题意,1 +3+1+8+3 +2 +3+1 +4 =2 01 +2 +a 12 0 -4a 2b=4 小问2详解根据表格，50 米往返跑为优秀的学生有6 人，记这6 人 为 1 2 3,4,5,6,其中5,6表示这6 人中跳绳为优秀的学生，于是从这6 人中抽取2 人的所有情况为：1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,2 3,2 4,2 5,2 6,34,35,36,4 5,4 6,56,总共 1 5 种情况，9 3其中至少有一位跳绳优秀的情况有：1 5,1 6,2 5,2 6,35,36,4 5,4 6,56,共 9 种情况.所以所求概率P =.1 8.在 AABC中，a
23、,b,c 分别为角 A、B、C的对边，c(a co s 3+Z?co s A)=/-/+Z?c.求 A；(2)若角A的平分线AD交 2C于。，且 B D=2 O C,A D =2。求&,TC 答案 彳 3百 解析 J(D W c(a c o s B+Z?c o s A)=a2-Z?2+b c,利用正弦定理得到c?+b2-cr=b c，再利用余弦定理求解；根 据 8 =2 O C,由角平分线定理得到c=2 6,再由S.c=S A D +S“A a ，得到 历=2(0 +c),再利用余弦定理求解.小 问 1 详解解：因为c(a co s 3+/?co s A)=a 2 人*+h c,所以 s i
24、n C(s i n A co s B+s i n Bcos,A)=s i n2 A-s i n2 5+s i n 5 s i n C,即s i n2 C =s i n2 As i n2 B +s i nB s i nC，即 c2+b2-a2-b e，所以 co s A =U+二.=!2 bc 2因为 A e(O,;r),兀所以A=R；3 小问2详解因为角A的 平 分 线 交B C于。，且B D=2 O C,由角平分线定理得：c=2 b,又 S、ABC=S.ABD+S、ACD,即-be s i n 6 0 =-c-ADsin3 0 +-b-AD-s i n 30 ,2 2 2所 以 人 =且g=
25、26，即 历=2(b +c),b+c所以 h-3,c-6,由余弦定理得：/=C2+22)CCOSA=27，所以a =3V s .1 9.如图，A6是。的直径，以 垂直于。所在的平面，。是圆周上异于4B的任意一点，A M L P C于 M,A N S B 于 N .(1)证明：平面P A B L平面AMN：(2)若A 8 =A P =2,求三棱锥4PBe的体积V的最大值.答案(1)证明见解析；2%.解析 分析(1)要想证明平面2 4 6,平面AMN，即要证心，面43,即要证即要证A A 71.面P B C,即要证即要证B C _L面PAC,由题意可知3C _L A C,B C 1P A,故可证明
26、出平面RW_L平面A肱V.(2)当ABC的面积取最大值时，即为三棱锥A-PBC的体积V的最大值，即可得到答案.小 问1详解.,姑垂直于。所在的平面，5。匚面0。，3。，2 4.：。是圆周上的点，故BC_LAC,A C cA P=P,A C,A P u面PAC,.3。_1_面 出。，.AM u面PAC，-.AM PC,P C cB C =C,PC,BC u 面 PBC,.A M 上面 PBC,：P B u 面 PBC,;.A M 上 PB，.4 _ 1/58,4 0)的左、右焦点分别为/;；,工，点M 1,|)满足|町|+眼 段=2 a,且“片工的面积为;3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C
27、上的顶点为P,不过点P的直线/交C于4,8两点，若B 4 _ L P 8,证明直线/恒过定点.2 2 答案W)+工=14 3(2)证明见解析.解析3 分析(1)由Sv,”?=5可得c=l，由题意点M在椭圆上，将点M坐标代入椭圆，结合/=从+1可得答案.(2)由题意尸(0,6)，根据条件直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为丁 =履+加(加4(%,乂),3(,必),将直线AB的方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由P 4L B B，则 丽 丽=0，将韦达定理代入，可得出答案.小 问1详解1 3 3由SvA m=5比 用 丐=子 则 出 用=2=2C,所以c=ly.M F+M F2 =2 a,则点
28、M在椭圆上1 9所以 +=八 又。2=/?+1联立解得=4力2=32 2所以椭圆C的方程；+-=14 3 小问2详解由题意产（0,6）,根据条件直线A B的斜率必存在设直线A B的方程为y =丘+加H ，%）,必）由 V=+m4 3,得(4攵2+3*+8 +4-1 2=0所以X1+尤2=-8km4疗-1 23+4公A=(8 )2-4(4 2+3)(W-1 2)0 (*)由 24 _ 1 _ 8，则 AX 丽=0U U UU1P A P B =，y-6).(%,%-码=中2+b 1一 卜2-6)xx2+(何+加一6)(优 +加-6)=(+&2)玉 工2+172_ 6)%(玉+%2)+卜72_ 6
