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1、考点4 9直线与圆、圆与圆的位置关系1.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x-2)?+/=1都相切，则双曲线C 的离心率 是()2 G-2乖 季A.2 或 3 B.2 或G C.8 或 2 D.3 或 2A【解析】设双曲线c的渐近线方程为y=k x,是圆的切线得：粤=1,k =,、人 十 上 9得双曲线的一条渐近线的方程为)，=当；.焦点在*、y轴上两种情况讨论：当焦点在x轴上时有：=，0=?=寻=乎；当焦点在y轴上时有：；=F，e =(=夸=2；.求得双曲线的离心率2或乎.故选：A.2.直线y=x +b 与曲线=/1二手有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是A.网=”B
2、.-1 bl b=-y/2 c.-1 by/2 D.O V b W l 或 b =#B曲线X =有 即 x 2+y2=l (x 2 0),表示一个半圆(单位圆位于X 轴及X 轴右侧的部分).如图，A (0,1),B (1,0)、C (0,-1),当直线y=x+b 经过点A时，l=0+b,求 得 b=l；当直线y=x+b 经过点B、点 C时，0=l+b,求得b=-l；回当直线y=x+b 和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可 得 也，求得b=-媳，或 b=m (舍去)，故要求的实数b的范围为-l 0)的焦点为F,点 2是抛物线c上一点，圆M与线段MF相交x=PIM_2于点A,且被直线“一2
3、截 得 的 弦 长 为 若 两 一,则M F|=()3A.2 B.1 C.2 D.3B【解析】画出图形如下图所示.由 题 意 得 点 充 抛 物 线 上，则8=2px0,贝如q=4.由抛物线的性质可知IDMI=、。-匕雷=2,-I则 M4|=2|M|=：|M F|=*o+g,被直线x=与截得的弦长为、石川川，则|DE|=|M 4|=g+%2 3 又|M4|=ME,在 RtAMDE 中，|DEF+|DM|=|ME|=,即 沁0+?)2+(A o-?)2=沁0+9。,整理得：4焉+*=2 0,由解得“。=2，P=2.故选B.5.若圆G，+y2=4上的点到直线、y=x +a 的最小距离为2,贝 3=
4、()A.2 也 B.272-2 c.472-2 D.4也D【解析】圆 C的圆心为（0,0）,半径片2,.圆心C到直线1的距离d 唱，圆C上的点到直线1的最小距离为2,。圆心至U 直 线 1的距离d=2 e.,.吧 F,;=4、*故选：D.6 .已知直线。久+-1=0与圆。（彳-1）2+（丫 +。）2=1相交于4 B,且 4B C 为等腰直角三角形，则实数。的 值 为（）1A.7或-1 B.-1 C.1或-1 D.1C由题意可得A B C 是等腰直角三角形，圆心C （1,-a）到直线a x+y-1=0的距离等于r-s i n 45=2,巫再利用点到直线的距离公式可 得 储 工 工 2,Aa=1,
5、故选：C.7.己知两点力（a，0），B（-a,0）（a 0）,若 圆 曲）？+-1）?=1上存在点P,使得乙4PB =9 0。，则正实数。的取值范围为（）A.（0,3 B.t 3 C.2,3 I）,1,2B因为存在点P 使得乙M B=9 0。，即以原点为圆心，半径为a 的圆与（x-、G）2+（y-i）2=1有公共点所以a-1 W 2 W a +1解得1 a 3所以选B8.已知圆必（-4）2+3 _3）2=4和两点4-。,0）,B（a,O）,若圆M 上存在点P,使得乙1PB =9 O。，则a 的最大 值 为（）A.4 B.5&6 D.7D【解析】若点尸满足“PB=90。，则点尸在以A B为直径的
6、圆上，据此可知，满足题意时，圆/+y：=a二与圆6-4）二+（），-3）二=侑 公 共 点，两圆的圆心距：d=“0-4尸+（0-3产=5,两圆的半径亡=,r2=2,满足题意时应有：ki-r:l d|r-即：In-2|5|o+2|,求解关于实数a的不等式可得：3 0）交于不同的/（国,凹），8。2，8）两点，给出下列结论：“X i -工 2）+6（凹-%）=0；2a x（+2byt=a2+Z?2；占+超=4，乂+为=6 .其中正确结论的个 数 是（）A.0 B.1 C.2 D.3D【解析】公共弦的方程为2ov+2勿/=0,所以有20Vl+2如-JYO,正确:又20V2+26“、=0,所以。（再-
