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1、上 海 市 2021 年 中 考 数 学 试 题一、选择 题1.下 列 实 数 中，有 理 数 是（）A.12B.13C.14D.15【答 案】C【解 析】【分 析】先 化 简 二 次 根 式，再 根 据 有 理 数 的 定 义 选 择 即 可【详 解】解：A、1 2=2 22是 无 理 数，故12是 无 理 数B、1 3=3 33是 无 理 数，故13是 无 理 数C、1 1=4 2为 有 理 数D、1 5=5 55是 无 理 数，故15是 无 理 数故 选：C【点 睛】本 题 考 查 二 次 根 式 的 化 简、无 理 数 的 定 义、有 理 数 的 定 义、熟 练 掌 握 有 理 数 的
2、 定 义 是 关 键2.下 列 单 项 式 中，2 3a b的 同 类 项 是（）A.3 2a bB.2 32 a bC.2a bD.3ab【答 案】B【解 析】【分 析】比 较 对 应 字 母 的 指 数,分 别 相 等 就 是 同 类 项【详 解】a 的 指 数 是 3，b 的 指 数 是 2，与2 3a b中 a 的 指 数 是 2，b 的 指 数 是 3 不 一 致，3 2a b不 是2 3a b的 同 类 项，不 符 合 题 意；a 的 指 数 是 2，b 的 指 数 是 3，与2 3a b中 a 的 指 数 是 2，b 的 指 数 是 3 一 致，2 32 a b是2 3a b的
3、同 类 项，符 合 题 意；a 的 指 数 是 2，b 的 指 数 是 1，与2 3a b中 a 的 指 数 是 2，b 的 指 数 是 3 不 一 致，2a b不 是2 3a b的 同 类 项，不 符 合 题 意；a 的 指 数 是 1，b 的 指 数 是 3，与2 3a b中 a 的 指 数 是 2，b 的 指 数 是 3 不 一 致，3ab不 是2 3a b的 同 类 项，不 符 合 题 意；故 选 B【点 睛】本 题 考 查 了 同 类 项，正 确 理 解 同 类 项 的 定 义 是 解 题 的 关 键 3.将 抛 物 线2(0)y ax bx c a 向 下 平 移 两 个 单 位，
4、以 下 说 法 错 误 的 是（）A.开 口 方 向 不 变 B.对 称 轴 不 变 C.y 随 x 的 变 化 情 况 不 变 D.与 y 轴 的 交 点 不 变【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 二 次 函 数 的 平 移 特 点 即 可 求 解【详 解】将 抛 物 线2(0)y ax bx c a 向 下 平 移 两 个 单 位，开 口 方 向 不 变、对 称 轴 不 变、故 y 随 x 的 变化 情 况 不 变；与 y 轴 的 交 点 改 变故 选 D【点 睛】此 题 主 要 考 查 二 次 函 数 的 函 数 与 图 象，解 题 的 关 键 是 熟 知 二 次 函 数 图 象 平
5、 移 的 特 点 4.商 店 准 备 一 种 包 装 袋 来 包 装 大 米，经 市 场 调 查 以 后，做 出 如 下 统 计 图，请 问 选 择 什 么 样 的 包 装 最 合 适（）A.2 k g/包 B.3 kg/包 C.4 kg/包 D.5kg/包【答 案】A【解 析】【分 析】选 择 人 数 最 多 的 包 装 是 最 合 适 的【详 解】由 图 可 知，选 择 1.5 k g/包-2.5 k g/包 的 范 围 内 的 人 数 最 多，选 择 在 1.5 k g/包-2.5 k g/包 的 范 围 内 的 包 装 最 合 适 故 选：A【点 睛】本 题 较 简 单，从 图 中 找
6、 到 选 择 人 数 最 多 的 包 装 的 范 围，再 逐 项 分 析 即 可 5.如 图，已 知 平 行 四 边 形 A B C D 中，,A B a A D b，E 为 A B 中 点，求12a b（）A.E C B.C E C.E D D.D E【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 向 量 的 特 点 及 加 减 法 则 即 可 求 解【详 解】四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形，E 为 A B 中 点，1 12 2a b A B B C E B B C E C 故 选 A【点 睛】此 题 主 要 考 查 向 量 的 表 示，解 题 的 关 键 是 熟 知 平 行 四
