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1、高 考 理 科 数 学 考 前 必 记 的 6 0个 知 识 点 集 合(1)集 合 之 间 关 系 的 判 断 方 法 4 真 含 于 B oA U B且 A B,类 比 于 a v g a W b 且 a手 b.A U B o A真 含 于 B 或 A=B,类 比 于 aWboab或 ah.4=B oA U B且 4 2 8,类 比 于 且(2)集 合 间 关 系 的 两 个 重 要 结 论 AUB包 含 4=8 和 A 8 两 种 情 况，两 者 必 居 其 一，若 存 在 且 依 A,说 明 A N B,.只 能 是 A B.集 合 相 等 的 两 层 含 义.：若 AUB且 B U
2、A,则 A=B；若 A=8,则 AUB且 B&4.提 醒 I 1 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集，即 AGA.2 对 于 集 合 A,B,C,如 果 AUB且 8 U C,则 有 AUC.3 含 有 个 元 素 的 集 合 有 2个 子 集，有 21个 真 子 集，有 2”2 个 非 空 真 子 集.4 集 合 中 元 素 的 三 大 特 性：确 定 性、互 异 性、无 序 性.常 见 关 键 词 及 其 否 定 形 式 原 命 题：互 逆 逆 命 题:关 键 词 等 于 大 于 小 于 是 一 定 是 都 是 少 一 个 至 有 八 多 一 T至 有 八 存 在 否 定
3、词 不 等 于 不 大 于 不 小 于 不 是 不 一 定 是 不 都 是 一 个 也 没 有 至 少 有 两 个 不 存 在 命 题(1)四 种 命 题 间 的 相 互 关 系 否 命 题：_逆 否 命 题：(2)四 种 命 题 的 真 假 性 若 则 R TfH|若,则 原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假|提 醒|1 两 个 命 题 互 为 逆 否 命 题，它 们 有 相 同 的 真 假 性.2 两 个 命 题 为 互 逆 命 题 或 互 否 命 题，它 们 的 真 假 性 没 有 关 系.3 在 判 断 一
4、些 命 题 的 真 假 时，如 果 不 容 易 直 接 判 断，则 可 以 判 断 其 逆 否 命 题 的 真 假.(3)含 有 一 个 量 词 的 命 题 的 否 定 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题，特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题，如 下 所 述：命 题 命 题 的 否 定 V x M,p(x)3 x o A 7,非 p(xo)p(xo)非 p(x)充 分、必 要 条 件(1)充 分 条 件 与 必 要 条 件 的 相 关 概 念 如 果?=分 那 么 是 q 的 充 分 条 件，同 时 g 是 p 的 必 要 条 件.如 果 但 g=/p,那 么 p 是 4
5、 的 充 分 不 必 要 条 件.如 果 且 g=p,那 么。是 g 的 充 要 条 件.如 果 g=p,且 p=/q,那 么 p 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件.如 果 p=/q,且 g=/p,那 么/?是 g 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件.(2)充 分、必 要 条 件 与 集 合 的 对 应 关 系 1从 逻 辑 观 点 看 从 集 合 观 点 看 p 是 q 的 充 分 条 件。=q)AQBp 是 q 的 必 要 条 件(q=p)是 q 的 充 分 不 必 要 条 件(p=q,q=/p)A 真 含 于 Bp 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件 0=p，p=/q)
6、A 真 包 含 8p 是 q 的 充 要 条 件 S=q)A=B函 数 的 定 义 域 及 相 关 的 6 个 结 论(1)如 果 凡 r)是 整 式 函 数，那 么 函 数 的 定 义 域 是 R.(2)如 果 人)是 分 式 函 数，那 么 函 数 的 定 义 域 是 使 分 母 不 等 于 0 的 实 数 的 集 合.(3)如 果“V)是 偶 次 根 式 函 数，那 么 函 数 的 定 义 域 是 使 被 开 方 数 大 于 或 等 于 0 的 实 数 的 集 合.(4)如 果 _/(x)是 对 数 函 数，那 么 函 数 的 定 义 域 是 使 真 数 大 于 0 的 实 数 的 集
