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1、.2016 年江苏普通高中会考数学真题及答案一、填空题（共 14 小题.每小题 5 分.满分 70 分）1（5 分）已知集合 A=1.2.3.6.B=x|2x3.则 AB=1.2【分析】根据已知中集合 A=1.2.3.6.B=x|2x3.结合集合交集的定义可得答案【解答】解：集合 A=1.2.3.6.B=x|2x3.AB=1.2.故答案为：1.2【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题2（5 分）复数 z=（1+2i）（3i）.其中 i 为虚数单位.则 z 的实部是5【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：z=（1+2i）（3i）=5+5i.则 z 的实部是 5
2、.故答案为：5【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题3（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中.双曲线=1 的焦距是2【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线=1 的焦距【解答】解：双曲线=1 中.a=.b=.c=.双曲线=1 的焦距是 2故答案为：2【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础4（5 分）已知一组数据 4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是0.1【分析】先求出数据 4.7.4.8.5.1.5.4.5.5 的平均数.由此能求出该组数据的方差【解答】解：数据 4.7.4.8.5.1.5.4.5.5 的
3、平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1.该组数据的方差：S2=（4.75.1）2+（4.85.1）2+（5.15.1）2+（5.45.1）2+（5.55.1）2=0.1故答案为：0.1.【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用5（5 分）函数 y=的定义域是3.1【分析】根据被开方数不小于 0.构造不等式.解得答案【解答】解：由 32xx20 得：x2+2x30.解得：x3.1.故答案为：3.1【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题6（5 分）如图是一个算法的流程图.则输出的 a 的值是9
4、【分析】根据已知的程序框图可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值.模拟程序的运行过程.可得答案【解答】解：当 a=1.b=9 时.不满足 ab.故 a=5.b=7.当 a=5.b=7 时.不满足 ab.故 a=9.b=5当 a=9.b=5 时.满足 ab.故输出的 a 值为 9.故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答7（5 分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1.2.3.4.5.6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次.则出现向上的点数之和小于 10 的概率是【分析】出现向上的点数之和小于 10 的对
5、立事件是出现向上的点数之和不小于 10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 10 的概率【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1.2.3.4.5.6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次.基本事件总数为 n=66=36.出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10.出现向上的点数之和不小于 10 包含的基本事件有：（4.6）.（6.4）.（5.5）.（5.6）.（6.5）.（6.6）.共 6 个.出现向上的点数之和小于 10 的概率：p=1=故答案为：【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公
6、式的合理运用8（5 分）已知an是等差数列.Sn是其前 n 项和.若 a1+a22=3.S5=10.则 a9的值是20【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出 a9的值【解答】解：an是等差数列.Sn是其前 n 项和.a1+a22=3.S5=10.解得 a1=4.d=3.a9=4+83=20故答案为：20【点评】本题考查等差数列的第 9 项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用9（5 分）定义在区间0.3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是7【分析】画出函数 y=sin2x 与 y=cosx
7、 在区间0.3上的图象即可得到答案【解答】解：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间0.3上的图象如下：由图可知.共 7 个交点故答案为：7【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间0.3上的图象是关键.属于中档题.10（5 分）如图.在平面直角坐标系 xOy 中.F 是椭圆+=1（ab0）的右焦点.直线y=与椭圆交于 B.C 两点.且BFC=90.则该椭圆的离心率是【分析】设右焦点 F（c.0）.将 y=代入椭圆方程求得 B.C 的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为1.结合离心率公式.计算即可得到所求值【解答】解：设右焦点 F
8、（c.0）.将 y=代入椭圆方程可得 x=a=a.可得 B（a.）.C（a.）.由BFC=90.可得 kBFkCF=1.即有=1.化简为 b2=3a24c2.由 b2=a2c2.即有 3c2=2a2.由 e=.可得 e2=.可得 e=.故答案为：【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为1.考查化简整理的运算能力.属于中档题11（5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数.在区间1.1）上.f（x）=.其中 aR.若 f（）=f（）.则 f（5a）的值是【分析】根据已知中函数的周期性.结合 f（）=f（）.可得 a 值.进而得到 f（5a）的值.【解