7、 边 形 的 特 点 及 向 量 的 加 减 法 则 6.如 图，已 知 长 方 形 A B C D 中，4,3 A B A D，圆 B 的 半 径 为 1，圆 A 与 圆 B 内 切，则 点,C D 与 圆 A的 位 置 关 系 是（）A.点 C 在 圆 A 外，点 D 在 圆 A 内 B.点 C 在 圆 A 外，点 D 在 圆 A 外C.点 C 在 圆 A 上，点 D 在 圆 A 内 D.点 C 在 圆 A 内，点 D 在 圆 A 外【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 内 切 得 出 圆 A 的 半 径，再 判 断 点 D、点 E 到 圆 心 的 距 离 即 可【详 解】圆 A 与 圆
8、 B 内 切，4 A B，圆 B 的 半 径 为 1 圆 A 的 半 径 为 5 3 A D 5 点 D 在 圆 A 内在 R t A B C 中，2 2 2 24 3 5 A C A B B C 点 C 在 圆 A 上故 选：C【点 睛】本 题 考 查 点 与 圆 的 位 置 关 系、圆 与 圆 的 位 置 关 系、勾 股 定 理，熟 练 掌 握 点 与 圆 的 位 置 关 系 是 关 键二、填空 题7.计 算：7 2=x x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】5x【解 析】【分 析】根 据 同 底 数 幂 的 除 法 法 则 计 算 即 可【详 解】7 2=x x
9、 5x,故 答 案 为:5x【点 睛】本 题 考 查 了 同 底 数 幂 的 除 法，熟 练 掌 握 运 算 的 法 则 是 解 题 的 关 键 8.已 知6()f xx，那 么(3)f _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 3【解 析】【分 析】直 接 利 用 已 知 的 公 式 将 x 的 值 代 入 求 出 答 案【详 解】解：6()f xx，6(3)2 33f=，故 答 案 为：2 3【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 函 数 值，正 确 把 已 知 代 入 是 解 题 关 键 9.已 知4 3 x，则x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】5【解 析】
10、【分 析】方 程 两 边 同 平 方，化 为 一 元 一 次 方 程，进 而 即 可 求 解【详 解】解：4 3 x，两 边 同 平 方，得 4 9 x，解 得：x=5，经 检 验，x=5 是 方 程 的 解，x=5，故 答 案 是：5【点 睛】本 题 主 要 考 查 解 根 式 方 程，把 根 式 方 程 化 为 整 式 方 程，是 解 题 的 关 键 1 0.不 等 式 2 1 2 0 x 的 解 集 是 _ _ _ _ _ _ _【答 案】6 x【解 析】【分 析】根 据 不 等 式 的 性 质 即 可 求 解【详 解】2 1 2 0 x 2 1 2 x 6 x 故 答 案 为：6 x【
11、点 睛】此 题 主 要 考 查 不 等 式 的 求 解，解 题 的 关 键 是 熟 知 不 等 式 的 性 质 1 1.7 0 的 余 角 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 0【解 析】【分 析】根 据 余 角 的 定 义 即 可 求 解【详 解】70 的 余 角 是 9 0-7 0=2 0 故 答 案 为：2 0【点 睛】此 题 主 要 考 查 余 角 的 求 解，解 题 的 关 键 是 熟 知 余 角 的 定 义 与 性 质 1 2.若 一 元 二 次 方 程22 3 0 x x c 无 解，则 c 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】
12、98c【解 析】【分 析】根 据 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 的 意 义 得 到 23 4 2 c 0，然 后 求 出 c 的 取 值 范 围【详 解】解：关 于 x 的 一 元 二 次 方 程22 3 0 x x c 无 解，2 a，3 b，c c，224 3 4 2 0 b a c c，解 得98c，c的 取 值 范 围 是98c 故 答 案 为：98c【点 睛】本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 a x2+b x+c=0（a 0）的 根 的 判 别 式=b2-4 a c：当 0，方 程 有 两 个 不 相等 的 实 数 根；当=0，方 程 有 两 个 相 等 的
