《2020年河南省全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年河南省全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版).pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1页（共 2 3页）2 0 2 0 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）若 z 1+i，则|z2 2 z|（）A 0 B 1 C D 22（5 分）设 集 合 A x|x2 4 0，B x|2 x+a 0，且 A B x|2 x 1，则 a（）A 4 B 2 C 2 D 43（5 分）埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古 代 世 界 建 筑 奇 迹 之 一，它 的 形 状 可 视 为 一 个
2、正 四 棱 锥 以 该四 棱 锥 的 高 为 边 长 的 正 方 形 面 积 等 于 该 四 棱 锥 一 个 侧 面 三 角 形 的 面 积，则 其 侧 面 三 角 形底 边 上 的 高 与 底 面 正 方 形 的 边 长 的 比 值 为（）A B C D 4（5 分）已 知 A 为 抛 物 线 C：y2 2 p x（p 0）上 一 点，点 A 到 C 的 焦 点 的 距 离 为 1 2，到y 轴 的 距 离 为 9，则 p（）A 2 B 3 C 6 D 95（5 分）某 校 一 个 课 外 学 习 小 组 为 研 究 某 作 物 种 子 的 发 芽 率 y 和 温 度 x（单 位：）的 关系
3、，在 2 0 个 不 同 的 温 度 条 件 下 进 行 种 子 发 芽 实 验，由 实 验 数 据（x i，y i）（i 1，2，2 0）得 到 下 面 的 散 点 图：第 2页（共 2 3页）由 此 散 点 图，在 1 0 至 4 0 之 间，下 面 四 个 回 归 方 程 类 型 中 最 适 宜 作 为 发 芽 率 y 和 温 度x 的 回 归 方 程 类 型 的 是（）A y a+b x B y a+b x2C y a+b exD y a+b l n x6（5 分）函 数 f（x）x4 2 x3的 图 象 在 点（1，f（1）处 的 切 线 方 程 为（）A y 2 x 1 B y 2
4、 x+1 C y 2 x 3 D y 2 x+17（5 分）设 函 数 f（x）c o s（x+）在，的 图 象 大 致 如 图，则 f（x）的 最 小 正周 期 为（）A B C D 8（5 分）（x+）（x+y）5的 展 开 式 中 x3y3的 系 数 为（）A 5 B 1 0 C 1 5 D 2 09（5 分）已 知（0，），且 3 c o s 2 8 c o s 5，则 s i n（）A B C D 1 0（5 分）已 知 A，B，C 为 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点，O 1 为 A B C 的 外 接 圆 若 O 1 的面 积 为 4，A B B C A C O O 1，则
5、 球 O 的 表 面 积 为（）A 6 4 B 4 8 C 3 6 D 3 2 1 1（5 分）已 知 M：x2+y2 2 x 2 y 2 0，直 线 l：2 x+y+2 0，P 为 l 上 的 动 点 过 点 P作 M 的 切 线 P A，P B，切 点 为 A，B，当|P M|A B|最 小 时，直 线 A B 的 方 程 为（）A 2 x y 1 0 B 2 x+y 1 0 C 2 x y+1 0 D 2 x+y+1 01 2（5 分）若 2a+l o g 2 a 4b+2 l o g 4 b，则（）A a 2 b B a 2 b C a b2D a b2二、填 空 题：本 题 共 4
6、小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。第 3页（共 2 3页）1 3（5 分）若 x，y 满 足 约 束 条 件 则 z x+7 y 的 最 大 值 为 1 4（5 分）设，为 单 位 向 量，且|+|1，则|1 5（5 分）已 知 F 为 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 右 焦 点，A 为 C 的 右 顶 点，B 为 C 上 的 点，且 B F 垂 直 于 x 轴 若 A B 的 斜 率 为 3，则 C 的 离 心 率 为 1 6（5 分）如 图，在 三 棱 锥 P A B C 的 平 面 展 开 图 中，A C 1，A B A D，A B A C，A B A D，C A E