7、再）+6（JI.4）=。，正确；的中点为直线AB与直线G G的交点，又一4B:2av+2by-a1-b1=Q ,G G：6x-rn=0.上，2ov+2加一 a，=0-,广、rg由 工 八 行:故 有+电=a n+心=b,正确,故一卬，=0综上，选D.1 1.若圆q ：/+/=5与圆。2：6+。2 +/=20相交于4 8两点，且两圆在点处的切线互相垂直,则线段4 8的长度是（）A.3 B.4 C.273 D.8B由题。0）与Q：（寸由。根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可 得 石 同.3 7 5再根据题意可得。/_ 1./。2，,加 =5+20=25.?=5二利 用 惇15=2石.石 解 得
8、a=4.故选B1 2.两圆 x?+y2+2ax+q2 4=0 和 X?+y2 4“-1 +4/=0 恰有三条公切线，若a R,beR ,且a b x O,则-1r+，的最小值为（）D.3【解析】因为两圆的圆心和半径分别为G(-a。)/=所以由题设可知两圆相外切,2 则|G G l=?i+?a，故/+4/=9 ,即*+苦=1 ,所 以1 4 4b2 d 5 4,-+-+-+-+-=1,9 9 9 T 知 9 9应选答案C。1 3.设。为坐标原点，曲线/+2+2乂-6丫 +1=0上有两点2、Q,满足关于直线x+my+4=0称，又满足 .的=0.(1)求小的值；(2)求直线PQ的方程.(1)-1；(
9、2)y=-x+l(1)x2+y2+2x-6y+1=0(x+l)2+(y-3)2=9,所以曲线为以(-1,3)为圆心，3为半径的圆，由已知，直线过圆心，所以-l +3m+4=0,解之得m=-1.(2)设PQ：y=-x+b,联立方程组/+);+二；臂+八 ，得 2r +2(4-6)x +62-6 6 +1=0,设Q(x”：),则有 n +xz=b-4.x1x:=又OP OQ=0,所以x/二+九 先=0,即2 x/=-b(xz+x:)+b:=0,将x工+x:=b-4,不 工 上 =1 1?+-代入上式得炉2b+1=0,所以b=1,所以直线PQ的方程为：),=-x +1.1 4.已知4(-2,0),B
10、(2,0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于4 B的动点，且 APB积的最大值为2G.(1)求椭圆C的方程；(2)直线4P与椭圆在点B处的切线交于点D,当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切.x2 y2-1-=1(1)4 3;(2)证明见解析.2 2%y,.、-1-=l(a b 0),F(c,0)(1)设椭圆C的方程为。2 b2,-2a-b=2a=2,由题意知a2=b2+c2,解之得b=g,c=l,故椭圆C的方程为？+?=L(2 正明：设直线A P的方程为尸=k(x+2)(k h 0).则点D坐标为(2.4k)B D中点E的坐标为(2,2k).(y =k
11、(x+2).由小/得(3+4公)/+1 6 44+1 6/(:-1 2 =0.T+T =t设点P的坐标为(x J o),则一2几=嗤 六.A x00 =3+-48k：2,，-)b =k(xu0 +2)=3+4fc2点F坐标为(L 0),当 卜=士 加，点P的坐标为(L?直线PFIR轴，点D的坐标为(2.2).此时以B D为直径的圆(x -2)=+(y+1)-=1与直线P F相切.当k h 士 对，则直线P F的斜率 =上 一=专XQ-1 1-4K*二直线P F的方程为y =专。-1)-1-4K-|B k m 41 c I 产，8 k 3 点 E 到直线 P F 的距离 d=2|k|.，(1-4
12、仁2+，|l-4 f c 2 1又因为|B D|=4|川,.=纯 切 一故以B D为直径的圆与直线P F相切.综上得，当点P在椭圆上运动时，以B D为直径的圆与直径P F恒相切.1 C ，n.1 b.己知点/(1,0)和动点8,以线段4 9为直径的圆内切于圆。：/+/=尔(1)求动点8的轨迹方程；(2)已知点P(2,0),0(2,-1),经过点0的直线/与动点6的轨迹交于M,N两点，求证：直线P M与直线P N的斜率之和为定值.V2(1)-1-=1 ；(2)见解析.4 3【解析】田=2,动点B的轨迹是以H A为焦点，长轴长为4的椭圆，2 2设其方程 为=+=1(。6 0),a 0贝ij2 o
