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1、12 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（新 课 标）理 科数 学注 意 事 项：1.本 试 卷 分 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分.第 卷 1 至 3 页，第 卷 3 至 5 页.2.答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 本 试 题 相 应 的 位 置.3.全 部 答 案 在 答 题 卡 上 完 成，答 在 本 试 题 上 无 效.4.考 试 结 束 后，将 本 试 题 和 答 题 卡 一 并 交 回.第 卷一、选择 题：本大 题共 12 小题，每小 题 5 分，在每 小题 给出的 四个
2、 选项中，只有 一项 是符合题 目要 求的.1.已 知(3)(1)i z m m 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是（A）3 1，（B）1 3，（C）1,+（D）3-，2.已 知 集 合 1,2 3 A,，|(1)(2)0 B x x x x Z，则 A B（A）1（B）1 2，（C）0 1 2 3，（D）1 0 1 2 3，3.已 知 向 量(1,)(3,2)a m b，=，且()a b b，则 m=（A）8（B）6（C）6（D）84.圆2 22 8 1 3 0 x y x y 的 圆 心 到 直 线1 0 ax y 的 距 离 为
3、 1，则 a=（A）43（B）34（C）3（D）25.如 图，小 明 从 街 道 的 E 处 出 发，先 到 F 处 与 小 红 会 合，再 一 起 到 位 于 G 处 的 老 年 公 寓 参 加 志 愿 者活 动，则 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 选 择 的 最 短 路 径 条 数 为（A）2 4（B）1 8（C）1 2（D）96.右 图 是 由 圆 柱 与 圆 锥 组 合 而 成 的 几 何 体 的 三 视 图，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为（A）2 0（B）2 4（C）2 8（D）3 2 27.若 将 函 数 y=2 s i n 2 x 的 图 像 向 左 平 移1 2个
4、单 位 长 度，则 平 移 后 图 象 的 对 称 轴 为（A）2 6kx k Z（B）2 6kx k Z（C）2 1 2Zkx k（D）2 1 2Zkx k 8.中 国 古 代 有 计 算 多 项 式 值 的 秦 九 韶 算 法，右 图 是 实 现 该 算 法 的 程 序 框 图.执 行 该程 序 框 图，若 输 入 的 2 x，2 n，依 次 输 入 的 a 为 2，2，5，则 输 出 的s（A）7（B）1 2（C）1 7（D）3 49.若 3c o s4 5，则 s i n 2=（A）725（B）15（C）15（D）72 51 0.从 区 间 0,1随 机 抽 取 2 n 个 数1x,2
5、x，nx，1y，2y，ny，构 成 n 个 数对 1 1,x y，2 2,x y，,n nx y，其 中 两 数 的 平 方 和 小 于 1 的 数 对 共 有 m 个，则 用 随 机 模 拟 的 方 法 得 到 的 圆 周 率的 近 似 值 为（A）4 nm（B）2 nm（C）4 mn（D）2 mn1 1.已 知1F，2F 是 双 曲 线 E：2 22 21x ya b 的 左，右 焦 点，点 M 在 E 上，1M F 与x轴 垂 直，s i n2 113M F F,则 E 的 离 心 率 为（A）2（B）32（C）3（D）21 2.已 知 函 数 R f x x 满 足 2 f x f x
6、，若 函 数1 xyx 与 y f x 图 像 的 交 点为 1 1x y，2 2x y，m mx y，则 1mi iix y（）（A）0（B）m（C）2 m（D）4 m第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 第 1 3 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2 2 4 题 为选 考 题。考 生 根 据 要 求 作 答。二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分。1 3.A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，若4c os5A，5c os13C，1 a，则 b 1 4.，是 两 个
7、平 面，m，n 是 两 条 线，有 下 列 四 个 命 题：3 如 果 m n，m，n，那 么 如 果 m，n，那 么 m n 如 果a，m，那 么m 如 果 m n，那 么 m 与所 成 的 角 和 n 与所 成 的 角 相 等 其 中 正 确 的 命 题 有.(填 写 所 有 正 确 命 题 的 编 号）1 5.有 三 张 卡 片，分 别 写 有 1 和 2，1 和 3，2 和 3 甲，乙，丙 三 人 各 取 走 一 张 卡 片，甲 看 了 乙 的 卡 片后 说：“我 与 乙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 2”，乙 看 了 丙 的 卡 片 后 说：“我 与 丙 的 卡 片 上