7、合.(5)如 果 7U)是 由 几 个 代 数 式 构 成 的，那 么 函 数 的 定 义 域 是 使 各 式 子 都 有 意 义 的 实 数 的 集 合.(6)如 果 兀 r)是 从 实 际 问 题 中 得 出 的 函 数，则 要 结 合 实 际 情 况 考 虑 函 数 的 定 义 域.函 数 的 值 域 求 函 数 值 域 常 用 的 7 种 方 法(1)配 方 法；二 次 函 数 及 能 通 过 换 元 法 转 化 为 二 次 函 数 的 函 数 类 型.(2)判 别 式 法：分 子、分 母 中 含 有 二 次 项 的 函 数 类 型，此 函 数 经 过 变 形 后 可 以 化 为 4(
8、y)+xB()，)+C()，)=0 的 形 式，再 利 用 判 别 式 加 以 判 断.(3)换 元 法：无 理 函 数、三 角 函 数(用 三 角 代 换)等，如 求 函 数 y=2x-3+/134x的 值 域.3 qin 丫(4)数 形 结 合 法：函 数 和 其 几 何 意 义 相 联 系 的 函 数 类 型，如 求 函 数 y=的 值 域.(5)不 等 式 法：利 用 几 个 重 要 不 等 式 及 推 论 求 最 值，如+6 2 2 加 a+b 2 丽 a,2 为 正 实 数).(6)有 界 性 法：一 般 用 于 三 角 函 数 类 型，即 利 用 sinxC 1,1,cosxG1
9、,1等.x+1(7)分 离 常 数 法：适 用 于 解 析 式 为 分 式 形 式 的 函 数，如 求 y=的 值 域.X 1指 数 函 数 与 对 数 函 数(1)指 数 函 数 与 对 数 函 数 的 对 比 区 分 表 解 析 式 y=aa0 且 y=logx(670 且。W 1)定 义 域 R(0,+8)值 域(0.4-0)R图 象 y=ax(0al)x=y=log%(al)二 y=logx(0al)关 系 指 数 函 数-对 数 函 数 奇 偶 性 非 奇 非 偶 非 奇 非 偶 单 调 性 0al时，在 R 上 是 减 函 数；0al时，在 R 上 是 增 函 数 a时，在(0,+
10、8)上 是 增 函 数 提 醒 直 线 X=1 与 所 给 指 数 函 数 图 象 的 交 点 的 纵 坐 标 即 底 数，直 线 y=l 与 所 给 对 数 函 数 图 象 的 交 点 的 横 坐 标 即 底 数.(2)比 较 基 值 大 小 的 方 法 若 指 数 相 同，底 数 不 同，则 考 虑 幕 函 数.若 指 数 不 同，底 数 相 同，则 考 虑 指 数 函 数.若 指 数 与 底 数 都 不 同，则 考 虑 借 助 中 间 量，这 个 中 间 量 的 底 数 与 所 比 较 的 一 个 数 的 底 数 相 同，指 数 与 另 一 个 数 的 指 数 相 同，那 么 这 个 数
11、 就 介 于 所 比 较 的 两 数 之 间，进 而 比 较 大 小.(3)常 见 抽 象 函 数 的 性 质 与 对 应 的 特 殊 函 数 模 型 的 对 照 表 _抽 象 函 数 的 性 质 特 殊 函 数 模 型 Q/(x+y)=7(x)+fiy)(x e R,y G R)；=f i x)GR,y W R)正 比 例 函 数 段)=履 3 0)励*y)=/U+y)(x,yGR)；yGR,Ay)W0)指 数 函 数 大 幻=aa09 aWl)2 Axy）=/（x）+y（y）（xo，）0）；Y物。=Ax）y（y）（x0,y0）y对 数 函 数 y（x）=logd30,a Wl）fixy）=
12、x）fiyXx,y G R）；叫 一-（x，y R，尸 0）鬲 函 数 段)=广 函 数 零 点 的 判 断 方 法(1)利 用 零 点 存 在 定 理 判 断 法：如 果 函 数 y=Ax)在 区 间 口，上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线，并 且 有 人。)避 勿 0),(logM=(x0,tz0,且 W1).e)，=e,(a7=ai|na(a0,且 W1).(2)导 数 的 四 则 运 算 法 则=o=/i(x)+及 a)H I 工,(切=/IW+/2(X)H 明.=co+cv=e(。为 常 数).提 醒 1 若 两 个 函 数 可 导，则 它 们 的 和、差、积、商
