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1、2 0 1 8 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（全 国 一 卷）理 科 数 学一、选择题：（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）1、设 z=，则z=（）A.0 B.C.1 D.22、已知集合 A=x|x2-x-20，则 CRA=（）A、x|-1x2 B、x|-1x2C、x|x2 D、x|x-1x|x 23、某地 区经过一 年的新农 村建设，农村的经 济收入增 加了一倍，实现翻 番，为更 好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A.新农村建设后，种植收入减少B.新
2、农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 3S3=S2+S4，a1=2，则 a5=（）A、-12 B、-10 C、10 D、125、设函数 f（x）=x+（a-1）x+ax.若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x6、在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E B=（）A.34A B-14A CB.14A B-34A CC.34A B+14A
3、 CD.14A B+34A C建 设 前 经 济 收 入 构 成 比 例建 设 后 经 济 收 入 构 成 比 例7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A.2 1 7B.2 5C.3D.28.设抛物线 C：y=4x 的焦点为 F，过点（-2，0）且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则F M F N=()A.5 B.6 C.7 D.89.已知函数 f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，
4、则 a 的取值范围是()A.-1，0）B.0，+）C.-1，+）D.1，+）10.下图 来自古希 腊数学家 希波克拉 底所研究 的几何图 形。此图 由三个半 圆构成，三个半 圆的直径 分别 为 直 角 三 角 形 ABC 的 斜 边 BC，直 角 边 AB，AC.ABC 的 三 边 所 围 成 的区 域 记 为，黑 色 部 分 记 为，其 余部分记 为。在 整个图形 中随机取 一点，此 点取自，的概 率分别记 为 p1，p2，p3，则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.已知双 曲线 C：-y=1，O 为坐标 原点，F 为 C 的右焦 点，过 F 的直线 与
5、C 的两条 渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则MN=()A.32B.3 C.D.412.已知 正方 体的 棱长 为 1，每 条棱 所在 直线 与平 面 所成 的角 都相 等，则 截此 正方 体所 得截 面面积的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 x，y 满足约束条件 则 z=3x+2y 的最大值为.14.记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1，则 S6=.15.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16.已知函数 f（x
6、）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是.三.解答 题：共 70 分。解答应写 出文字说 明、证明 过程或演 算步骤。第 1721 题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必 考题：共 6 0 分。17.（12 分）在平面四边形 ABCD 中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.（1）求 cosADB；（2）若 DC=，求 BC.18.（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C到达点 P 的位置，且 PFBF.（1）证明：平面 PEF平面 ABF
7、D；（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.19.（12 分）设椭圆 C：+y=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0）.（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB.20、（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不 合格品，则更换为 合格品，检验时，先从这箱 产品中任 取 20 件产 品作检验，再根据 检验结果 决定 是 否 对余 下 的 所 有 产 品 做检 验，设 每 件 产 品为 不 合 格 品 的 概
8、率都 为 P（0P1），且 各 件产 品 是 否为不合格品相互独立。（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（P），求 f（P）的最大值点。（2）现 对一箱产 品检验了 20 件，结果恰有 2 件不 合格品，以（1）中 确定的 作为 P 的值，已知每件 产品的检 验费用为 2 元，若有不合 格品进入 用户手中，则工厂 要对每件 不 合格 品支付 25 元的 赔偿费用。（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21、（12 分）已知函数.（1）讨论 f
9、（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1,x2,证明：.（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 y=kx+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为+2 cos-3=0.（1）求 C 的直角坐标方程:（2）若 C 与 C 有且仅有三个公共点，求 C 的方程.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 f（x）=x+1-ax-1.（1）
10、当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围.绝 密 启 用 前2 0 1 8 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 试 题 参 考 答 案一、选 择 题1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A7 B 8 D 9 C 1 0 A 1 1 B 1 2 A二、填 空 题1 3 6 1 4 6 3 1 5 1 6 1 6 3 32三、解 答 题1 7 解：（1）在 A B D 中，由 正 弦 定 理 得s i n s i nB D A BA A D B.由 题 设 知，5 2,s i n
11、4 5 s i n A D B 所 以2s i n5A D B.由 题 设 知，9 0 A D B，所 以2 2 3c o s 12 5 5A D B.（2）由 题 设 及（1）知，2c os s i n5B D C A D B.在 B C D 中，由 余 弦 定 理 得2 2 22 c os225 8 2 5 2 2525.B C B D D C B D D C B D C 所 以 5 B C.1 8 解：（1）由 已 知 可 得，B F P F，B F E F，所 以 B F 平 面 P E F.又 B F 平 面 A B F D，所 以 平 面 P E F 平 面 A B F D.（2）
12、作 P H E F，垂 足 为 H.由（1）得，P H 平 面 A B F D.以 H 为 坐 标 原 点，H Fu u u r的 方 向 为 y 轴 正 方 向，|B Fu u u r为 单 位 长，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 H x y z.由（1）可 得，D E P E.又 2 D P，1 D E，所 以 3 P E.又 1 P F，2 E F，故 P E P F.可 得32P H，32E H.则(0,0,0)H，3(0,0,)2P,3(1,0)2D，3 3(1,)2 2D P u u u r，3(0,0,)2H P u u u r为 平 面 A B F D
13、的 法 向 量.设 D P 与 平 面 A B F D 所 成 角 为，则334s i n|4 3|H P D PH P D P u u u r u u u ru u u r u u u r.所 以 D P 与 平 面 A B F D 所 成 角 的 正 弦 值 为34.1 9 解：（1）由 已 知 得(1,0)F，l 的 方 程 为 1 x.由 已 知 可 得，点 A 的 坐 标 为2(1,)2或2(1,)2.所 以 A M 的 方 程 为222y x 或222y x.（2）当 l 与 x 轴 重 合 时，0 O M A O M B.当 l 与 x 轴 垂 直 时，O M 为 A B 的 垂
14、 直 平 分 线，所 以 O M A O M B.当 l 与 x 轴 不 重 合 也 不 垂 直 时，设 l 的 方 程 为(1)(0)y k x k，1 1(,)A x y，2 2(,)B x y，则12 x，22 x，直 线 M A，M B 的 斜 率 之 和 为1 21 22 2M A M By yk kx x.由1 1y k x k，2 2y k x k 得1 2 1 21 22 3()4(2)(2)M A M Bk x x k x x kk kx x.将(1)y k x 代 入2212xy 得2 2 2 2(2 1)4 2 2 0 k x k x k.所 以，2 21 2 1 2 2
15、 24 2 2,2 1 2 1k kx x x xk k.则3 3 31 2 1 2 24 4 1 2 8 42 3()4 02 1k k k k kk x x k x x kk.从 而 0M A M Bk k，故 M A，M B 的 倾 斜 角 互 补.所 以 O M A O M B.综 上，O M A O M B.2 0 解：（1）2 0 件 产 品 中 恰 有 2 件 不 合 格 品 的 概 率 为2 2 1 82 0()C(1)f p p p.因 此2 1 8 2 1 7 2 1 72 0 2 0()C 2(1)1 8(1)2 C(1)(1 1 0)f p p p p p p p p.