7、3 0，则 c o s F C B 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）设 a n 是 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列，a 1 为 a 2，a 3 的 等 差 中 项（1）求 a n 的 公 比；（2）若 a 1 1，求 数 列 n a n 的 前 n 项 和 1 8（1 2 分）如 图，D 为 圆 锥 的 顶 点
8、，O 是 圆 锥 底 面 的 圆 心，A E 为 底 面 直 径，A E A D A B C 是 底 面 的 内 接 正 三 角 形，P 为 D O 上 一 点，P O D O（1）证 明：P A 平 面 P B C；（2）求 二 面 角 B P C E 的 余 弦 值 第 4页（共 2 3页）1 9（1 2 分）甲、乙、丙 三 位 同 学 进 行 羽 毛 球 比 赛，约 定 赛 制 如 下：累 计 负 两 场 者 被 淘 汰：比 赛 前 抽 签 决 定 首 先 比 赛 的 两 人，另 一 人 轮 空；每 场 比 赛 的 胜 者与 轮 空 者 进 行 下 一 场 比 赛，负 者 下 一 场 轮
9、 空，直 至 有 一 人 被 淘 汰；当 一 人 被 淘 汰 后，剩余 的 两 人 继 续 比 赛，直 至 其 中 一 人 被 淘 汰，另 一 人 最 终 获 胜，比 赛 结 束 经 抽 签，甲、乙 首 先 比 赛，丙 轮 空 设 每 场 比 赛 双 方 获 胜 的 概 率 都 为（1）求 甲 连 胜 四 场 的 概 率；（2）求 需 要 进 行 第 五 场 比 赛 的 概 率；（3）求 丙 最 终 获 胜 的 概 率 2 0（1 2 分）已 知 A，B 分 别 为 椭 圆 E：+y2 1（a 1）的 左、右 顶 点，G 为 E 的 上 顶 点，8 P 为 直 线 x 6 上 的 动 点，P
10、A 与 E 的 另 一 交 点 为 C，P B 与 E 的 另 一 交 点 为 D（1）求 E 的 方 程；（2）证 明：直 线 C D 过 定 点 第 5页（共 2 3页）2 1（1 2 分）已 知 函 数 f（x）ex+a x2 x（1）当 a 1 时，讨 论 f（x）的 单 调 性；（2）当 x 0 时，f（x）x3+1，求 a 的 取 值 范 围（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）在 直
11、角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 1 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数）以 坐标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 2 的 极 坐 标 方 程 为 4 c o s 1 6 s i n+3 0（1）当 k 1 时，C 1 是 什 么 曲 线？（2）当 k 4 时，求 C 1 与 C 2 的 公 共 点 的 直 角 坐 标 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）2 3 已 知 函 数 f（x）|3 x+1|2|x 1|（1）画 出 y f（x）的 图 象；（2）求 不 等 式 f（x）f（x+1）的 解 集 第 6页（
12、共 2 3页）2 0 2 0 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）若 z 1+i，则|z2 2 z|（）A 0 B 1 C D 2【分 析】由 复 数 的 乘 方 和 加 减 运 算，化 简 z2 2 z，再 由 复 数 的 模 的 定 义，计 算 可 得 所 求值【解 答】解：若 z 1+i，则 z2 2 z（1+i）2 2（1+i）2 i 2 2 i 2，则
13、|z2 2 z|2|2，故 选：D【点 评】本 题 考 查 复 数 的 运 算，考 查 复 数 的 模 的 求 法，主 要 考 查 化 简 运 算 能 力，是 一 道基 础 题 2（5 分）设 集 合 A x|x2 4 0，B x|2 x+a 0，且 A B x|2 x 1，则 a（）A 4 B 2 C 2 D 4【分 析】由 二 次 不 等 式 和 一 次 不 等 式 的 解 法，化 简 集 合 A，B，再 由 交 集 的 定 义，可 得 a的 方 程，解 方 程 可 得 a【解 答】解：集 合 A x|x2 4 0 x|2 x 2，B x|2 x+a 0 x|x a，由 A B x|2 x
