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1、正余弦定理（学案）知识自测一.解三角形的概念一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形.二.余弦定理I.定义：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2 .公式：cr=,护=,（?=.公式变形：cosA=, cos B=, cos C=3 .使用条件：两边一角求边三边求角（三边一角）三.正弦定理（大边对大角）1 .定义在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.公式： （该比值为该三角形外接圆的直径.）2 .使用条件：两角一边求边或角两边一对应角求角.正弦定理的变形
2、形式设三角形的三边长分别为小b, c,外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：（1）。=, b=，c= （边化角）（2）sin4=, sin B=, sin C=.（角/匕边）（3）。: b : c=sin A ： sin 8 ： sin C.abca+-+csin A sin B sin C sin A + sin 8+sin C一四.三角形的面积公式1 .在A8C中，边BC, CA, 43上的高分别记为九，hb, hc,则S=ClhaS=absn C=ac$in /?=T/?csin A.知识简用题型一余弦定理【例1-1（2022广东）在.ABC中，角A, B,。所对的边分别为“，b, J若=
3、逐，c = 2,2cos4=；,则方等于【例 1-2（2022河北）在.ABC中，若a = 7, = 8,sinC =更，则。=. 14则cos 8等于则cos 8等于【例1-3】（2022江西）在A8C中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若b32a （?）【例1-4】（2022上海）在- 48C中，角A? A?C所对边分别是4？，若/+从一=/,则。=【例1-5 （2022湖南）在中, 则 6=.内角A, B, C所对的边分别为m b, c.若4c = 8, + c = 7,B =,【例2-1】（2022青海）在一C中, b=3,则sin8= （?）.A. aB.也34题型二正弦
4、定理角A, B, C的对边分别为a, b, c,若sinA = ；,。= 2&，题型二正弦定理角A, B, C的对边分别为a, b, c,若sinA = ；,。= 2&，【例 2-2（2020.河北）在一C 中，已知 A = 60m = 2x/5/ = 2,则4= （?）A.3。或 150B.60C.30D.6（）或 120【例2-3】（2022湖北）在二A8C中，若4 = 45 , c = 2五,5=竽，则角4的值是（?）A.15B.75C.105D.15 或75【例2-4.（2022黑龙江）在C中，48 = 2,8 = 120。,4 = 30。，则C外接圆的半径为（？?？）A.且B.述C.
5、2D.433题型三面积公式【例3-1】（2022上海崇明）在A8C中，a = 2, b = l,。=，那么A8C的面积等于【例3-2.（2例2重庆）在中,三个内角的对边分别是瓦c,若b = 3, c = 4, 3cosA = ；,则此三角形的面积为一.【例3-3】（2022 湖南）在八A6c中，,b,c分别为A民C的对边，A = 60b = ,这个三角形的面 积为G，则Q= 【例3-4（2022 霍邱县）在.ABC中，已知。=1, 5 = 45,若aABC的面积S = 2,则aABC的外接圆直径为题型四边角互换【例4-1】（2022.山东）在48C中，,，b,。分别为内角A, B, C的对边，
6、若空2 = 甲，则人_ a b【例4-2（2022广东）在ABC中角A、B、C的对边分别为“、b、c,且满足cosA = asinB,角A=_ 【例4-3（2022北京）已知锐角A8C的内角A3,C的对边分别为。也。，若& =sin（B + C）,则8 =【例44】（2022山东东营）在二ABC中，a = AosC+csinB,则角是【例4-5（2022江苏）在一A8C中，内角A氏。的对边分别为，若V2cosC（cosB + /?cosA）+ c = 0,则角 C 的大小为.【例4-6（2022新疆）已知、c分别为的内角A、B、。所对的边，若满足（a+b-c） （a+b+c） = ab,则角 C 的大小为【例4-7】（2022全国高一课时练习）在A8C中，内角4, 13, C的对边分别为小，c,若a2 +c2 -Z?2）tan = /3ac,则 B 的值为