16、令()0 f p，得 0.1 p.当(0,0.1)p 时，()0 f p；当(0.1,1)p 时，()0 f p.所 以()f p 的 最 大 值 点 为00.1 p.（2）由（1）知，0.1 p.（）令 Y 表 示 余 下 的 1 8 0 件 产 品 中 的 不 合 格 品 件 数，依 题 意 知(180,0.1)Y B，2 0 2 2 5 X Y，即4 0 2 5 X Y.所 以(40 25)40 25 490 E X E Y E Y.（）如 果 对 余 下 的 产 品 作 检 验，则 这 一 箱 产 品 所 需 要 的 检 验 费 为 4 0 0 元.由 于 4 0 0 E X，故 应
17、该 对 余 下 的 产 品 作 检 验.2 1 解：（1）()f x 的 定 义 域 为(0,)，22 21 1()1a x a xf xx x x.（）若 2 a，则()0 f x，当 且 仅 当 2 a，1 x 时()0 f x，所 以()f x 在(0,)单 调 递 减.（）若 2 a，令()0 f x 得，242a ax 或242a ax.当2 24 4(0,)(,)2 2a a a ax U 时，()0 f x；当2 24 4(,)2 2a a a ax 时，()0 f x.所 以()f x 在24(0,)2a a，24(,)2a a 单 调 递 减，在2 24 4(,)2 2a a
18、 a a 单 调 递 增.（2）由（1）知，()f x 存 在 两 个 极 值 点 当 且 仅 当 2 a.由 于()f x 的 两 个 极 值 点1x，2x 满 足21 0 x ax，所 以1 21 x x，不 妨 设1 2x x，则21 x.由 于1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 222()()l n l n l n l n 2 l n 11 2 21f x f x x x x x xa a ax x x x x x x xxx，所 以1 21 2()()2f x f xax x 等 价 于2 2212 l n 0 x xx.设 函 数1()2 l n g x x xx
19、，由（1）知，()g x 在(0,)单 调 递 减，又(1)0 g，从 而 当(1,)x 时，()0 g x.所 以2 2212 l n x xx 0，即1 21 2()()2f x f xax x.2 2 解：（1）由 c o s x，s i n y 得2C 的 直 角 坐 标 方 程 为2 2(1)4 x y.（2）由（1）知2C 是 圆 心 为(1,0)A，半 径 为 2 的 圆.由 题 设 知，1C 是 过 点(0,2)B 且 关 于 y 轴 对 称 的 两 条 射 线.记 y 轴 右 边 的 射 线 为1l，y 轴 左 边 的 射 线 为2l.由 于B 在 圆2C 的 外 面，故1C
20、 与2C 有 且 仅 有 三 个 公 共 点 等 价 于1l 与2C 只 有 一 个 公 共 点 且2l 与2C 有 两 个 公 共 点，或2l 与2C 只 有 一 个 公 共 点 且1l 与2C 有 两 个 公 共 点.当1l 与2C 只 有 一 个 公 共 点 时，A 到1l 所 在 直 线 的 距 离 为 2，所 以2|2|21kk，故43k 或 0 k.经 检 验，当0 k 时，1l 与2C 没 有 公 共 点；当43k 时，1l 与2C 只 有 一 个 公 共 点，2l 与2C 有 两 个 公 共 点.当2l 与2C 只 有 一 个 公 共 点 时，A 到2l 所 在 直 线 的 距
21、 离 为 2，所 以2|2|21kk，故 0 k 或43k.经 检 验，当 0 k 时，1l 与2C 没 有 公 共 点；当43k 时，2l 与2C 没 有 公 共 点.综 上，所 求1C 的 方 程 为4|23y x.2 3 解：（1）当 1 a 时，()|1|1|f x x x，即2,1,()2,1 1,2,1.xf x x xx 故 不 等 式()1 f x 的 解 集 为1|2x x.（2）当(0,1)x 时|1|1|x ax x 成 立 等 价 于 当(0,1)x 时|1|1 a x 成 立.若 0 a，则 当(0,1)x 时|1|1 a x；若 0 a，|1|1 a x 的 解 集 为20 xa，所 以21a，故 0 2 a.综 上，a 的 取 值 范 围 为(0,2.