《2021年高考数学考点53曲线与方程必刷题理【含答案】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学考点53曲线与方程必刷题理【含答案】.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点5 3曲线与方程1.在A4BC中，B(-2,0),C(2,0)/(协)，给出A4BC满足的条件，就能得到动点4的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程 A4BC周长为10C/y?=25A4BC面积为10C2：x2+y2=4(y 丰 0)A4BC中，=90 C 3：xd2 +yr2=i(y H )9 5则满足条件，的轨迹方程依次为A.G&qB.C.C 3 a GD.G G GB【解析】ABC 的周长为 1 0,即 AB+AC+BC=10,BC=4,.AB-AC=6BC,故动点A 的轨迹为椭圆，与Ci对应；AABC的面积为10,.掷 湖 日。，即恨=5,与 Ci对应;,./A=9O。，T
2、C=(-2-x,-y)(2-x,-y)=xy2-4=O,与 6 对应.故选：B.x2 y2-=l(a 0,b 0)2.已知双曲线C：a2 b2 的左、右焦点分别为0、F2,0为坐标原点，以0尸2为直径的圆。与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q,点B为圆 与V轴正半轴的交点，若NP0F2=OB,则双曲线C的离心率为()3+-A/5 1+5/5A.3+&B.2 C.1+徒 D.2D【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为），=：工，以E F二为直径的圆。的方程为K+），：=/._ b _?=?：.,解得；,故 点P的坐标为SM一 +y-=L由 复 三 二 二，解
3、得f=：3 :，故 点Q的坐标为（呼Y）.ULPOFZ=LQOB.si nzP O R =si nzQ O S,=”手，整理得炉=ac,.c2-a2=QC,故得e二 一e -1=0,解得e=.选D.3.斜率为即勺直线/过抛物线V =2px（p0）焦点F,交抛物线于4,B两点，点（，%）为4B中点，作O Q L A B,垂足为Q,则下列结论中不正确的是（）A.ky。为定值 B.,而 为定值C.点P的轨迹为圆的一部分 D.点Q的轨迹是圆的一部分C1解析】由题意知抛物线的焦点为F邑 0),故直线/的方程为y=k(x-与)(k H 0),由F 二 ：消 去 y 整 理 得 一（k=p +2p）x+孑=
4、0,（y-=2px 4设（M.y J B a z j，；：），则+x=坐.x/二=?,X。=坐，.2p y.+y2 p +y：=工，）力 士 二 m o =1.选项A 中,ky0=kx =p,为定值,故 A 正确.选项B 中，。4 O B=X i%.+yLy2=?-p,=-子，为定值，故 B 正确.x-P+二P选 项 C 中，由。一 消 去 k 得。=与+/,故 点 P 的轨迹不是圆的一部分，所 以 C 不正确.选项D 中，由于O Q LA B,直线月B过定点F g.0),所以点Q在以。广为直径的圆上，故 D 正确.综上选C.4.设 直 线 尸 4一与椭圆：上7 1交于A、B 两点，过 A、B
5、 两点的圆与E交于另两点C、D,则直线CD 的斜率为()DD.-4【解析】设直线-坦C。所表示的曲线轨迹方程为是(,I=4x+3X j-A x )厕(j4x+3)(y-k x-b)与椭圆己+2=1的交点满足的方程为圆股(JTX+3)(丁-2)与椭圆三+巳=1的交点25 16 25 16满足的方程是：(j-4x+)3)(jh-b)+m(16f+25/4 0 0),化 为16+m?+(25%+1)/一 体+4)平，+(.一上)x+(3-b)j -3b-400物=0，因为以上方程表示圆，所以不含平，项，上+4=0,k=-4,故选D.5.点 P 为棱长是2 的正方体 B C D-%B 1 G D 1
