《2023年天津市高考数学总复习：立体几何（附答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年天津市高考数学总复习：立体几何（附答案解析）.pdf（114页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年天津市高考数学总复习：立体几何1.如图,在直三棱柱/3C-41 8 1 c l 中,ABLBC,AAi=AC=2,BC=,E,F分别是小8c的中点.(1)求证：C i F 平面R 8 E；(2)求三棱锥力-8 C E 的体积.第1页 共1 1 4页2.如图，在四棱锥S-/B C D中，底面/B C D为矩形，SN。为等腰直角三角形，S A=S D=2&，AB=2,F是8 c的中点，二面角S-4 0-8的大小等于1 2 0 .(1)在Z O上是否存在点E,使得平面SE尸，平 面 若 存 在,求 出 点E的位置;若不存在，请说明理由；(2)求直线S4与平面SB C所成角的正弦值.第2页
2、共1 1 4页3.如图，三棱锥E-8 8 中，EC。为正三角形，平面E 8 _ L平面5 8,BC=DC=BD=2,M,N分别是线段ED和8。的中点.(I)求点C到平面8Z)E的距离；(I I)求直线EN与平面MC8所成角的正弦值.第 3 页 共 114页4.如图，在三棱柱/8 C-/1 8 1 c l中，平面小/C C i _L平面/8 C,N B C和小/C都是正三角形，。是N 8的中点(1)求证：8 c l 平面小。；(2)求 直 线 与 平 面D C。所成角的正切值.第4页 共1 1 4页5.如图，在等腰直角三角形/D P中，已知/=,AD=3,B,C分别是，O P上的点，E是CD的中
3、点，且8 C Z。.现将P 8 C沿8 c折起，使得点尸在平面/8 C。上的射影为点4(1)若B,C分别是/尸、。尸的中点，求证：平 面 平 面 尸C D(2)请判断是否存在-种折法，使得直线P 8与 平 面 所 成 角 的 余 弦 值 是 直 线P 8与平面玄 所成角的正弦值的竺倍？若存在，求 出 的 长；若不存在，请说明理由.第 5 页 共 114页6.在直三棱柱N 8C-小21cl 中，N 8/C=90,A C A B=A A 2,设点 M,N,P 分别是AB,BC,BC 的中点.(I)证明：4 4 i平面PMN；(II)若 0 为 441上的动点，试判断三棱锥尸-QA/N的体积是否为定
4、值?并说明理由.第6页 共1 1 4页17.在多面体中，四边形/8 8|小为菱形，BC/BC,BC=BC,ACAA,ABA.BC,NBiBA=6 0 ,平面 _L平面/8C.(1)在 棱 上 是 否 存 在 点 O,使得/8_L平面8iO C?若存在，请给予证明；若不存在,请说明理由.(2)求二面角Ci-A C -B的正弦值.第 7 页 共 114页8.在四棱锥尸-4BCD 中，侧面 R4Z)J_底面/8C。，P A=A D=D C=6,AC=6 2,49=3,C平面 Z P A D=6 0Q.(I)求证：平面PC。，平面尸8C；(II)求二面角P-B C-D的余弦值.第 8 页 共 114页
5、9.如图，已知四棱锥S-48C。的底面是边长为2 的正方形，且 平 面 平 面 Z8C。，M,N 分别为棱40,8 c 的中点，S A=S D,S AY S D,P,。为侧棱SZ)上的三等分点(点、P靠近点S).(1)求证：PN平面MQC：(2)求多面体反尸0CN的体积.第9页 共114页1 0.如图，四边形M 4 8 c中，N 8 C是等腰直角三角形，ACVBC,Z X M4c是边长为2的正三角形，以4 c为折痕，将 M4C向 上 折 叠 到 的 位 置，使点。在平面N 8 C内的 射 影 在 上，再将粉1 C向下折叠到4c的位置，使平面E/C _L平面Z 8 C,形成几何体DABCE.(1
6、)点尸在8 c上，若。尸 平面E/C,求点F的位置；(2)求直线4 8与平面E 8 C所成角的余弦值.第1 0页 共1 1 4页1 1.如图，直三棱柱5CF-4 亚 中，。为 E/7的中点，AB=BF,BFCF,A B=B F=C F=2.(I)求证：AF1.BH；(I I)求平面4O C与平面Z8C所成角的余弦值.第1 1页 共1 1 4页1 2.在如图所示的几何体中，四边形/B C D是菱形，Z BAD=20,A E L A B C D,AE/CF.(1)求证：)尸 平 面4BE；(2)若4D=AE=2CF=2,求该几何体的表面积.第1 2页 共1 1 4页1 3.如图，在 四 棱 锥 尸
