《2022年北京高考数学考前30天题型规律突破专题4：数列【解析版】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年北京高考数学考前30天题型规律突破专题4：数列【解析版】.pdf（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20 22年高考数学考前3 0天题型突破 专 题4：数列一、高考规律揭秘：1 .规律小结数列部分高考题一般以中等难度试题为主，占高考试卷的分数一般在10-17分，一般以等差、等比数列的定义、性质或以通项公式、前 n 项和公式为基础考点，常结合数列的递推公式进行命题，侧重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解，主要考查考生对基本方法与基本技能的掌握；由于数列是一类特殊函数，所以在对知识的基础性、综合性与应用性的考查上，常会与函数、不等式等知识交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想;通过数列在实际生活中的应用以及与数学文化有关的问题考查考生的数学抽象以及数学探究、数学建模等素养。
2、2 .考点频度高频考点：(1)数列自身内部问题的综合考杳如数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前，项和公式、数列求和；(2)构造新数列求通项、求和如“归纳、累加、累 乘，分组、错位相减、倒序相加、裂项、并项求和”等方法的应用与创 新；(3)综合性问题如与不等式、函数等其他知识的交汇问题，与数列有关的数学文化问题及与实际生活相关的应用问题以及结构不良问题。3 .备考策略数列问题特别突出对考生数学思维能力的考查，所以问题的设计要始终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想、证明、应用等能力的培养。既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项
3、公式、递推公式、前 n项和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑恩维、运算求解能力。从近几年的高考题可以看出，数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、逻辑思维能力等。重点考查考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重视对通性通法的培 养，所以在备考中应把重点放在以下几个方面。(1)对数列的概念及表示法的理解和应用；(2)等差、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前 n 项和公式中基本量的运算或者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深人剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解数列的问题；(3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题；(4 )通
4、过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n 项和；(5)数列与不等式、两数等的交汇问题；(6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考探究与发现的学习材料，有意识地培养考生的阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活相关的数列的应用问题；(7)结构不良试题、举例问题等创新题型。二、高考试题精练1.【20 21北京高考真题6.】中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长4,4,%,4，%(单位:c m)成等差数列，对应的宽为乙 也 也 也 也(单位:c m),且长
5、与宽之比都相等，已知 4 =28 8,%=96,4=1 9 2,则4 =A.6 4 B.9 6 C.128 D.16 0【答案】C【解析】【分析】设等差数列 凡 公差为d,求得d =T8,得到4=1 9 2,结合党旗长与宽之比都相等和伪=1 9 2,列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长4，。2，%，4，%(单位沁0 1)成等差数列，设公差为。，因为4 =28 8,%=96,可得d =四 二 色=型 工 史=-4 8,5-1 3可得%=28 8 +(3 -1)x(4 8)=19 2,又由长与宽之比都相等，且4 =19 2,可得”4 =%所以47 =生为 L =.1 9 2x 19