13、 必 可 导；若 两 个 函 数 均 不 可 导，则 它 们 的 和、差、积、商 不 一 定 不 可 导.2 利 用 公 式 求 导 时，一 定 要 注 意 公 式 的 适 用 范 围 及 符 号，如(V丫=上 一】中 Q(cosx),=sinx.3 注 意 公 式 不 要 用 混，如(优 丫=0、1，而 不 是 3，=人 优 14 导 数 的 加 法 与 减 法 法 则，可 由 两 个 可 导 函 数 推 广 到 任 意 有 限 个 可 导 函 数 的 情 形，即(x)x)士 如 a)y=ux)v,(x)9 wf(x).5 一 般 情 况 下，l/Wg(x)r W/(x)g，(x),l/w-
14、g(x)了 刊(x)+g，(x),j w/一 g，(x).6。复 合 函 数 导 数：引 入 中 间 量 内 导 乘 外 导 E 极 值 与 最 值(1)判 断 极 大、极 小 值 的 方 法 当 函 数 式 外 在 点 M 处 连 续 时 如 果 在 必 附 近 的 左 侧/(x)0,右 侧/(x)0,则 兀 是 极 大 值.如 果 在 加 附 近 的 左 侧 了。)o,则 兀 吩 是 极 小 值.提 醒 1 可 导 函 数 极 值 点 的 导 数 为 0,但 导 数 为 0 的 点 不 一 定 是 极 值 点，如 函 数 1Ax)=_?,x=0 时 就 不 是 极 值 点，但 了(0)=0
15、.2 极 值 点 不 是 一 个 点，而 是 一 个 数 m，当 x=xo时，函 数 取 得 极 值.“在 的 处 有/(向)=0”是“函 数 段)在 劭 处 取 得 极 值”的 必 要 不 充 分 条 件.3 函 数/U)在 一 闭 区 间 上 的 最 大 值 是 此 函 数 在 此 区 间 上 的 极 大 值 与 其 端 点 函 数 值 中 的 最 大 值，函 数/U)在 一 闭 区 间 上 的 最 小 值 是 此 函 数 在 此 区 间 上 的 极 小 值 与 其 端 点 函 数 值 中 的 最 小 值.(2)极 值 与 最 值 的 区 别 与 联 系 区 别：函 数 的 极 值 函 数
16、 的 最 值 函 数 的 极 值 点 一 定 出 现 在 区 间 的 内 部，区 间 的 端 点 不 能 成 为 极 值 点 使 函 数 取 得 最 大 值，最 小 值 的 点 可 能 在 区 间 的 内 部，也 可 能 在 区 间 的 端 点 函 数 的 极 值 是 通 过 比 较 极 值 点 附 近 的 函 数 值 得 出 的 函 数 的 最 值 是 通 过 比 较 整 个 定 义 域 内 的 函 数 值 得 出 的 函 数 的 极 值 可 能 不 止 一 个，也 可 能 一 个 没 有 函 数 在 其 定 义 区 间 上 的 最 大 值、最 小 值 最 多 各 有 一 个 函 数 的 极
17、 大 值 不 一 定 大 于 函 数 的 极 小 值 函 数 的 最 大 值 一 定 大 于 函 数 的 最 小 值 联 系：当 连 续 函 数 在 开 区 间 内 的 极 值 点 只 有 一 个 时，相 应 的 极 值 点 必 为 函 数 的 最 值 点;(ii)极 值 有 可 能 是 最 值，但 最 值 只 要 不 在 区 间 端 点 处 取 得，其 必 定 是 极 值.固 定 积 分 3(1)由 定 积 分 的 定 义 可 得 定 积 分/y(x)公 是 一 个 常 数，它 的 值 仅 取 决 于 被 积 函 数 与 积 分 的 上、下 限，而 与 积 分 变 量 没 有 关 系，即/叽
18、 0心=/的)由=/()必(2)定 积 分 满 足 性 质：/%x)dx=/ya)dx(A 为 常 数)；/U(x)场(x)dx=jVi(x)ir/%(刈 加/饮：x)ir=/%r)dr+/y(x)djc(其 中 ach).1.b 提 醒 1/5必=/铲*|y ab2 Ccosxdx=sinx；b3 Jsin xdx=(cos x).E 同 角 士 角 函 数 的 基 本 关 系(1)平 方 关 系：sin2 z+cos2 0)个 单 位 得 到 y=sin(x+p)的 图 象(当(p0时，则 向 右 平 移 阳 个 单 位).(2)产 sin x 的 图 象 上 所 有 点 的 纵 坐 标
