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1、20162016 湖南考研数学一真题及答案湖南考研数学一真题及答案一一、选择题选择题：1 18 8 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 3232 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111A abB abC aabD aab且且且且（2）已知函数 21,1ln,1xxf xx x，则 f x的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,
2、1xxxxA F xB F xxxxxxxxxxxC F xD F xxxxxxx（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程 yp x yq x的两个解，则 q x（）2222313111xxAxxBxxCDxx（4）已知函数,0111,1,2,1x xf xxnn nn，则（）（A）0 x 是 f x的第一类间断点（B）0 x 是 f x的第二类间断点（C）f x在0 x 处连续但不可导（D）f x在0 x 处可导（5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（6）设
3、二次型222123123121323,444f x x xxxxx xx xx x，则123,2f x x x在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（C）柱面（7）设随机变量0,2NX，记2XPp，则（）（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少（8）随机试验E有三种两两不相容的结果321,AAA，且三种结果发生的概率均为31，将试验E独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果1A发生的次数，Y表示 2 次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）二、填空题：二、填空题：9 9 1414
4、小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（9）_cos1sin1lnlim200 xdttttxx（10）向量场zkxyjizyxzyxA,的旋度_rotA（11）设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定，则_1,0dz（12）设函数 21arctanaxxxxf，且 10 f，则_a（13）行列式1000100014321_.（14）设12,.,nx xx为来自总体2,N 的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则的置信度为 0
5、.95 的双侧置信区间为_.三三、解答题解答题：15152323 小题小题，共共 9494 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）已知平面区域,22 1 cos,22Drr，计算二重积分Dxdxdy.（16）（本题满分 10 分）设函数()y x满足方程20,yyky其中01k.证明：反常积分0()y x dx收敛；若(0)1,(0)1,yy求0()y x dx的值.（17）（本题满分 10 分）设函数(,)f x y满足2(,)(21),x yf x yxex且
6、(0,)1,tfyyL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tLf x yf x yI tdxdyxy，并求()I t的最小值（18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212（19）（本题满分 10 分）已知函数()f x可导，且(0)1f，10()2fx，设数列 nx满足1()(1,2.)nnxf xn，证明：（I）级数11()nnnxx绝对收敛；（II）limnnx存在，且0lim2nnx.（20）（本题满分 11 分）设矩阵1112221,11112AaBaaa 当a为何值时，方
7、程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分 11 分）已知矩阵011230000A（I）求99A（II）设 3 阶矩阵23(,)B 满足2BBA，记100123(,)B 将123,分别表示为123,的线性组合。（22）（本题满分 11 分）设二维随机变量(,)X Y在区域2,01,Dx yxxyx上服从均匀分布，令1,0,XYUXY（I）写出(,)X Y的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；（III）求ZUX的分布函数()F z.（23）设总体X的概率密度为其他,00,3,32xxxf，其中，0为未知参数，321,XXX为来自总体X的简单随机样本，令321,maxXXXT。（1）求T的概率密度（2）确定a，使得aT为的无偏估计参考答案：