6、 2-.=112c8o.b、h3 a 28 8故选：C.2.【20 21北京高考真题10.已知 4 是各项均为整数的递增数列，且 弓之3,若q+出+。“=10 0,则的最大值为()A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得“可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值.【详解】若要使尽可能的大，则生,递增幅度要尽可能小，不妨设数列 q 是首项为3,公差为1的等差数列，其 前 项 和 为 则 4=+2,S3 +14l 2=-y-x l 2=!0 2 10 0,所以“W I L对于。“=+2,=x l l=8 8
7、 I O O,取数列 4 各项为%=+2(=1,2,10),4=25,则 4 +生+%=10 0,所以”的最大值为11.故选：C.3.【20 21北京高考真题10.21.设p 为实数.若无穷数列%满足如下三个性质，则称 凡 为出,数列：4+p*0,且/+P =0;%I 几恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由.【答案】(1)不可以是衣 2数列；理由见解析；(2)%=1；(3)存在；p=2.【解析】【分析】(1)由题意考查的 的值即可说明数列不是况2数列；(2)由题意首先确定数列的前4 项，然后讨论计算即可确定出的值；(3)构造数列勿=%+，易知数列 a 是见。的，结合(2)中的结
8、论求解不等式即可确定满足题意的实数P的值.【详解】(1)因 为 p =2,q=2,4=-2,所以6+%+。=2,4+。2+。+1 =3,因 为%=-2,所以 名 乃 +%+2,q +4+2+1 所以数列%，不可能是火2 数列.(2)性质 2 0,=。，由性质a,“+2 e%，4+l，因此%=4或%=4+1，4=。或4=1，若%=0，由性质可知的%，即4。或 4+10,矛盾：若%=1,%=4+1，由4 有+1，矛盾因此只能是=1，“3 =4 ,又因为。4 a+“3 或 4-a+%+1所以q=g或 q=0.*1右 =5,则 生=q+i w q +4 +0,4 +q +0+1 =2 q,2 q+1
9、=1,2 ,不 满 足 生=0,舍去.当q=0,则4 前四项为:0,0,0,1,下面用数学归纳法证明4+i=1，2,3),。4“+4 =+l(eN)：当=0时，经验证命题成立，假设当以后2 0)时命题成立，当=%+1时：若i =1 ,则4(计1)+1 =a 4k+5=%+(4A5-力，利用性质：/+%*+5 _/0*,1 4/4 4%+4 =伙,Z +1 ,此时可得：*5 =%+1；否则，若&5=%，取&=0可得：%=0，而由性质可得：%=4+4 61,2 ,与%=0矛盾.同理可得：%+4*+6-J /e N*,1 W /W 4 2 +5=伙,+1 ,有。必+6=左 +1 ；%+a软+8 J/
10、e N*,2 W j W 4 Z +6=伙+1,Z +2 ,有 a4 k+i=k +2.aj +a4 M-jI J e,1 j 4 +6)=Z:+1 ,又因 a4 k+1 0,h2=a2+p=0,为小=a4 n_t+p 0 ,S9 -%=-“|0 =-&*2+2=-(2-p)0,因此。=2,此时a”外,qo 0(J 1 1),满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说
11、“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4.【2 0 2 0北京高考真题8.】在等差数列%中，4=-9,%=T 记44（=1，2,）,则数列 ,（）.A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差。=等二口=三?=2,5 1 5-1则其通项公式为：=4 =-9+（n-l）x 2=2n-l 1,注意到 q%v%0&=1%，且由（0可知Z 1。2 7,i e N）可知数列（,
12、不存在最小项，由于 4 =9,a2=-7,%5,a4=3,a5=l,6r6=1,故数列 4 中的正项只有有限项：7；=63,7；=63x 15=9 45.故数列 7；中存在最大项，且最大项为故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.5.120 20北京高考真题10.1 21,已知 4 是无穷数列.给出两个性质：2 对 于 4 中任意两项%,为&/）,在 4 中都存在一项品，使 工=a,“;aJ2对于 叫中任意项,在 叫中都存在两项.使得%=3.（1）若4=（=1,2一），判断数列 4 是否满足性质，说明理由；（II）若an=