9、答】解：f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数.在区间1.1）上.f（x）=.f（）=f（）=+a.f（）=f（）=|=.a=.f（5a）=f（3）=f（1）=1+=.故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出 a 值.是解答的关键12（5 分）已知实数 x.y 满足.则 x2+y2的取值范围是.13【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域.设 z=x2+y2.则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.由图象知 A 到原点的距离最大.点
10、 O 到直线 BC：2x+y2=0 的距离最小.由得.即 A（2.3）.此时 z=22+32=4+9=13.点 O 到直线 BC：2x+y2=0 的距离 d=.则 z=d2=（）2=.故 z 的取值范围是.13.故答案为：.13.【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键13（5 分）如图.在ABC 中.D 是 BC 的中点.E.F 是 AD 上的两个三等分点.=4.=1.则的值是【分析】由已知可得=+.=+.=+3.=+3.=+2.=+2.结合已知求出2=.2=.可得答案【解答】解：D 是 BC 的中点.E.F 是 AD 上的两个三等分点.=+.=+.=
11、+3.=+3.=22=1.=922=4.2=.2=.又=+2.=+2.=422=.故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档.14（5 分）在锐角三角形 ABC 中.若 sinA=2sinBsinC.则 tanAtanBtanC 的最小值是8【分析】结合三角形关系和式子 sinA=2sinBsinC 可推出 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到 tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值【解答】解：由 sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsi
12、nC.可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.由三角形 ABC 为锐角三角形.则 cosB0.cosC0.在式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC.又 tanA=tan（A）=tan（B+C）=.则 tanAtanBtanC=tanBtanC.由 tanB+tanC=2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC=.令 tanBtanC=t.由 A.B.C 为锐角可得 tanA0.tanB0.tanC0.由式得 1tanBtanC0.解得 t1.tanAtanBtanC=.=（）2.由 t1 得.0.因此 tanAtanBtan
13、C 的最小值为 8.当且仅当 t=2 时取到等号.此时 tanB+tanC=4.tanBtanC=2.解得 tanB=2+.tanC=2.tanA=4.（或 tanB.tanC 互换）.此时 A.B.C 均为锐角【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性二、解答题（共 6 小题.满分 90 分）15（14 分）在ABC 中.AC=6.cosB=.C=（1）求 AB 的长；（2）求 cos（A）的值【分析】（1）利用正弦定理.即可求 AB 的长；（2）求出 cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求 cos（A）的值【解答】解：（1）ABC 中.cosB=.sinB=.
14、AB=5；（2）cosA=cos（C+B）=sinBsinCcosBcosC=A 为三角形的内角.sinA=.cos（A）=cosA+sinA=【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题16（14 分）如图.在直三棱柱 ABCA1B1C1中.D.E 分别为 AB.BC 的中点.点 F 在侧棱 B1B 上.且 B1DA1F.A1C1A1B1求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F【分析】（1）通过证明 DEAC.进而 DEA1C1.据此可得直线 DE平面 A1C1F1；（2）通过证明 A1FDE 结合题目已知条件 A1FB
15、1D.进而可得平面 B1DE平面 A1C1F【解答】解：（1）D.E 分别为 AB.BC 的中点.DE 为ABC 的中位线.DEAC.ABCA1B1C1为棱柱.ACA1C1.DEA1C1.A1C1平面 A1C1F.且 DE 平面 A1C1F.DEA1C1F；（2）ABCA1B1C1为直棱柱.AA1平面 A1B1C1.AA1A1C1.又A1C1A1B1.且 AA1A1B1=A1.AA1、A1B1平面 AA1B1B.A1C1平面 AA1B1B.DEA1C1.DE平面 AA1B1B.又A1F平面 AA1B1B.DEA1F.又A1FB1D.DEB1D=D.且 DE、B1D平面 B1DE.A1F平面 B
16、1DE.又A1F平面 A1C1F.平面 B1DE平面 A1C1F【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大17（14 分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍（1）若 AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m.则当 PO1为多少时.仓库的容积最大？【分析】（1）由正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍.可得 PO1=2m 时
