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1、2023年上海市上海中学高考数学模拟试卷一、填 空 题（本大题共有12小题，满分54分，第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分）1.（4分）己知全集=凡 集合P=x|x-2|2 1,则C u P=.2.（4分）在（2立 ）9的展开式中，各 项 系 数 之 和 为.3.（4分）系数矩阵Q 且解为（；）=（；）的 一 个 线 性 方 程 组 是-7 T._ 7 L4.（4分）己知函数/（%）=s i m o x +司）（3 0）的最小正周期是f则 3=_.02-1 3 05.（4分）若三阶行列式2 n +l-2 -m 中 第1行第2列的元素3的代数余子式的值4m 1 2 n 1是-15,
2、则|+加|（其中，是虚数单位，”、n GR）的值是.6.（4 分）函数/0）=2。92（4*-2 1+3）的值域为.7.（5分）某校举行数学文化知识竞赛，现在要从进入决赛的5名选手中随机选出2名代表学校参加市级比赛.某班有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该班有同学参加市 级 比 赛 的 概 率 为.8.（5分）在 A B C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且满足4c o s 2母一 c o s 2（B +C）=|,则角A的大小是.9.（5分）关 于x的不等式，0%（产-2%+3）-1在 R上恒成立，则实数a的取值范围是.工？y210.（5分）在平面直角坐标系xO y中，动点P在椭
3、圆1+：=1上，点M是O P的中点，过 点M作直线/（和直线O P不重合）与椭圆相交于Q,R两点，若直线O P，O Q的斜T Q-*率分别为心,依，且M R=gQ M,则 心上的值是.11.（5分）若一个整数数列的首项和末项都是1,且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1,2,2,3,4,3,2,1,1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2 02 1,则这个数列至少有 项.12.（5分）已知函数/（x）=P +可+设一 的最小值为。+1,则实数。的取值范围1%2-ax+3,x.pBE1 8.如图，摩天轮上一点P在时刻f (单位：分钟)距离地面的高度y (单位
4、：米)满 足y=A si n(3f+(p)+b,(A 0,30,0时，是否存在实数“，使v=/(x)的图象在函数g(x)=(图象的下方，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.X2 y2 _ y/220.已知椭圆C 三 +B=l(Qb0)的短轴长为2,离心率为一，A,8分别是椭圆的右顶点和下顶点.(1)求椭圆。的标准方程;(2)已知尸是椭圆C内一点，直线A P与8尸的斜率之积为-上,直线A P、B P分别交椭圆于M,N两点，记以8,的面积分别为S 出B,S&PM N.若例，N两点关于y轴对称，求直线刑的斜率；证明：S&PA B=S&PM N.2 1.已知集合M U N*,且 M 中的元素个
5、数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素a,b,c,d,使 得 a+b=c+”,则 称 集 合 例 是“关联的”，并称集合伍，b,c,4 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合历是“独立的”.(I)分别判断集合 2,4,6,8,10 和集合 1,2,3,5,8 是“关联的”还 是“独立的”？若 是“关联的”，写出其所有的关联子集；(II)已知集合。1,02,43,44,45 是 关联的”，且任取集合 此q U M,总 存 在M的关联子集 A,使得。，aj Q A.若 414243。4 4 5,求证：a,42,43,44,45 是等差数列；(III)集合”是“独立的”，