19、保 持 不 变，横 坐 标 变 为 原 来 的 十 倍，得 到 y=s i n s 的 图 象.(3)y=sinx的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 保 持 不 变，纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍，得 到 y=4sinx的 图 象.提 醒 1 由 y=sin car的 图 象 经 过 平 移 变 换 得 到 usinGwc+o)的 图 象，平 移 的 单 位 不 是|矶，而 是 C i)2 函 数 图 象 平 移、伸 缩 变 换 的 实 质 是 点 的 变 化，所 以 可 以 借 助 三 角 函 数 图 象 上 特 征 点 坐 标 的 变 化 寻 找 平 移、伸 缩 变 换 的
20、 规 律，一 般 借 助 于 两 个 函 数 图 象 上 的 最 高 点 或 最 低 点 的 坐 标 来 分 析.E 正 弦、余 弦、正 切 函 数 的 奇 偶 性、周 期 性、对 称 性 函 数 y=sinx y=cosx y=tan x奇 偶 性 奇 函 数 偶 函 数 奇 函 数 对 称 性 对 称 中 心(An,0),k SJ I(AJi+y,0),k G Z,0),ke z4对 称 轴 IIx=k+%Z x=k,kG Z 无 对 称 轴 最 小 正 周 期 2 人 2 人 n照 三 角 恒 等 变 换(1)两 角 和 与 差 的 正 弦、余 弦、正 切 公 式 sin(a)=sin
21、4 cos cos sin.cos(a/?)=cos。cos sin a sin.tan a tan 8tan(a土 份=在 an atan 万 sin(a+/?)sin()=sin2 a sin2(平 方 正 弦 公 式).cos(z+/?)cos(a-P)=cos2 a sin2s.(2)二 倍 角 公 式 sin 2 a=2sin 4 cos a.cos 2 a=cos2 a sin2 a=2cos2 4-1=1 2sin2 a.tan 2 a 2tan Q1-tan2 a 降 零、升 累 公 式 降 恭 公 式,1 cos 2 4 e 1+cos 2 asin-Q=-2-；cos-Q=
22、-1.csm Qcos a=/sin 2 a.升 累 公 式 1+cos a=2cos2 Y；1 cos a=2sin2 手 a a1+sin ci=(sin-y+cos-)2；1 sin o=(sin cos 货.(4)万 能 公 式 0 02tan 1tan2 sin=-万 cos 0=-万，tanl+tan2 1+tan2-e2tan 1 tan2-0 正、余 弦 定 理 及 其 推 论（1）正 弦 定 理、:1=-，、=-、：尸=2R（R 为 ABC 外 接 圆 的 半 径）o=2/?sin A,b=2Rsin B,c=2Rsi,n C0a:b:c=sin A：sin 8：sinsin
23、 H sm D sin cC.（2）余 弦 定 理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.（3）三 角 形 内 角 和 定 理 在 ABC 中，有 A+B+C=2 C=L（A+B）Q 与=2 C=2 L 2（A+B）.（4）三 角 形 面 积 公 式 SAA8C=2csn=2acs*n C（A,B,C 是 ABC 的 三 边 a,b,c 所 对 的 角）0 平 面 向 量（1）平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 的 两 种 形 式 若。=3，y）,b=（M，2），则。力=xiy2=i2yi，此 形 式 对 任 意 向
24、 量 a,伙 方 HO）都 适 用.若。=3,yi）,b=（X2,2），且 12”#0,则 M yi需 要 注 意 的 是 可 以 利 用 斗=乎 来 判 定 a b,但 是 反 过 来 不 一 定 成 立.X2）2（2）向 量 法 证 明 三 点 共 线 对 于 a=2 OB+L OC（Z,为 实 数），若 A,B,。三 点 共 线，则 4+=1,反 之，也 成 立.若 A（xi，yi）f 8（X2，2），C（X3f 乃）三 点 共 线，则（犬 2一 R）33m）=（X3也）。2-yi），或（M 曲）。3一 1）=（13一 为）（2一 1），或（X3用）33丁 2）=（工 312。，36）.
