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1、绝 密 启 封 并 使 用 完 毕 前试 题 类 型：2 0 1 6 年 普 通 高 等 校 招 生 全 国 统 一 考 试文 科 数 学注 意 事 项：1.本 试 卷 分 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分.第 卷 1 至 3 页，第 卷 3 至 5页.2.答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 本 试 题 相 应 的 位 置.3.全 部 答 案 在 答 题 卡 上 完 成，答 在 本 试 题 上 无 效.4.考 试 结 束 后，将 本 试 题 和 答 题 卡 一 并 交 回.第卷一.选 择 题：本 大 题 共 12 小 题，每
2、 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有一 项是 符合题目 要求 的.（1）设 集 合 1,3,5,7 A，|2 5 B x x，则 A B（A）1,3（B）3,5（C）5,7（D）1,7(2)设(1 2 i)(i)a 的 实 部 与 虚 部 相 等，其 中 a 为 实 数，则 a=（A）3（B）2（C）2（D）3（3）为 美 化 环 境，从 红、黄、白、紫 4 种 颜 色 的 花 中 任 选 2 种 花 种 在 一 个 花 坛 中，余 下 的2 种 花 种 在 另 一 个 花 坛 中，则 红 色 和 紫 色 的 花 不 在 同 一 花 坛 的 概 率 是（A）1
3、3（B）12（C）23（D）56（4）A B C 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c.已 知 5 a，2 c，2c os3A，则b=（A）2（B）3（C）2（D）3（5）直 线 l 经 过 椭 圆 的 一 个 顶 点 和 一 个 焦 点，若 椭 圆 中 心 到 l 的 距 离 为 其 短 轴 长 的14，则 该椭 圆 的 离 心 率 为（A）13（B）12（C）23（D）34（6）若 将 函 数 y=2 s i n(2 x+6)的 图 像 向 右 平 移14个 周 期 后，所 得 图 像 对 应 的 函 数 为（A）y=2 s i n(2 x+4)（B）y=2 s i
4、n(2 x+3)（C）y=2 s i n(2 x 4)（D）y=2 s i n(2 x 3)（7）如 图，某 几 何 体 的 三 视 图 是 三 个 半 径 相 等 的 圆 及 每 个 圆 中 两 条 相 互 垂 直 的 半 径.若 该 几何 体 的 体 积 是2 8 3，则 它 的 表 面 积 是（A）1 7（B）1 8（C）2 0（D）2 8（8）若 a b 0，0 c 1，则（A）l o g a c l o g b c（B）l o g c a l o g c b（C）ac cb（9）函 数 y=2 x2 e|x|在 2,2 的 图 像 大 致 为（A）（B）（C）（D）（1 0）执 行
5、右 面 的 程 序 框 图，如 果 输 入 的 0,1,x y n=1,则 输 出,x y 的 值 满 足（A）2 y x（B）3 y x（C）4 y x（D）5 y x（1 1）平 面 过 正 文 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 顶 点 A1 1/C B D 平 面,A B C D m 平 面，1 1A B B A n 平 面，则 m，n 所 成 角 的 正 弦 值 为（A）32（B）22（C）33（D）13（1 2）若 函 数1()s i n 2 s i n3f x x-x a x 在,单 调 递 增，则 a 的 取 值 范 围 是（A）1,1（B）11,3（C）1
6、 1,3 3（D）11,3 第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（1 3）设 向 量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x=.（1 4）已 知 是 第 四 象 限 角，且 s i n(+4)=35，则 t a n(4)=.（1 5）设 直 线 y=x+2 a 与 圆 C：x2+y2-2 a y-2=0 相 交 于 A，B 两 点，若，则 圆 C 的面 积 为。（1 6）某 高 科 技 企 业 生 产 产 品 A 和
7、产 品 B 需 要 甲、乙 两 种 新 型 材 料。生 产 一 件 产 品 A 需 要甲 材 料 1.5 k g，乙 材 料 1 k g，用 5 个 工 时；生 产 一 件 产 品 B 需 要 甲 材 料 0.5 k g，乙 材 料 0.3 k g，用 3 个 工 时，生 产 一 件 产 品 A 的 利 润 为 2 1 0 0 元，生 产 一 件 产 品 B 的 利 润 为 9 0 0 元。该 企 业现 有 甲 材 料 1 5 0 k g，乙 材 料 9 0 k g，则 在 不 超 过 6 0 0 个 工 时 的 条 件 下，生 产 产 品 A、产 品 B的 利 润 之 和 的 最 大 值 为