6、的内切球.球面上的动点，点”为名Ci 的中点，若满足DPLBM,则/P与面CDP 所成角的正切值的最小值是1 叵 9-2 7 14A.%B.5 c.5 D.7C如图所示，E,F分别为棱4 4，BB1的中点，易知B M1 平面CDE F,则点?在平面CDE F内，又点尸在内切球。球面上，则点?为球与平面的交线所成的圆】，作用”1 平面CDE F于点H,点产为圆。1上的点，则为/P与面CDP 所成角，tan 乙HP Bi=U DHP,其中 名 为定值，则满足题意时，P 有最大值即可，设圆】的半径为七 则Pg=i +。Vn r nr=Vn R -x f-x 2 x J x B.H=-x(-x 2 x
7、 l x 2 B/=弓Bx-C D F D-B/C,即：3 2 r 1 312)，则 1 依D Dn n r=0,P=匠-00：=jl2-=4=R t P O O i 中，由勾股定理可得 2=36,（2）PA+PB=42（1）设Q点坐标（P）,1-p=4cosO C，3,即p =12co s。化为平面直角坐标系下的方程为（x-6产+V=36y=2+-1 n n(2)把I 2,代入(6 1+2=36得t2-4e+4=0所以1+=2=4,2,/2=40.|P川 +|PB|=G+Q=4隹7.已知点4-1,0),尸(I，。),动点P满足Q/F =2|m.(1)求动点P的轨迹C的方程：,4八 八 -kn
8、.kcR=(a 0)(2)设点4 B为轨迹C上异于原点0的两点，且“a若a为常数，求证：直线4B过定点M；求轨迹C上任意一点Q到中的点M距离的最小值.(1)丫2=轨；(2)见解析【解析】(1殳P(x.y),则 而=(x+l.y),F P=(x-L y),AF=(2.0),由 丽 通=2|F P|,得2(x+1)=2心-1尸+尸,化简 得 仔=4x,故动点P的轨迹C的方程为产=4x.(2加 设A(xyJ Bxz,yz)则 J.嗫=黑=经=捺=一%所以%.y:=-4a.0),则点Q到点”的距离d满足：d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+4x,=x2-2(a-2)x+a2=x-(a-2)2
9、+4a-4,因为K2 0,a 0,故当。-220即a 2 2时，点Q到点M的距离的最小值为2/口；当a-2 0即0 a 0)(l)3 ；(2)见解析【解析】(1)由已知IP&I=|PR|+2,PF I-P FZ =2P轨迹C为双曲线的右支，2a=2,n=l,|F f:|=2c=4,c=2二曲线C标准方程X。一?=l(x 0)(2)由对称性可知，直线BM必过K轴的定点当直线L的斜率不存在时，A(2.3),3(2,-3),知 直 线 经 过 点P(L0)当直线L的斜率存在时，不妨设直线L：y=k(r-2),4(建.九),B(x:,y:)直线)=含&+1)，当犬=当寸，加=肃=，“白 渡 看)(y=
10、k(x-2)x+x -4/f2 x x-4 +3 3，-、2 =3 得(3-卜 2.2 +4 卜 2%-(4 4 2 +3)=0,1 2 3-公，1 2 k2-3-3yi_ y2下面证明直线B M 经过点P(l,0),即证跖 =即 8,即X1 +1 -1,即-3 y1 勺+3%=Xxy2 4-y2 j 由=kxx-2k,y2=kx2-2k4k2+3 _ 4 k2 4(f c2-3)4 -5 -1-0整理得，4X1X2-5(。+)+4 =0,即 k2-3 k2-3 k2-3即证B M 经过点P(l,0),直线B M 过定点(1,0)9.已知点尸(2,2),圆 C：/+/8尸 0,过点尸的动直线,