14、 1，可 得 a 1，则 a 2 故 选：B【点 评】本 题 考 查 集 合 的 交 集 运 算，同 时 考 查 不 等 式 的 解 法，考 查 方 程 思 想 和 运 算 能 力，是 一 道 基 础 题 3（5 分）埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古 代 世 界 建 筑 奇 迹 之 一，它 的 形 状 可 视 为 一 个 正 四 棱 锥 以 该四 棱 锥 的 高 为 边 长 的 正 方 形 面 积 等 于 该 四 棱 锥 一 个 侧 面 三 角 形 的 面 积，则 其 侧 面 三 角 形底 边 上 的 高 与 底 面 正 方 形 的 边 长 的 比 值 为（）第 7页（共 2 3页）A B
15、C D【分 析】先 根 据 正 四 棱 锥 的 几 何 性 质 列 出 等 量 关 系，进 而 求 解 结 论【解 答】解：设 正 四 棱 锥 的 高 为 h，底 面 边 长 为 a，侧 面 三 角 形 底 边 上 的 高 为 h，则 依 题 意 有：，因 此 有 h 2（）2 a h 4（）2 2（）1 0（负 值 舍去）；故 选：C【点 评】本 题 主 要 考 查 棱 锥 的 几 何 性 质，属 于 中 档 题 4（5 分）已 知 A 为 抛 物 线 C：y2 2 p x（p 0）上 一 点，点 A 到 C 的 焦 点 的 距 离 为 1 2，到y 轴 的 距 离 为 9，则 p（）A 2
16、 B 3 C 6 D 9【分 析】直 接 利 用 抛 物 线 的 性 质 解 题 即 可【解 答】解：A 为 抛 物 线 C：y2 2 p x（p 0）上 一 点，点 A 到 C 的 焦 点 的 距 离 为 1 2，到y 轴 的 距 离 为 9，因 为 抛 物 线 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 和 到 准 线 的 距 离 相 等，故 有：9+1 2 p 6；故 选：C【点 评】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 性 质 的 应 用，属 于 基 础 题 5（5 分）某 校 一 个 课 外 学 习 小 组 为 研 究 某 作 物 种 子 的 发 芽 率 y 和 温 度 x（单 位：）的 关系
17、，在 2 0 个 不 同 的 温 度 条 件 下 进 行 种 子 发 芽 实 验，由 实 验 数 据（x i，y i）（i 1，2，2 0）得 到 下 面 的 散 点 图：第 8页（共 2 3页）由 此 散 点 图，在 1 0 至 4 0 之 间，下 面 四 个 回 归 方 程 类 型 中 最 适 宜 作 为 发 芽 率 y 和 温 度x 的 回 归 方 程 类 型 的 是（）A y a+b x B y a+b x2C y a+b exD y a+b l n x【分 析】直 接 由 散 点 图 结 合 给 出 的 选 项 得 答 案【解 答】解：由 散 点 图 可 知，在 1 0 至 4 0
18、之 间，发 芽 率 y 和 温 度 x 所 对 应 的 点（x，y）在 一 段 对 数 函 数 的 曲 线 附 近，结 合 选 项 可 知，y a+b l n x 可 作 为 发 芽 率 y 和 温 度 x 的 回 归 方 程 类 型 故 选：D【点 评】本 题 考 查 回 归 方 程，考 查 学 生 的 读 图 视 图 能 力，是 基 础 题 6（5 分）函 数 f（x）x4 2 x3的 图 象 在 点（1，f（1）处 的 切 线 方 程 为（）A y 2 x 1 B y 2 x+1 C y 2 x 3 D y 2 x+1【分 析】求 出 原 函 数 的 导 函 数，得 到 函 数 在 x
19、1 处 的 导 数，再 求 得 f（1），然 后 利 用 直线 方 程 的 点 斜 式 求 解【解 答】解：由 f（x）x4 2 x3，得 f（x）4 x3 6 x2，f（1）4 6 2，又 f（1）1 2 1，函 数 f（x）x4 2 x3的 图 象 在 点（1，f（1）处 的 切 线 方 程 为 y（1）2（x 1），即 y 2 x+1 故 选：B【点 评】本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 过 曲 线 上 某 点 处 的 切 线 方 程，是 基 础 的 计 算 题 7（5 分）设 函 数 f（x）c o s（x+）在，的 图 象 大 致 如 图，则 f（x）的 最 小 正周 期 为（
