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1、考点1 2 函数模型及其应用1.如图，点 P在边长为1 的正方形边上运动，M是 C D 的中点，则当P 沿 A-B -C-M 运动时，点 P 经过的路程x与 A P M 的面积y的函数y=f (x)的图像的形状大致是下图中的()OJ i J J J AA【解析】由点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与4月PM的面积的函数，0 x 1可得f(x)=；-；.l x 2 ,画出分段函数的图象,如图所示,2.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.8 7 5尺，
2、两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为()A.2 B.3 C.4 D.5B由题意可知，大鼠、小鼠每天打洞长度均为等比数列大鼠打洞长度的通项公式为册=2口7 ,n天总共打洞长度为Sn=胃=2n-1小鼠打洞长度的通项公式为以=（；）”,n天总共打洞长度为4 =1-(1)所以每天打洞的长度为Cn=Sn+Tn=2n-l +l-(i)n=2-由题意小 一 （；）=7.875可解得领=3所以选B.3.如图是我国2008年 2017年GDP年增量统计图.下列说法正确的是（
3、）GDP年增量图（单位：亿元）A.2009 年GDP比 2008 年GDP少B.与上一年比，GDP年增量的增量最大的是2017年C.从2011年到2015年，GDP年增量逐年减少D.2016年GDP年增长率比2012年GDP年增长率小DA无法确定，因为此图是增量图，具体2009年和2008的GDP是多少未知；与上一年相比增量最大的应该是2010年，故B错，C明显错误，2013年的增量在增加，故选D.4.图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（）5 10 15 20 WJ(承万甲LA.捕食者和被捕食者数量与时间以10
4、年为周期B.由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少C.捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述D.捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少C【解析】由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律.可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，捕食者的数蚩在第25年 和 30年之间数量在急速减少，正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数蚩之间的关系可以用图1 乙描述，显然不正确；故选：C.5.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)
5、关于每件衣服的利润x (单位:(、野,0 x 420,q(x)=x +1元)的函数解析式为V I 1:八r G厂“皿 八9 0 3J 5 J x,20 x 18 0,则当该服装厂所获效益最大时，x =A.20 B.6 0 C.8 0 D.40C设该服装厂所获效益为f(x)(单位:元)，贝i J/(x)=10 0 x x)=10 0%126 0 0 0%八 -,0 x 20.x +1(9 0-3V 5-V x)20 x 18 0.业八 Y C 八 r i /126 0 0 0%当 0 V x W20 时，f (x)=-V 7 x+1126 0 0 0 1 2 7；J(x)在 区 间(0,20 上
6、单调递增，所以当x=20时，f(x)有最大值.当 2 0 Vx W 1 8 0 时，/(x)=9 0 0 0 x -3 0 0 7 5 -x4x,贝U f(x)=9 0 0 0 -4 5 0 7 5 -V x,令/()=0,.“=80.当20。80时，/(x)O,/(x)单调递增，当 80WxW180 时,/(x)O,/(x)单调递减，所以当x=80时，f(x)有最大值.故选C.6.皮球从100m高处落下，每次着地后又跳回原来的高度的一半，再落下，当它第10次着地时，共经过了（）m.A.D【解析】100+100 x；+100 x；g；25 75200B.300-上128 25625D.3 0
7、0-643 0 0-,故选 D。647.如图为正方体481G2 ,动点从耳点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后,再回到与，运动过程种，点M与 平 面 的 距 离 保 持 不 变，运动的路程x与/=之间满足函数关系/=/(x),则此函数图象大致是()取线段8/中点为 N,计算得：Z;v=N 4+NC1+ND=V 6+-2 +V 3=/fi|=lA.同理，当N为线段AC或C g的中点时，计算得/N=N 4+NG+ND=遍 +2-2000,可得Igl.3+Mgl.l2lg2,15nx0.050.19,n3.8,n4,即4年后，到2021 年科研经费超过2000万元,故选B.9.某食品的保鲜时
8、间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系y （e =2.7 1 8 为自然对数的底数，k,b 为常数），若该食品在0 的保鲜时间是1 9 2 小时，在 2 20 c 的保鲜时间是4 8 小时，则该食品在3 3 的保鲜时间是（）小时.A.2 2 B.2 3 C.3 3 D.2 4Dbr.h h 22k 4-/e1 1*=-,eb=1 9 2由题意可得x =0 时，y =1 9 2,x=2 2 时，y=4 8 代入y +可得e =1 2,e +”=48即有 2y=e3 3/f+f c=lx 1 9 2 =2 4则当x =3 3 时，8 ,故选D.1 0.某厂生产一种仪器，由于受生产
9、能力和技术水平的限制，会产生一些次品.根据经验知道，该厂生产1-（1 x C A e /Vzl c cpcE N）这种仪器，次品率丁与日产量（件）之间大体满足关系：3 （注：次品次品ep=-率 生e量，如p =o.i 表示每生产i o 件产品，约 有 1 件为次品.其余为合格品.）已知每生产一件合格A的仪器可以盈利4 元，但每生产一件次品将亏损5 元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数：（2）当日产量工 为多少时，可获得最大利润？T丁 =x-2-(-9-6-x-)A,1 x c；(2)见解析【解析】当 时，P=：,所以每天的盈利
10、额T=一=0.3 3 3 2当1W 尤三C 时，P=&,所以每天生产的合格仪器有（1-式）X件，次品有（后卜 件，故每天的盈利额7=（1-急）依 一 岛”：=卜一）/综上，日盈利额T（元）与日产量x（件）的函数关系为：7=（卜一姿Wc x e NI 0,x c（2）由（1）知，当x c 时，每天的盈利额为0;当1 印 入 时，7=（一缶）月，因为广=（1 一 等 国 学）n=（1 一1一 也V 2（96-X）2 J v（96-X）2/,令下 0,得1 s x 108,因为c 9 6,板e L84时,T（x）为增函数.令厂 0,得8 4 c x 9 6,故x e （84.96时,T&）为减函数.
