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1、高 一（下）数学试题参考答案及评分标准 第1 页（共 8 页）厦门市 2022-2023 学年度第 二 学期 高 一 年级质 量检测 数学试题 参考答 案 及评分标 准 一、单选题：本题共 8 小 题，每小题 5 分，共 40 分 1A 2C 3B 4B 5A 6C 7D 8B 二、多选题：本题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 9BCD 10BCD 11 ACD 12 AC 三、填空题：本题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分 13 3i 14 12 15 49.5 16 45，2853 16解：在 ABC r 中，由余 弦定 理得2 2 2 2 232 cos 7 5 2
2、 7 5 325a b c bc A，42 a，2 2 22cos 022a b cCab 0 180 C，45 C，所以2sin2C，4sin5A，72sin sin sin cos cos sin10B A C A C A C，sin sin sin B A C，B A C 又4sin sin5APC A，且 APC B A，180 APC A 同理 180 BPC C 设 PBC，在 PBC r 中，45 PCB，sin sinPC BCBPC，8sin PC 在 PAC r 中，45 45 PCA ACB PCB，PAC BAC 由 正弦 定理 得sin sinPC ACPAC APC
3、，即 7 354sin 45PCBAC 35sin4PC BAC 358sin sin4BAC，28tan53，即28tan53PBC 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文 字说明、证明过程或 演算 步骤 17本题考查平面向量基 本定理，向量的线性运算，向量的数量积等知识；考查推理论证能力和运算 求解能力；考 查化 归与 转化、数形 结合 等数 学思 想 本题满 分 10 分 解：（1）因为 3 AD m n，2 AC n，BC AP高 一（下）数学试题参考答案及评分标准 第2 页（共 8 页）FEDBCA1 C1B1AMEDBCB1C1A1A所以 2(3)DC AC AD
4、n m n m n，-2 分 又 因为 22 AB m n，所以 2 AB DC，-3 分 又 因为A，B，C，D 四点不 共线，所以AB DC 且AB DC，所以 四 边形ABCD 为梯 形-5 分（2）因为 22 AB m n，所以222(2 2)4 8 4 2 3 AB m n m m n n，-7 分 因为F 为BC 中点，所以1()2AF AB AC m，-8 分 所以 2 AF m，所以2(2 2)2 2 8 2 6 AF AB m m n m m n，-9 分 所以63cos2 2 2 3AF ABFABAF AB，因为 0,FAB，所以6FAB-10 分 18本 题考 查空 间
5、几 何体 结构特 征、直线 与平 面的 位置关 系、平面 与平 面的 位置关 系、棱锥 的体积 等基本知识；考 查空 间想 象、推理论 证、运算 求解 等能 力，考 查化 归与 转化、数 形结合 等数 学思 想 本题满 分 12 分 解法一：（1）取1AB 中点F，连 接DF，1FC，因为D 是AB 中点，所 以1DF BB，112DF BB=，-1 分 因为E 是1CC 中点，所以11CE BB，1112CE BB=，-2 分 所以1DF CE，1DF CE=，所以四 边形1DFCE 为平 行四 边形，-4 分 所以1DE FC,-5 分 因为DE 平面11ABC，1FC 平面11ABC，所
6、 以DE 平面11ABC-6 分（2）取BC 中点M，连接AM，在正三 棱柱1 1 1ABC ABC中，2 AB AC BC 所以AM BC，且 3 AM，-7 分 因为1BB 平面ABC，AM 平面ABC，所 以1BB AM，-8 分 因为1BC BB B，BC 平面11BBCC，1BB 平面11BBCC，高 一（下）数学试题参考答案及评分标准 第3 页（共 8 页）FEDBCA1 C1B1A所以AM 平面11BBCC，即AM 平面11BCE，-9 分 所以AM 的长为点A 到平面11BCE 的距 离，又11BCE 的面 积为111 1 1112 1 122BC ES BC CE，-10 分
7、 所以1 1 1 1 1 113E ABC A BC E BC EV V S AM 131333，所以三 棱锥11E ABC 的体 积为33-12 分 解法二：（1）取1BB 中点F，连 接DF，EF，因为D 是AB 中点，所 以1DF AB，因为DF 平面11ABC，1AB 平面11ABC，所以DF 平面11ABC-2 分 因为E 是1CC 中点，F 是1BB 中点 所以11BF CE，11BF CE=，所以四 边形11BFEC 为平 行四 边形，所以11EF BC，因为EF 平面11ABC，11BC 平面11ABC，所以EF 平面11ABC，-4 分 因为DF 平面DEF,EF 平 面DE