13、2 i （=1,2,），判断数列 4 是否同时满足性质和性质，说明理由；（叫 若%是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：4 为等比数列.【答案】（I）详见解析；（口）详解解析；（III）证明详见解析.【解析】【分析】（I）根据定义验证，即可判断；（口）根据定义逐一验证，即可判断；2（川）解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明=”,最后，用数学归纳法证明q数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得4,4,%成等比数列，之后证得%,%,%，4成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.Z 7 -9【详解】（I）Q a2=2,4=3,，=5史Z.a.不具有性
14、质；2 2(H)Q V i e N i ；A=,2j_/e N*;=2,._.a,具有性质;2Q X/e N*,2 3,三%=一 1,/=2,十=2-=2T=4,q 具有性质;（DI）解法一首先，证明数列中 项数同号，不妨设恒为正数：显然为。0（任N*）,假设数列中存在负项，设 乂 =max 川 41c 0,第一种情况：若 N 0=1,即 0 q由可知：存 在 犯，满足4“=&0,存在加，满足=0,4%由 乂=1可 知 丝=2，从而=/，与数列的单调性矛盾，假设不成立.4 a第二种情况：若 乂2 2,由知存在实数用，满足4=%（）,由N。的定义可知:4m 也=a%，由数列的单调性可知：机N。,
15、4 aNn这与No的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.,2其次，证明生a利用性质：取 =3,止 匕 时 生由数列的单调性可知%4 0 ,而 为=%4 ,故氏 3）项成等比数列，不妨设a,=（1 s必），其中4 0,1,（q 0,0。*,且（*）ak-2由得：存在Sf,满足：4+=2=4%4，由数列的单调性可知：f 2 s-t-k-,注意到s/Z均为整数，板 k =2 s-t3代 入（*）式，从而见+1 =q/.总上可得，数列 4 的通项公式为：an=ciqn-.即数列%为等比数列.解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质：取=3,此时q=（
16、左/），ai由数列的单调性可知%0,而3=%ak 故k v3,2此时必有&=2,/=1,即%=，即q,%,生 成等比数列，不妨设4 =6 4，4 =a q 2(q l),然后利用性质：取i =3,/=2,则=2 =4?=4q 3,2%q即数列中必然存在一项的值为q,下面我们来证明/=*，否则，由数列的单调性可知出 4，从而左/),满足%=，at若=3,/=2,则：t z4=axq,与假设矛盾：若攵=3,/=1,贝!|：a4=axc ,与假设矛盾；若 k =2=l,贝i j：4=aq =a3,与数列的单调性矛盾;即不存在满足题意的正整数%,/,可 见 内 不 成 立，从而g =然后利用性质：取i
17、 =4 =3,则数列中存在一项%,a?下面我们用反证法来证明为=*,否则，由 数 列 的 单 调 性 可 知 4，从而Z /),满足为=)，即由可知：4=a C,=a 】,a(a、q若 2 k-/1=4,则%=q/,与假设矛盾;若2人一/1 4,则%/，与假设矛盾;若 2 1 1 4,由于%,/为正整数，故兼一则见与/l)；a a dC n 2)=q(n21)；-=q(n 2)ana-i2、通项公式=玲+(z?1)(7%一 加m e N*)(第二通项公式M-Ia“=a、qn-ma,=amq3前n项和S _ 2工 (一 1),s,=a+2 dq=l ,Sn=na.;q，S/平i-q_ ar an
18、qi-q中项a、A、b 成等差数列o A=空；2a”是其前k 项an.k与后k项an+k的等差中项，即：an=a+a2a、A、b 成等比数列=4=2a A(不等价于A 2=ab,只能n)ian是其前k 项a与后k 项a k 的等比中项，B P：a an,k.an+k5下标和公式若 m+n=p+q,则。“+为=4,+4特别地，若 m+n=2 p,则am+a2aP若 m+n=p+q,则特别地，若 m+n=2 p,则a m册=ap首尾项等差数列的第k 项与倒数第k 项的和等于首尾两项的和，即：口+“=色+a,T=+a”g)等比数列的第k 项与倒数第k 项的积等于首尾两项的积，即：CLn。2。一 1*
