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1、12 0 1 6 年普 通高 等学 校招 生全 国统 一考 试文科 数学注 意 事 项:1 本 试 卷 分 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分。答 卷 前,考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号填 写 在 本 试 卷 和 答 题 卡 相 应 位 置 上。2 回 答 第 卷 时,选 出 每 小 题 答 案 后,用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 框 涂 黑,如 需 改 动,用 橡 皮擦 干 净 后,再 选 涂 其 他 答 案 标 号 框。写 在 本 试 卷 上 无 效。3 答 第 卷 时,将 答 案 写 在 答 题 卡 上,
2、写 在 本 试 卷 上 无 效。4 考 试 结 束,将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。第 卷一、选 择 题:本 大 题 共 1 2 小 题。每 小 题 5 分,在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 是 符 合 要 求 的。(1)已 知 集 合 1 2 3 A,2|9 B x x,则 A B(A)2 1 0 1 2 3,(B)2 1 0 1 2,(C)1 2 3,(D)1 2,(2)设 复 数 z 满 足 i 3 i z,则 z=(A)1 2 i(B)1 2 i(C)3 2 i(D)3 2 i(3)函 数=s i n()y A x 的 部 分 图 像
3、如 图 所 示,则(A)2 s i n(2)6y x(B)2 s i n(2)3y x(C)2 s i n(2+)6y x(D)2 s i n(2+)3y x(4)体 积 为 8 的 正 方 体 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上,则 该 球 面 的 表 面 积 为2(A)1 2(B)3 23(C)(D)(5)设 F 为 抛 物 线 C:y2=4 x 的 焦 点,曲 线 y=kx(k 0)与 C 交 于 点 P,P F x 轴,则 k=(A)12(B)1(C)32(D)2(6)圆 x2+y2 2 x 8 y+1 3=0 的 圆 心 到 直 线 a x+y 1=0 的 距 离 为 1,则 a
4、=(A)43(B)34(C)3(D)2(7)如 图 是 由 圆 柱 与 圆 锥 组 合 而 成 的 几 何 体 的 三 视 图,则 该 几 何 体 的 表 面 积 为(A)2 0(B)2 4(C)2 8(D)3 2(8)某 路 口 人 行 横 道 的 信 号 灯 为 红 灯 和 绿 灯 交 替 出 现,红 灯 持 续 时 间 为 4 0 秒.若 一 名 行 人 来 到 该 路 口 遇 到 红灯,则 至 少 需 要 等 待 1 5 秒 才 出 现 绿 灯 的 概 率 为 学.科 网(A)71 0(B)58(C)38(D)31 0(9)中 国 古 代 有 计 算 多 项 式 值 得 秦 九 韶 算
5、 法,右 图 是 实 现 该 算 法 的 程 序 框 图 执 行 该 程序 框 图,若 输 入 的 a 为 2,2,5,则 输 出 的 s=(A)7(B)1 2(C)1 7(D)3 4(1 0)下 列 函 数 中,其 定 义 域 和 值 域 分 别 与 函 数 y=1 0l g x的 定 义 域 和 值 域 相 同 的 是(A)y=x(B)y=l g x(C)y=2x(D)1yx(1 1)函 数()c o s 2 6 c o s()2f x x x 的 最 大 值 为(A)4(B)5(C)6(D)7(1 2)已 知 函 数 f(x)(x R)满 足 f(x)=f(2-x),若 函 数 y=|x
6、2-2 x-3|与 y=f(x)图 像 的 交 点 为(x 1,y 1),(x 2,y 2),3(x m,y m),则1=miix(A)0(B)m(C)2 m(D)4 m二 填 空 题:共 4 小 题,每 小 题 5 分.(1 3)已 知 向 量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a b,则 m=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 4)若 x,y 满 足 约 束 条 件1 03 03 0 x yx yx,则 z=x-2 y 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(1 5)A B C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若4c os5