11、与圆。交于4,8 两点，线段4 9的中点为M,。为坐标原点.(1)求 的轨迹方程；当|阳=|第|时,求/的方程.(1)的轨迹方程是 0-1)2+(y-3)2=2 (2)x+3 y-8=0【解析】(1)圆C的方程可化为炉+。-4)：=1 6,所以圆心为C(0,4),半径为4.设 M(x,y),则 由=(x,y-4),M P=(2-x,2-y).由 题 设 知 而 诉=0,故x(2-x)+(y-4)(2-j-)=0,即(x-iy +(y-3y=2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是。一 万+。-3y=2.(2)由可知 的轨迹是以点ML3)为圆心，、N为半径的圆.由于|OP=|OM，故。在线段
12、2M的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON12H因为ON的斜率为3,所以/的斜率为一三，故，的方程为x+3)-8=0.1 0.如图，抛物线C：y2 =2 x 的焦点为F,抛物线c上4 B 两点，在抛物线的准线上的射影分别为P，Q.(1)如图，若F点在线段4 B上，过4 作FQ的平行线，与抛物线准线交于R,证明：R是PQ的中点；(2)如图，若APQF的面积是A4 BF的面积的两倍，求4 B中点的轨迹方程.见解析；(2)x =V +l.【解析】直线!:y 一九=一）士（乂 一入 _）,设直线!与PQ交于点R,令无=一得：3%=yi=+y+y i=yA+-+y-=yi+-故直线!经过PQ的中点.（2
13、）设4 b P Q与x轴的焦点分别为D.E,则邑PQP=三|EF 1%y,L 5U B F=三 FD|y2-y.NPQ广的面积是，4B广的面积的两倍,：.EF=2FD,所以点D(LO).可设直线4B：x=m y+l A(xvy1B(x2fy2),”中点M G。)X=m y+1.r r cy：=2 x=y_2m y_2=0,+)七=2nby力士=-2.于是)b=空 当=m,x0_ x+x?_ _ 尸|+无;不一.尸1 3 24=4m+4=加 +1=y0：+1,即 中 点 的 轨 迹 方 程 为X =尸+1.1 1.已知圆。+或)2 +/=1 6的圆心为“，点 是圆时上的动点，点可(衣,0),线段
14、PN的垂直平分线交PM于G点.(1)求点G的轨迹C的方程；(2)过点7(4,0)作斜率不为0的直线，与(1)中的轨迹C交于4 B两点，点Z关于蹴的对称点为。，连接BD交确于点Q,求|QT|.2 2x y1=1(1)4-2-；(2)IQ=3.【解析】(D由题意知，线段PN的垂直平分线交PM于G点，所以|GN|=|GP|,|GN|=GM+GP =|MP|=4 2 72=|MN|,.点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆上，2。=4,2 c=2、Z b2=a2-c2=2,.点G的轨迹。的方程为？+J=1.(2)依题意可设直线/方程为x =r n y+4,将直线方程代入?+?=b化简得(7洽+2)y-
15、+8?n y+1 2 =0,设直线(与椭圆。的 两 交 点 为 出B(x2,y2由力=64 n l二-4 x 1 2(771，+2)0,得7M 6,且 儿+必=一端为，力y：=湛)，因为点4关于x轴的对称点为D,则。(乙.-必),可设QSbO),所以心D=需 专7，所以BD所在直线方程为)，一先=就个S-?n y：-4),ms r i J令y=0,得x =二 Wf),把代人，得Ko =1,二.Q点的坐标为(L0),.,.|(?T|=3.1 2.已知焦点为产的的抛物线Q y2=2px(p 0)与圆心在坐标原点。，半径为r的O。交于4 B两 点,且5/、I4 FI=-4(2,m),2,其中p,r,