11、所以，当84w c960寸，7 a x=言 月（等号当且仅当 =84时成立），当1 V c 84时，Tm i x=（号芸）A（等号当且仅当x=c时取得）,综上，若84=c 9 6,则当日产量为84件时，可获得最大利润；若1 W C V 8 4,则当日产量为c时，可获得最大利润.1 1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元：方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式在商场的奖品总价值均不超过1200元，则促销奖的
12、领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？促销奖的领奖活动最长可设置11天，在 这 11天内选择方式三会让领奖者受益更多./(x)1200g(x)1200 nnh(x)1200”、x e N【解析】设促销奖的领奖活动为X天，三种方式的领取奖品总价值分别为则/(动=40%;g(x)=10 4-20 4-30 4-10 x=5x2+5算；h(x)=0.4+0.4 x 2+0.4 x 2:+0.4 x 2 =0.4 2X-04：要使奖品总价值不超过1200元，则x 30及二瑞，解得g GN,x eN又f(ll)=440,g(U)=660,h(ll)=818.
13、8,答：促销奖的领奖活动最长可设置11天，在 这 11天内选择方式三会让领奖者受益更多.12.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放。(0。4 4且a 6 R)个单位的营养液，它在水中释3+工/(X)=3-J 4*4 2)放的浓度V(克/升)随着时间久(天)变化的函数关系式近似为y=a/(x),其中 5-x(2 x 5),若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.(1)若只投放一次2 个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？(2)若先投放2个单位的营养液，3 天后再投放b个单位的营养
14、液，要使接下来的2 天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值.(1)3(2)18-12嫄(1)营养液有效则需满足y 2 40 x 22.3+%之 4 j 2 x -2（t+十）+18,X-2（t+y）+18 0）时，销售量q（x）（单位：百台）与 x的关系满足：若 x不超过2 5,则 g（x）=声查；若 x 大于或等于225,则销售量为零；当 25 x 225时，g（x）=zb次（a,6为实常数）.（1）求函数Q（x）的表达式；（2）当 x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值.（1）见解析；（2）当“等 于 100元时，总利润取得最大值元.【解析】当 25 225时“一 幅=
15、400,由Li 匹=0,得t6()0,40.2400山+110 后 25,6004(皿，25225.(2)设总利润 x)=rg(x),由(1渭 4 0=(240000“一-(XM 25,山+1160000*-40()0rJL 25225.240000JT11当 0 g25 时，x)=5+11 =240 000V i-W,左)在(0,25上单调递增，所以当 x=25 时，段)有最大值 1000 000.当 25x225 时，足)=60 000 x-4000 x、，f(x)=60 000-令/口)=0,得 x=100.当 250,分)单调递增，当 1OO0925时，/(x)0,小)单调递减，所以当
16、x=100时,危)有最大值2000 000.当 Q225 时，#0=0.答：当 x 等 于 100元时，总利润取得最大值2000 000元.1 4.山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了200。千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨05元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存“0天，同时，平均每天有阡克的香菇损坏不能出售.(1)若存放%天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为V元，试写出V与%之间的函数关系式；(2)李
17、经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？(提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？(1)7=-3x2+940 x+20000(1 x 110)(2)将这批香菇存放50天后出售(3)存放10。天后出售可获得最大利润为30000元.【解析】(1)由题意得，y与x之间的函数关系式为：y=(10+0.5x)(2000-6无)=-3xz+940%+20000(1 x 110).(2)由题意得，(-3x2+940%+20000)-(10 x 2000+340 x)=22500;化 简 得,x=-200 x4-7
18、500=0；解得，4 =50,x2=150(不合题意，舍去)；因此，李经理如果想获得利润2250阮，需将这批香菇存放50天后出售.(3)设利润为 W,则由 得,W=(-3x2+940 x+20000)-(10 x 2000+340 x)=-3x2+600 x=-3(x-100)=+30000；因此当x=1000寸，%=30000,又因为100 e(0.110),所以李经理将这批香菇存放10联 后 出 售可获得最大利润为3000阮.15.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每