19、C L k(A-1)性质人结论 为等差数列，若m,n,p成等差金列，则以aq成等差数列 为等比数列，若m,n,p成等差金列，则以，为，见成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列,4的公差分别为d,e,则数列仍为等差数列，公差为+；（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列,SJ的公比分别为PM,则数列兄为,仍为等比数列，公差为pq 取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为2d取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公2比为。若 am=n,an=m（m 丰 n）,则 am+n=0无此性质；若 Sm=n,S=m（m 丰 n）,则s“,+“=-（
20、?+）无此性质；若=则 S,“+=无此性质；S,，S2m-Sm S3M-S2m，成等差数列,公差为rn2 dS”,，目“一”，S3,“一 品,，成等比数歹U,公比为当项数为偶数2时，偶-5奇=澳&=必当项数为奇数S 偶 Cln+2n-lS 奇一S 偶=6Z|i52,1=（2-1）的S奇_ 即-1当项数为偶数2时，$偶=qs当项数为奇数2-1时，S奇=Qi+4S偶8、等差（等比）数列的判断方法定义法：an-an 1=（/（z?2）等差中项概念；2an=an-l+当+i（2 2）函数法：a0=+?（p,为常数）关于n的一次函数。数列是首项为p+q,公差为P（#0）的等差数列；数列an 的前n项和形
21、如邑=加+加（a-为常数），那么数定义法：=夕-i等差中项概念；a,.=尸0）函数法：an=cq（c,4均为不为0的常数，此），则数列a,是等比数列.数列an的前n项和形如S=Aq-A（A g均为不等于0的常四、高考试题精讲1.2 0 1 9年 高 考 北 京 理1 0.】设等差数列 斯 的 前 项 和 为S“若Z=-3,S5=-1 0,则列归0 是等差数列，数 且 q#l),则数列 4 是公比不为1等比数列.9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列5=,S,的最小值为.【答案】.0.(2).-1 0.【解析】分析】首先确定公差,然后由通项公式可得为的值，进一步研究数列中正项、负项的变化规律
22、,得到和的最小值.【详 解】等 差 数 列 an中，S5=5 a3=-1 0 ,得,=-2,2=-3 ,公 差d =a 1,a5=q+2 d=0,由等差数列%的性质得 5时，可 0,“26时，见 大 于0,所以S“的最小值为S 4或演，即为1 0.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式、等差数列的性质，难度不大,注重重要知识、基础知识、基本运算能力的考查.2.【2 0 1 9年高考北京2 0.】已知数列 4,从 中 选 取 第 项、第。项、第北项(?!4 ./,)，若/%,则称新数列4，%，”为 凡 的长度为加的递 增 子 列.规 定：数列 4的任意一项都是 4的长度为1的递增子列.(I
23、 )写 出 数 列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(I I)已知数列,的长度为P的 递 增 子 列 的 末 项 的 最 小 值 为，长度为4的递增子列的末 项 的 最 小 值 为 若 4,求证：4.。4 ；(I I I)设无穷数列 为 各项均为正整数，且任意两项均不相等.若%的长度为s的递增子列末项的最小值为2 5-1,且长度为s末项为2.9-1的递增子列恰有2-1个(s =1,2,.),求数列 ,的通项公式.【答案】(I )1 3,5,6；(H)见 解 析;(I I I)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(I I)利用数
24、列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(Ill)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】(I)满足题意的一个长度为4 的递增子列为：1,3,5,6.(II)对于每一个长度为4 的递增子列q,都能从其中找到若干个长度为的递增子列卬,心，与，此时aP 4，设所有长度为q的子歹U 的末项分另U 为：%,9,4,所有长度为P 的子列的末项分别为：,则4 =min%,注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q 的子列，故4%m in(a/Vap2，p j,.),据此可得：an i o M；或者存在正整n数 加，使得Cm，C/M+l，Cm