16、加均为正实数.(1)求抛物线C及。的方程；(2)设点P为劣弧蒯上任意一点，过P作 0。的切线交抛物线C于Q,R两点，过Q,的直线%均于抛物线c相切，且两直线交于点M,求点M 的轨迹方程.y2=i,xe-4,-2/2(1)答案见解析：(2)8【解析】(D由题意，HF|=2+2=p故P=l。所以抛物线c的方程为尸=2 r将以2.m)代入抛物线方程，解得m=2,因此月(2,2),故r 二=0A2=2:+22=8,0。的 方 程 为 小+尸=8.(2)设M(x,y),P(x0.y0),设A：y-yx=/c(x-y),则 由 卜 一 儿=心 一 当，y-=2x,得 k p -2y+2y-kyr=0,令A
17、=(-2)=-4k(2y,-kyf)=0,解得k=?故A：y=亍x+p,1%y=-x 4-同理，2：2b，=x +F，则由)V ;1 y2 ;(x=,解得 Y _ F1+F2因直线Q R：xox +yoy=8,X。e 2,2、.得阳）产+2 比），-1 6=0,）,=一因 此 二 根据点p g%府 圆 上 满 足 方 程/+产=8,消 参 得 至 吟 干=1,X 6 -4-2 .1 3.已知双曲线、丁2=1的左、右顶点分别为4,4,直线/:x =p与双曲线交于 ,N,直线4交直线4N于点0.（1）求点0的轨迹方程；（2）若点0的轨迹与矩形Z 5 C D的四条边都相切，探究矩形/B C D对角线
18、长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.(1)、+V=I(XH0J H0)；见解析.(1)设点。(x,y),(p j o),N(p,/)，其中盟 w O.由题意，得4(一J I o),4(JIo).由%=、=士=万殳 y两式相乘得近=代入上式得12 2 ,由与Jb H 0 ,得J H 0 ,得第-益故点Q的轨迹方程为1+丁=1(X H 0 J H 0).(2)设点H 町，7)(n/H0 j 7H0),过点a作椭圆的切线,则切线的斜率存在且不为0,设斜率为k,贝U切线方程为 j 一 =大(x -?)=j =Ax+-,代入到椭圆方程整理,得(1 +2左“1+4为(一 Aw)x+2(一 -2
19、=0.=1 6左2 (而丫-4(1 +2k J 2 (-km)-20,即(J 22 2mnk+nz-1 =0.这个关于k的一元二次方程的两根即为kA B与隆，由 七5 旗D=-1，得 二-=-1 =/+2 =3 .tn 2设。为坐标原点，故可知|。=代，同理，0A=0B=0C=0D=y/3,即点。为矩形.加。外接圆的圆心，其中-，。为直径，大小为2道,故矩形A B C D对角线长为定值2抬.1 4.已知动点P与力(-2,0),8(2,0)两点连线的斜率之积为一 4 点P的轨迹为曲线C,过点E(l,0)的直线交曲线C于M,N 两点.(1)求曲线C的方程；(2)若直线AM,N B 的 斜 率 分
20、别 为 3,试判断的是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.+y2-i(x *2)试题分析：(1)第(1)问，利用动点P与4-2,0),8(2,0)两点连线的斜率之积为一%求出曲线C 的方程.3 _ 1(2)第(2)问，先设直线M B 的斜率为玲，利用韦达定理计算出“&-疝，再利用好/3 一 一 4 计算出七的值.y y试题解析：设点P(x，y)(x K2),由题知，7+2 2 4,x2万一+y2=l(x 2)整理，得曲线4 ,即为所求.(2)由题意，知直线M N 的斜率不为0,故可设M N：x=my+l,时(*1 必)，做必),设直线M B 的斜率为自，由题知，4-2,0),8(2