6、求证：存在X 6M,使得九2一 冗+942023年上海市上海中学高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填 空 题（本大题共有12小题，满分54分，第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分）1.（4分）已知全集（7=凡 集 合 尸=x|x-2|2l,则C u P=3 1 x 3 .【解答】解:根据题意，|x-2|l n x W l 或 x 2 3,则P=xx-2 2 1 =才启1 或 x 2 3 .则Cu P=x|l x 3 ；故答案为：x|l 0）的最小正周期是一，则 3=45 2【解答】解:/(%)=sina)x sin(a)x+/)si.na)x-1s in.cjox-v 3 co
7、scox=st.n/a)x 可7T、),所 以 最 小 正 周 期 是 静 方,所 以 3=4.故答案为：4.一15.（4分）若三阶行列式2 几+14 m3 0-2 -m 中第1 行第2列的元素3的代数余子式的值1 2n 1是-1 5,则|+加|（其中i 是虚数单位，相、6 R）的 值 是 2 .【解答】解：三阶行列式的第1 行第2列元素的代数余子式M i 2=?n+l m J =11 4 m 2 n-I I-4 （n?2+n2）=-1 5,，+/=4,/n+mi=y/n2 4-m2=2故答案为：26.(4 分)函数/(x)=log2(4x-2X+1+3)的值域为 1,+8)【解答】解：因为4
8、，-2 刈+3=(2J-1)2+22,所以根据对数函数的性质可得/(x)=log2(4x-2，+i+3)log22=1,可知函数的值域为口，+8).故答案为：1,+).7.(5 分)某校举行数学文化知识竞赛，现在要从进入决赛的5 名选手中随机选出2 名代表学校参加市级比赛.某班有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该班有同学参加7市级比赛的概率为.10【解答】解：在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为1-与=在7故答案为：.8.(5 分)在ABC中，“、仄c 分别为角A、8、C 的对边，且满足4cos2当 一 cos2(B+C)=p71则角A 的大小是【解答】解：由 A+8+C=P,即
9、B+C=TT-A,故 2(B+C)=如-2A,则 4cos2 乌cos2B+C)=4 x 1+cos(2n-2A)=2+2cosA-cos2A=2+2cosA (2cos2A-1)=-2cos2A+2cosA+3=天可得 4cos2A-4cos4+1=0,解得cosA=因为0VA l,1恒成立,/2x+3/(0 a l,i 或、(x 2x+3)m a x 0 a l因为7-2 x+3 无最大值，所 以，1无解；(X2-2%+3)max 因为，-2x+3最小值为2,(0 a ia解得:a l,2综上，Q ,1).故答案为：g,1)._X2 V210.(5 分)在平面直角坐标系宜刀中，动点尸在椭圆
10、一+=1上，点/是。户的中点，4 3过点M 作直线/(和直线O P不重合)与椭圆相交于Q,R两 点,若直线。尸，O Q 的斜率分别为%,k i,且用/?=我 此 则&次2的值是【解答】解：设点。(用，yi),R(12,”)，M 的坐标为(x o,和)，则点尸(2w,2加)，则 也=k2,=ki,+=1,化为：3或+4%=3.Xi%0 43T 3 T;M R =、QM,3(%2-xo，y2-y o)=5(xo-x,yo-y),3 3-xo=耳(o-x),yi-yo=5(yo-y),.8 3 8 3r=/()尹1,y2=5yo ,/.3%i+4yf=12.3(|x0-|x j)2+4(|y0-ly
11、 i)2=12,展开化为：64(3XQ+4J/Q)+9(3xl+4yf)-48(3xox+4yoy)=300.A64X3+9X 12-48(3刈川+4yoyi)=300./.3XOM+4yoy 1=0,3*.kki=故答案为：j.1 1 .(5 分)若一个整数数列的首项和末项都是1,且任意相邻两项之差的绝对值不大于1,则我们称这个数列为“好数列，例如：1,2,2,3,4,3,2,1,1 是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2 0 2 1,则这个数列至少有 89项.【解答】解：由题意得数列要想项数最少，需要各项最大，又因为数列首项和末项都是1,且任意相邻两项之差的绝对值不大于1,所以需要数列前