13、实 数 根；当 0，方 程 没 有 实 数 根 1 3.有 数 据 1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4，从 这 些 数 据 中 取 一 个 数 据，得 到 偶 数 的 概 率 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】38【解 析】【分 析】根 据 概 率 公 式 计 算 即 可【详 解】根 据 概 率 公 式，得 偶 数 的 概 率 为38，故 答 案 为：38【点 睛】本 题 考 查 了 概 率 计 算，熟 练 掌 握 概 率 计 算 公 式 是 解 题 的 关 键 1 4.已 知 函 数y k x 经 过 二、四 象 限，且 函 数 不 经 过(1,1)，请 写 出 一
14、 个 符 合 条 件 的 函 数 解 析 式 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 y x（0 k 且 1 k 即 可）【解 析】【分 析】正 比 例 函 数 经 过 二、四 象 限，得 到 k 0，又 不 经 过(-1,1)，得 到 k-1，由 此 即 可 求 解【详 解】解：正 比 例 函 数y k x 经 过 二、四 象 限，k 0，当y k x 经 过(1,1)时，k=-1，由 题 意 函 数 不 经 过(1,1)，说 明 k-1，故 可 以 写 的 函 数 解 析 式 为：2 y x(本 题 答 案 不 唯 一，只 要 0 k 且 1 k 即 可)【点 睛】本 题 考 查
15、了 正 比 例 函 数 的 图 像 和 性 质，属 于 基 础 题，y k x(k 0)当 0 k 时 经 过 第 二、四 象 限；当0 k 时 经 过 第 一、三 象 限 1 5.某 人 购 进 一 批 苹 果 到 集 贸 市 场 零 售，已 知 卖 出 的 苹 果 数 量 与 售 价 之 间 的 关 系 如 图 所 示，成 本 为 5 元/千克，现 以 8 元/千 克 卖 出，赚 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元【答 案】335k【解 析】【分 析】利 用 待 定 系 数 法 求 出 函 数 关 系 式，求 出 当 售 价 为 8 元/千 克 时 的 卖 出 的 苹 果 数
16、量 再 利 用 利 润=（售价-进 价）销 售 量，求 出 利 润【详 解】设 卖 出 的 苹 果 数 量 与 售 价 之 间 的 关 系 式 为 5 1 0 y m x n x，将（5，4 k），（1 0，k）代 入 关系 式：5 410m n km n k，解 得357m kn k 37 5 1 05y k x k x 令 8 x，则1 15y k 利 润=1 1 3 38 55 5k k【点 睛】本 题 考 查 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式 和 利 润 求 解 问 题 利 润=（售 价-进 价）销 售 量 1 6.如 图，已 知12A B DB C DSS，则B O CB
17、C DSS_ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】23【解 析】【分 析】先 根 据 等 高 的 两 个 三 角 形 的 面 积 比 等 于 边 长 比，得 出12A DB C，再 根 据 A O D C O B 得 出12O D A DO B B C，再 根 据 等 高 的 两 个 三 角 形 的 面 积 比 等 于 边 长 比 计 算 即 可【详 解】解：作 A E B C，C F B D12A B DB C DSS A B D 和 B C D 等 高，高 均 为 A E112122A B DB C DA D A ES A DS B CB C A E A D B C A O D C O
18、 B12O D A DO B B C B O C 和 D O C 等 高，高 均 为 C F122112B O CD O CO B C FS O BS O DO D C F B O CB C DSS23故 答 案 为：23【点 睛】本 题 考 查 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质、等 高 的 两 个 三 角 形 的 面 积 比 等 于 边 长 比，熟 练 掌 握 三 角 形 的面 积 的 特 点 是 解 题 的 关 键1 7.六 个 带 3 0 角 的 直 角 三 角 板 拼 成 一 个 正 六 边 形，直 角 三 角 板 的 最 短 边 为 1，求 中 间 正 六 边 形 的 面