21、,0),%+丫2=-2m_ I-/=,y2=-4 一 ,消去阳得(m 2 +4)y2 +2 m y-3 =0,所以 m2+4区-2)(X2-2)m yxy2-m(y1+y2)+134“1 自=又因为点M在椭圆上，所以 x2-4 4,所以取 3,为定值.-1 -P M=-P Q1 5.动点P 在抛物线#=2y上，过点P 作P Q 垂直于x轴，垂足为Q,设 2(I )求点M的轨迹E的方程；(II)设点S(-4,4),过点N(4,5)的直线较轨迹E于4 B 两点，直线S 4 sB 的 斜 率 分 别 为 求 瓦-耳 的 最小值.(I )x2=4y(II)1【解析】(1)设点M(x，y)，P(Xo，y
22、o)，则 由 丽=:所得12；，因为点P 在抛物线犬=2 迂，二/=4)，(D)方法一：由已知，直线I的斜率一定存在，设点.4 6_.打)，8(4.)，二)，联立，二？+5 得犬 _ 4 履+1 6k-20 =0由韦达定理得工工+如=4 k.x/：=16k-20(D 当直线1 经过点5 即占=-4 或4=-4 时，当心=-4 时，直线0 的斜率看作抛物线在点A 处的切线斜率,则k 尸-2.kz=此时|kk二|=R 当=-4 时，同理可得|k(2)当直线/不经过点5即心 H -4且 必 H -4时，=泞,灯=泞，X|+4*2+4%一心|=|盗 一 笨 卜 黑 一 煞=j K-x J =(+)=-
23、4 =%166:一 4(166-20)=-h 4%+5=y(fc-2)=+l 1所以|k 色 的 最 小 值 机方法二：同上.匕L _：心4-4 k+工 x-5 1+4)(*2+4_ -2+(女-4/)0|+2 J|fc xk_ J =2=1,所以|k 一一心|的最小值为 1方法三：设点儿(无：手),双 入2?)由直线，过点N ag)交轨迹E于 两 点 得：;二二之二1。匕简整理得：x/二=4(%+小)-2 0,令七 十 1二=匕贝以/二=4 t-2 0瓦 一 匕|=2-H=上 二 三=反 X/1-H i+4 X2+4I X(f4 X2+4 4 1-11，-1.-1.-=7v/(Xi+x:)2
24、-4 x1x.=7 7 t-1 6 f+20=-y/(t-8)=+16 14 4 4P1 6.如图，已知圆电 的方程为(x+I)2+y2=8,圆七P 的方程为(x-l)2+y2=-8,若动圆M与圆p&内切，与圆2外切.(I )求动圆圆心M的轨迹C的方程；(II)过直线刀=2上的点Q作圆。：/+y2=2的两条切线，设切点分别是M,N,若直线M N与轨迹C交于E,F两点，求出产|的最小值.【解析】(D 设动圆M的半径为r,.动圆M与圆E 内切，与圆F：外切，：.MFL=-r,且|M EI=亨+兀于是，IM&I+网后|=2V2|ER|=2,所以动圆圆心闻的轨迹是以2.鸟为焦点，长轴长为2的椭圆.从而
25、，a=2.c=1,所以b=L 故动圆圆心M的轨迹C 的方程为?+尸=1.(H)设直线x=2上任意一点Q 的坐标是(2.t),切点MN 坐标分别是(4，)、)，(Z”4)；则经过M点的切线斜率2=-3，方 程 是 .+%)，=2,3经过N 点的切线方程是必x+x y=2,又两条切线M Q,N Q 相交于Q (21).则有I：t*二2，所 以 经 过 两 点 的 直 线：的方程是2、+b=2,当0时，有M(L1),N(L-l),E(Lf),F(L-),则|EF|=、(2x+ty=2当0时，联 立 正 工 尸 _ ,整理得(t：+8)犬-1 6无+8 -2广=0;十y 一,设E.F坐标分别为(4,汽