7、 中，必。是等边三角形，平面以。，平面/8C。，底面N8C。是直角梯形，A D/B C,已知 AD=28C=4,N B A D=6 0 .(I)若 E 为刃的中点，求证：8 平面PC。；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.第1 3页 共1 1 4页1 4.已知在平行四边形BCD中，AD=2,AB=y/3,NADC=g 如图，D E/C F,且DE6=3,CF=4,/A C尸且 平 面 平 面 COEF.(I)求证：4C_L 平面 CDEF；(1 1 )求二面角D-A E-C 的余弦值.第1 4页 共1 1 4页1 5.如图，已知四棱锥 P-43C。中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2
8、PC=2,PD=W,ZJC=60.(1)求证：BP LCD；(2)若BP=a,求直线PC与平面玄。所成角的正弦值.第1 5页 共1 1 4页1 6.如图，在四棱锥尸-Z5C)中，玄。是等边三角形，平面口。_ 1 平面48。，底面NBCC是直角梯形，A D/B C,已知/O=28C=4,(I)若 E 为 R1的中点，求证：B E 平面P C D；Z B A D=6 0Q.(II)求四棱锥P-A B C D的体积.第1 6页 共1 1 4页1 7.如图，在直三棱柱N 8C-小81cl中，4B=BC=AAi,A B L B C,。为 N 8的中点，E 为8 c 上一点，满足CE=2E(1)求证：4
9、C 平面BDE；(2)求二面角B-AC-C的余弦值.第 1 7 页 共 114页1 8.已知在平行四边形BCD中，AD=2,AB=y/3,NADC=g 如图，D E/C F,且DE6=3,CF=4,/A C尸且 平 面 平 面 COEF.(I)求证：4C_L 平面 CDEF；(1 1 )求四棱锥F-4 8 C O的体积.第1 8页 共1 1 4页1 9.如图所示，在四棱锥E-/8 C Z)中，四边形N 8 C D是直角梯形，/8=4 =夙7=y。=1,BC/AD,4E _L平面 48 C ,ZBAD=9 0 ,N为。E 的中点.(1)求证：N C平面E 48；(2)求二面角/-C N-。的余弦
10、值.第1 9页 共1 1 4页2 0.如图，在多面体N 8 C OE 尸中，四边形/88、四边形4 C F E 均为菱形，Z B A D=Z E A C=1 2 0 .(1)求证：平面8。凡L平面4C 尸 E；(2)若 B E=D E,求二面角C-8/-E的余弦值.第2 0页 共1 1 4页2 1.如图所示，在三棱锥/8C。中，A B=B C=B D=2,A D=2 6,N C B A =N C B D=等煎E,尸分别为N。，8。的中点.(I)求证：平面4CD_L平面BCE；(II)求四面体C D E F的体积.第2 1页 共1 1 4页22.如图，在棱长为3的正方体中，过顶点Di作平面a交4
11、41于E点，交BBi于F点、,使得 4E=1,BF=1.(I )求证：/C平面a；(II)求点。到平面a的距离.第2 2页 共1 1 4页2 3.已知43C,AB=BC,Z CBA=6 0 ,沿着边C 8把Z B C进行翻折，使平面/B C与平面。8 c垂直，O8 C可由48 C翻折得到.回答下列问题.(I )直线/C与 平 面 所 成 角 的 余 弦 值；(I I )二面角A-B D-C的余弦值.第 2 3 页 共 114页2 4.如图，四棱锥尸-Z 8C Z),底面四边形48。为梯形，且满足4 0=1,AB=CD=3,BC=4 且 4)8C,底面/B C D.设平面R ID 与平面PBC的
12、交线为/.(I)求/与平面P)C 所成的角；(I I)己知尸。=1,求平面2 1 8 与平面尸。C 所成的锐二面角的余弦值.第2 4页 共1 1 4页2 5.如图，在三棱台48C-H B C中，已知平面Z88 A，平面48C,ACrBC,ZC B A=Z 四边形/8夕A,是等腰梯形，AB=2 A B =2 BB ,E,产分别为48,AOC的中点.(1)求证：E F上A C；(2)求直线E/与平面/CC A 所成角的正弦值.第 2 5 页 共 114页2 6.如图，N B C为正三角形，半圆。以线段8 c为直径，D是比上的动点(不包括点8,C),平面 N 8 C _L平面 8 C Z).(1)是