20、）第 9页（共 2 3页）A B C D【分 析】由 图 象 观 察 可 得 最 小 正 周 期 小 于，大 于，排 除 A，D；再 由 f（）0，求 得，对 照 选 项 B，C，代 入 计 算，即 可 得 到 结 论【解 答】解：由 图 象 可 得 最 小 正 周 期 小 于（），大 于 2（），排 除 A，D；由 图 象 可 得 f（）c o s（+）0，即 为+k+，k Z，（*）若 选 B，即 有，由+k+，可 得 k 不 为 整 数，排 除 B；若 选 C，即 有，由+k+，可 得 k 1，成 立 故 选：C【点 评】本 题 考 查 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质，主 要 是
21、 函 数 的 周 期 的 求 法，运 用 排 除 法 是 迅速 解 题 的 关 键，属 于 中 档 题 8（5 分）（x+）（x+y）5的 展 开 式 中 x3y3的 系 数 为（）A 5 B 1 0 C 1 5 D 2 0【分 析】先 把 条 件 整 理 转 化 为 求（x2+y2）（x+y）5展 开 式 中 x4y3的 系 数，再 结 合 二 项 式的 展 开 式 的 特 点 即 可 求 解【解 答】解：因 为（x+）（x+y）5；要 求 展 开 式 中 x3y3的 系 数 即 为 求（x2+y2）（x+y）5展 开 式 中 x4y3的 系 数；展 开 式 含 x4y3的 项 为：x2 x
22、2 y3+y2 x4 y 1 5 x4y3；第 1 0页（共 2 3页）故（x+）（x+y）5的 展 开 式 中 x3y3的 系 数 为 1 5；故 选：C【点 评】本 题 主 要 考 查 二 项 式 定 理 的 应 用，二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式，二 项 式 系 数 的 性质，属 基 础 题 9（5 分）已 知（0，），且 3 c o s 2 8 c o s 5，则 s i n（）A B C D【分 析】利 用 二 倍 角 的 余 弦 把 已 知 等 式 变 形，化 为 关 于 c o s 的 一 元 二 次 方 程，求 解 后 再由 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系
23、式 求 得 s i n 的 值【解 答】解：由 3 c o s 2 8 c o s 5，得 3（2 c o s2 1）8 c o s 5 0，即 3 c o s2 4 c o s 4 0，解 得 c o s 2（舍 去），或 c o s（0，），（，），则 s i n 故 选：A【点 评】本 题 考 查 三 角 函 数 的 化 简 求 值，考 查 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 与 二 倍 角 公 式 的应 用，是 基 础 题 1 0（5 分）已 知 A，B，C 为 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点，O 1 为 A B C 的 外 接 圆 若 O 1 的面 积 为 4，A B
24、 B C A C O O 1，则 球 O 的 表 面 积 为（）A 6 4 B 4 8 C 3 6 D 3 2【分 析】画 出 图 形，利 用 已 知 条 件 求 出 O O 1，然 后 求 解 球 的 半 径，即 可 求 解 球 的 表 面 积【解 答】解：由 题 意 可 知 图 形 如 图：O 1 的 面 积 为 4，可 得 O 1 A 2，则A O 1 A B s i n 6 0，A B B C A C O O 1 2，外 接 球 的 半 径 为：R 4，球 O 的 表 面 积：4 42 6 4 故 选：A 第 1 1页（共 2 3页）【点 评】本 题 考 查 球 的 内 接 体 问 题
25、，球 的 表 面 积 的 求 法，求 解 球 的 半 径 是 解 题 的 关 键 1 1（5 分）已 知 M：x2+y2 2 x 2 y 2 0，直 线 l：2 x+y+2 0，P 为 l 上 的 动 点 过 点 P作 M 的 切 线 P A，P B，切 点 为 A，B，当|P M|A B|最 小 时，直 线 A B 的 方 程 为（）A 2 x y 1 0 B 2 x+y 1 0 C 2 x y+1 0 D 2 x+y+1 0【分 析】由 已 知 结 合 四 边 形 面 积 公 式 及 三 角 形 面 积 公 式 可 得|P M|A B|，说 明 要 使|P M|A B|最 小，则 需|P