26、)，。6，)6)，贝，隼，卜5=当所以IEFI=J1 +(令 如+打 尸-4 卬 6=喑/=2&-异 的,综上所述，当,=时，IE可有最小值、万.1 7.已知点省-4,0),直线：*=-1 与喈由交于点B,动点M到4 B 两点的距离之比为2.(1)求动点M的轨迹C 的方程；(2)设C 与x轴交于瓦p两点，P 是直线，上一点，且点P 不在C 上，直线P E,P F分别与C 交于另一点S,T,证明:4 s7 三点共线./+/=4；(2)证明见解析.【解析】设 点M(x j),依题意，=jS=g =2,化简得炉+尸=4,即曲线C的方程为4+产=4.(2)证明：由 知曲线C的方程为犬+尸=4,令y=。
27、得x=2,不妨设E(-2.0),F(2.0).设SCq,%),T(x,y=),则直线PE的方程为y=)x +2),由，得(羽+1)/+4)於+4犬-4=0,所以一2八=寝，即 心=老，儿=玛直线PF的方程为y=-y(x-2),y=一(x-2),由1X2+/=4,得 的+9,2 4/*+4 y l 3 6=0,4 y 1 3 6 2年-1 8 12y02外二-2%2=2 K=所以/+9,即 髭+9,y0 +9.4 yo_ 乃 _ 7o+1 2y0-+4所以 弟+1 ,1 2yo_ y2 _ 近+9 _ 2yo%*2+4-2/-1 8-+4岔+9,所以的5 =kA T)所以4 s,7三点共线.x2
28、 y2-1-=1 2 21 8.如图，已知椭圆4 2 的长轴长A B,C为圆x+V =4 上非X轴上的一动点，线段C A,C B 与椭圆M分别交于点D,E 线段EA 与 DB 相交于点F.(1)当点C在剂的正半轴上时，求2L4 DF与A B EF的面积和;(2)求证：直线A F与 B F 的斜率之积为定值，并求点F 的轨迹方程.4 x2 3;4 I(y*o)r解析】(1)当C在1轴上时，C(0,2),直线AC的方程为J=x+2r .=3yz-4 y=0=D 同理得E(=)l-十=3 3/3二直线 BD 的方程:y=士0 -2)=F(0.1)14 1 2SgDF=SdABD-SJABF=2 43
29、 2-41=3由对称性知：二AADF+SJISEF25 幺”=汾 所 求。设乎+号=1 n y r =,-%血口=壮 土 =若=g,同理:kEAkEB=-：而k c kbC =-1,二 FAFB=D:=一 j 为定值。KAl：KHC 4点 F 的轨迹方程为9 +尸=l(y H 0)x2C:-F y2=11 9.己 知 曲 线 4 ,点P(0,l)在曲线C 上，直线y=kx+b与曲线C 相交于4 B 两点，若满足PA=PB.(1)求线段A B 中点的轨迹方程；(2)当4 B 两点在y轴的同一侧时，求线段4 B 长度的取值范围.y=-空”喳(0 妈=0(-1 ”1)或 夕?3 3 (2 3 By=
30、f c x+?n立+，二 _ 1 =(4 f c2+l)x-+8kbx4b2-4 =04 )一=1 6(4 k +1 !?2)-8kb%1】+工-.=4A kr-*4i-174 b:-4I E诟Ij q+x、-Akb.-4 kb.,bXm=T =)M=kZ+7+b=71所以)6=T T T-7=-S则中点的轨迹方程为)=-f (-X W)4 h 十1 综上，中点的轨迹方程为X=0(-1 y 1)或)，=一式一 0 ,由=)4 b 以及4 k二 +1 +3 b=0消 阿 得-：k二 2“诉0=b=-1(4*=+l)e (-3,-1)AB=V TTn、6 i X+i=2|f e-+2(-3&-l)