25、+2，是等差数列【解析】（I ）4=4-4=1-1 =0，c2=m a x 4-2 4也 2 a2=m a x l 2 x 1,3 2 x 2 =-1 ,c3=m a x 4-3 a l也 一3 a 2也-B a?=m a x l_ 3 x 1,3-3 x 2,5-3 x 3 =-2.当“2 3时，（为+1 一 6+1）（仇一）=（4+1 一4.）一”（4+4）=2 叫时,4&,则当之加时,，n dy d2,因此c“=4 一q”.4此 时,C“,C m+1,C,+2,是等差数列.当4 =0时，对任意n l,cn-b-flr t +(/?-l)m a x J2,O -b-at+(n-l)(m a
26、 x t/2,O -al).此 时，C，G，C 3,c”,是等差数列.当4 0时，当包时，有n d 1 m a x -!-!-,-4 4故当加时，M.n9.【2 0 1 9 年高考北京文(1 5)(本小题1 3 分)已知等差数列 凡 和等比数列也 满足。1=1,。2+。4=1 0力2 b 4=。5.(I)求 ”的通项公式;(I I)求 和:4 +b3+b5+-b Z?2 n_.【解析】(I )设等差数列 为 的公差为d.因为 0 2+0 4=1 0,所以 2。1+4-=1 0.解得d=2.(I D设等比数列出“的公比为q.因 为Ms 所以瓦gb=9.解 得 广3.所以 an=2 n-l.所以=
27、犷1=3-从而“+与+与 +b n=1+3+3-+3。=-六、数列测试题1.(2021北京海淀一模)已知 小 为等差数列,S”为其前“项和.若as=Ss=5,则6=()A.-5 B.-4 C.3 D.-2【答案】C【分析】由等差数列的性质计算.【详解】因为%为等差数列，所以$5=5%=5,%=1，且4，%，%成等差数列所以q =2Z3-5=2 x 1-5 =-3.故选：C.2.(2021北京通州一模)已知等比数列 4 的公比夕=一2，前6项和S6 =2 1,贝=()A.-3 2 B.-1 6 C.16 D.32【答案】D【分析】将 0 =一 2 代入等比数列前”项和公式，可求出q的值，然后利用
28、等比数列通项公式即可求出【详解】解：因为夕=一2,$6=2 1,则有$，卬(-2)=4 (-6 3)=2 7 =2 6 1+2 3 1即q =-1 ,所以4=4 4 =(-l)x(-2)5=3 2.故选：D.3.(2021北京门头沟一模)数列%中，4=1,an+l=-2 a,数 列 色 满足=|可,则数列 也 的 前 项 和 S=()A.卜(2)|B.C.2 0-1 D.(-2)-13 3【答案】C【分析】求出可和勿，根据等比数列的求和公式可得结果.【详解】因为4=1,an+=-2 an,所 以 詈=-2,所以数列%是首项为1,公比q =-2 的等比数列,所以%=4/=(一2 严，),2 所以
29、2=|。,|=|(-2)T|=2 T,所以4=1,/=产=2,所 以 数 列 是首项为1,公比为2 的等比数列，所以S“=泮尹=2,1.故选：C4.（2021北京东城一模）已知%为等比数列，4=1 必=:,那么%的公比为O,数 列 的 前5项和为.【答案】g 31【分析】利用等比数列的通项公式，列出方程求得数列的公比，再 由 数 列 构 成 首 项 为 1,公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式.【详解】设等比数列 叫的公比为4,因为4=1,%=：，可得/=4 4=lx q=J ,解得?=：；o o 2又由 =1,且，=2,所以数列,构成首项为1,公比为2 的等比数列，f 11-25贝
30、 IJ数歹U 一 的前5 项和为Ss=3L1-2故答案为：y ;31.5.（2021北京石景山一模）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的仆，出，町，物 的值.%=，!2=，%。1 2出1【答案】12 2 1【分析】由题意列出方程组，得出4 2=的 知=%2,进而得出答案.【详解】an+al2=a2 l+a2 2 alt+%i =2+，2两式相力口、相减得出卬2 =2 1，%=/2不防取 4l =1,2 =2M2 2M2 2 =1故答案为：1;2；2；16.（2021北京丰台一模）设等比数列 4 满足4+4 =48,包+%=6,则 log