8、 元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1 7.（本 题 满 分 1 2 分）已 知 na 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列，数 列 nb 满 足1 2 1 11=3n n n nb b a b b n b 1，.（I）求 na 的 通 项 公 式；（I I）求 nb 的 前 n 项 和.1 8.（本 题 满 分 1 2 分）如 图，在 已 知 正 三 棱 锥 P-A B C 的 侧 面 是 直 角 三 角 形，P A=6，顶 点 P 在 平 面 A B C 内 的 正 投 影为 点 D，D 在 平 面 P A B 内 的 正 投 影 为 点 E，连 接 P E 并 延
9、 长 交 A B 于 点 G.（I）证 明 G 是 A B 的 中 点；（I I）在 答 题 卡 第（1 8）题 图 中 作 出 点 E 在 平 面 P A C 内 的 正 投 影 F（说 明 作 法 及 理 由），并求 四 面 体 P D E F 的 体 积（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）某 公 司 计 划 购 买 1 台 机 器，该 种 机 器 使 用 三 年 后 即 被 淘 汰.机 器 有 一 易 损 零 件，在 购 进 机 器时，可 以 额 外 购 买 这 种 零 件 作 为 备 件，每 个 2 0 0 元.在 机 器 使 用 期 间，如 果 备 件 不 足 再 购 买，则
10、 每 个 5 0 0 元.现 需 决 策 在 购 买 机 器 时 应 同 时 购 买 几 个 易 损 零 件，为 此 搜 集 并 整 理 了 1 0 0 台这 种 机 器 在 三 年 使 用 期 内 更 换 的 易 损 零 件 数，得 下 面 柱 状 图：记 x 表 示 1 台 机 器 在 三 年 使 用 期 内 需 更 换 的 易 损 零 件 数，y 表 示 1 台 机 器 在 购 买 易 损 零 件 上所 需 的 费 用（单 位：元），n 表 示 购 机 的 同 时 购 买 的 易 损 零 件 数.（I）若 n=1 9，求 y 与 x 的 函 数 解 析 式；（I I）若 要 求“需 更
11、换 的 易 损 零 件 数 不 大 于 n”的 频 率 不 小 于 0.5，求 n的 最 小 值；（I I I）假 设 这 1 0 0 台 机 器 在 购 机 的 同 时 每 台 都 购 买 1 9 个 易 损 零 件，或 每 台 都 购 买 2 0 个 易 损零 件，分 别 计 算 这 1 0 0 台 机 器 在 购 买 易 损 零 件 上 所 需 费 用 的 平 均 数，以 此 作 为 决 策 依 据，购买 1 台 机 器 的 同 时 应 购 买 1 9 个 还 是 2 0 个 易 损 零 件？（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，直 线 l:
12、y=t(t 0)交 y 轴 于 点 M，交 抛 物 线 C：22(0)y px p 于 点 P，M 关 于 点 P 的 对 称 点 为 N，连 结 O N 并 延 长 交 C 于 点 H.（I）求O HO N；（I I）除 H 以 外，直 线 M H 与 C 是 否 有 其 它 公 共 点？说 明 理 由.（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数.(I)讨 论 的 单 调 性；(I I)若 有 两 个 零 点，求a的 取 值 范 围.请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时 请
13、写 清 题号（2 2）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲如 图，O A B 是 等 腰 三 角 形，A O B=1 2 0.以 O 为 圆 心，O A 为 半 径 作 圆.(I)证 明：直 线 A B 与 O 相 切；(I I)点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四 点 共 圆，证 明：A B C D.（2 3）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 线 坐 标 系 x o y 中，曲 线 C 1 的 参 数 方 程 为（t 为 参 数，a 0）。在 以 坐 标原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴
14、为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，曲 线 C 2：=4 c o s.（I）说 明 C 1 是 哪 种 曲 线，并 将 C 1 的 方 程 化 为 极 坐 标 方 程；（I I）直 线 C 3 的 极 坐 标 方 程 为=0，其 中 0 满 足 t a n 0=2，若 曲 线 C 1 与 C 2 的 公 共 点 都 在 C 3上，求 a。（2 4）（本 小 题 满 分 1 0 分），选 修 4 5：不 等 式 选 讲已 知 函 数 f(x)=x+1-2 x-3.（I）在 答 题 卡 第（2 4）题 图 中 画 出 y=f(x)的 图 像；（I I）求 不 等 式 f(x)1 的 解 集。201
15、6 年普 通高 等校招 生全 国统一 考试文科 数参 考答案第 卷一、选 择 题：本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的.（1）B(2)A（3）C（4）D（5）B（6）D（7）A（8）B（9）D（1 0）C（1 1）A（1 2）C第 I I 卷二、填 空 题：本 大 题 共 3 小 题，每 小 题 5 分.（1 3）23（1 4）43（1 5）4（1 6）2 1 6 0 0 0三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 7）（I）由 已 知
16、，1 2 2 1 1 21,1,3a b b b b b 得1 2 2 1 1 21,1,3a b b b b b 得12 a，所 以 数 列 na 是 首 项 为 2，公 差 为 3 的 等 差 数 列，通 项 公 式 为 3 1na n.（I I）由（I）和1 1 n n n na b b nb，得13nnbb，因 此 nb 是 首 项 为 1，公 比 为13的等 比 数 列.记 nb 的 前 n 项 和 为nS，则111()3 13.12 2 313nn nS（1 8）（I）因 为 P 在 平 面 A B C 内 的 正 投 影 为 D，所 以.A B P D 因 为 D 在 平 面 P
17、 A B 内 的 正 投 影 为 E，所 以.A B D E 所 以 A B 平 面 P E D，故.A B P G 又 由 已 知 可 得，P A P B，从 而 G 是 A B 的 中 点.（I I）在 平 面 P A B 内，过 点 E 作 PB 的 平 行 线 交 PA 于 点 F，F 即 为 E 在 平 面 PAC内 的 正 投 影.理 由 如 下：由 已 知 可 得 PB PA，P B P C，又/EF PB,所 以 EF PC,因 此EF 平 面 PAC，即 点 F 为 E 在 平 面 PAC 内 的 正 投 影.连 接 CG，因 为 P 在 平 面 A B C 内 的 正 投
18、影 为 D，所 以 D 是 正 三 角 形 ABC 的 中 心.由（I）知，G 是 A B 的 中 点，所 以 D 在 C G 上，故2.3 C D C G由 题 设 可 得 P C 平 面 P A B，D E 平 面 P A B，所 以/D E P C，因 此2 1,.3 3 P E P G D E P C由 已 知，正 三 棱 锥 的 侧 面 是 直 角 三 角 形 且 6 P A，可 得 2,2 2.D E P E在 等 腰 直 角 三 角 形 E F P 中，可 得 2.E F P F所 以 四 面 体 P D E F 的 体 积1 1 42 2 2.3 2 3 V（1 9）（I）分
19、x 1 9 及 x.1 9，分 别 求 解 析 式；（I I）通 过 频 率 大 小 进 行 比 较；（I I I）分 别 求 出您 9，n=2 0 的 所 需 费 用 的 平 均 数 来 确 定。试 题 解 析：（）当 1 9 x 时，3 8 0 0 y；当 1 9 x 时，5 7 0 0 5 0 0)1 9(5 0 0 3 8 0 0 x x y，所 以 y 与 x 的 函 数 解 析 式 为)(,19,5700 500,19,3800N xx xxy.（）由 柱 状 图 知，需 更 换 的 零 件 数 不 大 于 1 8 的 概 率 为 0.4 6，不 大 于 1 9 的 概 率 为 0
20、.7，故 n 的 最 小 值 为 1 9.（）若 每 台 机 器 在 购 机 同 时 都 购 买 1 9 个 易 损 零 件，则 这 1 0 0 台 机 器 中 有 7 0 台 在 购买 易 损 零 件 上 的 费 用 为 3 8 0 0，2 0 台 的 费 用 为 4 3 0 0，1 0 台 的 费 用 为 4 8 0 0，因 此 这 1 0 0台 机 器 在 购 买 易 损 零 件 上 所 需 费 用 的 平 均 数 为 4 0 5 0)1 0 4 5 0 0 9 0 4 0 0 0(1 0 01.比 较 两 个 平 均 数 可 知，购 买 1 台 机 器 的 同 时 应 购 买 1 9