13、=4,2 c=2 ,.二。=2,c=l,/.=a1 c =3 ,动点B的轨迹方程为工+三=L4 3(2)当直线/垂直于x轴时，直线/的方程为x =2,此时直线，与椭圆1+三=1相切，与题意不符.4 3当直线/的斜率存在时，设直线，的方程为y +l=(x-2).丁+1 =左（2）由 /消去y整理得（4木2+3）/一（16月+8町x+16二+16|一 8=0.T+T =1直线/与椭圆交于以，N两点，/.A=（16+8短-4（4炉+3）（16d +16A8）0,解得上心.2设 （&.“），阳 电 总），n l16k2+3k 16 木2+162-8则 再+.砺相a*3 kp”+%22 Xj-2 2一2
14、 电一2 t M-2.一2工+巧-4xxxz-2（、1 +.）+4=2k、由16 储+8T“尸，16二+16A-8 、116上 +8 M ,-；-2 -+44M+3-【4月+3；=2k+3-2k=3（定值）.1 6.已知直线切=以 与圆/+y 2-2 x-2 y +l=0 相交于4 B 两点，点M（0,b）,且A M J.M B,若b（l5）,则实数人 的取值范围是一_.（1,6-必）U（6+侬+8）y=kxx2+y2-2 x-2 y +l=0消去y 得:（k2+l）x2-（2 k+2）x+l=0,设 P（X 1，Y|）Q （x2,Y2）.MA MB,A X1+X22（1+k）l+廿-x2=1
15、r+i5,(xi,yi-b)(X2,yi-b)=0 艮lxi X2+(yi-b)(y：-b)=0.yi=kxi,y=kx2(H e2)Xl-X2-kb(X1+X2)+1)2=0,-k b-r+b O,1+k2 1+fc2s n即2f不c(l+二k)=n2 +.*2k-=2 丁b2+i=,8 +.11,设/（b）=b+；,在区间（1,勺上单调递增，求得/C J e Q,三），可 得 若e C,i j ,解得:。O K T*oK k 6+y,-23,k的取值范围（1.6-密）U（6+、砥+oo）.1 7.若直线y=x+b与曲线y=3+、M。/有公共点，则b的取值范围是一-1,1+2同由曲线 y=3
16、+4x-x2,得(x-2)2+(y-3)2=4,0WxW4,.直线y=x+b与曲线y=3+J“=2有公共点,二圆心（2,3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2,|2-3+b|_ d=!l-2V2 b l+2 即 也x=4 代入曲线 y=3+4x-X1,得 y=3,把(4,3)代入直线丫=乂+13,得*/3-4=.-1,联立，得-lS b 4 1 +2花二实数b的取值范围是-1,1+2图.故答案为-1,1+201 8.若动点尸在直线a：x-2 y-2 =0上，动 点0在直线b:x-2 y-6=0上，记线段国的中点为M(狗先)，且(O-2)2+(y0+1)2 5,则与2+yo?的 取 值 范
17、 围 为.当16【解析】丫动点P在直线a：x-2 y-2 =0 ,动点Q在直线b：x-2y-6=0直线a：x-2 y -2 =0与直线b：x-2 y-6 =0互相平行动点P在直线a上，动点Q在直线b上 PQ的中点M在与a,b平行，且到a,b距离相等的直线上设该直线为I,方程为2y+m=0由 喈1 =喈1,解得7 n=%则该直线/的方程为x 2)，4=0 线段PQ的中点为M&o,%),且-2尸+(尤+1)=.,.昵|=2或|,网=-彳-3即垃圾处理站河 与3村相距2如?或7 km.答案：2或72 3.在四边形/W 3 D 中，N a c=x 0,X B-I C-J 5,&3 为等边三角形，则M
18、5 C 的外接圆与A d C D 的内切圆的公共弦长=1L 群右向出一，心一丁田古心.。(0,0),4(0,1)H-1,0),。(居0),0 (7,0)如图所不建”平面直角坐标系，3 为等边A 4C D的中心.则A 4B C的外接圆为：x2+y2=l,的内切圆半径为a_W)2 +/=1，X2 4-y2=1./3 n 2 1 平(x-)4-y=x=由I 3 3得 2.两圆的公共弦为E F,=2-潭)2=1则 J 2故1.2 4.已知A48C中，AB=AC=6，A48C所在平面内存在点P使得尸公+尸。2 =3 2 =3,则A48C面积的最大值为.572316t解析】设13cl=2。，以8。所在直线为x轴、其中垂线Q4所在直线为了轴建立直角坐标系(如图所示),则3(-皿。(a O)4但工)，设尸E W，由尸炉+PC：=3*=3,得 ：；(；=3,x2+v2=-a2即 ,2x2 4-y2-2 3-y+3-2=12n2=23-a、则 2.3-a1-1 j1 y/3-a1+1则2(3。*)2 j3 a j3a2y 2(3 a*)+2y3T*,即2(3-7，-2,3-才 2n*i+人)，中点H Y 7P-，i+M)，中垂线方程为：恒过定点(3,4)即为所求点P。49+3R1,4上+3、1v-=1+M一 言1+H),化简为：J 一丁-3)+4