8、 相 同 的 数 字不 是 1”，丙 说：“我 的 卡 片 上 的 数 字 之 和 不 是 5”，则 甲 的 卡 片 上 的 数 字 是1 6.若 直 线y k x b 是 曲 线l n 2 y x 的 切 线，也 是 曲 线 l n 1 y x 的 切 线，b 三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7.（本 小 题 满 分 1 2 分）nS 为 等 差 数 列 na的 前 n 项 和，且11 a，72 8 S 记 l gn nb a，其 中 x表 示 不 超 过 x 的 最 大 整数，如 0.9 0，l g 9 9 1（）求1b，1 1b
9、，101b；（）求 数 列 nb的 前1 0 0 0项 和 1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）某 险 种 的 基 本 保 费 为 a（单 位：元），继 续 购 买 该 险 种 的 投 保 人 称 为 续 保 人，续 保 人 本 年 度 的 保 费 与其 上 年 度 出 险 次 数 的 关 联 如 下：上 年 度 出 险 次 数 0 1 2 3 4 5 保 费 0.8 5 a a 1.2 5 a 1.5 a 1.7 5 a 2 a设 该 险 种 一 续 保 人 一 年 内 出 险 次 数 与 相 应 概 率 如 下：一 年 内 出 险 次 数 0 1 2 3 4 5 概 率 0.3 0
10、0.1 5 0.2 0 0.2 0 0.1 0 0.0 5（）求 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 的 概 率；（）若 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费，求 其 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%的 概 率；（）求 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值 1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，菱 形 A B C D 的 对 角 线 A C 与 B D 交 于 点 O，5 A B，6 A C，点 E，F 分 别 在 A D，C D 上，454A E C F，E F 交 B D 于
11、点 H.将 D E F 沿 E F 折 到 D E F 的 位 置10 O D.（I）证 明：D H 平 面 A B C D；（I I）求 二 面 角 B D A C 的 正 弦 值.2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 椭 圆 E:2 213x yt 的 焦 点 在x轴 上，A 是 E 的 左 顶 点，斜 率 为(0)k k 的 直 线 交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，M A N A.（I）当 4 t，A M A N 时，求 A M N 的 面 积；（I I）当2 A M A N 时，求 k 的 取 值 范 围.2 1.（本 小 题 满 分 1 2 分）(I)讨 论
12、 函 数2(x)e2xxfx的 单 调 性，并 证 明 当 0 x 时，(2)e 2 0;xx x(I I)证 明：当 0,1)a 时，函 数 2e=(0)xa x ag x xx 有 最 小 值.设 g x的 最 小 值 为()h a，求 函 数()h a的 值 域.请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时 请 写 清 题 号2 2.（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲如 图，在 正 方 形 A B C D，E，G 分 别 在 边 D A，D C 上（不 与
13、端 点 重 合），且 D E=D G，过 D 点 作 D F C E，垂 足 为 F.(I)证 明：B，C，G，F 四 点 共 圆；(I I)若 1 A B，E 为 D A 的 中 点，求 四 边 形 B C G F 的 面 积.2 3.（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 线 坐 标 系 x O y 中，圆 C 的 方 程 为 226 2 5 x y（I）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 C 的 极 坐 标 方 程；（I I）直 线 l 的 参 数 方 程 是c o ss i nx t
14、y t（t 为 参 数），l 与 C 交 于 A、B 两 点，10 A B，求 l 的 斜 率 2 4.（本 小 题 满 分 1 0 分），选 修 4 5：不 等 式 选 讲已 知 函 数 1 12 2f x x x，M 为 不 等 式 2 f x 的 解 集.（I）求 M；（I I）证 明：当 a，b M 时，1 a b a b 52 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数学 答 案及 解析1.【解 析】A 3 0 m，1 0 m，3 1 m，故 选 A 2.【解 析】C 1 2 0 Z B x x x x，1 2 Z x x x，0 1 B，0 1