25、同 样 地，当 这 些 条 件 中 有 一 个 成 立 时，A,B,。三 点 共 线.5（3）平 面 向 量 的 数 量 积 已 知 非 零 向 量 a=（xi，yi）,b=（X2，丫 2），为 向 量 a，b 的 夹 角.结 论 几 何 表 示 坐 标 表 示 模 a=yaa=4 行+为 数 量 积 a-b=abcos 8 a-b=xix2+yiy2夹 角 a bCOS 0 一 Mbf_ xiX2+yy2 yjxl+yl续 表 结 论 几 何 表 示 坐 标 表 示 a L b 的 充 要 条 件。协=0 xXi+yy2=Ga-b与 步 1的 关 系（当 且 仅 当 a b时 等 号 成 立
26、）W1X2+yMl。4 上+行,1 一 十）9（4）两 向 量 的 夹 角 与 数 量 积 设 两 个 非 零 向 量。与。的 夹 角 为 仇 则 当 6=0 时，cos 0=1,。力=|a|网；当 9 为 锐 角 时，cos d0,a-b0,当。为 直 角 时，cos=0,a-b=0；当 0 为 钝 角 时，cos d0,a-b0；当 0=180 时,cos g 一 1,a-b=ab.E 等 差 数 列 与 等 比 数 列 辨 析 两 类 特 稣 数 列 _概 念 等 差 数 列 从 第 2 项 起，每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 等 于 同 一 常 数 的 数 列 等 比 数
27、列 从 第 2 项 起，每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 比 等 于 同 一 常 数（不 为 0）的 数 列 相 同 点 都 强 调 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 关 系；结 果 都 必 须 是 同 一 常 数；数 列 都 可 由，4 或 ai，q 确 定 不 同 点 强 调 的 关 系 为 差；首 项 G 和 公 差 d 可 以 为 零；两 数 的 等 差 中 项 唯 一 强 调 的 关 系 为 比；首 项 和 公 比 q 均 不 为 零 如 果 两 数 有 等 比 中 项，则 等 比 中 项 有 两 个（2）两 数 列 与 函 数 等 差 数 列 与 一 次 函 数 的 关
28、 系 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 斯=|+（-1）可 得”=4+（ai）,如 果 设=,q=ad,那 么 a“=pH+q,其 中 p,q 是 常 数.当 0#0 时，点（”，诙）在 一 次 函 数 y=px+夕 的 图 象 上，即 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 的 图 象 是 直 线 y=px+q上 的 均 匀 排 开 的 群 孤 立 的 电 当=0词，an=q,等 差 数 列 为 常 数 列，此 时 数 列 的 图 象 是 平 行 于 x 轴 的 直 线（或 x轴）上 的 均 匀 排 开 的 一 群 孤 立 的 点.因 此，当 上 0 时，数 列 诙 为 递 增 数 列
29、；当 dQ时，且 g W l 时 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 以 看 作 指 数 型 函 数.当 g W l 时，酸=号/,可 以 看 成 函 数），=c始，是 一 个 不 为 0 的 常 数 与 指 数 函 数 的 乘 积，因 此 数 列 斯 各 项 所 对 应 的 点 都 在 函 数 y=cq的 图 象 上.因 此，当 41,00或 0ql,0l,。0 或 040时，”是 递 减 数 列;当 q=l时，是 常 数 列.（3）两 数 列 前 项 和 的 函 数 特 性 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式：5“二 巴（生 产）一=“此+!1）&等 差 数 列 的 前 H 项
30、 和 公 式 与 函 数 的 关 系：由 S尸 必+（1）”可 得 S尸 齐+一$,设。=争 b=a 冬 则 有 S”6=an2+bn.当 aWO（即 d#0）时，由。的 前 项 和 S“组 成 的 新 数 列 S”S2,S3,，S,的 图 象 是 二 次 函 数）=*2+版 图 象 上 一 系 列 孤 立 的 点.等 比 数 列（如 的 前 项 和 公 式 为 na,q=1Stl=a（1一/）aanq,i-，gWiiq L q对 于 非 常 数 列 的 等 比 数 列 小 的 前 w 项 和 S“=二/）=一 告 二+告，若 设。=苣；，则 S“=-aq+a（aKO,q#0,qrl）.由 此