19、积_ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3 32【解 析】【分 析】由 六 个 带 3 0 角 的 直 角 三 角 板 拼 成 一 个 正 六 边 形，直 角 三 角 板 的 最 短 边 为 1，可 以 得 到 中 间 正 六 边形 的 边 长 为 1，做 辅 助 线 以 后，得 到 A B C、C D E、A E F 为 以 1 为 边 长 的 等 腰 三 角 形，A C E 为 等 边 三角 形，再 根 据 等 腰 三 角 形 与 等 边 三 角 形 的 性 质 求 出 边 长，求 出 面 积 之 和 即 可【详 解】解：如 图 所 示，连 接 A C、A E、C E，作 B G A
20、 C、D I C E、F H A E，A I C E，在 正 六 边 形 A B C D E F 中，直 角 三 角 板 的 最 短 边 为 1，正 六 边 形 A B C D E F 为 1，A B C、C D E、A E F 为 以 1 为 边 长 的 等 腰 三 角 形，A C E 为 等 边 三 角 形，A B C=C D E=E F A=1 2 0，A B=B C=C D=D E=E F=F A=1，B A G=B C G=D C E=D E C=F A E=F E A=3 0，B G=D I=F H=12，由 勾 股 定 理 得：A G=C G=C I=E I=E H=A H=32
21、，A C=A E=C E=3，由 勾 股 定 理 得：A I=32，S=1 1 1 3 3 33 3 32 2 2 2 2，故 答 案 为：3 32【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 含 3 0 度 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质、正 多 边 形 形 与 圆 以 及 等 边 三 角 形 的 性 质，关 键 在于 知 识 点：在 直 角 三 角 形 中，3 0 度 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 的 应 用 1 8.定 义：在 平 面 内，一 个 点 到 图 形 的 距 离 是 这 个 点 到 这 个 图 上 所 有 点 的 最 短 距 离，在 平 面 内 有
22、一 个 正 方 形，边 长 为 2，中 心 为 O，在 正 方 形 外 有 一 点,2 P O P，当 正 方 形 绕 着 点 O 旋 转 时，则 点 P 到 正 方 形 的 最 短 距离 d 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 2 1 d【解 析】【分 析】先 确 定 正 方 形 的 中 心 O 与 各 边 的 所 有 点 的 连 线 中 的 最 大 值 与 最 小 值，然 后 结 合 旋 转 的 条 件 即 可 求解【详 解】解：如 图 1，设 A D 的 中 点 为 E，连 接 O A，O E，则 A E=O E=1，A E O=9 0，2 O A
23、 点 O 与 正 方 形 A B C D 边 上 的 所 有 点 的 连 线 中，O E 最 小，等 于 1，O A 最 大，等 于2 2 O P，点 P 与 正 方 形 A B C D 边 上 的 所 有 点 的 连 线 中，如 图 2 所 示，当 点 E 落 在 O P 上 时，最 大 值 P E=P O-E O=2-1=1；如 图 3 所 示，当 点 A 落 在 O P 上 时，最 小 值2 2 P A P O A O 当 正 方 形 A B C D 绕 中 心 O 旋 转 时，点 P 到 正 方 形 的 距 离 d 的 取 值 范 围 是2 2 1 d 故 答 案 为：2 2 1 d【
24、点 睛】本 题 考 查 了 新 定 义、正 方 形 的 性 质、勾 股 定 理 等 知 识 点，准 确 理 解 新 定 义 的 含 义 和 熟 知 正 方 形 的性 质 是 解 题 的 关 键 三、解答 题1 9.计 算：1129|1 2|2 8【答 案】2【解 析】【分 析】根 据 分 指 数 运 算 法 则，绝 对 值 化 简，负 整 指 数 运 算 法 则，化 最 简 二 次 根 式，合 并 同 类 二 次 根 式 以及 同 类 项 即 可【详 解】解：1129|1 2|2 8，=19 1 2 2 22，=3 2 1 2，=2【点 睛】本 题 考 查 实 数 混 合 运 算，分 指 数
25、运 算 法 则，绝 对 值 符 号 化 简，负 整 指 数 运 算 法 则，化 最 简 二 次 根式，合 并 同 类 二 次 根 式 与 同 类 项，掌 握 实 数 混 合 运 算 法 则 与 运 算 顺 序，分 指 数 运 算 法 则，绝 对 值 符 号 化 简，负 整 指 数 运 算 法 则，化 最 简 二 次 根 式，合 并 同 类 二 次 根 式 与 同 类 项 是 解 题 关 键 2 0.解 方 程 组：2 234 0 x yx y【答 案】21xy 和63xy【解 析】【分 析】由 第 一 个 方 程 得 到 3 x y，再 代 入 第 二 个 方 程 中，解 一 元 二 次 方