12、面递增，后面对称递减，又各项之和是2 0 2 1,中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为1,2,3,，n,，3,2,1,令各项和 1+2+3+(n -1)+(n -1)+”+2+1=2 1 +2 +3 H-1-(n 1)+n =2 x (几DI+n=n(H-1)+=2 W2 0 2 1,得 4 4,当为 4 4 时，项数为 4 3 X2+1 =8 7 项，2 0 2 1 -4 42=8 5,将 8 5 分成小于或等于4 4 的项，最少可以分成两项，故这个数列至少有8 7+2=8 9 项，故答案为：8 9.1 2 .(5 分)已知函数f(x)+生一 的最小值为a+1,则实数。的取值范围I%
13、2 Q X+3,%0是 -2-2 伪 1,1.Q+L 0 x 1【解答】解：(1)若-1，Q%+2,%0：.f （x）在（-8,0上单调递减，最小值为/（0）=2,在（0,+8）上最小值为+1,故只需2 2 +1即可，解得OWaWl；2%Q+1,0 -a(2)若 OV-,即-1 WaVO 时，则/(x)=a+1,Q 1x2 ax+2,%a+即可，解 得-2-2yj2 WaW-2+2A/2,又一VO,，1W VO,!2%Q+1,0 Vx W 1a L 1 4 V a,2%+Q L x ax ax+2,x 0,2而火x）的最小值为a+iv o,故只需令2-彳=+1 即可，解得a=-2-2五或a=-
14、2+2夜（舍），综上，a 的取值范围是-2-2&U-1,1.故答案为：-2-2&U-1,.二、选 择 题（本大题共有4 小题，满分20分，每题5 分）13.（5 分）已知集合4=（x,y）x+y=2,B=（x,y）x-2y=-4 ,则 A C lB=（）A.0,2 B.（0,2）C.0 D.（0,2）【解答】解：因为 A=（x,y）|x+y=2,8=（x,y）|x-2 y=-4 ,贝（羽 y）l 2 =-4=（0,2）故选：D.14.（5 分）数列 加的前 项和记为S”，则“数列 品为等差数列”是“数列 如为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必
15、要条件【解答】解：若数列 劭 为常数列，则 设 劭=，所 以 为=加，于 是 S i=m=a,S+i-S n=a,所以 Sn 为等差数列，所 以“数列 S 为等差数列”是“数列.为常数列”的必要条件；若数列 S 为等差数列，设公差为d,则 S”=S+（n-1）d,于是 ai=Si,”+i=Si+i-S=（Si+nJ）-（Si+（n-1）d）d,当 m=S i#d 时，数列.不是常数列，所以，”数列 5 为等差数列”不 是“数列 诙 为常数列”的充分条件；综上所述，“数列%为等差数列”是“数列 ”为常数列”的必要不充分条件.故选：B.15.（5 分）如图，B、是以4 c 为直径的圆上的两点，其中
16、A D=yt+2,则 成 血）=（）【解答】解：连结BC,C D.则A BL BC.：.A B-A C=A BXA CX.cosZBA C=A B2=-t+.A D-A C=A D X A C X c o s Z C A D=A D2t+2.：BD=A D-A B,：.A C-BD=A C-（,A D-A B）=A C-A D-A C-A B=1.故选：A.16.（5 分）己知集合M=（x,y）|/+y2w i,若实数入，口满足：对任意的（x,y）&M,都 有（A x,叩）C M,则 称（入，R）是集合M 的“和谐实数对”.则以下集合中，存 在“和谐实数对”的 是（）A.（入，|1）|入+林=
17、4 B.（入，|1）|入 2+“=4 C.（入，H）|A2-4H=4 D.（A,H）|A2-|i2=4【解答】解：由题意知和谐数对的充要条件为：|入|W1,证明如下：证明：充分性：当伉|W 1,叫W1时，易 知（入，2 必为和谐数对，必要性：对任意的（x,y）&M,由和谐数对（入，n）含义可知（A x,叩）&M,.对任 意 的（x,y）CM必有-IW AXWI,-IWRWI,只需IRWl,IHII.综上：“仇|W1且|u|W l等 价 于（入，n）是“和谐数对”问题转化为IRW1,同W1所确定的区域与选项有交点，代入验证，可得C符合.故选：C.三、解 答 题（本大题共5 题，满分0 分）1 7