31、 可 知，数 列 S”的 图 象 是 函 数 丫=一。4叶 图 象 上 一 群 孤 立 的 点.对 于 是 常 数 列 的 等 比 数 列，即 4=1 时，因 为 所 以 由 此 可 知，数 列*的 图 象 是 函 数 y=m x 图 象 上 一 群 孤 立 的 点.0 等 差、等 比 数 列 的 判 断 方 法（1）等 差 数 列 的 判 断 方 法 定 义 法：+】-为 常 数，仁 N）=“j 是 等 差 数 列.通 项 公 式 法：%=m+（-l）d（其 中“为 常 数，N）o 为 等 差 数 列.等 差 中 项 法：2%+1=%+。“+2（e N*）=知 是 等 差 数 列.前 项 和
32、 公 式 法：Sn=An2+Bn（Af 8 为 常 数，WN*）=a 是 等 差 数 列.（2）等 比 数 列 的 判 断 方 法 定 义 法：=4（9 为 常 数 且 gWO,N）或 上 乙=夕（9 为 常 数 且 gWO,22）=斯 为 等 比 数 列.等 比 中 项 法：曷+i=a“GN*）o a”为 等 比 数 列.通 项 公 式 法：m=。4 门（其 中 a”q 为 非 零 常 数，-6 2）0 斯 为 等 比 数 列.提 醒 I 判 断 一 个 数 列 是 否 是 等 比 数 列，还 有 一 种 直 观 的 判 断 方 法，即 前 n 项 和 公 式 法：若 S,表 示 数 列 小
33、 的 前 n 项 和，且 S尸 一 aq+a（aHO,g片 0,qNl）,则 数 列 知 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列.但 此 方 法 不 能 用 于 证 明 一 个 数 列 是 等 比 数 列.回 数 列 中 项 的 最 值 的 求 法（1）根 据 数 列 与 函 数 之 间 的 对 应 关 系，构 造 相 应 的 函 数 7U）=a”，利 用 求 解 函 数 最 值 的 方 法（多 利 用 函 数 的 单 调 性）进 行 求 解，但 要 注 意 自 变 量 的 取 值 必 须 是 正 整 数 的 限 制.（2）利 用 数 列 的 单 调 性 求 解，由 不 等 式。（或 诙+iW
34、m）求 解 出”的 取 值 范 围，从 而 确 定 数 列 单 调 性 的 变 化，进 而 确 定 相 应 的 最 值.faa。-1，（3）转 化 为 关 于 n 的 不 等 式 组 求 解：若 求 数 列 诙 的 最 大 项，则 可 解 不 等 式 组、若 求 数 列,的 最 小 项，则 可 解 I。1 不 等 式 组 一 求 出 的 取 值 范 围 之 后 再 确 定 取 得 最 值 的 项.位 不 等 式 的 性 质 国 不 等 式 的 解 法（1）分 式 不 等 式 的 解 法 别 名 性 质 内 容 注 意 性 质 1 对 称 性 aboba；abba可 逆 性 质 2 传 递 性
35、ab,bc=ac；ab,baba+cb+c 可 逆 性 质 4 可 乘 性 ab,cO=acbc；aby cOacb,cd=a+cb+d 同 向 性 质 6 同 向 同 正 可 乘 性 ab0,cdO=acbd 同 向、同 正 性 质 7 可 乘 方 性 ah0=a 洌 N*,介 2）同 正 性 质 8 可 开 方 性。/?0=缶 砺（N*,心 2）同 正 分 式 不 等 式 号 0（或 0）的 求 解 可 应 用 同 解 原 理，转 化 为 整 式 不 等 式 求 解.7；d)(0(0)；/(x)、，k(x)0,/、己 0(W0)=0(0(a0),且 J0(a0,b0),当 且 仅 当。=b
36、 时，等 号 成 立.整 式 形 式：(a,b e R),a2+b22ab(a,%GR),(a+b)24ab(a,6G R),W”(a,b e R),以 上 不 等 式 当 且 仅 当 a=b 时，等 号 成 立.分 式 形 式：+2(必 0),当 且 仅 当 a=6 时，等 号 成 立.倒 数 形 式：a+2 m 0),当 且 仅 当。=1 时，等 号 成 立；a+卜-2m+弋+勺 2a+ZJ+2/=(W+或 F 提 醒 I 利 用 基 本 不 等 式 求 最 大 值、最 小 值 时 应 注 意“一 正、二 定、三 相 等，即：所 求 式 中 的 相 关 项 必 须 是 正 数；求 积 外
37、的 最 大 值 时，要 看 和 x+y 是 否 为 定 值，求 和 x+y 的 最 小 值 时，要 看 积 孙 是 否 为 定 值，求 解 时，常 用 到“拆 项”“凑 项”等 解 题 技 巧；当 且 仅 当 各 项 相 等 时，才 能 取 等 号.以 上 三 点 应 特 别 注 意，缺 一 不 可.国 根 据 几 何 体 的 三 视 图 判 断 几 何 体 的 结 构 特 征(1)三 视 图 为 三 个 三 角 形，一 般 对 应 三 棱 锥.(2)三 视 图 为 两 个 三 角 形，一 个 四 边 形，一 般 对 应 四 棱 锥.(3)三 视 图 为 两 个 三 角 形，一 个 圆，一 般