15、 2 3 A B，故 选 C 3.【解 析】D 4 2 a b m，()a b b，()1 2 2(2)0 a b b m 解 得 8 m，故 选 D 4.【解 析】A圆2 22 8 1 3 0 x y x y 化 为 标 准 方 程 为：2 21 4 4 x y，故 圆 心 为 1 4，24 111ada，解 得43a，故 选 A 5.【解 析】BE F 有 6 种 走 法，F G 有 3 种 走 法，由 乘 法 原 理 知，共 6 3 1 8 种 走 法故 选 B 6.【解 析】C几 何 体 是 圆 锥 与 圆 柱 的 组 合 体，设 圆 柱 底 面 圆 半 径 为 r，周 长 为c，圆
16、锥 母 线 长 为 l，圆 柱 高 为 h 由 图 得 2 r，2 4 c r，由 勾 股 定 理 得：222 2 3 4 l，212S r c h c l 表4 1 6 8 2 8，故 选 C 7.【解 析】B平 移 后 图 像 表 达 式 为2 s i n 21 2y x，令 2+1 2 2x k，得 对 称 轴 方 程：2 6Zkx k，故 选 B 68.【解 析】C第 一 次 运 算：0 2 2 2 s，第 二 次 运 算：2 2 2 6 s，第 三 次 运 算：6 2 5 1 7 s，故 选 C 9.【解 析】D3c o s4 5，2 7s i n 2 c o s 2 2 c o s
17、 12 4 2 5，故 选 D 1 0.【解 析】C由 题 意 得：1 2i ix y i n，在 如 图 所 示 方 格 中，而 平 方 和 小 于 1 的 点 均 在如 图 所 示 的 阴 影 中由 几 何 概 型 概 率 计 算 公 式 知41mn，4mn，故 选 C 1 1.【解 析】A离 心 率1 22 1F FeM F M F，由 正 弦 定 理 得1 22 1 1 22 2s i n321s i n s i n13F F MeM F M F F F 故 选 A 1 2.【解 析】B由 2 f x f x 得 f x关 于 0 1，对 称，而1 11xyx x 也 关 于 0 1，
18、对 称，对 于 每 一 组 对 称 点 0i ix x=2i iy y，1 1 10 22m m mi i i ii i imx y x y m，故 选 B 71 3.【解 析】2 11 34c os5A，5c os13C，3s i n5A，12s i n13C，6 3s i n s i n s i n c o s c o s s i n6 5B A C A C A C，由 正 弦 定 理 得：s i n s i nb aB A 解 得2113b 1 4.【解 析】1 5.【解 析】(1,3)由 题 意 得：丙 不 拿（2，3），若 丙（1，2），则 乙（2，3），甲（1，3）满 足，若 丙（
19、1，3），则 乙（2，3），甲（1，2）不 满 足，故 甲（1，3），1 6.【解 析】1 l n 2 l n 2 y x 的 切 线 为：111l n 1 y x xx（设 切 点 横 坐 标 为1x）l n 1 y x 的 切 线 为：222 21l n 11 1xy x xx x 1 221 221 11l n 1 l n 11x xxx xx 解 得112x 212x 1l n 1 1 l n 2 b x 1 7.【解 析】设 na 的公差为 d，7 47 2 8 S a，44 a，4 113a ad，1(1)na a n d n 1 1l g l g 1 0 b a，1 1 1 1l
20、 g l g 1 1 1 b a，1 0 1 1 0 1 1 0 1l g l g 2 b a 记 nb 的前 n 项和为nT，则1 0 0 0 1 2 1 0 0 0T b b b 1 2 1 0 0 0l g l g l g a a a 当 0 l g 1na 时，1 2 9 n，；当 1 l g 2na 时，10 11 99 n，；8当 2 l g 3na 时，100 101 999 n，；当 l g 3na 时，1 0 0 0 n 1 0 0 00 9 1 9 0 2 9 0 0 3 1 1 8 9 3 T 1 8.【解 析】设 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保
21、费 为 事 件 A，()1()1(0.3 0 0.1 5)0.5 5 P A P A 设 续 保 人 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%为 事 件 B，()0.10 0.05 3()()0.55 11P A BP B AP A 解：设 本 年 度 所 交 保 费 为 随 机 变 量 X X 0.8 5 aa1.2 5 a 1.5 a 1.7 5 a 2 aP 0.3 0 0.1 5 0.2 0 0.2 0 0.1 0 0.0 5平 均 保 费0.8 5 0.3 0 0.1 5 1.2 5 0.2 0 1.5 0.2 0 1.7 5 0.1 0 2 0.0 5 E X a a a a a
22、 0.2 5 5 0.1 5 0.2 5 0.3 0.1 7 5 0.1 1.2 3 a a a a a a a，平 均 保 费 与 基 本 保 费 比 值 为 1.2 3 1 9.【解 析】证 明：54A E C F，A E C FA D C D，E F A C 四 边 形 A B C D 为 菱 形，A C B D，E F B D，E F D H，E F D H 6 A C，3 A O；又 5 A B，A O O B，4 O B，9 1A EO H O DA O，3 D H D H，2 2 2 O D O H D H，D H O H 又 O H E F H I，D H 面 A B C D