13、否存在点。，使得B D L 4 C?若存在，求出点。的位置；若不存在，请说明理由.(2)若N C 8 O=30 ,求二面角O-/O-C的余弦值.第2 6页 共1 1 4页2 7.如图，N B C 是正三角形，D,E,尸 分 别 是 线 段BC,4 C的中点，现将/(尸和 C E F 分别沿着。尸，E F 折起，使得4C两点在P点重合，得到四棱锥P-8 E E D.(1)证明：平面P 5/J L平面8 E F D；(2)设正三角形4 5 C 的边长为4,求三棱锥尸-P 8 E 的体积.第2 7页 共1 1 4页2 8.如图，在四棱锥尸-4 8。中，底 面 为 正 方 形，为等边三角形，平面以。，
14、平面PCD.(I)证明：直线CO_L平面Ri。；(H)若/8=2,。为线段P 8 的中点，求三棱锥。-PC。的体积.第 2 8 页 共 114页2 9.如图，在四棱锥尸-Z 8 C。中，AD/BC,A D L A B,并且 8 c=2/。=2/8=2,P M=牛,点尸在平面48 C。内的投影恰为8。的中点(I )证明：B P，平面P C Z)；(I I )求点A到平面P C D的距离.第 2 9 页 共 114页3 0.如图，在四棱锥尸-M C。中，已知以1.平面43C。，且 四 边 形 为 直 角 梯 形，ZT TABC=NB4D=,4D=2,AB=BC=.(1)当四棱锥尸-N 8C C 的
15、体积为1 时，求异面直线HC与 所 成 角 的 大 小;(2)求证：CDJ_平面以C第3 0页 共1 1 4页3 1.如图所示，在三棱锥 Z-8C A 中，A B=B C=B D=2,A D=2 N C B A =N C B D=$,点 E,F 分别为4。，8。的中点.(I)求证：EF平面4BC：(II)求平面8CE与平面/C 尸所成锐二面角的余弦值.第 3 1 页 共 114页3 2.如图，在四棱锥P-/8 C Q 中，AD/BC,A D YA B,并且8 c=2 4)=2 4 8,点尸在平面A B C D内的投影恰为8。的中点M.(I)证明：8 1.平面P B D；(II)若P M=A D
16、,求直线P 4 与 C D所成角的余弦值.第3 2页 共1 1 4页3 3.如图，在三棱锥尸-4 3 C 中，R1J_底面是边长为2 的正三角形，侧棱尸8与底面所成的角为土4(1)求三棱锥P-A B C的体积匕(2)若。为 P 8的中点，求异面直线R I与 8 所成角的大小.第3 3页 共1 1 4页3 4.如 图 1,在三棱柱Z 8 C-3 81cl中，已知45L4C,NB=ZC=1,4 4=2,且/小，平面N 8C,过 4,Ci,8 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.（1）求异面直线8。与 所 成 角 的 大 小（结果用反三角函数表示）;（2）求四棱锥8-4CC1
17、小的体积和表面积.第3 4页 共1 1 4页35.如图，在矩形中，将4C。沿对角线4 C折起，使点O到达点E的位置，且/ELBE.(1)求证：平面平面48 C；3V 7(2)若5 c=3,三棱锥8 -4 E C的体积为；一,求点E到平面/8 C的距离.第3 5页 共1 1 4页36.如图，在直三棱柱N B C-小8 1 c l中，48 C是正三角形，点0在 棱 上，且BBi=38 1。，点E为8 1 c的中点.(1)证明：平面平面8 C C 1 S；(2)若BB=3五,A B=2,求点C到平面4 O E的距离.第3 6页 共1 1 4页3 7.如图所示，在直三棱柱月8 C-小小。中，底面是等腰
18、直角三角形，Z ACB=9 0 ,CA=C B=C C i=2.点、D,分别是棱/C,4 c l 的中点.(1)求证：D,B,8 1,。四点共面；(2)求直线8 c l与平面。881cl所成角的大小.第3 7页 共1 1 4页38.如图，在四棱锥S F 8 C Q 中，底面/B C D 是等腰梯形,Z 8 C。,C D=2 A B=4,A D=V5,SCO是等腰直角三角形，S C=S D,S A-3.(I)证明：平面SCZ_L平面N8C。；(II)若平面S/D 与平面SC 8的交线为/,求二面角C-。的余弦值.第 3 8 页 共 114页39.如图，在矩形”8 中，将/C。沿对角线/C折起，使