38、 对 应 圆 锥.(4)三 视 图 为 一 个 三 角 形，两 个 四 边 形，一 般 对 应 三 棱 柱.(5)三 视 图 为 两 个 四 边 形，一 个 圆，一 般 对 应 圆 柱.0 空 间 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积(1)直 棱 柱 的 侧 面 积：S M=C/(C是 底 面 周 长，/为 侧 棱 长).正 棱 锥 的 侧 面 积：S M=：C%(c是 底 面 周 长，h 为 斜 高).正 棱 台 的 侧 面 积：Sw=/c+c州(c,c 分 别 是 上、下 底 面 周 长，h 为 斜 高).圆 柱 的 侧 面 积：SM=c/=27t”(c是 底 面 周 长，/为 母 线
39、长).圆 锥 的 侧 面 积：S M=%/=/(C 是 底 面 周 长，是 底 面 圆 半 径，/为 母 线 长).圆 台 的 侧 面 积：SM=/c+c，)/=7t(r+，(c,c 分 别 是 上、下 底 面 周 长，r,r分 别 是 上、下 底 面 圆 半 径，/为 母 线 长).球 的 表 面 积：S=4nR2.(2)柱 体 的 体 积：V 柱=S(S为 底 面 积，是 柱 体 的 高).锥 体 的 体 积：v=gs/7(s为 底 面 积，是 锥 体 的 高).球 的 体 积：王 球=rR3=gs*/?.西 球 的 组 合 体 8(1)球 与 长 方 体 的 组 合 体：长 方 体 的
40、外 接 球 的 直 径 是 长 方 体 的 体 对 角 线 长.(2)球 与 正 方 体 的 组 合 体：正 方 体 的 内 切 球 的 直 径 是 正 方 体 的 棱 长，正 方 体 的 棱 切 球 的 直 径 是 正 方 体 的 面 对 角 线 长，正 方 体 的 外 接 球 的 直 径 是 正 方 体 的 体 对 角 线 长.(3)球 与 正 四 面 体 的 组 合 体：棱 长 为 的 正 四 面 体 的 内 切 球 的 半 径 为*(正 四 面 体 高 呼 的 J,外 接 球 的 半 径 为 坐(正 四 面 体 高 坐。的 筋 证 明 空 间 位 置 关 系 的 方 法 a/b 线 面
41、 平 行:bu a=4 a,aQ aa ll aQ)线 线 平 行:au Ba A=u Ba l.ab-L aa,a-L 8aQ a0 4 a,=a b.a/p aCy=aa/ba/c=c 0.au a,bu a(3)面 面 平 行:aCh=Oa l.aa/h b B Jq _ L=a,a II BY/=a r.(4)线 线 垂 直:a L abu a=a _b.au a,bu a(5)线 面 垂 直:aCb=O?=/a,ILcb l ba邛 aH/=lau a,t z/a l.oa a/bB,a。1nb_L a.(6)面 面 垂 直:a u a l.aa/=。_L,a l.a=。_L.提 醒
42、 利 用 定 理 证 明 线 面 关 系 时 要 注 意 结 合 几 何 体 的 结 构 特 征,性 质，进 行 空 间 线 面 关 系 的 相 互 转 化.尤 其 要 注 意 灵 活 利 用 正 棱 柱、正 棱 锥 等 特 殊 几 何 体 的 0 空 间 向 量 的 坐 标 运 算 设。=(。1，。2，俏)，b=(bi，b?,。3)，则(1)a)=a 必 1+S 岳+3 匕 3;(2)。=劝|,4 2=劝 2，。3=劝 3(/心 力 W0)；(3)a _ L 加+a2b2+。3匕 3=0(。士 0)；(4)|a|=yaM=yj ay+al+al(5)cos a,b)=a b 内+。2。2+。
43、3。3 协 ya+ai+aj 色 彳+加+房：(a#0,5WO)；(6)点 A(x”y i，z i),B(X 2，y z，Z2)间 的 距 离 d=|A B|=y j(X 2 x i)2+(y 2-y i)2+(Z 2 z i)2.画 空 间 向 量 的 应 用(1)夹 角 公 式：设 非 零 向 量 Q=(0,。2,4 3)，b=(bi，岳，仇),推 论：(。协+。2岳+。3岳)2 W(山+龙+曷)(牙+虎+质).则 cos a,b)1 6+。2 岳+。3b3N 山+a 升 山 尻+庆+屁 9 异 面 直 线 所 成 的 角：8S 加=谭 鬻 需 鬻 镒 其 中 收。）为 异 面 直 线,b