26、程 方 程 即 可 求 出y，再 回 代 第一 个 方 程 中 即 可 求 出x【详 解】解：由 题 意：2 23(1)4 0(2)x yx y，由 方 程(1)得 到：3 x y，再 代 入 方 程(2)中：得 到：2 2(3)4 0 y y-=，进 一 步 整 理 为：3 2 y y-=或 3 2 y y-=-，解 得11 y，23 y，再 回 代 方 程(1)中，解 得 对 应 的12 x，26 x，故 方 程 组 的 解 为：21xy 和63xy【点 睛】本 题 考 查 了 代 入 消 元 法 解 方 程 及 一 元 二 次 方 程 的 解 法，熟 练 掌 握 代 入 消 元 法，运
27、算 过 程 中 细 心 即可 2 1.已 知 在 A B D 中，,8,4 A C B D B C C D，4c o s5A B C，B F 为 A D 边 上 的 中 线（1）求 A C 的 长；（2）求 t a n F B D 的 值【答 案】（1）6 A C；（2）31 0【解 析】【分 析】（1）在 R t A B C 中，利 用 三 角 函 数 即 可 求 出 A B，故 可 得 到 A C 的 长；（2）过 点 F 作 F G B D，利 用 中 位 线 的 性 质 得 到 F G，C G，再 根 据 正 切 的 定 义 即 可 求 解【详 解】（1）A C B D，4c o s5
28、A B C c o s45A B CB CA B A B=1 0 A C=2 26 A B B C-=；（2）过 点 F 作 F G B D，B F 为 A D 边 上 的 中 线 F 是 A D 中 点 F G B D，A C B D/F G A C F G 是 A C D 的 中 位 线 F G=1=2A C 3C G=1=22C D 在 R t B F G 中，t a n F B D=3 38 2 10F GB G【点 睛】此 题 主 要 考 查 解 直 角 三 角 形，解 题 的 关 键 是 熟 知 三 角 函 数 的 定 义 2 2.现 在 5 G 手 机 非 常 流 行，某 公 司
29、 第 一 季 度 总 共 生 产 8 0 万 部 5 G 手 机，三 个 月 生 产 情 况 如 下 图（1）求 三 月 份 共 生 产 了 多 少 部 手 机?（2）5 G 手 机 速 度 很 快，比 4 G 下 载 速 度 每 秒 多 9 5 M B，下 载 一 部 1 0 0 0 M B 的 电 影，5 G 比 4 G 要 快 1 9 0秒，求 5 G 手 机 的 下 载 速 度【答 案】（1）3 6 万 部；（2）1 0 0 M B/秒【解 析】【分 析】（1）根 据 扇 形 统 计 图 求 出 3 月 份 的 百 分 比，再 利 用 8 0 万 3 月 份 的 百 分 比 求 出 三
30、 月 份 共 生 产 的 手机 数；（2）设 5 G 手 机 的 下 载 速 度 为 x M B/秒，则 4 G 下 载 速 度 为 9 5 x M B/秒，根 据 下 载 一 部 1 0 0 0 M B 的 电影，5 G 比 4 G 要 快 1 9 0 秒 列 方 程 求 解【详 解】（1）3 月 份 的 百 分 比=1 3 0%2 5%4 5%三 月 份 共 生 产 的 手 机 数=8 0 4 5%=3 6（万 部）答：三 月 份 共 生 产 了 3 6 万 部 手 机（2）设 5 G 手 机 的 下 载 速 度 为 x M B/秒，则 4 G 下 载 速 度 为 9 5 x M B/秒，
31、由 题 意 可 知：1 0 0 0 1 0 0 01 9 09 5 x x 解 得：1 0 0 x 检 验：当 1 0 0 x 时，9 5 0 x x 1 0 0 x 是 原 分 式 方 程 的 解 答：5 G 手 机 的 下 载 速 度 为 1 0 0 M B/秒【点 睛】本 题 考 查 实 际 问 题 与 分 式 方 程 求 解 分 式 方 程 时，需 要 检 验 最 简 公 分 母 是 否 为 0 2 3.已 知：在 圆 O 内，弦 A D 与 弦 B C 交 于 点,G A D C B M N 分 别 是 C B 和 A D 的 中 点，联 结,M N O G（1）求 证：O G M
32、N；（2）联 结,A C A M C N，当/C N O G 时，求 证：四 边 形 A C N M 为 矩 形【答 案】（1）见 解 析；（2）见 解 析【解 析】【分 析】（1）连 结,O M O N，由 M、N 分 别 是 C B 和 A D 的 中 点，可 得 O M B C，O N A D，由 A B C D，可 得 O M O N，可 证 R t E O P R t F O P H L，M G N G M G O N G O，根 据 等 腰 三 角 形 三线 合 一 性 质 O G M N;（2）设 O G 交 M N 于 E，由 R t E O P R t F O P，可 得 M