31、?%的最 大 值 为.【答案】15【分析】由等比数列的基本量法求得为和公比4,然后计算苗生4,的最大值后可得结论.【详解】为+4 式 1 +4）3 6 1 1 1设公比为0 则由己知各七3二-1七 二 二 二 获 二 二 q=F 6+4=4+7 4=4 8,ax+a2 a（14-q）48 8 2 24=32,所以 4 =32 x=26-,.-J+ii”q%=2、X2,XX26-=25+4+-+（6-n,=-n2+lln=-（-）2+,又eN*,2 4所以=5或 6 时，-”2 +1 取得最大值为30,30所以log?%）的最大值为Iog,2E=15-故答案为：15.【常规】等差、等比的综合应用
32、7.（2021北京怀柔一模）设等比数列%的前 项和为S，若%=8%,则下列式子中的数值不能确定的是（）A.B.3 C.也 D.冲%53aSn【答案】D【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比4 的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项.【详解】解：因为%=8%，所 以/=经=8,所以q=2,a2皿=q=2 1s“所 以 十 八 七4 0-2 5)1-2 l-2+l G，S 5=FF 1-2=31al(l-2M)1-2 斤以 S3 a,(l-23)1-23 71-2 1-2故选：D8.（2021北京平谷一模）已知数列 叫 满 足 4=5
33、,且对任意e M,都 有&=5an+那 么 对 为（）A.g B.7国+2%+2【答案】A【分析】依次计算出生,如,4的值.【详解】化简可得。向=言 孑，则4=；，%=5，故选：A9.（2021北京海淀一模）设无穷等比数列 小 的前n项和为5若一s G a i,贝1（）A.SJ为递减数列 B.S”为递增数列C.数列 S有最大项 D.数列&有最小项【答案】D【分析】根据已知求得夕的范围，然后根据4的正负分类讨论确定 S,的单调性.【详解】因为-4 出 0,-1 1,即-1 夕 1,若0 0,S =s +an+t sn,是递增数列，排除 AC,若 1 4 。，易知 S zn+j AS?”,2“$2
34、 -1，是摆动数列,排除 B,当0 ”1 时，是递增数列，5是最小项.当一 1 0 时，S2 0,1-q所以5“=$2 +（/+。4+%）&（”2）,所以 中凡是最小项.D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，解题关键是通过S”与S,”的关系进行判断，难点是摆动数列的最小项问题，需要利用S -5 2 =%+4+%0 5 2）进行证明.10.（2021北京西城一模）在无穷等差数列 4 中，记7；=4 -叼+%-。4+。5 -+（T）%（=1，2,），则”存在加 e N*,使得 7 ，只能判断4 M 与仆+2 的大小关系，无法证得“为递增数列，充分性不成立；由递增数列性质知只需
35、（-1）”3 0 即可说明工，+2,必要性成立,由此得到结论.【详解】若存在m w N*,使得Tm ，当 m 为奇数时，只需 ,+2-,+1 0,即 am+2 a,+l；当机为偶数时，只需”+2 -。”任 1 ，即”+2 0,即m 为奇数，即可满足北 4+2,必要性成立；存在m eN，,使得，b4,可排除A、D,再求得数列的单调性，得到B不正确，C正确.【详解】由题意，设等差数列 叫 的 公 差 为，因为q=_ 5,a,=-i,可得d=L=T 45)=2,3 1 2C 7 1、c c r c (4+a”)(-5 +2-7)2 c所以-5 +(-1)x2 =2-7 ,Sn=-=n -6n ,V则
36、4一 二4n2 一 6 2 n 73 2 -6 x32 x3-7=9 也=42-6X42 x4-7，可得打=所以4打，可排除A、D；设/(%)=；X l，+)U(,+8)Z X /z zno (2 x-6)(2 x-7)-(J 6 x)x 2 2(x 7 x+2 1)人 =(2 7?=(2 x-7 了因为A =(-7)2-4 xlx2 1 0,所以)在 区 间 i,1 和g,+4，所以B不正确，C正确.故选：C.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列
37、只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.1 2.(2 0 2 1 北京西城一模)在等比数歹!%中，4+4=1 0,2+。4=-5,则公比4=；若”“1,则 的 最 大值为.【答案】-1 3 【分析】首先求出数列的公比4、即可得到数列的通项公式，再根据通项公式对分奇偶讨论，即可得解；【详解】解：因为 q+3 =1 ，%+%=-5 ,所以=出：=看=-；,所以 q+4=4+gZ=1 0,即q