8、F,DF EF F,所以平 面DEF 平面11ABC，-5 分 因为DE 平面DEF，所以DE 平面11ABC-6 分（2）同解 法一 19 本 题考 查频 率分 布直 方图、样本 的数 字特 征、用样本 估计 总体 等知 识；考查推 理论 证、运 算 求 解、数据处 理等 数学 能力 本 题满 分 12 分 解：（1）由 题意 知X 在区间 380,400和 420,440上的 频数 分别 为 40，12，所以X 在区 间 380,400和 420,440上的 频率/组距分 别为0.40.0220，0.120.00620-2 分 补全频 率分 布直 方图 如下：高 一（下）数学试题参考答案及
9、评分标准 第4 页（共 8 页）-4 分 所以由 直方 图可 以看 出，380,400所对应 的矩 形面 积最 大，420,440 次之，并且 整幅 直方 图具 有 一定的 对称 性 由此 可以 推测该 市居 民的 小腿 加足 高的长度 集 中在 380,440附近，小 腿加足 高特 别 短或特 别长 的居 民人 数都 较少-5 分（2）因为 50 0.05 2.5，50 0.95 47.5，所以 女 性的“小 腿加 足高”数据的 第 5 百分位 数为 女性 的第 3 个数 据即356，-7 分 男性的“小 腿加 足高”数据 的第95 百分位 数为 男性 的 第 48 个 数据 即 452，-
10、9 分 所以 工 作椅 座高 的范 围为 356,452-10 分 所以本 次调 查所 得范 围不 在国家 标准 范围 360,480 内-11 分 产生差 异的 主要 原因 为：由样 本的 代表 性所 引起 的，因为 该 市的 调查 结果 不能代 表全 国的 调查 结 果；样本 容量 过小；测量产 生的 误差 等-12 分 20 本题 考查 正弦 定理、余弦定 理等 数学 知识；考 查推理 论证、运算 求解 等 数学能 力；考 查数 形结 合、化归与转 化、分类 讨论 等数 学思想 本 题满 分 12 分 解：（1）因 为 cos cos b A a B a，由正弦 定理 可得sin cos
11、 sin cos sin B A A B A，即 sin()sin B A A，-2 分 因为 0 A，0 B，所 以 sin()sin 0 B A A，所以0 BA,-3 分 所以B A A 或 B A A 若B A A，则 2 BA；若 B A A，则 B，舍 去；所以 2 BA 成立-5 分（2）在 BCD 中，因 为BC BD，2 BA，所 以2BCD BDC A，由正弦 定理 得sin sin BDCBC CDB，即()2sin 2sin2CDAA，所以 4sin CD A-6 分 DCAB高 一（下）数学试题参考答案及评分标准 第5 页（共 8 页）在 ABC 中，由正 弦定 理得
12、sin sinBC ACAB,因为 2 BA，所以2sin 24cossinAAC AA-7 分 因为 B A BCA，又 BCD ACD BCA，所 以22ACD A,-8 分 所以 ACD 的面积11 sin 4sin 4cos sin(2)2sin42 2 2S CD CA ACD A A A A-10 分 又03 B A A，所 以03A，-11 分 所以当42A，即8A 时，ACD 的面 积 最 大值 为 2-12 分 21本 题考 查样 本空 间、古典概 型、概率 的基 本性 质、事 件的 相互 独立 性等 数学知 识；考查 逻辑推 理、运算求 解等 数学 能力；考 查化归 与转
13、化、分类 讨论 等数学 思想 本 题满 分 12 分 解：（1）设 事件A“游 戏一 获胜”，B“游戏 二获 胜”，C“游戏 三获 胜”，游戏一 中取 出一 个球 的样 本空间 为1 1 2 3 4 5，则 15 n，因为4 5 A，所以()2 nA,1()2()(5nAPAn），所以 游戏 一获胜 的概 率为25-1 分 游戏二 中有 放回 地依 次取 出两个 球的 样本 空间2(,)|,1,2,3,4,5 x y x y，则 225 n，-2 分 因为(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)B，所以()4 nB，-3 分 所以2()4()()25nBPBn，所以 游戏 二获 胜的 概
14、率为425-4 分（2）设M“先玩 游戏 二，获 得 书券”，N“先 玩游 戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC，且ABC，ABC，ABC 互斥，A，B，C 相互独立，所以()()P M P ABC ABC ABC()()()P ABC P ABC P ABC()()1()1()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C 2 4 3 4 2 41()()()5 25 5 25 5 25P C P C P C 8 12()125 125PC-6 分 又N ACB ACB ACB，且ACB，ACB，ACB 互斥，所以()()P N P AC