26、M|最 小，此 时 P M 与 直 线 l 垂 直 写 出 P M 所 在 直 线 方 程，与 直 线 l 的 方 程 联 立，求 得 P 点 坐 标，然 后 写 出 以 P M 为 直 径 的 圆 的 方 程，再 与 圆 M 的方 程 联 立 可 得 A B 所 在 直 线 方 程【解 答】解：化 圆 M 为（x 1）2+（y 1）2 4，圆 心 M（1，1），半 径 r 2 2 S P A M|P A|A M|2|P A|要 使|P M|A B|最 小，则 需|P M|最 小，此 时 P M 与 直 线 l 垂 直 直 线 P M 的 方 程 为 y 1（x 1），即 y，联 立，解 得
27、P（1，0）则 以 P M 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 联 立，可 得 直 线 A B 的 方 程 为 2 x+y+1 0 故 选：D【点 评】本 题 考 查 直 线 与 圆 位 置 关 系 的 应 用，考 查 圆 的 切 线 方 程，考 查 过 圆 两 切 点 的 直线 方 程 的 求 法，是 中 档 题 1 2（5 分）若 2a+l o g 2 a 4b+2 l o g 4 b，则（）第 1 2页（共 2 3页）A a 2 b B a 2 b C a b2D a b2【分 析】先 根 据 指 数 函 数 以 及 对 数 函 数 的 性 质 得 到 2a+l o g 2 a 22 b
28、+l o g 2 2 b；再 借 助 于 函 数的 单 调 性 即 可 求 解 结 论【解 答】解：因 为 2a+l o g 2 a 4b+2 l o g 4 b 22 b+l o g 2 b；因 为 22 b+l o g 2 b 22 b+l o g 2 2 b 22 b+l o g 2 b+1 即 2a+l o g 2 a 22 b+l o g 2 2 b；令 f（x）2x+l o g 2 x，由 指 对 数 函 数 的 单 调 性 可 得 f（x）在（0，+）内 单 调 递 增；且 f（a）f（2 b）a 2 b；故 选：B【点 评】本 题 主 要 考 查 指 数 函 数 以 及 对 数
29、 函 数 性 质 的 应 用，属 于 基 础 题 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）若 x，y 满 足 约 束 条 件 则 z x+7 y 的 最 大 值 为 1【分 析】先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域，再 利 用 几 何 意 义 求 最 值，只 需 求 出 可 行 域 直 线 在 y轴 上 的 截 距 最 大 值 即 可【解 答】解：x，y 满 足 约 束 条 件，不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示，由，可 得 A（1，0）时，目 标 函 数 z x+7 y，可 得 y x+，当 直 线 y x
30、+过 点 A 时，在 y 轴 上 截 距 最 大，此 时 z 取 得 最 大 值：1+7 0 1 故 答 案 为：1 第 1 3页（共 2 3页）【点 评】本 题 主 要 考 查 了 简 单 的 线 性 规 划，以 及 利 用 几 何 意 义 求 最 值，属 于 基 础 题 1 4（5 分）设，为 单 位 向 量，且|+|1，则|【分 析】直 接 利 用 向 量 的 模 的 平 方，结 合 已 知 条 件 转 化 求 解 即 可【解 答】解：，为 单 位 向 量，且|+|1，|+|2 1，可 得，1+2+1 1，所 以，则|故 答 案 为：【点 评】本 题 考 查 向 量 的 模 的 求 法，
31、数 量 积 的 应 用，考 查 计 算 能 力 1 5（5 分）已 知 F 为 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 右 焦 点，A 为 C 的 右 顶 点，B 为 C 上 的 点，且 B F 垂 直 于 x 轴 若 A B 的 斜 率 为 3，则 C 的 离 心 率 为 2【分 析】利 用 已 知 条 件 求 出 A，B 的 坐 标，通 过 A B 的 斜 率 为 3，转 化 求 解 双 曲 线 的 离 心率 即 可【解 答】解：F 为 双 曲 线 C：1（a 0，b 0）的 右 焦 点（c，0），A 为 C 的右 顶 点（a，0），第 1 4页（共 2 3页）B 为 C 上 的 点，且