19、点O到达点E的位置，且Z EVBE.(1)求证：平面E _L平面48 C；3 7(2)若EB=小,三棱锥8 -4 E C的体积为一-,求二面角E-8的余弦值.第 3 9 页 共 114页40.如图，在三棱柱中，P,0分别是4小，C 8上一点，且/尸=2 R4i，CQ=2 0 8.(1)证明：/。平面CPBi；(2)若三棱柱8 1 c l为直三棱柱，且力4=3,BC=BA=V 1 5,/C=2百，求点B到平面CPB的距离.第4 0页 共1 1 4页4 1.如图，在四棱锥尸-48C。中，底 面 是 正 方 形，4 8=2,尸。，平面48C。，PB与底面N8C。所成的角为45,过 4。的平面分别与尸
20、8,PC交于点、E,F.(I)求证：EFA.DC；272 PE(H)若二面角P-/O-E 所成角的余弦值为亏求商的值.第4 1页 共1 1 4页4 2.在四棱柱/8 C O-ZI8ICLDI中，四边形Z 8 C Z）是平行四边形，A A A C X,Z A B C=30 ,B C=2,平面48 8 1 由，平面/8 C。，M,N分别为Z i C,的中点.（I ）求证：M N平面41 5 C 1；（I I ）若C OS/IC8=，求二面角C-M N-。的余弦值.4,第4 2页 共1 1 4页4 3.如图所示，三棱柱/8 C-m 81 cl中，平面N C C/i，平面/8C,AAA.AC,A 4=
21、A B=BC=2,D,Oi 分别为ZC,ZiG 的中点，且/A 4C=30.(I)求证：DDil.BC；(II)求二面角B i-DAi-C i的余弦值.第4 3页 共1 1 4页44.如图，四棱锥P-4 8 8的底面为正方形，P C=P A=P D=y S AD.E,尸分别是以,的中点.(I )证明：EF_L平面PCD：(II)求二面角A-C E-F的余弦值.第4 4页 共1 1 4页4 5.如图，在四棱锥P-N 8 C。中，等边三角形均。所在平面与梯形48。所在平面垂直,且 C D/8,A D=B D=2,O C=%8=夜，点 G 为孙。的重心，A C 与 B D 交于点M.(1)求证：G
22、M 平面尸C。；(2)求点C到平面P B D的距离.第4 5页 共1 1 4页4 6.如图，直三棱柱为BiCi-N BC中，A B=AC=l,Z.BAC=小/=4,点 M 为线段小/的中点.（1）求直三棱柱小B iC i-4 8 C 的体积；（2）求异面直线8M 与 81cl所成的角的大小.（结果用反三角表示）第 4 6 页 共 114页4 7.如图，已知直角梯形 4 8 8,BC/AD,B C=C D=2,AD=4,NBCD=9 0 ,点、E 为X。的中点，现将三角形N 8 E 沿 8 E 折叠，得到四棱锥4-BCDE,其中/4 。=1 2 0 ,点 M 为 4。的中点.(1)求证：4 8平
23、面E M C；(2)若点N为 8c的中点，求四面体4 M N8的体积.第 4 7 页 共 114页48.如图，在三棱锥尸-N 8 C中，X B C为正三角形，点O,分别为N C,总 的中点，其中以=尸8=4或，P C=Z C=4.(1)证明：平面B D _L平面Z 8 C；V 6 若 点 厂 是 线 段 如 上 异 于 点。的一点，直线“E与平面的所成角的正弦值为不Ap求就的值.第 4 8 页 共 114页4 9.如图，在四棱锥尸-4 5 8 中，四 边 形 是 梯 形，AB/CD,A B V B C,且以=尸。=8 C=8=1,4B=2,P C=V3.(1)证明：8 0,平面以。；(2)求
24、直 线 与 平 面 P8C所成角的正弦值.第 4 9 页 共 114页5 0.在四棱锥尸-/BCD 中，PA=PC=2,底面Z8CD 是菱形，AB=2 N4BC=60；(I)求证：ACVPBy(II)求四棱锥P-ABCD的体积.第5 0页 共1 1 4页2023年天津市高考数学总复习：立体几何参考答案与试题解析1 .如图，在直三棱柱/8 C-38 1 c l中，ABLBC,4 4 i=NC=2,8 c=1,E,尸分别是由C i,8 c的中点.(1)求证：。尸平面NB E；(2)求三棱锥A-B C E的体积.【解答】(1)证明：取月8的中点G,连接E G,FG,:E,F,G分别是/C i,BC,