38、=8,所以4=a 0 i=8 x(_；J ；所以当，为偶数时，1,所以4-0 且”为奇数即 5 k-i 且 S+i 5?【答案】答案见解析【分析】方案解题思路均为如下思路：根据等比数列通项公式可求得,4,进而求得口；根据两数列中的项的等量关系和等差数列通项公式可求得知,将 结 论 变 为;；A，1+|-=4+1 a i+3d=bi -d.解得 q=-3,bi=-1,d=-2 8.a i =l l l.-2 8(n -1)=1 3 9-2 8.假设存在k使得5 k Sh i 且S k+i 0,1 3 9-2 8(k+1)Sk-i 且S k+i 0,1 3 9-2 8(k+1)Sk-i且SA+I
39、VSk.则 2 k-l l 0,2 (k+1)-l l 0,化为：31 1 k 2（II）选 ，k N 6；选 ，k 【分析】（I）选 ，根据S,与4的关系求出通项公式，再利用等差数列的前项和公式即可求解；选 ，利用等差数列的通项公式以及前“项和公式即可求解.（II）选 ，分离参数可得2，匹=，求 出 乌 最 大 值 即可；选 ，分离参数可得n +n n +1 n +1八 6 _ 6K-2_+9-9 1,利用基本不等式求出 +己-1 的最小值即可.-1n【详解】选 ,由a；+a“=2 S”，则a+%=25,1，心 2,两式相减可得0，所以a“-4 i-l =（）,即4,-a,i=l，所以数列
40、4 为等差数列，当 =1 时，=1,所以q =4 +（“-1）x1 =，所以s.=心L2 2选,4=9,当22,%=2,%+i=%+2,4+尸。=2,所以当22时，数列 为等差数列,所以22时，an=出+5-2）、2 =2-2,所以。=9,n =12 n-2,n 2 )S=9 +(n-)(2+2H-2)=n2 _n+9(H)数列也 为等差数列，b2=n,4=3 0,EI 八密 j bb2 3 0 1 2则公差d =二 1=6,所以2=%+(-2)X6=6.廿 c n2+n E I,、1 2/?1 2 L-*右对任悬“eN不等式。地 恒 成 立，若S,=M则 心 再L E T恒成立，心所以上2
41、6,八 6 _ 6若S,=2 _+9,则 _/_“+9.,+27恒成立，wN*,n6因为 +2 1 2.n-n V n-1 =5,所以 +2-1 6-5 ，n当且仅当九二3时取等号，所以左之1.1 5.（2021北京石景山一模）已知有限数列 共有30项，其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为4的等比数列，记数列的前项和为5.从条件、条件 、条件 这三个条件中选择一个作为已知，求：条件：廿4,5=3 0,%=2 0；条件：S3=0,a2（）=-3 6,%=-9 ；条件:S,=4 8,a,=2 0,0M=1 6 0.（1）d，4 的值；（2）数列 4中的最大项.【答案】答案见解析.【分
42、析】由所选条件，依据等差数列或者等比数列列出方程组即可得解；由所选条件分段分析数列 4对应的性质，进行计算即可得最大项.【详解】选择条件：%=4,5产3 0,%=2 0(1)因为 4 的前20项成等差数列,0,则前20项为递增数列，即：前20项的最大项为4=4 0,数列”,的后11项成等比数列，4，则后11项是递减数列，即：后11项的最大项为内)=4。,所以数列%的最大项为第20项，其值为40.选择条件：&=。,八=-36,a2 2=-9f 3 +3d=0 CL=2(1)因%的前20项成等差数列，S3=0 g)=-3 6,贝IJ 解 得+194=3 6 d=-2因数列他，后11项成公比为q的等
43、比数列，做,=-3 6,又 旬=-9,寸=型=；,q=土工，所以=-2,q=g；(2)4 的前20项成等差数列，d 0,即前20项为递减数列，前20项的最大项为q=2,因为q=g ,当q=g时，=-36)-(204 4 3 0,e N ),当 2OVV3O时，0,数列 4“的最大项为第1项，其值为2；当q=-g时，a =-3 6(-r20(20n 30,n eN ),后 11 项的最大项为=18,数列%的最大项为第21项，其值为18,所以当q=g时，数列 “的最大项为第1项，其值为2,当4=-；时，数列仅“的最大项为第21项，其值为18.选择条件：S=48,%=20,%=160,(1)因数列