18、.如图，在四棱锥P-ABC。中，四边形ABCQ为正方形，P点在平面A8C。内的射影为4,且 以=AB=2,E 为 P D 中点、.（I）证明：PB平面AEC；（II）证明：平面PCD_L平面BAD.【解答】（I）证明：连接BO交AC于点0,连接E0.为8。中点，E为产力中点，：.E0/PB：E0u平面 AEC,PBC平面 AEC,.”8 平面 AEC、（II）证明：点在平面ABCQ内的射影为A,平面A8CD、；CDu平面ABCD,：.PALCD.又：在正方形A B C。中 C D _L A 且 n A )=A,.C D _L 平面 PAD,又；C O u 平面PCD,平面P C Q _L 平面
19、PAD.1 8.如图，摩天轮上一点P在时刻r (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满 足 y=4 si n (c o/+(p)+b,(A 0,o)0,85,故t 引 ，/G 0 3.,T T 2 7T n 5TT,解得二 V-771 -二 3 T，解得6 3 2 6故 有 1 分钟长的时间点尸距离地面的高度超过8 5 米.1 9.己知函数/(x)=五 号(X 6 R).(1)写出函数y=/(x)的奇偶性；(2)当 x0时，是否存在实数“，使 v=f(x)的图象在函数g (x)=(图象的下方，若存在，求”的取值范围；若不存在，说明理由.【解答】解：(1)因为y=/(x)的定义域为R,所以
20、：当=0时，/(%)=方匚是奇函数；xz+2当 a#0时，函数/(x)=芫*(x R).是非奇非偶函数.(2)当 x 0 时,7 x+a 2若)=/(x)的图象在函数g (x)=(图象的下方，则 工 V 9化 简 得 恒 成 立，因为 x0,，x +：2 2J x 1=4即(x +44,所以，当 a b 0)的短轴长为2,离心率为万，A,8分别是椭圆的右顶点和下顶点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知P是椭圆C内一点，直线AP与 B P的斜率之积为一支直线A P、B P 分别交椭圆于M,N两点，记以8,P M N 的面积分别为S 阳B,S“MN.若M,N两点关于y 轴对称，求直线刑的斜率；证
21、明：S&PA B=S&PM N.%2.椭圆的方程为了+)2=1,(2)解：设直线附的斜率为k,则直线%的 方 程 为y=k (x-e),联立二?9)，消去)并整理得，(1+2 9)X2-4戊&+4必-2=0,解得x i=V2,X2-2 V2 f c2-V2：.M(-l+2 f c22 般 k?一al+2 f c2-2 V2 f c1+2/c2 .直线南,P8的斜率乘积为一义，.直线PB的方程)，=一 袅-1/Z/v联立y 2 kX 消去y并整理得(1+2&2)/+4依=0,解 得 箱=0,二=一”,久2 +2 y 2 =2 l+2/c-4 k l-2 k2：.N(-7,-T).l+2k2 1+
22、2/c22yj2k2-y/2-4 k,N 关于y轴对称，+=0,即2乙2夜=。,解得k=42+22当=缗2时，由y =一 篇 Ty =今 (x -V 2)V 2，解得P，等)，在椭圆C外，不满足题意.直线力的斜率为V 2-2(3)由(2)可知M(22y/2k2-/2-2 例 1+2/c2 1+2/c2)，-4 kN(-Tl+2f c2l-2 k2-7),A (V 2,0),B(0,l+2k2-1),直线M B的方程为尸2必 二 平 1%一 ,242k-422k2-2j2k+l2y2k2-2=6y=fc(x V2)(y=-21k x-11解得XP=2闻 2-2左 _ 2必+闻2，yp=2l+2f
23、c2 1+2F,22k2-2k r,2/C2+V2/CPA2=(-V2)2+(-)l+2fc2 l+2k22_ 2(1+必)(1+)2(1+2/c2)2PB2=(2 限 2-2人1+2/c2)2+(1-2/+&A、i+2 r2(l-/2fc)2(l+4fc2)(1+2 必)2设由(PAPB),2(1-2/C2)(I+/C2)(1+4H)(l+2k2)42_(2 2_2k_ 2 2+历 2(2/+同 一 2)2 _ 2(l+fc2)(l-V2fc)2FM=5-2 I o-2=T-2(l+2k)(1+2KV(H-2kz)P A，2_(2&2 2k+4k)2(i-2fc2+2fc2+V2/c)2 _