33、 G N G，可 得 C M N A N M，1 12 2C M C B A D A N，可 证 C M N A N M 可 得 A M C N，由 C N O G，可 得9 0 A M N C N M，由+=1 8 0 A M N C N M 可 得 A M C N，可 证 A C N M 是 平 行 四 边 形，再 由9 0 A M N 可 证 四 边 形 A C N M 是 矩 形【详 解】证 明：（1）连 结,O M O N，M、N 分 别 是 C B 和 A D 的 中 点，O M，O N 为 弦 心 距，O M B C，O N A D，9 0 G M O G N O，在 O 中，A
34、 B C D，O M O N，在 R t O M G 和 R t O N G 中，O M O NO G O G，R t G O M R t G O N H L，M G N G M G O N G O，O G M N;（2）设 O G 交 M N 于 E，R t G O M R t G O N H L，M G N G，G M N G N M，即 C M N A N M，1 12 2C M C B A D A N，在 C M N 和 A N M 中C M A NC M N A N MM N N M，C M N A N M，,A M C N A M N C N M，C N O G，9 0 C N M
35、 G E M，9 0 A M N C N M，+9 0+9 0=1 8 0 A M N C N M，A M C N，A C N M 是 平 行 四 边 形，9 0 A M N，四 边 形 A C N M 是 矩 形【点 睛】本 题 考 查 垂 径 定 理，三 角 形 全 等 判 定 与 性 质，等 腰 三 角 形 判 定 与 性 质，平 行 线 判 定 与 性 质，矩 形的 判 定，掌 握 垂 径 定 理，三 角 形 全 等 判 定 与 性 质，等 腰 三 角 形 判 定 与 性 质，平 行 线 判 定 与 性 质，矩 形 的 判定 是 解 题 关 键 2 4.已 知 抛 物 线2(0)y a
36、 x c a 过 点(3,0),(1,4)P Q（1）求 抛 物 线 的 解 析 式；（2）点 A 在 直 线 P Q 上 且 在 第 一 象 限 内，过 A 作 A B x 轴 于 B，以 A B 为 斜 边 在 其 左 侧 作 等 腰 直 角 A B C 若 A 与 Q 重 合，求 C 到 抛 物 线 对 称 轴 的 距 离；若 C 落 在 抛 物 线 上，求 C 的 坐 标【答 案】（1）21 92 2y x；（2）1；点 C 的 坐 标 是52,2【解 析】【分 析】(1)将(3,0)(1,4)P Q、两 点 分 别 代 入2y ax c，得9 0,4,a ca c,解 方 程 组 即
37、 可;（2）根 据 A B=4,斜 边 上 的 高 为 2,Q 的 横 坐 标 为 1,计 算 点 C 的 横 坐 标 为-1,即 到 y 轴 的 距 离 为 1；根 据 直线 P Q 的 解 析 式，设 点 A（m，-2 m+6）,三 角 形 A B C 是 等 腰 直 角 三 角 形，用 含 有 m 的 代 数 式 表 示 点 C 的 坐标，代 入 抛 物 线 解 析 式 求 解 即 可.【详 解】（1）将(3,0)(1,4)P Q、两 点 分 别 代 入2y ax c，得9 0,4,a ca c 解 得1 9,2 2a c 所 以 抛 物 线 的 解 析 式 是21 92 2y x（2）
38、如 图 2，抛 物 线 的 对 称 轴 是 y 轴，当 点 A 与 点(1,4)Q 重 合 时，4 A B，作 C H A B 于 H A B C 是 等 腰 直 角 三 角 形，C B H 和 C A H 也 是 等 腰 直 角 三 角 形，2 C H A H B H，点 C 到 抛 物 线 的 对 称 轴 的 距 离 等 于 1 如 图 3，设 直 线 P Q 的 解 析 式 为 y=k x+b，由(3,0)(1,4)P Q、，得3 0,4,k bk b 解 得2,6,kb 直 线 P Q 的 解 析 式 为 2 6 y x，设(,2 6)A m m，2 6 A B m，所 以 3 C H
39、 B H A H m 所 以 3,(3)2 3C Cy m x m m m 将 点(2 3,3)C m m 代 入21 92 2y x，得21 93(2 3)2 2m m 整 理，得22 7 3 0 m m 因 式 分 解，得(2 1)(3)0 m m 解 得12m，或 3 m（与 点 B 重 合，舍 去）当12m 时，1 52 3 1 3 2,3 32 2m m 所 以 点 C 的 坐 标 是52,2【点 评】本 题 考 查 了 抛 物 线 解 析 式 的 确 定，一 次 函 数 解 析 式 的 确 定，等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质，一 元 二 次 方程 的 解 法，熟 练 掌 握