31、,4 JC2+1 2 V b 解得E(O,?)20.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(L0),过直线1：尤=4左侧的动点P作P H由于点“，&HP F的角平分线交喈由于点M,且|P H|=2|M F|,记动点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；4 弓，2(2)过点F作直线 交曲线c于4 B两点，设小=；(曲，若,求 的 取 值 范 围.【解析】分析：（1）设P（x,y）,由已知有|M F|=|P F|,所 以 需=需=；,由两点间距离公式，化简整理rn I rn 一工（x =my+1得:+9 =1；（2）设 直 线/：x=m y+l,4（Xi，y）B（x”?），联 立 二上）.得4 3（v
32、一 4 十一3=1（3?M +4）y，+6 m），-9=0,由韦达定理求出汽+%,必先的值，由 乔=久 而 得 磊=炉，根据力 的范围，求出m二的范围，再 求 出 的 范 围。详解：设P（*，y）,由题可知w用=|P F|,所 绯 合 黑 建，即、|7X-4:|+-尸=三化简整理4 得3?+?=1，即曲线C的 方 程 为=+三=1.4 3（2）由题意，直线r的斜率k H 0,设直线I 的方程为K=my+l,（x=my+1由 立+_=得（3而 +4）y：+6my-9=0,设4（孙，力），8（小 小）,所以4 =（6m）=+3 6（3而 +4）=1 4 4（m=+1）。恒成立，目%+y：=-3 m
33、=+4,九为=又 因 为 所 以 一%二二%,联立，消 去)得3m2f4m?_ 1 2 T产因 为 宇 ，+；-2 e 0,1 ,所以。=缶转，解得0 m-：又|=ni =+1仅1%|=v?n=+1,“L+y j 4%儿=爵 斤=4 3m2+4因为4 3?n=+4 E：f +y2=l(y*0)圆。的方程，+y2 =4,可得点P 的 轨 迹 4（2度线段MN的垂直平分线方程，应先求直线/的方程，所以应设直线1的方程，根据弦长求直线/的方程。因为直线（的斜率是否存在不确定，为了避免讨论，可设直线/方程为：x=?），-、，并与轨迹E的方程联立可得（m：+4），=-2 vm y l =0,由根与系数的
34、关系可得卜”*=可,由弦长公式可得网 =一 引AB=、/1+而|汽-y:|=vl+J（），i+）七）二 一 4%先=2,可解得?n=v吃。分情况讨论，求线段MN的中点，直线I的斜率，进而可求线段MN的垂直平分线方程。详解：（D 设P（x,y）,则A（x,2y）将片（北2），）代入圆。:小+y:=4方程得：点P的轨迹E：?+产=l（.y=0）（注：学生不写），H0也不扣分）（2）由题意可设直线1 方程为：x=my-y/,3,（X=m y y/3 _由 M,得：（m，+4）y，-2、13niY-1=0（1+y-=i所以 儿=可。必=一 诉AB=s/l+myx-yz=J l+而%+内 尸-4%无=，
35、;1;=2所以7n=士记.当m=在 时，中点纵坐标比=空 理=9,代入x=my-1得:D中点横坐标“一 一 亍，斜率为k=-#故M N 的垂直平分线方程为：2x+2y+3=0当根=-泛时，同理可得MN的垂直平分线方程为：2x-2y+3=0所以MN的垂直平分线方程为：2 x+也 y+依=0 或2 x-俯+&=0.2 2.已知点尸式一0，圆&：（%-季）2 +y2 =1 6,点M是圆尸2 上一动点，线 段 的 垂 直 平 分 线 与“尸 2 交于点p.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)曲线E与*轴交于点公，&,直线/过点4且垂直于咖，点Q在直线1上，点N在曲线E上，若QNA,试判断直线NQ与曲线E
36、的交点的个数.x2-4-Fy2=1.(2)NQ与曲线E只有一个交点.【解析】分析：(1)利用待定系数法求点P的轨迹E的方程 2冼求直线NQ的方程为)，-t=：小；)(x-2),再 联 立 椭 圆?+尸=1,求得=)得NQ与曲线E只有一个交点.详解：连接,由题知IP&I =PM,所以IP耳I+俨三I=三I=4 无后|=2V3,即点P的轨迹是以巴,鸟为焦点的椭圆，因此a=2,c=yf3,所以b=1,所以点P的轨迹E的方程为f +尸=1.(2)不妨设不(-2,0),人(2,0),则直线h x=2,设Q(2,t),贝ijkoq=L 所以=,因此直线卜Aj y=+2)=:x+1.设N(x，)b)，联立直