24、 (l+/2fc)2(l+4fc2)(i+2 r)z(i+2 r)z(1+2/y,(PMPN)2=2(1-2后)(1+冷(1+4后)(1+2 必)4；.FAPB=PM，P N,又乙APB=/M PN11 总 B=/必 PBsin N 4 P B=&P M N=PMPNsinNMPN2 1.已知集合M U N*,且 M 中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素a,b,c,d,使 得a+b=c+d,则称集合M 是“关联的”，并称集合伍，b,c,4 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合历是“独立的”.(I)分别判断集合 2,4,6,8,10 和集合 1,2,3,
25、5,8 是“关联的”还 是“独立的”？若 是“关联的”，写出其所有的关联子集；(II)已知集合。1,42,43,04,45 是关联的，且任取集合 即q 总 存 在 M的关联子集A,使得 此 勾 U A.若 41“243。4 二+9【解答】解：2,4,6,8,10 是“关联的”，关联子集有 2,4,6,8,4,6,8,10,2,4,8,10),(1,2,3,5,8 是独立的.（I I ）记集合M的含有四个元素的集合分别为：A l =2,3,。4,。5 ,A 2=1,。3,4 4,4 5 ，A 3=1，4 2,4 4,4 5 ，A 4=a,4 2,03,4 5 ，A 5=1，4 2,4 3，4 4
26、 ,所以，M至多有5个“关联子集”，若A 2=m,4 3,04,5 为“关联子集”，则4=。2,4 3,04,Q 5 ,不 是“关联子集”,否则m=4 2,同理可得若A2=m,。3,。4,05 为“关联子集”，则A 3,A 4不 是“关联子集”，所以集合M没有同事含有元素。2,。5的“关联子集”，与已知矛盾.所以A2=m,。3,04,5 一定不是“关联子集”，同理4=1,。2,3,公 一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为4,A 3,A 5,若4不 是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素。3,。5的“关联子集”，与己知矛盾;若A 3不 是“关联子集。则此时集合M 一定不含有元
27、素4 1,。5的“关联子集”，与已知矛盾;若4 5不 是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素4 1,4 3的“关联子集”，与己知矛盾；所以4,A 3,A 5都 是“关联子集”，所以有。2+4 5 =。3+。4,即。5 -。4 =4 3-4 2；。1+。5 =2+4,即 5 -。4 =。2-al;。1+。4 =。2+。3，即 4 -。3=。2-。1；所以。5 -4 =3-3=2-4 1,所以。1,。2,3,4,5 是等差数列.(I I I)不妨设集合2,，a n(几25),a i W N*,i=L 2,且 4 1 V 4 2 V 记7 =叶勾，i,代N*,因为集合M是“独立的”的，所以容易
28、知道7中恰好由C:=与 久 个元素,假设结论错误，即不存在X6M,使得储;+1所以任取x M,x W y+9,因为KN*,所以三 弋+8,所以ai+ajn2-n+8所以任取佗7,名 士 尹+3,任取正T,e 1+2=3,2所 以 7 U 3,4，巴U+3，且 T中含有C2=鸣 个 元 素，（。若 3 6 T,则必有m=l,G=2 成立，因为2 5,所以一定有Q?-成 立,所 以 4 122,所以 Cln+an-1 n2 n 4-8 n2 n+8所以 T=t3t4-2,/E N ,所以,an.=4-n2 n+8因为4 E T,所以4 3=3,所以有。+。1=。一 1+。3,矛盾；2（”）若 3 C T,则 场 4,5,巴 三+3 ,而 T中含有C J =n（*D个元素,所以T2/=/|4 匹 哼+3,Z G N*）r-r-K i 九 2-九 十 8 几 2 几 1+8所以-,an=-1,因为4 E 7,所以m=l,及=3,v I n2-n ,n2-n因为+2 w T,所以+2=。-2+。，22所以。-2=j +8 2,所以+。1 =4-2+。3,矛盾，所以命题成立.