23、建 立 如 图 坐 标 系 H x y z 5 0 0 B，1 3 0 C，0 0 3 D，1 3 0 A，4 3 0 A B u u u r，1 3 3 A D u u u r，0 6 0 A C u u u r，设 面 A B D 法 向 量 1n x y z，u r，由1100n A Bn A D 得4 3 03 3 0 x yx y z，取345xyz，13 4 5 n u r，同 理 可 得 面 A D C 的 法 向 量 23 0 1 n u u r，1 21 29 5 7 5c o s2 5 5 2 1 0n nn n u r u u ru r u u r，2 9 5s i n2
24、 5 2 0.【解 析】当 4 t 时，椭 圆 E 的 方 程 为2 214 3x y，A 点 坐 标 为 2 0，则 直 线 A M 的 方 程 为 2 y k x 1 0联 立 2 214 32x yy k x 并 整 理 得，2 2 2 23 4 1 6 1 6 1 2 0 k x k x k 解 得 2 x 或228 63 4kxk，则22 22 28 6 1 21 2 13 4 3 4kA M k kk k 因 为 A M A N，所 以2221 12 121 14133 4 1A N kkkkk 因 为A M A N，0 k，所 以2 221 2 1 21 143 43k kkkk
25、，整 理 得 21 4 4 0 k k k，24 4 0 k k 无 实 根，所 以 1 k 所 以 A M N 的 面 积 为22 1 1 1 2 1 4 41 12 2 3 4 4 9A M 直 线 A M 的 方 程 为 y k x t，联 立 2 213x yty k x t 并 整 理 得，2 2 2 2 23 2 3 0 t k x t t k x t k t 解 得x t 或2233t t k txt k，所 以22 22 23 61 13 3t t k t tA M k t kt k t k 所 以2613tA N ktkk 因 为2 A M A N 所 以2 226 62 1
26、 133t tk ktt kkk，整 理 得，236 32k ktk因 为 椭 圆 E 的 焦 点 在 x 轴，所 以 3 t，即236 332k kk，整 理 得 231 202k kk 解 得32 2 k 2 1.【解 析】证 明：2e2xxf xx 22 22 4 ee22 2xxx xf xxx x 当 x 2 2,，时，0 f x 1 1 f x 在 2 2,，和 上 单 调 递 增 0 x 时，2e 0=12xxfx 2 e 2 0 xx x 24e 2 ex xa x x a x ag xx 4e 2 e 2x xx x a x ax 322 e2xxx axx 0 1 a，由(
27、1)知，当 0 x 时，2e2xxf xx 的 值 域 为 1，只 有 一 解 使 得2e2ttat，0 2 t，当(0,)x t 时()0 g x，()g x 单 调 减；当(,)x t 时()0 g x，()g x 单 调 增 2 22e 1 ee 1 e22t tt ttta tth at t t 记 e2tk tt，在 0,2 t 时，2e 102ttk tt，k t 单 调 递 增 21 e2 4h a k t，2 2.【解 析】（）证 明：D F C E R t R t D E F C E D G D F D E F B C F D F C FD G B C D E D G，C D
28、 B C D F C FD G B C G D F B C F C F B D F G 9 0 G F B G F C C F B G F C D F G D F C 1 8 0 G F B G C B B，C，G，F 四 点 共 圆 1 2（）E 为 A D 中 点，1 A B，12D G C G D E，在 R t G F C 中，G F G C，连 接 G B，R t R t B C G B F G，1 1 12=2 1=2 2 2B C G B C G FS S 四 边 形2 3.【解 析】解：整 理 圆 的 方 程 得2 21 2 1 1 0 x y，由2 2 2c oss i nx
29、 yxy 可 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为21 2 c o s 1 1 0 记 直 线 的 斜 率 为 k，则 直 线 的 方 程 为 0 k x y，由 垂 径 定 理 及 点 到 直 线 距 离 公 式 知：2261 02 521kk，即223 6 9 01 4kk，整 理 得253k，则1 53k 2 4.【解 析】解：当12x 时，1 122 2f x x x x，若112x；当1 12 2x 时，1 11 22 2f x x x 恒 成 立；当12x 时，2 f x x，若 2 f x，112x 综 上 可 得，|1 1 M x x 当 1 1 a b，时，有 2 21 1 0 a b，即2 2 2 21 a b a b，则2 2 2 22 1 2 a b ab a ab b，则 2 21 a b a b，即 1 a b a b，证 毕