25、4 3的中点,J.FG/AC,且 F G=%C,EC=AC,.1 C小。且：.G F/ECS.G F=EC,四边形FG E C i为平行四边形，得 CiFEG,又：E G u平面 Z 8 E,C i FC平面；.C i F平面/8 E；(2)解：/m=Z C=2,S C=1,ABLBC,：.AB=J AC2-BC2=V 3.:.三棱锥 A-BEC 的体积 V=VA.BEC=VE.ABC=|sA 4 ec-AAr=y/3 x 1 x 2 =2 .如图，在四棱锥S-4 8 C。中，底 面 为 矩 形，为等腰直角三角形，S A=S D=2或，A B=2,尸是8 c的中点，二面角S-/。-8的大小等于
26、1 2 0 .(1)在 工。上是否存在点E,使得平面配户，平面/8 C D,若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；第5 1页 共1 1 4页(2)求直线S4与平面SB C所成角的正弦值.【解答】解：(1)在线段N D上存在点E满足题意，且E为N O的中点.如图，连接E F,S E,S F,.四边形/8 C D是矩形，4又E、F分别是8 c的中点，J.EF/AB,ADLEF,:S/。为等腰直角三角形，S A=S D,E为/。的中点，：.S ELAD,*：S ECEF=E,S E、E Fu平面 SE F,；.4 9 _ L 平面 SM,.7 Ou平面C O,ABCD,故 上 存 在 中 点
27、E,使得平面S 7 JL平面/8 C O.(2)由(1)知，S ELAD,EF1 AD,/SE E为二面角S的平面角，即/SE F=1 2 0 .以E为原点，EA、E尸所在的直线分别为x、y轴，作 反，平面/8 C。，建立如图所示的空间直角坐标系,在等腰 Rta SZ。中，S A=S D=2 V 2,：.AD=4,S E=2,：.S(0,-1,V 3),A(2,0,0),B(2,2,0),C (-2,2,0),；.&=(2,1,-V 3),豆=(2,3,-V 3),S C=(-2,3,一 次),设平面S8 c的法向量为1 =(x,y,)喉匕K U：二第5 2页 共1 1 4页令y=l,贝 U
28、x=O,z=V 3,/.n=(0,1,V 3),设直线S A与平面S B C所成角为仇e -S4 n 1-3 J2则 si ne=|c osV S4 n =|-_|=H=1=S A-n 4 4+1+3 x 2 4故直线S A与平面S B C所成角的正弦值为g.43.如图，三棱锥-88 中，E C。为正三角形，平面E 8 J _ 平面8 c Z),B C=D C=2,M,N 分别是线段ED和 8。的中点.(I )求点C到平面5O E的距离；(II)求直线EN 与平面M C5所成角的正弦值.【解答】解：(I )平面E C D _ L平面88,且 tEN-n a a则 si n8 =|c osV E
29、 N,n|=|1=5 7 =7，EN-n z x z 43故直线E N与平面M B C所成角的正弦值为了.4.如图，在三棱柱中，平面Z MC C i _ L平面Z 8 C,4 B C和小4。都是正三角形，。是N 8的中点（1）求证：8。平面小。C；（2）求 直 线 与 平 面。C。所成角的正切值.【解答】（1）证明：连接Z C 1,交4 1 c于E,连接D E,：四 边 形 是 平 行 四 边 形，是 的 中 点，.。是 的 中 点，：.DE/BC,平面力IOC,B C i C平面/i D C,平面小D C.第5 4页 共1 1 4页z(2)解：取4 c的中点O,连接小O,BO,:/B C和小
30、/C都是正三角形，：.AO LAC,BO LAC,：平面/MC C i _ L平面A B C,平面小Z C C i C l平面ABC=AC,；.小0，平面/8 C,：.AO BO,以。为原点，O B、O C,O/i所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，L V 3 1设4 c=2,则/(0,-1,0),B(V 3,0,0),C(0,1,0),D (,-3 0),C(0,2,V 3),Q _*5/.AB=(V 3,1,0),CD=一亍 0),DC】=(y,旧)，2 乙 z 2-(n CD-0 与一,y=0设平面。CG的法向量为n=(x,乃z),贝U “E-U ,即 2 2 ,n.