15、B ACB ACB()()()P ACB P ACB P ACB 高 一（下）数学试题参考答案及评分标准 第6 页（共 8 页）()()1()1()()()()()()P A P C P B P A P C P B P A P C P B 2 21 3 4 2 4()()()5 25 5 25 5 25P C P C P C 62()125PC，-8 分 若要接 下来 先玩 游戏 三比 先玩游 戏二 获得 书券 的概 率大，则()()P N P M，所以62 8 12()()125 125 125P C P C，即4()25PC-9 分 进行游 戏三 时，不放 回 地 依次取 出两 个球 的所
16、 有结 果如下 表：第一次 第二次 1 2 3 4 5 1（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）2（2,1）（2,3）（2,4）（2,5）3（3,1）（3,2）（3,4）（3,5）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,5）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）当 3,4,8,9 m 时，24()20 25PC，舍去 当 5,6,7 m 时，44()20 25PC，满 足题 意，因此m的所有 可能 取值 为5,6,7-12 分 22 本 题考 查空 间几 何体 结构特 征、直线 与平 面的 位置关 系、平面 与平 面的 位置关 系等 基本 知识；考 查空间想 象、推理 论证、运 算求解 等
17、能 力，考查 化归 与转化、数 形结 合等 数学 思想 本题 满 分 12 分.解法一：（1）取AB 中点F，连 接DF 因为AB CD，90 ABC，22 AB，2 BC CD，F 为AB 中点，所以四 边形BCDF 为正 方形，所以 45 BDF，所以2 AF DF，90 AFD，所以 2 AD，45 ADF，所以 90 ADB ADF BDF，即BD AD-2 分 又平面ADE 平面ABCD，平 面ADE 平面ABCD AD，BD 平面ABCD,所以BD 平面ADE,又AE 平面ADE，所以BD AE，即AE BD-4 分（2）取AD 中点M，连接ME，MF 在 ADE 中，2 AE D
18、E，2 AD，所以2 2 2AE DE AD，所 以 ADE 为等腰直 角三 角形 所以ME AD,1 ME 因为 ADF 为等腰 直角 三角 形，所以MF AD，又ME MF M，,ME MF 平面MEF，所以AD 平面MEF 又AD 平面ABCD，所 以平 面ABCD 平面MEF 在平面MEF 中，过点E 作EO MF 于点O，连接CO，又平面ABCD 平面MEF，平 面ABCD 平面MEF MF，EO 平面MEF，所以EO 平面ABCD 高 一（下）数学试题参考答案及评分标准 第7 页（共 8 页）所以CE 和平面ABCD 所成 角 为 ECO，即 ECO-7 分 设 EMF，则0 当0
19、2 时，在Rt EMO 中，cos MO，sin EO，所以 1 cos OF MF OM 当2 时，在Rt EMO 中，cos(cs)o MO，sin(s)in EO，所以 1 cos OF MF OM 在Rt COF 中，因为22(2)(2)2 CF，所 以22(1 cos 4)CO，在Rt EOC 中，2 222224tian tansn(1 c)osEOECOCO（），当2，21 EO，25 CO，2tan15 符合（）综上，22222sin 1 cos(1 cos 4 cos 2cos 5tan)22(3 coscos 2cos 5)1-9 分 令 3 cos t，2,4 t，则22
20、228tan81441ttttt，-11 分 所以22821tan 1224 tt，当且 仅当22 t 等号 成立，此时cos 3 2 2(1,1)，所以2tan 的最 大值 为212-12 分 解法二：（1）同 解法 一；（2）取AD 中点M，连 接ME，MF 在 ADE 中，2 AE DE，2 AD，所以2 2 2AE DE AD，所 以 ADE 为等腰直 角三 角形 所以ME AD,1 ME 因为 ADF 为等腰 直角 三角 形，所以MF AD，又ME MF M，,ME MF 平面MEF，所以AD 平面MEF 又AD 平面ABCD，所 以平 面ABCD 平面MEF 在平面MEF 中，过点
21、E 作EO MF 于点O，连接CO，又平面ABCD 平面MEF，平 面ABCD 平面MEF MF，EO 平面MEF，所以EO 平面ABCD 所以CE 和平面ABCD 所成 角 为 ECO，即 ECO-7 分 延长FM 至点N，使得 1 MF MN，设OF x，则02 x 当点O 与点M 不重合 时，即 1 x，高 一（下）数学试题参考答案及评分标准 第8 页（共 8 页）在Rt EMO 中，1 MO x，1 EM，所以2 2 2 21(1)2 EO x x x，在Rt COF 中，OF x，22(2)(2)2 CF，所以224 CO x，在Rt EOC 中，22222 2tan tan()241EOECO xCOxxx（），当点O 与M 重合 时，此时 1 x，21 EO，25 CO，2tan15 符合（），所以222tan(0 2)24xxxx-9 分 所以222(tan 1(02)42xxx，令 2 tx，则22228tan81441ttttt，24 t，所以221t2 2 12 8 4 2n(2 1a 1 1)，当 且仅 当22 t 等号成 立，此时 2 2 2(0,2)x，所以2tan 的最 大值 为212-12 分