17、.O1O=8m.进而可得仓库的容积；（2）设 PO1=xm.则 O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值【解答】解：（1）PO1=2m.正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍O1O=8m.仓库的容积 V=622+628=312m3.（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m.设 PO1=xm.则 O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=m.则仓库的容积 V=（）2x+（）24x=x3+312x.（0 x6）.V=26x2+312.（0 x6）.当 0 x2时.V0.V（x）单调递增；当 2x6 时.V0.V（x）单调递减；故当 x
18、=2时.V（x）取最大值；即当 PO1=2m 时.仓库的容积最大【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档.18（16 分）如图.在平面直角坐标系 xOy 中.已知以 M 为圆心的圆 M：x2+y212x14y+60=0及其上一点 A（2.4）（1）设圆 N 与 x 轴相切.与圆 M 外切.且圆心 N 在直线 x=6 上.求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点.且 BC=OA.求直线 l 的方程；（3）设点 T（t.0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q.使得+=.求实数 t 的取值范围【分析】（1）设 N（6
19、.n）.则圆 N 为：（x6）2+（yn）2=n2.n0.从而得到|7n|=|n|+5.由此能求出圆 N 的标准方程（2）由题意得 OA=2.kOA=2.设 l：y=2x+b.则圆心 M 到直线 l 的距离：d=.由此能求出直线 l 的方程（3）=.即|=.又|10.得 t22.2+2.对于任意 t22.2+2.欲使.只需要作直线 TA 的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数 t 的取值范围【解答】解：（1）N 在直线 x=6 上.设 N（6.n）.圆 N 与 x 轴相切.圆 N 为：（x6）2+（yn）2=n2.n0.又圆 N 与圆 M 外切.圆 M：x2+y212x14y+60=0
20、.即圆 M：（x6）2+（x7）2=25.|7n|=|n|+5.解得 n=1.圆 N 的标准方程为（x6）2+（y1）2=1（2）由题意得 OA=2.kOA=2.设 l：y=2x+b.则圆心 M 到直线 l 的距离：d=.则|BC|=2=2.BC=2.即 2=2.解得 b=5 或 b=15.直线 l 的方程为：y=2x+5 或 y=2x15（3）=.即.即|=|.|=.又|10.即10.解得 t22.2+2.对于任意 t22.2+2.欲使.此时.|10.只需要作直线 TA 的平行线.使圆心到直线的距离为.必然与圆交于 P、Q 两点.此时|=|.即.因此实数 t 的取值范围为 t22.2+2.【
21、点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用19（16 分）已知函数 f（x）=ax+bx（a0.b0.a1.b1）（1）设 a=2.b=求方程 f（x）=2 的根；若对于任意 xR.不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立.求实数 m 的最大值；（2）若 0a1.b1.函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1 个零点.求 ab 的值【分析】（1）利用方程.直接求解即可列出不等式.利用二次函数的性质以及函数的最值.转化求解即可（2）求出 g（x）=f（x）2=ax+bx2.求出函数的导数.构造函数 h（x）=+
22、.求出 g（x）的最小值为：g（x0）同理若 g（x0）0.g（x）至少有两个零点.与条件矛盾若 g（x0）0.利用函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1 个零点.推出 g（x0）=0.然后求解 ab=1【解答】解：函数 f（x）=ax+bx（a0.b0.a1.b1）（1）设 a=2.b=方程 f（x）=2；即：=2.可得 x=0不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立.即m（）6 恒成立令 t=.t2不等式化为：t2mt+40 在 t2 时.恒成立可得：0 或即：m2160 或 m4.m（.4实数 m 的最大值为：4.（2）g（x）=f（x）2=ax+bx2.g（x）=axlna+bxlnb
23、=ax+lnb.0a1.b1 可得.令 h（x）=+.则 h（x）是递增函数.而.lna0.lnb0.因此.x0=时.h（x0）=0.因此 x（.x0）时.h（x）0.axlnb0.则 g（x）0 x（x0.+）时.h（x）0.axlnb0.则 g（x）0.则 g（x）在（.x0）递减.（x0.+）递增.因此 g（x）的最小值为：g（x0）若 g（x0）0.xloga2 时.ax=2.bx0.则 g（x）0.因此 x1loga2.且 x1x0时.g（x1）0.因此 g（x）在（x1.x0）有零点.则 g（x）至少有两个零点.与条件矛盾若 g（x0）0.函数 g（x）=f（x）2 有且只有 1
24、个零点.g（x）的最小值为 g（x0）.可得 g（x0）=0.由 g（0）=a0+b02=0.因此 x0=0.因此=0.=1.即 lna+lnb=0.ln（ab）=0.则 ab=1可得 ab=1【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用.基本不等式的应用.函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力20（16 分）记 U=1.2.100.对数列an（nN*）和 U 的子集 T.若 T=.定义 ST=0；若T=t1.t2.tk.定义 ST=+例如：T=1.3.66时.ST=a1+a3+a66现设an（nN*）是公比为 3 的等比数列.且当 T=2.4时.ST=30（1）求数列an的通
25、项公式；（2）对任意正整数 k（1k100）.若 T1.2.k.求证：STak+1；（3）设 CU.DU.SCSD.求证：SC+SCD2SD【分析】（1）根据题意.由 ST的定义.分析可得 ST=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得 a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意.由 ST的定义.分析可得 STa1+a2+ak=1+3+32+3k1.由等比数列的前 n 项和公式计算可得证明；（3）设 A=C（CD）.B=D（CD）.则 AB=.进而分析可以将原命题转化为证明 SC2SB.分 2 种情况进行讨论：、若 B=.、若 B.可以证明得到 SA2SB.即可得