32、B F 垂 直 于 x 轴 所 以 B（c，），若 A B 的 斜 率 为 3，可 得：，b2 c2 a2，代 入 上 式 化 简 可 得 c2 3 a c 2 a2，e，可 得 e2 3 e+2 0，e 1，解 得 e 2 故 答 案 为：2【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质 的 应 用，离 心 率 的 求 法，考 查 转 化 思 想 以 及 计 算 能力 1 6（5 分）如 图，在 三 棱 锥 P A B C 的 平 面 展 开 图 中，A C 1，A B A D，A B A C，A B A D，C A E 3 0，则 c o s F C B【分 析】根 据 条 件
33、可 知 D、E、F 三 点 重 合，分 别 求 得 B C、C F、B F 即 可【解 答】解：由 已 知 得 B D A B，B C 2，因 为 D、E、F 三 点 重 合，所 以 A E A D，B F B D A B，则 在 A C E 中，由 余 弦 定 理 可 得 C E2 A C2+A E2 2 A C A E c o s C A E 1+3 2 1，所 以 C E C F 1，则 在 B C D 中，由 余 弦 定 理 得 c o s F C B，故 答 案 为：【点 评】本 题 考 查 三 棱 锥 展 开 图，涉 及 余 弦 定 理 的 应 用，数 形 结 合 思 想，属 于
34、中 档 题 第 1 5页（共 2 3页）三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）设 a n 是 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列，a 1 为 a 2，a 3 的 等 差 中 项（1）求 a n 的 公 比；（2）若 a 1 1，求 数 列 n a n 的 前 n 项 和【分 析】（1）设 a n 是 公 比 q 不 为
35、1 的 等 比 数 列，运 用 等 差 数 列 的 中 项 性 质 和 等 比 数 列的 通 项 公 式，解 方 程 可 得 公 比 q；（2）求 得 a n，n a n，运 用 数 列 的 数 列 的 错 位 相 减 法 求 和，结 合 等 比 数 列 的 求 和 公 式，化简 整 理，可 得 所 求 和【解 答】解：（1）设 a n 是 公 比 q 不 为 1 的 等 比 数 列，a 1 为 a 2，a 3 的 等 差 中 项，可 得 2 a 1 a 2+a 3，即 2 a 1 a 1 q+a 1 q2，即 为 q2+q 2 0，解 得 q 2（1 舍 去），所 以 a n 的 公 比 为
36、 2；（2）若 a 1 1，则 a n（2）n1，n a n n（2）n1，则 数 列 n a n 的 前 n 项 和 为 S n 1 1+2（2）+3（2）2+n（2）n1，2 S n 1（2）+2（2）2+3（2）3+n（2）n，两 式 相 减 可 得 3 S n 1+（2）+（2）2+（2）3+（2）n1 n（2）n n（2）n，化 简 可 得 S n，所 以 数 列 n a n 的 前 n 项 和 为【点 评】本 题 考 查 等 比 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 的 运 用，以 及 等 差 数 列 的 中 项 性 质，考 查 数 列 的 错 位 相 减 法 求 和，主
37、 要 考 查 方 程 思 想 和 化 简 运 算 能 力，属 于 中 档 题 1 8（1 2 分）如 图，D 为 圆 锥 的 顶 点，O 是 圆 锥 底 面 的 圆 心，A E 为 底 面 直 径，A E A D A B C 是 底 面 的 内 接 正 三 角 形，P 为 D O 上 一 点，P O D O 第 1 6页（共 2 3页）（1）证 明：P A 平 面 P B C；（2）求 二 面 角 B P C E 的 余 弦 值【分 析】（1）设 圆 O 的 半 径 为 1，求 出 各 线 段 的 长 度，利 用 勾 股 定 理 即 可 得 到 P A P C，P A P B，进 而 得 证；