21、个 易 损 零 件.（2 0）（）由 已 知 得),0(t M，),2(2tptP.又 N 为 M 关 于 点 P 的 对 称 点，故),(2tptN，O N 的 方 程 为 xtpy，代 入 p x y 22整 理 得 0 22 2 x t px，解 得 01 x，ptx222，因 此)2,2(2tptH.所 以 N 为 O H 的 中 点，即 2|O NO H.（）直 线 M H 与 C 除 H 以 外 没 有 其 它 公 共 点.理 由 如 下：直 线 M H 的 方 程 为 xtpt y2，即)(2t yptx.代 入 p x y 22 得0 4 42 2 t t y y，解 得 t
22、y y 22 1，即 直 线 M H 与 C 只 有 一 个 公 共 点，所 以 除 H以 外 直 线 M H 与 C 没 有 其 它 公 共 点.（2 1）(I)1 2 1 1 2.x xf x x e a x x e a(i)设 0 a，则 当,1 x 时，0 f x；当 1,x 时，0 f x.所 以 在,1 单 调 递 减，在 1,单 调 递 增.(i i)设 0 a，由 0 f x 得 x=1 或 x=l n(-2 a).若2ea，则 1xf x x e e，所 以 f x 在,单 调 递 增.若2ea，则 l n(-2 a)1,故 当,l n 2 1,x a 时，0 f x；当 l
23、 n 2,1 x a 时，0 f x，所 以 f x 在,l n 2,1,a 单 调 递 增，在 l n 2,1 a 单 调 递 减.若2ea，则 2 1 l n a，故 当,1 l n 2,x a 时，0 f x，当 1,l n 2 x a 时，0 f x，所 以 f x 在,1,l n 2,a 单 调 递 增，在 1,l n 2 a 单 调 递 减.(I I)(i)设 0 a，则 由(I)知，f x 在,1 单 调 递 减，在 1,单 调 递 增.又 1 2 f e f a，取 b 满 足 b 0 且 l n2 2b a，则 2332 1 02 2af b b a b a b b，所 以
24、f x 有 两 个 零 点.(i i)设 a=0，则 2xf x x e 所 以 f x 有 一 个 零 点.(i i i)设 a 0，若2ea，则 由(I)知，f x 在 1,单 调 递 增.又 当 1 x 时，f x 0，故 f x 不 存 在 两 个 零 点；若2ea，则 由(I)知，f x 在 1,l n 2 a 单 调 递 减，在 l n 2,a 单 调 递 增.又 当 1 x 时 f x 0，故 f x不 存 在 两 个 零 点.综 上，a 的 取 值 范 围 为 0,.（2 2）（）设 E 是 A B 的 中 点，连 结 O E，因 为,1 2 0 O A O B A O B，所
25、 以 O E A B，6 0 A O E 在 R t A O E 中，12O E A O，即 O 到 直 线 A B 的 距 离 等 于 圆 O 的 半 径，所 以 直 线 A B与 O 相 切（）因 为 2 O A O D，所 以 O 不 是,A B C D 四 点 所 在 圆 的 圆 心，设 O 是,A B C D 四 点 所 在 圆 的 圆 心，作 直 线 O O 由 已 知 得 O 在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上，又 O 在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上，所 以 O O A B 同 理 可 证，O O C D 所 以/A B C D（2 3）c o s1
26、s i nx a ty a t（t 均 为 参 数）22 21 x y a 1C 为 以 0 1，为 圆 心，a 为 半 径 的 圆 方 程 为2 2 22 1 0 x y y a 2 2 2s i n x y y，2 22 s i n 1 0 a 即 为1C 的 极 坐 标 方 程24 c o s C：两 边 同 乘 得2 2 2 24 c o s c o s x y x，2 24 x y x 即 222 4 x y 3C：化 为 普 通 方 程 为 2 y x 由 题 意：1C 和2C 的 公 共 方 程 所 在 直 线 即 为3C 得：24 2 1 0 x y a，即 为3C21 0 a 1 a（2 4）如 图 所 示：4 133 2 12342x xf x x xx x，1 f x 当 1 x，4 1 x，解 得 5 x 或 3 x 1 x 当312x，3 2 1 x，解 得 1 x 或13x 113x 或312x 当32x，4 1 x，解 得 5 x 或 3 x 332x 或 5 x 综 上，13x 或 1 3 x 或 5 x 1 f x，解 集 为 11 3 53，