40、 待 定 系 数 法，灵 活 用 解 析 式 表 示 点 的 坐 标，熟 练 解 一 元 二 次 方 程 是 解 题 的 关 键 2 5.如 图，在 梯 形 A B C D 中，/,90,A D B C A B C A D C D O 是 对 角 线 A C 的 中 点，联 结 B O 并 延长 交 边 C D 或 边 A D 于 E（1）当 点 E 在 边 C D 上 时，求 证：D A C O B C；若 B E C D，求A DB C的 值；（2）若 2,3 D E O E，求 C D 的 长【答 案】（1）见 解 析；23；（2）1 19 或3 1 9【解 析】【分 析】（1）根 据
41、已 知 条 件、平 行 线 性 质 以 及 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 推 导，D A C D C A O B C O C B，由 此 可 得 D A C O B C；若 B E C D，那 么 在 R t B C E 中，由 2 3 4 可 得 2 3 4 3 0，作 D H B C 于 H 设2 A D C D m，那 么 2 B H A D m 根 据 3 0 所 对 直 角 边 是 斜 边 的 一 半 可 知 C H m，由 此 可 得A DB C的 值（2）当 点 E 在 A D 上 时，可 得 四 边 形 A B C E 是 矩 形，
42、设 A D C D x，在 R t A C E 和 R t D C E V 中，根 据2 2C E C E，列 方 程2 2 2 26(2)2 x x 求 解 即 可 当 点 E 在 C D 上 时，设 A D C D x，由 D A C O B C，得D C A CO C B C，所 以2 x O Cm B C，所 以2O C xB C m；由 E O C E C B 得E O E C O CE C E B C B，所 以3 22 3x O Cx m C B，解 出 x 的 值 即 可【详 解】（1）由 A D C D，得 1 2 由/A D B C，得 1 3 因 为 B O 是 R t
43、A B C 斜 边 上 的 中 线，所 以 O B O C 所 以 3 4 所 以 1 2 3 4 所 以 D A C O B C 若 B E C D，那 么 在 R t B C E 中，由 2 3 4 可 得 2 3 4 3 0 作 D H B C 于 H 设 2 A D C D m，那 么 2 B H A D m 在 R t D C H 中，6 0,2 D C H D C m，所 以 C H m 所 以 3 B C B H C H m 所 以2 23 3A D mB C m（2）如 图 5，当 点 E 在 A D 上 时，由/,A D B C O 是 A C 的 中 点，可 得 O B O
44、 E，所 以 四 边 形 A B C E 是 平 行 四 边 形 又 因 为 9 0 A B C，所 以 四 边 形 A B C E 是 矩 形，设 A D C D x，已 知 2 D E，所 以 2 A E x=-已 知 3 O E，所 以 6 A C 在 R t A C E 和 R t D C E V 中，根 据2 2C E C E，列 方 程2 2 2 26(2)2 x x 解 得1 1 9 x，或1 1 9 x（舍 去 负 值）如 图 6，当 点 E 在 C D 上 时，设 A D C D x，已 知 2 D E，所 以 2 C E x 设 O B O C m，已 知 3 O E，那
45、么 3 E B m 一 方 面，由 D A C O B C，得D C A CO C B C，所 以2 x O Cm B C，所 以2O C xB C m，另 一 方 面，由 2 4 B E C，是 公 共 角，得 E O C E C B 所 以E O E C O CE C E B C B，所 以3 22 3x O Cx m C B 等 量 代 换，得3 22 3 2x xx m m 由32 2xx m，得226x xm 将226x xm 代 入3 22 3xx m，整 理，得26 1 0 0 x x 解 得3 19 x，或3 19 x（舍 去 负 值）【点 睛】本 题 主 要 考 查 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质，斜 边 上 的 中 线，勾 股 定 理 等，能 够 运 用 相 似 三 角 形 边 的关 系 列 方 程 是 解 题 的 关 键