7、A,5c o s1 3C,a=1,则 b=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 6)有 三 张 卡 片,分 别 写 有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.学.科 网 甲,乙,丙 三 人 各 取 走 一 张 卡 片,甲 看 了 乙的 卡 片 后 说:“我 与 乙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 2”,乙 看 了 丙 的 卡 片 后 说:“我 与 丙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不是 1”,丙 说:“我 的 卡 片 上 的 数 字 之 和 不 是 5”,则 甲 的 卡 片 上 的 数 字 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.三、
8、解 答 题:解 答 应 写 出 文 字 说 明,证 明 过 程 或 演 算 步 骤(1 7)(本 小 题 满 分 1 2 分)等 差 数 列 na 中,3 4 5 74,6 a a a a(I)求 na 的 通 项 公 式;(I I)设nb=na,求 数 列 nb 的 前 1 0 项 和,其 中 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数,如 0.9=0,2.6=2(1 8)(本 小 题 满 分 1 2 分)某 险 种 的 基 本 保 费 为 a(单 位:元),继 续 购 买 该 险 种 的 投 保 人 称 为 续 保 人,续 保 人 本 年 度 的 保 费 与 其 上 年度 出 险 次
9、数 的 关 联 如 下:学 科.网随 机 调 查 了 该 险 种 的 2 0 0 名 续 保 人 在 一 年 内 的 出 险 情 况,得 到 如 下 统 计 表:(I)记 A 为 事 件:“一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 不 高 于 基 本 保 费”。求 P(A)的 估 计 值;(I I)记 B 为 事 件:“一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 但 不 高 于 基 本 保 费 的 1 6 0”.4求 P(B)的 估 计 值;(I I I)求 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 估 计 值.(1 9)(本 小 题 满 分 1 2 分)如 图,菱 形 A
10、 B C D 的 对 角 线 A C 与 B D 交 于 点 O,点 E、F 分 别 在 A D,C D 上,A E=C F,E F 交 B D 于点 H,将 D E F 沿 E F 折 到 D E F 的 位 置.(I)证 明:A C H D;(I I)若55,6,2 24A B A C A E O D,求 五 棱 锥 A B C E F D 体 积.(2 0)(本 小 题 满 分 1 2 分)已 知 函 数()(1)l n(1)f x x x a x.(I)当 4 a 时,求 曲 线()y f x 在 1,(1)f 处 的 切 线 方 程;(I I)若 当 1,x 时,()0 f x,求
11、a 的 取 值 范 围.(2 1)(本 小 题 满 分 1 2 分)已 知 A 是 椭 圆 E:2 214 3x y 的 左 顶 点,斜 率 为 0 k k 的 直 线 交 E 于 A,M 两 点,点 N 在 E 上,M A N A.(I)当 A M A N 时,学.科 网 求 A M N 的 面 积(I I)当 2 A M A N 时,证 明:3 2 k.请 考 生 在 第 2 2 2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.5(2 2)(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4-1:几 何 证 明 选 讲如 图,在 正 方 形 A B
12、C D 中,E,G 分 别 在 边 D A,D C 上(不 与 端 点 重 合),且 D E=D G,过 D 点 作 D F C E,垂 足 为 F.学 科.网()证 明:B,C,G,F 四 点 共 圆;()若 A B=1,E 为 D A 的 中 点,求 四 边 形 B C G F 的 面 积.(2 3)(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4-4:坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 x O y 中,圆 C 的 方 程 为2 2(+6)+=2 5 x y.()以 坐 标 原 点 为 极 点,x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系,学.科 网 求 C 的