44、对 后11项成公比为q的等比数列，i=20,%=160,则”=叫=8,解得q=2,a2 有)=&=1,q又因他 的前2 0 项成等差数列，q=S=4 8,则 =黑 斗=-2,所以“=-2,4 =2；(2)q 的前2 0 项成等差数列，4 0 ,即前2 0 项为递减数列，前 2 0 项的最大项为6 =4 8 ,4 的后 1 1 项成等比数列,而为)=1 0,4=2,a=1 0-2 -2(2 0 n 0(n=l,2,.)；条 件 :存在常数7 0,使 得/T(n=l,2,.)；条件：。+%+1=m an+2(n=l,2,.).(1)若 a0=5+4x(_g)(n=l,2,且数列 5 具有性质P(m
45、),直接写出m 的值和一 个 r 的值；(2)是否存在具有性质P(1)的数列%?若存在，求数列%的通项公式；若不存在，说明理由；(3)设数列%具有性质P(m),且各项均为正整数，求数列 而 的通项公式.【答案】(1)a=2；7 =6 :(2)不存在具有性质尸的数列(；答案见解析：。“=c(。为常数，且,).【分析】(1)根据性质P(M 的定义求解；(2)用反证法，假设存在具有性质P(l)的 数 列 则 4+2=4+%，得数列 七 递增,T c i-,然后证明 4+3 an+2+2，个不等式相加得。+3 “3之 。2，这时取 一则得到a*3 T，出现矛盾，完成证明；(3)确定m H 1,若帆=2
46、,则有a,+2=；(a”+i+4,)，变形为4+2-%+i =-g(“+i，这样可以得出|4+2-。“+|=，7 同-。|，然后说明4=%=c e N*适合，。产生不适合;在机2 3时,取 =m ax3，a“+1 ,利用不等式性质可得“用%-2(=1 时取等号)，ne N*,所以q=5+4 x(-；)3 0；4 x(-g)41(=2 时取等号)，n e N*,所 以%=5+4 x(-g)0(=1,2,),所以4+2 4+1，即/见 a2,，a+i-a+2 a2.累加得，。+3 -43 N 也2 T-a对于常数T 0,当 -1时，a,l+3 n a2+a3T,与矛盾.a、所以不存在具有性质产的数
47、列 .(3)因为数列 4 具有性质P(M,由(2)知根目.当机=2 时，q+2=5(a.+1+”)，即4+2一 a+1=-5(4+1一 4,)，=1,2,.所以|%+2-”向|=57|%-4|若(c 为常数，且c e N*),则a“=c,“=1,2,.经检验，数 列 (c e N，)具有性质产.若4户 见，当心 心 屈 一 时，鼠 2-%+|=|生-R w(0,l),与wN*矛盾.当加2 3时，令d=maxq,a+le N 则a,+2 =上(a,+i +4)g(a,.+a“)&；(b“+b”)b,=1,2,.所以n i 3 3al l+3=(a+2+a+l)1(a+2+a+l)|(b+b)b.
48、m 3 3所以勿+2 =ma x a+2,al l+3b.所 以&2 4-l，=12.所以-4-1,b5-b)-l,，b2 n+l-b2_t -l.所以邑+1 -4当时,b2 n+i ,-n0时，证明：存在正整数，力，使得，细，号，是等差数列；(ii)当“W-2,2 时，求?+?+?+?的值(结果可含a).【答案】(1)1,3,4,1；1,3,4,2；1,3,4,3；1,3,4,4；(2)证明见解析；(i i)区+%+%+%=.1 2 3 42 5（a-2）21 2 53 5-3 4 2 /16 5 21 7 6（-1 4 1 22 2 31 0 -8,a 0,/(x)=o r2-2 x的对称
49、轴工=,a故当X _ 1时单调递增，由于5=1,2,3,)，a故当初=十 +故2 m时有an=bn,由于4=-2是等差数列,故存在正整数掰，使 得 力,冬,空 是等差数列；m 机 +1 m +2(i i)/(工)=依2 一2 x的对称轴x =,，由于”=1,2,3；a 2|4 =。-2,&二4。-4,。3 =9。-6,%=1 6 一8 当。E-2,-时，此时4=。-2最大;由于仇=m a x 4，p,。“(=1,2,3),故=b2=b3=b4=at=a-2 ,故.-b1+b.+b.+b4 =(,a 2“)(1 +1 +1 +1)、=-2-5(-2)-1 2 3 4 1 2 3 4 1 22 1
50、(2)当 Q (,时，4二4=4=4 =。-2,2=%，,h.b)a hd 35a-3 4故+二 +3 +=-12 3 4 61 2当时，a2-a,=3 a-2；%4 =3 -2 c 0,q -4 =8。一 4 0,-3也=%衅+家家合 尹,+中2 当a w(,l 时，a2-a,=3 a-2 0,故包=”“，*+与+?*+*%*&当 时，,开 口 向 上,对 称 轴x =l,故 凡=。2 一2 单调递增,故2=4,则 与+与+4+=；+与+?+?=1 0-8；综上所述,2 5（a-2）2S-2 6 Z-1 2 53 5 3 4 2 1且+%+%+%=6 a21 2 3 4 1 7 -1 4 1