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1、14.2.2 14.2.2 完全平方公式公式完全平方公式公式请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民请同学们探究下列问题：一位国王非常喜欢各地臣民的叩拜每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他的叩拜每当有臣民到皇城叩拜时，国王都要奖赏他们来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两们来一个臣民，国王就给这个臣民一块铜板，来两个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（个臣民，国王就给每个臣民两块铜板，以此类推（1）第一天有第一天有a个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣个臣民去了皇城叩拜，国王一共给了这些臣民多少块铜板？（民多少块铜板？（2）第二天有）第二天有b个臣民去了皇城叩拜，个臣民去了
2、皇城叩拜，国王一共给了这些臣民多少块铜板？（国王一共给了这些臣民多少块铜板？（3）第三天有）第三天有（a+b）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣）个臣民一起去皇城叩拜，国王一共给了这些臣民多少块铜板？（民多少块铜板？（4）这些臣民第三天得到的铜板数与）这些臣民第三天得到的铜板数与前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？前两天他们得到的铜板总数相等吗？为什么？(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行这样的运算呢？行这样的运算呢？我们知道我们知道a2=aa，所以
3、，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样就，这样就转化成多项式与多项式的乘积了转化成多项式与多项式的乘积了能不能将能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？转化为我们学过的知识去解决呢？探究探究计算下列各式计算下列各式,你能发现什么规律你能发现什么规律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_；(2)(m+2)2=_;(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_;(4)(m-2)2=_.p2+2p+1m2+4m+4p2-2p+1m2-4m+4我们再来我们再来计算计算(a+b)2,(a-b)2 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-
4、b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 两数差的平方两数差的平方,等于它们的平方和等于它们的平方和,减它们的积的减它们的积的2倍倍.(a+b)2=a2+2ab+b2,一般地一般地,我们有我们有 (a-b)2=a2-2ab+b2.两数和的平方两数和的平方,等于它们的平方和等于它们的平方和,加它们的积的加它们的积的2倍倍.这两个公式叫做这两个公式叫做(乘法的乘法的)完全平方公式完全平方公式.公式特点：公式特点：4、公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式以及其他式子.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b21、积为二次三项式；2、积中两项为
5、两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的首平方，尾平方，积的2 2倍在中央倍在中央 完全平方公式完全平方公式bbaa(a+b)ababab+完全平方和公式：完全平方公式完全平方公式 的图形理解的图形理解aabb(a-b)aababbbb完全平方差公式：完全平方公式完全平方公式 的图形理解的图形理解例例1 1 运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：解解:(4m+n)2=16m2(1)(4m+n)2(a+b)2=a2 +2 ab+b2(4m)22(4m)n+n2+8mn+n2+例例1 1 运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：解：解：(y-)
6、2=y2(2)(y-)2(a-b)2=a2 -2 ab +b2y22y +()2-y+-下面各式的计算是否正确？如果不正确，下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？应当怎样改正？(1)(1)(x+y)(x+y)2 2=x=x2 2+y+y2 2(2)(x-y)(2)(x-y)2 2=x=x2 2-y-y2 2(3)(x-y)(3)(x-y)2 2=x=x2 2+2xy+y+2xy+y2 2(4)(3x+2y)(4)(3x+2y)2 2=9x=9x2 2+6xy+2y+6xy+2y2 2(x+y)(x+y)2 2=x=x2 2+2xy+y+2xy+y2 2(x-y)(x-y)2 2=x
7、=x2 2-2xy+y-2xy+y2 2(x-y)(x-y)2 2=x=x2 2-2xy+y2xy+y2 2(3x+2y)(3x+2y)2 2=9x=9x2 2+1212xy+4yxy+4y2 2错错错错错错错错错错错错错错错错举举例例例例1 1 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算：（1）(3a+b)2；（2）（1）(3a+b)2 解解 (3a+b)2=(3a)2+2 3a b+b2=9a2+6ab+b2举举例例例例2 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算：（1）(-x+1)2；（2）(-2x-3)2.（1）(-x+1)2解解 (-x+1)2=(-x)2+2(-x)1+12=x2-2
8、x+1这个题还可以这样做：这个题还可以这样做：(-x+1)2=(1-x)2 =12-2 1 x+x2 =1-2x+x2.（2）(-2x-3)2解解 (-2x-3)2=-(2x+3)2=(2x+3)2=4x2+12x+9练习练习1.运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算：（1）(x+4)2；（2）(a-3)2；（3）(3a+2b)2；（4）(4x-3y)2.解解（1）(x+4)2 =x2+8x+16 （2）(a-3)2 =a2-6a+9 （3）(3a+2b)2 =9a2+12ab+4b2 （4）(4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2.1012992利用完全平方公式计算：利用完全平方公式
9、计算：一试身手一试身手例例2：运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：(1)1022解：解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404(2)992解：解：992=(100 1)2=10000-200+1=9801巩固练习:1.下列各式哪些可用完全平方公式计算 (1)(2a-3b)(3b-2a)(2)(2a-3b)(-3b-2a)(3)(-2m+n)(2m+n)(4)(2m+n)(-2m-n)2.错例分析：(1)（a+b)2=a2+b2 (2)(a-b)2=a2-b2这节课你学到了什么知识？这节课你学到了什么知识？通过这节课的学习你有何感想与体会通过这节课的学习你有何感想
10、与体会？完全平方公式：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2注意：项数、符号、字母及其指数注意：项数、符号、字母及其指数.完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果 是三项，是三项，是三项，是三项，即即即即 (a(a b)b)2 2a a2 2 2ab2ab+b b2 2;平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果 是两项，是两项，是两项，是两项，即即即即 (a(a+b)(ab)(a b)b)a a2 2 b b2 2.1.1.注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全
11、平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同：形式不同：形式不同：形式不同：结果不同：结果不同：结果不同：结果不同：2.2.在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a a和和和和b b、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、2 2abab时不少乘时不少乘时不少乘时不少乘2 2；首、尾数有系数的，首、尾数有系数的，首、尾数有系数的，首、尾数有系数的，平方时要注意添括号平方时要注意添括号平方时要注意添括号平方时要注意添括号,是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键3.3.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为的条件，即为的条件，即为的条件，即为“两数和两数和两数和两数和(或差或差或差或差)的平方的平方的平方的平方”，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算，然后应用公式计算.