44、 所 成 的 角，a,分 别 表 示 异 面 直 线 小。的 方 向 向 量.（3）直 线 A 8 与 平 面 a 所 成 的 角 6 满 足：sin=|cos AB,/|=圆（胆 是 平 面 a 的 法 向 量）.丽 M（4）二 面 角 的 平 面 角。满 足：|cos，|=|cos 如|=篙 去，“，”分 别 是 平 面 a,的 法 向 量）.提 醒 在 处 理 实 际 问 题 时，要 根 据 具 体 图 形 确 定 二 面 角 的 平 面 角 是 锐 角 还 是 钝 角，以 确 定 角 的 大 小.（5）点 B 到 平 面 a 的 距 离：4=端 则（为 平 面 a 的 法 向 量，A
45、d a,A B 是 平 面 a 的 一 条 斜 线 段）.场 直 线（1）直 线 方 程 的 5 种 形 式（2）两 条 直 线 的 位 置 关 系 名 称 方 程 的 形 式 常 数 的 几 何 意 义 适 用 范 围 点 斜 式 y-yo=k(xxo)（xo,yo）是 直 线 上 一 定 点，左 是 斜 率 不 垂 直 于 X 轴 斜 截 式 y=kx+h七 是 斜 率，力 是 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 不 垂 直 于 X 轴 两 点 式 yy _ xxiy2-y xi-x（Xl，J1）,（如 丁 2）是 直 线 上 两 定 点 不 垂 直 于 A轴 和 y 轴 截 距 式 4+
46、*=a b。是 直 线 在 X轴 上 的 非 零 截 距，人 是 直 线 在 y轴 上 的 非 零 截 距 不 垂 直 于 X 轴 和 y 轴，且 不 过 原 点 一 般 式 A x+B y+C=0（4,8 不 同 时 为 零）A,B 都 不 为 零 时，斜 率 为 一 会 在 X 轴 上 的 C截 距 为 一 彳，在 y 轴 上 的 截 距 为 一 看 cD任 何 位 置 的 直 线 己 知 直 线/1：Ax+By+C=0,l2t A+B2y+C2=0（4）,B,A2f&全 不 为 0）,则/，为 相 交 o 瓦 W 瓦,/i/20）.x=6f+rcos 3 圆 的 参 数 方 程：一.八（
47、。为 参 数）.y=b+rsin 0 圆 的 直 径 式 方 程：（工 一 不）（工 一 12）+。一 丁）。一）=0（圆 的 直 径 的 端 点 是 4 戈 1，1），8（X2，2）.（2）直 线 与 圆 的 位 置 关 系 直 线/：4 x+5 y+C=0 和 圆 C a a）2+（y匕）2=/（0）有 相 交、相 离、相 切 三 种 情 况.可 从 代 数 和 几 何 两 个 方 面 来 判 断：代 数 方 法（判 断 直 线 与 圆 的 方 程 联 立 所 得 方 程 组 的 解 的 情 况）：/0=相 交；/=相 离；d=r 0 相 切.（3）圆 与 圆 的 位 置 关 系 设 圆。
48、I:0 户+心-0|）2=/S0）,圆 Q：（X4 广+一 岳）2=”（0）,则 其 位 置 关 系 的 判 断 方 法 如 下 表：法 位 置 关 几 何 法 代 数 法 公 切 线 的 条 数 圆 心 距 d 与 门，9 的 关 联 立 两 圆 方 程 组 10系 成 方 程 组 的 解 的 情 况 外 离 Jn+r2 无 解 4外 切 d=r+/*2 一 组 实 数 解 3相 交 r-rdfc0):+方=13泌 0)图 形 y爷 4 k o 4 0 blB2 x几 何 性 质 范 围 一-b WyWb 一 bWxWb,对 称 性 对 称 轴：X 轴，y 轴；对 称 中 心：原 点 焦 点
49、 Fi(-c,0),2(。0)Fi(0,-c),F2(0,C)顶 点 Ai(a,0),A2(。，0)；Bi(0,b)t B2(0,b)Ai(0,-a)9 42(0,)；B、(一 b,0),&S，0)轴 线 段 A A2,8加 2分 别 是 椭 圆 的 长 轴,2b和 短 轴；长 轴 长 为 2 m 短 轴 长 为 焦 距 FIF2=2C离 心 率 焦 距 与 长 轴 长 的 比 值：eG(0,1)a,b,c的 关 系 c1=a2b2 提 醒 椭 圆 的 离 心 率 反 映 了 焦 点 远 离 中 心 的 程 度，e 的 大 小 决 定 了 椭 圆 的 形 状，反 映 了 椭 圆 的 圆 扁 程
50、 度.因 为/=+d，所 以 因 此，当 e越 趋 近 于 1时，越 趋 近 于 0,椭 圆 越 扁；当 e越 趋 近 于 0 时，越 趋 近 于 1,椭 圆 越 接 近 于 圆.所 以 e越 大 椭 圆 越 扁，e越 小 椭 圆 越 圆.当 且 仅 当 a=b,c=0 时，椭 圆 变 为 圆，方 程 为 x2+V=/.S 双 曲 线(1)双 曲 线 的 标 准 方 程 及 几 何 性 质 标 准 方 程/，2一 为=l(a0,Z0)方 一 炉=1(40,/0)图 形 尸 几 何 性 质 范 围|x|Na,y R|y|2，x e R对 称 性 对 称 轴：x 轴，y 轴；对 称 中 心：原 点