31、=0 -x+2 y +V 3 z =0令x=3,则旷=/3,Z=-1,/.n=(3,V 3,-1),T T设直线与 平 面。C C 1所 成 的 角 为e,贝I J si n。=|c os 百，1|=|-1|=明.|7 1|3 V 3+V 3 2/3l2 x V 9+3+l|-7 1 3,ta n9=2 V 3 故直线A B与平面D CC所成角的正切值为2 K.5.如图，在等腰直角三 角 形 尸中，已知/=*4。=3,B,C分别是/P,。尸上的点，E是 8 的中点，K BC/AD.现将P8 C沿8 c折起，使得点尸在平面/8 C Z)上的射影第 5 5 页 共 114页(1)若B,C 分别是4
32、P、。尸的中点，求证：平面R/CJ_平面尸CD.(2)请判断是否存在一种折法，使得直线P 8 与平面力8CD 所成角的余弦值是直线P8与平面以E 所成角的正弦值的七7 26倍？若存在，求 出 的 长；若不存在，请说明理由.【解答】(1)证明：点尸在平面48C D 上的射影为点4.P4_L 平面 A BCD,；CZ)u 平面/BCD,：.PACD,：等 腰 Rt力。尸，且 C 为。尸的中点,J.ACVCD,CPAACA,PA./C u 平面/MC,.C0_L平面 PAC,又 COu平面PC。，平面R1CJ_平面PCDAD.N/8 尸为直线尸8 与平面4 8 8 所成的角，设其大小为a,则 cos
33、ct=附过点8 作 8/VLL/E,交 Z E 于点M,连接,.刃_ 1_平面48。，：.PABM,5LAEQPA=A,AE、/MU 平面 H E,平面刃,.N5PM为直线尸8 与平面B1E所成的角，设其大小为0,则 sinB=器，第 5 6 页 共 114页直线P B与平面A B C D所成角的余弦值是直线P B与平面P A E所成角的正弦值的一倍,cosa=|sinp,B P AB-设 =，（0 f 3）,则 3人急，密池=触=冬设 Z D AE=Q,在ZOE中，由正弦定理知I,DE 4。sin z.DAE sin乙 A ED吃Tf 3sin O 一 s in(*e)得 sin0=T-TC
34、OSO,Vsin20+cos20=l,且BE(0,5),cos0=6-t/2212t+36：.BM=t(6-t)J2住-12t+34又杵彘，；./，（6 T）=焉,化简整理得，2於+广3=0,解得f=l 或一，（舍负），V2t2-12t+36 7 2 6 人故当月8=1 时，直 线 房 与 平 面 48。所成角的余弦值是直线尸8 与 平 面 所 成 角 的正弦值的亨倍.6.在直三棱柱/8C-N iB iC i 中，NA 4c=90,A C=A B=A A 2,设点/，N,P 分别是AB,BC,BC 的中点.（I）证明：/小平面P M N；（II）若。为 A41上的动点，试 判 断 三 棱 锥
35、的 体 积 是 否 为 定 值？并说明理由.【解答】（I）证明:点/，N,尸分别是 48,BC,81cl 的中点，：.PN/CC,又；/i CCi,：.AA/PN,第5 7页 共1 1 4页：4 4 1 S&AMN=|x lXl=1,1 1 1即 Vp.QMN=VQ-PMN=VA-PMN=VP-AMN=x 2 x j .1 若。为 4 4 1 上的动点，则三棱锥尸-0MN的体积定值7.在多面体力 B C C M i B i 中，四边形/8 囱由为菱形，BC/BC,BC=BC,AC=AA,ABBC,N 8 i 8/=6 0 ,平面 N 8 8 1/1 _L 平面 Z8 C.（1）在 棱 上 是
36、否 存 在 点 O,使得力 8,平面8 1 O C?若存在，请给予证明；若不存在,请说明理由.（2）求二面角Ci-4 C -B的正弦值.【解答】解：（1）在 棱 上 存 在 点 O （。为 棱 的 中 点），使 得 平 面 8 1 0 C.理由如下：连接：四边形4 8 囱小为菱形，且/8 i A4 =6 0 ,是等边三角形，第5 8页 共1 1 4页又。为的中点，.：ABVBC,B i O D B i C=B i，B i O u平面 8 Q C,B i C u平面B i O C,平面 BO C.(2)由(1)知，ZC J _平面 l i O C,J.ABLO C,又 平 面 月_L平面AB C
37、,平面4 8 8 1 4 1 D平面ABC=AB,.O C _L平面/8 8 1出,O CLBO,以O为坐标原点，O B,O C,0 8 1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，取8 1。的中点E,连接小E.C E,由题意知几何体/8 C-m8 1 E是三棱柱，取4 8 1中点。，连接。,则0。|)畤4传1，=乙设/4=2,则 O(0,0,0),J (-1,0,0),C(0,1,0),Bi(0,0,V 3),A(-2,0,V 3),/.0 C1=O B1+8M+O B!+2 O A+2 O C=(0,0,V 3)+2 (-1,0,0)+2 (0,1,0)=(-2,2,V 3),AC i