26、证明【解答】解：（1）当 T=2.4时.ST=a2+a4=a2+9a2=30.因此 a2=3.从而 a1=1.故 an=3n1.（2）STa1+a2+ak=1+3+32+3k1=3k=ak+1.（3）设 A=C（CD）.B=D（CD）.则 AB=.分析可得 SC=SA+SCD.SD=SB+SCD.则 SC+SCD2SD=SA2SB.因此原命题的等价于证明 SC2SB.由条件 SCSD.可得 SASB.、若 B=.则 SB=0.故 SA2SB.、若 B.由 SASB可得 A.设 A 中最大元素为 l.B 中最大元素为 m.若 ml+1.则其与 SAai+1amSB相矛盾.因为 AB=.所以 lm
27、.则 lm+1.SBa1+a2+am=1+3+32+3m1=.即 SA2SB.综上所述.SA2SB.故 SC+SCD2SD【点评】本题考查数列的应用.涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A【选修 41 几何证明选讲】21（10 分）如图.在ABC 中.ABC=90.BDAC.D 为垂足.E 为 BC 的中点.求证：EDC=ABD【分析】依题意.知BDC=90.EDC=C.利用C+DBC=ABD+DBC=9
28、0.可得ABD=C.从而可证得结论【解答】解：由 BDAC 可得BDC=90.因为 E 为 BC 的中点.所以 DE=CE=BC.则：EDC=C.由BDC=90.可得C+DBC=90.由ABC=90.可得ABD+DBC=90.因此ABD=C.而EDC=C.所以.EDC=ABD【点评】本题考查三角形的性质应用.利用C+DBC=ABD+DBC=90.证得ABD=C是关键.属于中档题B.【选修 42：矩阵与变换】.22（10 分）已知矩阵 A=.矩阵 B 的逆矩阵 B1=.求矩阵 AB【分析】依题意.利用矩阵变换求得 B=（B1）1=.再利用矩阵乘法的性质可求得答案【解答】解：B1=.B=（B1）1
29、=.又 A=.AB=【点评】本题考查逆变换与逆矩阵.考查矩阵乘法的性质.属于中档题C.【选修 44：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中.已知直线 l 的参数方程为（t 为参数）.椭圆 C 的参数方程为（为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A.B 两点.求线段 AB 的长【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程.然后联立方程组.求出直线与椭圆的交点坐标.代入两点间的距离公式求得答案【解答】解：由.由得.代入并整理得.由.得.两式平方相加得.联立.解得或|AB|=【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程.考查了参数方程化普通方程.考查直线与椭圆位置关系的应用.是基础题24设
30、a0.|x1|.|y2|.求证：|2x+y4|a【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|a|+|b|.结合不等式的基本性质.即可得证【解答】证明：由 a0.|x1|.|y2|.可得|2x+y4|=|2（x1）+（y2）|2|x1|+|y2|+=a.则|2x+y4|a 成立【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力.属于基础题附加题【必做题】25（10 分）如图.在平面直角坐标系 xOy 中.已知直线 l：xy2=0.抛物线 C：y2=2px（p0）（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点.求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在
31、关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q求证：线段 PQ 的中点坐标为（2p.p）；求 p 的取值范围【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标.然后求解抛物线方程（2）：设点 P（x1.y1）.Q（x2.y2）.通过抛物线方程.求解 kPQ.通过 P.Q 关于直线 l 对称.点的 kPQ=1.推出.PQ 的中点在直线 l 上.推出=2p.即可证明线段PQ 的中点坐标为（2p.p）；利用线段 PQ 中点坐标（2p.p）推出.得到关于 y2+2py+4p24p=0.有两个不相等的实数根.列出不等式即可求出 p 的范围【解答】解：（1）l：xy2=0.l 与 x 轴的交点坐标（2.0）.即抛物线的焦点坐标
32、（2.0）.抛物线 C：y2=8x（2）证明：设点 P（x1.y1）.Q（x2.y2）.则：.即：.kPQ=.又P.Q 关于直线 l 对称.kPQ=1.即 y1+y2=2p.又 PQ 的中点在直线 l 上.=2p.线段 PQ 的中点坐标为（2p.p）；因为 Q 中点坐标（2p.p）.即.即关于 y2+2py+4p24p=0.有两个不相等的实数根.0.（2p）24（4p24p）0.p【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力26（10 分）（1）求 7C4C的值；（2）设 m.nN*.nm.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+
33、1）C=（m+1）C【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出 7的值.（2）对任意 mN*.当 n=m 时.验证等式成立；再假设 n=k（km）时命题成立.推导出当 n=k+1时.命题也成立.由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C【解答】解：（1）7=4=720435=0证明：（2）对任意 mN*.当 n=m 时.左边=（m+1）=m+1.右边=（m+1）=m+1.等式成立假设 n=k（km）时命题成立.即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+k+（k+1）=（m+1）.当 n=k+1 时.左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）+（k+1）+（k+2）=.右边=（m+1）=（m+1）k+3（km+1）=（k+2）=（k+2）.=（m+1）.左边=右边.n=k+1 时.命题也成立.m.nN*.nm.（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+nC+（n+1）C=（m+1）C.【点评】本题考查组合数的计算与证明.是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数学归纳法的合理运用