37、线N&与椭圆E的方程可得(产+l)x-+4t=x+4(t:-l)=0,因此（一 2）x x0=笔 浸，所以x。=嚼，I 十 二 I T*所以N（盖），所以直线N Q 的方程为y-t =.）（x-2）,即），=kx+b,其中k =：（：）,b =4 t +联立直线NQ：y=-+屿 椭 圆?+尸=1,得（1+4 公）a：+8 k b x+4（b=-1）=0,所以/=1 6（4公 炉+1）=1 6 -J +-+1）=0,所以N Q 与曲线E 只有一个交点.2 3.已知A/B C 中，角4、B、C 所对的边分别是a、b、c,且a =6,4sinB=5sinC,有以下四个满足条件的AABC不可能是直角三
38、角形：当4=2 C 时，AABC的周长为1 5；当4=2 C时，若 为AABC的内心，则AAOB的面积为；AABC的面积的最大值为4 0.其中正确命题有（填写出所有正确命题的序号）._ 4对于，a =6,4s i n B =5 s i n C 即4b =5 c,设b =5 t,c =4 t,由3 6 +1 6 t?=2 5 t?,可得 3 ,满足条件的 4B C 可能是直角三角形，故错误；,5 cb 对于，a =6,4sinB=S sinC,A=2 C,可得B =-3 C,由正弦定理可得4b =5 c,可得 4,由b c-=-,sinC 工 0,sinB sinC可得：4cos2C 1=：,解
39、得 cosC=：,sinC=j .可得=2sinCcosC=可得：c=4 b=5,贝 ija+b+c=1 5,故正确：对于，由 得 又ABC=bcsinA=设A月 BC的内切圆半径为R,贝炉=者=三S,如=产=亿 故 正 确.对 于 ，对 于 ，以 BC的 中 点 为 坐 标 原 点，BC所 在 直 线 为 K轴，可 得 B(-3,0/C0；4sinB=5sinC,可得4b=5c 设A(m n)可 得 4、/(m-3尸+M =5J(7?I+3)、+7 小 平 方 可 得16(nr+6?n+97=25(vnr+n2 4-67n+9J 即 有 而+n2+竽m+9=03化为 m +*：+n=()贝必
40、的轨迹是以(一三,0；，半径为当的圆，可得 ABC的面积的最大值为:x 6 x m=4 0 故正确；3 3 2 3故答案为：.2 4.具有公共y 轴的两个直角坐标平面a 和4 所成的二面角a轴-/?大小为4 5 ,已知在尸内的曲线。的方程是_/=4行工，曲线C 在平面a 影 的 方 程 丁=2内，则 p 的值是.V2结合题中所给的示意图可知：曲线。的方程是_/=4血X ,则=作产_ L平面。于点尸，由于平面a和/?所成的二面角a -夕轴-力大小为45。，故。9 =V2 c o s 45 0 =1,即曲线C 在平面a影所形成的抛物线的焦距为1,故夕=2 x1 =2 .故2.2 5.在平面直角在平面直角坐标系xO y中，已知圆。：/+/=1,圆C :O-4)2 +y2 =4,动点P在直线%+何-2 =上的两点七，F之间，过点P分别作圆。，C的切线，切点为,B,若满足P B 2 2 P 4,则线段E F的长度为.2 7 3 93【解析】由P B 2 2 P用导PB*4 P不，所以P C：-4 2 4(P 0 =-l),所以P C二 2 4P。二，设P(x,y),所以产+y二 +；x-B W ，即(x+y:m告 点P在圆5+力二+yz=心上及圆内，3 9 3 9圆 心(-1 0)到直缘 +场-2 =。的距离为d =+=%3V1T 32 7 3 9故答案为一二