19、1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了 130吨该商品，现以“(单位：吨，100 x150)表示下一个销售季度的市场需求量，7(单位:万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.(I)视久分布在各区间内的频率为相应的概率，求P(x2120)；(II)将T表示为久的函数，求出该函数表达式；(III)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如 100,110),则取=105的概率等于市场需求量落入口
20、00，110)的频率)，求T的分布列及数学期望T_ f0.8x-39,100 x 130(I)0.7；(II)65,130 x 120)=P(120 x 130)+P(130 x 140)+P(140 x 150)=0.030 x 10+0.025 x 10+0.015 x 10=0.7.(n)当 e 100,130贝寸,T=0.5 x-0.3(130-x)=0.8 x-3 9,当x 130,150时,T=0.5 x 130=65.所以T=0.8%39,100 x 13065,130 x 150(m)由题意及(m可得:当x e 100,110时，T=0.8 x 105-3 9 =45,P(T=
21、45)=O.OiO x 10=0.1；当x e 110,120时，T=0.8 x 115-3 9 =53P(T=53)=0.020 x 10=0.2；当x e 120,130时,T=0.8x 125-39=61,P(T=61)=0.030 x 10=0.3；当x e 130,150时,T=65,P(T=65)=(0.025+0.015)x 10=0.4.所以T的分布列为：T45536165P0.10.20.30.4E(T)=45 x 0.1+53 x 0.2+61 x 0.3+65 x 0.4=59.4万元.1 6.某小店每天以每份5 元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售
22、.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(I)若小店一天购进16份，求当天的利润V(单位：元)关于当天需求量”(单位：份,n e N)的函数解析式；(II)小店记录了 100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：日需求量n1 41 51 61 71 81 92 0频数1 02 01 61 61 51 31 0以 1 0 0 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进1 6 份这种食品，X 表示当天的利润(单位：元)，求x 的分布列及数学期望；(i i)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品1 6 份还是1 7 份？v=削-6
23、 4,n 16 z _ m(I)y-l 8 0,心 16 /J?(n)(i)答案见解析；(H)i 7 份.【解析】(I)分nN 1饼 口”16 两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求.(I l X i)由题意知X 的所有可能的取值为6 2,7 1,8 0,分别求出相应的概率可得分布列和期望；3)由题意得小店一天购进17份食品时，利润丫 的所有可能取值为5 8,6 7 7 6.8 5,分别求得概率后可得V 的分布列和期望，比较E(X)和E&)的大小可得选择的结论.试题解析：(I)当日需求量 N 1 6 时,利 润 y=8 0当日需求量MT6时，利涧y=5”4(16 f)=9%6 4.9
24、-6 4,16,y=所以了关于力的函数解析式为”N 16(e N)(D)(i)由题意知X 的所有可能的取值为6 2,7 1,8 0,并且产(X=62)=0.1,尸(X=71)=0.2,P(Jr=80)=0.7的分布列为：X627180P0.10.20.7.5（X）=62x0,1+71x0.2+80 x0,7=76,4-,zL tn）若小店一天购进17份食品，y 表示当天的利涧（单位：元），那么了的分布列为Y58677685P0.10.20.160.54由以上的计算结果可以看出用。，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润.所以小店应选择一天购进17份.17.某花店每天以每枝5 元
25、的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（I）若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量（单位：枝，的函数解析式.（I I）花店记录了 100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920赖数10201616151310以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（1）若花店一天购进17 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列及数学期望；（2）若花店计划一天购进16 枝 或 17 枝玫瑰花，以利润角度看，你认为应购进16 枝好还是17 枝好？请说明理由.l O w-8 5,17,/*、(I)y =6?e N )；(H)(1)答案见解析；(2)应购进17枝，理由见解析.【解析】(D根据题意将问题用分段函数的形式表示出来即可.(n x i)由题意得X的所有可能取值，并求出每个取值的概率，列成表格的形式可得分布列，然后可求得期望；(2)由题意得当购进16枝玫瑰花时，当天的利润为丁=7 6,然 后 与(1)作比较后可得结论.试题解析：(1)当日需求量 217时，可得利润j，=17x5=85；当日需求量 76,应购进17枝玫瑰花.