38、（2）建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 P B C 及 平 面 P C E 的 法 向 量，利 用 向 量 的 夹 角 公 式即 可 得 解【解 答】解：（1）不 妨 设 圆 O 的 半 径 为 1，O A O B O C 1，A E A D 2，在 P A C 中，P A2+P C2 A C2，故 P A P C，同 理 可 得 P A P B，又 P B P C P，故 P A 平 面 P B C；（2）建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 有，E（0，1，0），故，设 平 面 P B C 的 法 向 量 为，则，可 取，同 理 可 求 得 平 面
39、P C E 的 法 向 量 为，故，即 二 面 角 B P C E 的 余 弦 值 为 第 1 7页（共 2 3页）【点 评】本 题 考 查 线 面 垂 直 的 判 定 以 及 利 用 空 间 向 量 求 解 二 面 角，考 查 推 理 能 力 及 计 算能 力，属 于 基 础 题 1 9（1 2 分）甲、乙、丙 三 位 同 学 进 行 羽 毛 球 比 赛，约 定 赛 制 如 下：累 计 负 两 场 者 被 淘 汰：比 赛 前 抽 签 决 定 首 先 比 赛 的 两 人，另 一 人 轮 空；每 场 比 赛 的 胜 者与 轮 空 者 进 行 下 一 场 比 赛，负 者 下 一 场 轮 空，直 至
40、 有 一 人 被 淘 汰；当 一 人 被 淘 汰 后，剩余 的 两 人 继 续 比 赛，直 至 其 中 一 人 被 淘 汰，另 一 人 最 终 获 胜，比 赛 结 束 经 抽 签，甲、乙 首 先 比 赛，丙 轮 空 设 每 场 比 赛 双 方 获 胜 的 概 率 都 为（1）求 甲 连 胜 四 场 的 概 率；（2）求 需 要 进 行 第 五 场 比 赛 的 概 率；（3）求 丙 最 终 获 胜 的 概 率【分 析】（1）甲 连 胜 四 场 只 能 是 前 四 场 全 胜，由 此 能 求 出 甲 连 胜 四 场 的 概 率（2）根 据 赛 制，至 少 需 要 进 行 四 场 比 赛，至 多 需
41、 要 进 行 五 场 比 赛，比 赛 四 场 结 束，共 有三 种 情 况，甲 连 胜 四 场 比 赛，乙 连 日 胜 四 场 比 赛，丙 上 场 后 连 胜 三 场，由 此 能 求 出 需 要进 行 五 场 比 赛 的 概 率（3）丙 最 终 获 胜，有 两 种 情 况，比 赛 四 场 结 束 且 丙 最 终 获 胜，比 赛 五 场 结 束 丙 最 终 获 胜，则 从 第 二 场 开 始 的 四 场 比 赛 按 丙 的 胜、负、轮 空 结 果 有 三 种 情 况：胜 胜 负 胜，胜 负 空 胜，负 空 胜 胜，由 此 能 求 出 丙 最 终 获 胜 的 概 率【解 答】（1）甲 连 胜 四
42、场 只 能 是 前 四 场 全 胜，P（）4（2）根 据 赛 制，至 少 需 要 进 行 四 场 比 赛，至 多 需 要 进 行 五 场 比 赛，比 赛 四 场 结 束，共 有 三 种 情 况，第 1 8页（共 2 3页）甲 连 胜 四 场 的 概 率 为，乙 连 胜 四 场 比 赛 的 概 率 为，丙 上 场 后 连 胜 三 场 的 概 率 为，需 要 进 行 五 场 比 赛 的 概 率 为：P 1（3）丙 最 终 获 胜，有 两 种 情 况，比 赛 四 场 结 束 且 丙 最 终 获 胜 的 概 率 为，比 赛 五 场 结 束 丙 最 终 获 胜，则 从 第 二 场 开 始 的 四 场 比
43、 赛 按 丙 的 胜、负、轮 空 结 果 有 三 种 情 况：胜 胜 负 胜，胜 负 空 胜，负 空 胜 胜，概 率 分 别 为，丙 最 终 获 胜 的 概 率 P【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 相 互 独 立 事 件 概 率 计 算 公 式 和 互 斥 事 件 概 率 加 法 公式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题 2 0（1 2 分）已 知 A，B 分 别 为 椭 圆 E：+y2 1（a 1）的 左、右 顶 点，G 为 E 的 上 顶 点，8 P 为 直 线 x 6 上 的 动 点，P A 与 E 的 另 一 交 点 为 C，P B