29、)=(1.+.K2 )X4-Tm-H1 2/Lf-8Ekm+(加-_ 7j-6/3m -33+4 32=0所以7/-6 Ga-3=0，即（7加+J G）（加一J G）=0,即 加=一-擀 或 修=6 （舍）将 机=一 如7(向、2代入(*)A=64 x -k-4 x（4左 2+3）(3、4 x -1 2 0成立.7 )I 4 9 )所以直线A B的方程为y=kx 洋所以直线A 3恒 过 点0,21.已知函数/(%)=密 -2-1n5+1n若曲线y =/(x)在点(2J(2)处的切线方程为y =|x l,求a的值；(2)若a Ne,证明：/(x)2.答案(l)a=2(2)证明见解析 解析3 分析
30、(1)由/“(2)=5,可得a的值，再验证切点坐标也满足条件；(2)由aN e,ex2 0知要证/(x)=ae 2-n x+l n a N 2也即证eT-I n x-I N O，设g(x)=ei-l n x -l,求出导数分析其单调性，得出其最值可证明.小 问1详解1 1 1 3/(1)=4婷 2,则=ae 2 5 =Q 5 =万,解得=23又 2)=耳乂2-1 =2,/(2)=四2-2 n 2+l n a=2,可得a=2综上。=2 小问2详解由/一2 0知要证/(x)=Qe*2 一 l n x+l n aN 2即证 lnx+ne=exl l n x +1 2也即证eT I n尢一1 N O设
31、g(x)=e T _ n x l,则g(x)=e“T再令/z(x)=exl-,=ex 0,X X所以g(x)=e iJ 在(0,+上单调递增，又 g(l)=O则当0 x l时，g(x)l时，g(x)0所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.所以 g(x)?g(l)=0所以/T l n x l O 成立，即/(x)2 2 成立.,、2/、2 fx =fco sa,22.在直角坐标系x O y 中，圆 C：(x-3)+(y-3)-=9,直线/的参数方程 ,。为参数).以坐 y=tsma.标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 和直线/的极坐标方程；(2)
32、若圆C 的 圆 心 到/的 距 离 为 逆，求直线/的直角坐标方程.2 答案(1)圆 C 和直线/的极坐标方程分别为：p2-6p co s-6p si n +9 =0,p si n(a-0)=O y =(2 :解析 分析(1)先将方程化为一般方程，再将X=p co s。,y =p si n。代入化简即可得极坐标方程；(2)利用点到直线的距离公式计算化简即可.小 问 1 详解圆 C：(X3)2+(y 3=9,化为一般方程为x 2+y 2-6 x 6y +9 =0,将 x =p co se,y =p si n。代入圆 C 的一般方程化简得其极坐标方程为：p2-6p co s61-6p si n 6
33、 +9 =0；x-tcosa,八 八直线/：.消去参数得：x s m a-y c o s a =0,将尤=p co s9,y =p si n。代入得其极坐标方程y=tsma.为：p co s si n o f-p si n 0 co sa=0 ,化简得夕si n(a 夕)=0.小问2 详解由题可知 C(3,3),由(1)直线/：x s i n a-y c o s a=。，|3si n a-3co sa|3及.夜 .)2 o-1从而有/=-=|si n a-co s a=si n a 4-co s a-2si n aco sa=一,V si n2 a+co s2 a 2 2 2.,-.1 si
34、n a+co s a-2si n aco sa 1 tan2aH-l-2tan fZ 1si rr a+co s-a-2si n a co s a=-=-；-=2 si n-a+co s a 2 tarra+1 2=l an 2a-4 tan a+l =0解得tan a 二 2 g，所以直线/的直角坐标方程为：y =(2土6)x.23.已 知%)=2 卜一1|+卜一2|-a,若 7(x)2。在 K上恒成立.(1)求实数”的取值范围；1 2(2)设实数。的最大值为如 若 正 数 江 c满足一+二加，求秘+c+2 b 的最小值.c b 答案 9+60 解析 分析(1)令 8(幻=2|%-1|+|%-2|,求出 g(x)min，由 aWg(X)min；I 2(2)由一+=1 结合基本不等式得出最小值.c b 小问1 详解3 x-4,x.2令 g(x)=2|x-l|+|x-2 =x,l x c +c+2/?=3 c+3/?=(3 c +3/)f-+-|=9 +y-.9 +2j-=9 +6 7 2当且仅当二=/，即8=0 c=2 +&时，取等号.c b故 庆+仁+2 7?的最小值为9 +60