38、(-2,2,V 3),AC=(1,1,0),4 C i =(-L 2,V 3),设平面N C C i的法向量m =(x,y,z),m-ACr=-x +2 y+V 3 z =0平面/8 C的一个法向量n=(0,0,1),设二面角Ci-AC-B的平面角为8,则nm cosQ9=士m-n4-=-775=,s.i nQ9=|m|-|n|二面角Ci-AC-B的正弦值为第5 9页 共114页8.在四棱锥 P-Z8C。中，侧面处。，底面48 8,PA=AD=DC=6,4 c=6&，AB=3,8平面以8,/PAD=60.(I)求证：平面尸。，平面尸8C；(II)求二面角P-B C-D 的余弦值.【解答】解：(
39、【)证明：AD=DC=6,AC=62,：.AD2+DC2=AC2,J.ADLDC,:侧 面 底 面 ABCD,侧面均。C底面ABCD=AD,.7)_1_平面以。，：P)u平面以O,J.CDLPD,取PC和。C的中点分别为M和N,连接MM BM,则 A/N/Y),：.CDMN,：CD平面/MB,8平面/BCD,PAB A ABCD=AB,：.CD/AB,:AB=ND=3,.四边形力8NO为平行四边形，:.BNAD,:.CDLBN,:BN n MN=N,；.CD _L 平面 BMN,平面 8脑V,J.CDLBM,平面刃，且以u平面RW,第6 0页 共114页：.A B 1 P A,即以8 为直角三
40、角形，PB=7 a +32=3函,:P B=B C,且 M 是 PC 的中点，C.PCVBM,：PCnCD=C,平面 PCD,平面 P B C,：.平面 PCD JL 平面 PBC.(II)在以。中，：PA=AD=6,ZPAD=60,为。为等边三角形，PD=6,取 ZD 的中点 0,连接 P0,且 PO=Y62 _ 32=3.平面以。_L平面力8C。，平面乃io n 平面/8 C O=/。，；.PO_L平面/BCD,过点尸作 交BC于点H,连接0 4,则ZPH O 即为三面角P-B C-D 的平面角，,:PD=CD=6,CD1PD,.POC为等腰直角三角形，PC=y/CD2+PD2=762+6
41、2=6立，由(I)知尸8=8 C=3 代，M 为尸C 的中点，J.BMYPC,在 中，BM=yjBC2-MC2=J(3V5)2-(3V2)2=3百，1 1在P8C 中，S&PBC=BM x PC=PH-BC,解得PH=噌，mn /D U C P O 373 710则 sm/W 0=而=逵=丁,5RtZW/O 中，/PH O 为锐角,cos ZPHO=第，V6二面角P-B C-D 的余弦值为了.4第6 1页 共1 1 4页9.如图，已知四棱锥S-48C。的底面是边长为2 的正方形，且 平 面 平 面 Z8CZ）,M,N 分别为棱NO,2 c 的中点，S A=S D,S AY S D,P,。为侧棱
42、SA上的三等分点（点 P靠近点S）.（1）求证：PN平面MQC；（2）求 多 面 体 的 体 积.【解答】证明：（1）如图，连接N 交 CM于点R,连接。R,在正方形/8C。中，：/，N 分别为40,8 c 的中点，.四边形MNCD为矩形,得 A 为 A 的中点，又 Q为 P D 的中煎，：.PNQ R,：07?u平面 MQC,PNC平面 MQC,平面 A/0C；解：（2）连接 SM,为/。的中点，S A=S D,S A LS D,：.S M L A D,且 SM=%D=1,又平面S/O_L平面/B C D 平面SN力。平面；.SA/_L平面/BCD.1 2 1 1 2 2/.VP-MNC=S
43、AMNC x SM=3X2XXX3X1=9-第6 2页 共1 1 4页:平面 S N O _L平面 X 5 C Z),平面 S 4 O C 平面 CDLAD,.,.C D _L平面 S AD.又在 Rt/S MD 中，S D =V 2 S M =V 2,S P=P Q=Q D,SAP Q M =J5A5MD)*,C-PQM=W S&PQM X CD=W X w S XSM D x CD-x-x 2 x lx lx 29 1 1，多面体 M P Q C N 的体积 V=VPM N C+VC_P Q M=+1 =1.1 0.如图，四边形小1 8 c中，N B C是等腰直角三角形，ACLBC,ZM
44、4 c是边长为2的正三角形，以/C为折痕，将林1 C向上折叠到。/C的位置，使点。在平面Z 8 C内的 射 影 在 上，再 将 向 下 折 叠 到 /(7的位置，使平面E ZC _L平面Z8 C,形成几何体DABCE.(1)点尸在8 c上，若D F平面E/C,求点F的位置；(2)求 直 线 与 平 面E 8 C所成角的余弦值.【解答】解：(1)点尸为8 c的中点，理由如下：设点。在平面/8 C内的射影为。，连接O D,O C,:A D=C D,：.O AO C,.在R tZ/8 C中，。为的中点，取Z C的中点H,连接E H,由题意知第63页 共114页又平面E 4 C，平面Z 8 C,平面E