44、与 E 的 另 一 交 点 为 D（1）求 E 的 方 程；（2）证 明：直 线 C D 过 定 点【分 析】（1）求 出 a2 1 8，解 出 a，求 出 E 的 方 程 即 可；（2）联 立 直 线 和 椭 圆 的 方 程 求 出 C，D 的 坐 标，求 出 直 线 C D 的 方 程，判 断 即 可【解 答】解：如 图 示：（1）由 题 意 A（a，0），B（a，0），G（0，1），第 1 9页（共 2 3页）（a，1），（a，1），a2 1 8，解 得：a 3，故 椭 圆 E 的 方 程 是+y2 1；（2）由（1）知 A（3，0），B（3，0），设 P（6，m），则 直 线 P A
45、的 方 程 是 y（x+3），联 立（9+m2）x2+6 m2x+9 m2 8 1 0，由 韦 达 定 理 3 x c x c，代 入 直 线 P A 的 方 程 为 y（x+3）得：y c，即 C（，），直 线 P B 的 方 程 是 y（x 3），联 立 方 程（1+m2）x2 6 m2x+9 m2 9 0，由 韦 达 定 理 3 x D x D，代 入 直 线 P B 的 方 程 为 y（x 3）得 y D，即 D（，），直 线 C D 的 斜 率 K C D，直 线 C D 的 方 程 是 y（x），整 理 得：y（x），故 直 线 C D 过 定 点（，0）【点 评】本 题 考 查
46、了 求 椭 圆 的 方 程 问 题，考 查 直 线 和 椭 圆 的 关 系 以 及 直 线 方 程 问 题，是第 2 0页（共 2 3页）一 道 综 合 题 2 1（1 2 分）已 知 函 数 f（x）ex+a x2 x（1）当 a 1 时，讨 论 f（x）的 单 调 性；（2）当 x 0 时，f（x）x3+1，求 a 的 取 值 范 围【分 析】（1）求 得 a 1 时，f（x）的 解 析 式，两 次 对 x 求 得 导 数，结 合 指 数 函 数 的 值 域判 断 导 数 的 符 号，即 可 得 到 所 求 单 调 性；（2）讨 论 x 0，不 等 式 恒 成 立；x 0 时，运 用 参
47、数 分 离 和 构 造 函 数，求 得 导 数，判 断单 调 性 和 最 值，进 而 得 到 所 求 范 围【解 答】解：（1）当 a 1 时，f（x）ex+x2 x，f（x）ex+2 x 1，设 g（x）f（x），因 为 g（x）ex+2 0，可 得 g（x）在 R 上 递 增，即 f（x）在 R 上 递 增，因 为 f（0）0，所 以 当 x 0 时，f（x）0；当 x 0 时，f（x）0，所 以 f（x）的 增 区 间 为（0，+），减 区 间 为（，0）；（2）当 x 0 时，f（x）x3+1 恒 成 立，当 x 0 时，不 等 式 恒 成 立，可 得 a R；当 x 0 时，可 得
48、a 恒 成 立，设 h（x），则 h（x），可 设 m（x）ex x2 x 1，可 得 m（x）ex x 1，m（x）ex 1，由 x 0，可 得 m（x）0 恒 成 立，可 得 m（x）在（0，+）递 增，所 以 m（x）m i n m（0）0，即 m（x）0 恒 成 立，即 m（x）在（0，+）递 增，所 以 m（x）m i n m（0）0，再 令 h（x）0，可 得 x 2，当 0 x 2 时，h（x）0，h（x）在（0，2）递 增；x 2 时，h（x）0，h（x）在（2，+）递 减，所 以 h（x）m a x h（2），所 以 a，综 上 可 得 a 的 取 值 范 围 是，+）【点
49、评】本 题 考 查 导 数 的 运 用：求 单 调 性 和 最 值，考 查 构 造 函 数 法，主 要 考 查 分 类 讨 论第 2 1页（共 2 3页）思 想 和 化 简 运 算 能 力、推 理 能 力，属 于 难 题（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 1 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数）以 坐标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴
50、 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 2 的 极 坐 标 方 程 为 4 c o s 1 6 s i n+3 0（1）当 k 1 时，C 1 是 什 么 曲 线？（2）当 k 4 时，求 C 1 与 C 2 的 公 共 点 的 直 角 坐 标【分 析】（1）当 k 1 时，曲 线 C 1 的 参 数 方 程 为，（t 为 参 数），利 用 平 方 关 系 消去 参 数 t，可 得 x2+y2 1，故 C 1 是 以 原 点 为 圆 心，以 1 为 半 径 的 圆；（2）当 k 4 时，曲 线 C 1 的 参 数 方 程 为，（t 为 参 数），消 去 参 数 t，可 得 1，由 4