45、 4 C A平面/1 8 C=/C,；.7/_L平面N 8 C,由题意知。0 _L平面4 8 C,：.D O/EH,二。平面 E/C,取8 C的中点R连接OF,则O F/A C、又O F C平面E 4 C,4 C u平面E/C,，。尸 平面E 4 C,：D OQOF O,二平面。O F平面 E/C,O b u 平面 D OF,二 DF/平面 EAC.(2)连接。“，由(1)可知O F,O H,0。两两垂直，以O为坐标原点，O F,OH,。所在直线分别为x,v，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，贝IJ 8 (1,-1,0),/(-1,1,0),E (0,1,-V 3),C (1,1,0),：.A
46、B=(2,-2,0),B C=(0,2,0),BE=(-1,2,-V 3),设平面E 8 C的法向量1=(a,b,c),则2=2h=O，取 贝格=（6，0,-1）,BE-n =-a +2 b V 3 c=0设直线与平面ESC所成的角为e,则 si n0=|备=28 =在AB-n 2 41 x 2 4.直线A B与平面说所成角的余弦值为cos0=J 1 一(乎产=等1 1.如图，直三棱柱 5 C F -中，。为 E”的中点，AB=BF,BFLCF,A B=B F=C F=2.(I )求证：A F L B H；(I I)求平面N O C与平面N 8 C所成角的余弦值.第6 4页 共1 1 4页H【
47、解答】解：(【)证明：由三棱柱B C F-4 7 E 是直三棱柱，得CFLEF,:BFLCF,BFCEF=F,：.C F A B F E,JCF/HE,:.HE工平面 4BFE,J.HELAF,:AB=BF,A B L B F,二 平 行 四 边 形 汽 E 是正方形，J.A F L B E,又 HECBE=E,.F _ L 平面 HE8,:BHu平面 HEB,C.AFYBH.(I I)以E 为坐标原点，EA,EF,EH为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系,在中，:。为 E”的中点，1 1：.DE=EH=CF=1,则/(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),：.A
48、C=(-2,2,0),AD=(-2,0,1),AB=(0,2,0),设平面/8 C 的法向量益=(x,y,z),则 色 玄=-2 x+2 y=0,取 i 得3(,0,i),m-AB=2y=0设平面4D C 的法向量1=(a,b,c),则n-A C=-2 a+2 b +2 c=0t 取 户？，得;U (1,-1.2),71 AD=-2a 4-c=0cosO n,n Tm-n38|m|-|n|42x46 2由图知平面ADC和平面ABC所成角为钝角,平面ADC与平面ABC所成角的余弦值为一空.第6 5页 共1 1 4页1 2.在如图所示的几何体中，四边形/8 C Z 是菱形，Z B A D=1 2
49、0 ,平面/8 C Z),AE/CF.(1)求证：D F平面4BE；(2)若A D=A E=2 C F=2,求该几何体的表面积.【解答】解：(1)证明：因为/EC F,C FC平面/8 E,所以C F平面/8 E,因为四边形/8 C。是菱形，所以 CD/AB,由于C 7 X平面所以8 平面力8 E,又 C F H C D=C,所以平面C DF平面ABE,又u 平面CDF,第 6 6 页 共 114页所以。F 平面Z8E.(2)由/C F,知/,C,F,四点共面，连接/C,于是该几何体是由两个相同的四棱锥8-NCFE,。-/C FE 构成的,由题意知，SABE=4 x 2 x 2=2,SABC=
50、*X 2 X 2 X sin60=V3,SBCF=去 义 2 x 1=1,在A B E F 中,E F=小,B E=2&,B F=由,SABEF=1 X 2V2 X V3=V6,所以该几何体的表面积为 2X(SAABH+SABC+SBCF+SABEF)6+2 3+2 6.1 3.如图，在四棱锥尸-/8C中，口。是等边三角形，平面以。，平面/8 C Q,底面N8CD 是直角梯形，A D/B C,已知 AD=28C=4,ZB A D=6 0 .(I)若 E 为我的中点，求证：8E平面PCA；(II)求二面角B-P C-D的正弦值.【解答】解：(I)证明：如图，取尸。的中点足连接/，C F,则 E/