13、 极 坐 标 方 程;()直 线 l 的 参 数 方 程 是c o ss i nx t,y t,=(t 为 参 数),l 与 C 交 于 A,B 两 点,1 0 A B=,求 l 的 斜 率.(2 4)(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4-5:不 等 式 选 讲已 知 函 数1 1()2 2f x x x=-+,M 为 不 等 式()2 f x 的 解 集.学 科.网()求 M;()证 明:当 a,b M 时,1 a b a b+.2 0 1 6 年 普通 高等 学 校招 生全 国统 一 考试文 科数 学答 案第 卷一.选择 题(1)【答 案】D(2)【答 案】C(3)【答 案】A(4
14、)【答 案】A(5)【答 案】D(6)【答 案】A(7)【答 案】C(8)【答 案】B(9)【答 案】C(1 0)【答 案】D(1 1)【答 案】B(1 2)【答 案】B二 填空 题6(1 3)【答 案】6(1 4)【答 案】5(1 5)【答 案】2113(1 6)【答 案】1 和 3三、解答 题(1 7)(本 小 题 满 分 1 2 分)【答 案】()2 35nna;()2 4.【解 析】试 题 分 析:()根 据 等 差 数 列 的 性 质 求1a,d,从 而 求 得na;()根 据 已 知 条 件 求nb,再 求 数 列 nb 的前 1 0 项 和.试 题 解 析:()设 数 列 na
15、的 公 差 为 d,学.科 网 由 题 意 有1 12 5 4,5 3 a d a d,解 得121,5a d,所 以 na 的 通 项 公 式 为2 35nna.()由()知2 35nnb,当 n=1,2,3 时,2 31 2,15nnb;当 n=4,5 时,2 32 3,25nnb;当 n=6,7,8 时,2 33 4,35nnb;当 n=9,1 0 时,2 34 5,45nnb,所 以 数 列 nb 的 前 1 0 项 和 为 1 3 2 2 3 3 4 2 2 4.考 点:等 茶 数 列 的 性 质,数 列 的 求 和.【结 束】(1 8)(本 小 题 满 分 1 2 分)【答 案】(
16、)由60 50200求 P(A)的 估 计 值;()由30 30200求 P(B)的 估 计 值;(I I I)根 据 平 均 值 得 计 算 公式 求 解.【解 析】试 题 分 析:试 题 解 析:()事 件 A 发 生 当 且 仅 当 一 年 内 出 险 次 数 小 于 2.由 所 给 数 据 知,一 年 内 险 次 数 小 于 2 的 频 率 为6 0 5 00.5 52 0 0,7故 P(A)的 估 计 值 为 0.5 5.()事 件 B 发 生 当 且 仅 当 一 年 内 出 险 次 数 大 于 1 且 小 于 4.由 是 给 数 据 知,学.科 网 一 年 内 出 险 次 数 大
17、于 1且 小 于 4 的 频 率 为3 0 3 00.32 0 0,故 P(B)的 估 计 值 为 0.3.()由 题 所 求 分 布 列 为:保 费 0.8 5 a a 1.2 5 a 1.5 a 1.7 5 a 2 a频 率 0.3 0 0.2 5 0.1 5 0.1 5 0.1 0 0.0 5调 查 2 0 0 名 续 保 人 的 平 均 保 费 为0.8 5 0.3 0 0.2 5 1.2 5 0.1 5 1.5 0.1 5 1.7 5 0.3 0 2 0.1 0 1.1 9 2 5 a a a a a a a,因 此,续 保 人 本 年 度 平 均 保 费 估 计 值 为 1.1 9
18、 2 5 a.考 点:样 本 的 频 率、平 均 值 的 计 算.【结 束】(1 9)(本 小 题 满 分 1 2 分)【答 案】()详 见 解 析;()694.【解 析】试 题 分 析:()证/.A C E F 再 证/.A C H D()证 明.O D O H 再 证 O D 平 面.A B C 最 后 呢 五 棱锥 A B C E F D 体 积.试 题 解 析:(I)由 已 知 得,,.A C B D A D C D又 由 A E C F 得 A E C FA D C D,故/.A C E F由 此 得,E F H D E F H D,所 以/.A C H D.(I I)由/E F A
19、 C 得1.4 O H A ED O A D由 5,6 A B A C 得2 24.D O B O A B A O所 以 1,3.O H D H D H于 是2 2 2 2 2(2 2)1 9,O D O H D H 故.O D O H由(I)知 A C H D,又,A C B D B D H D H,8所 以 A C 平 面,B H D 于 是.A C O D又 由,O D O H A C O H O,所 以,O D 平 面.A B C又 由 E F D HA C D O得9.2 E F五 边 形 A B C F E 的 面 积1 1 9 6 96 8 3.2 2 2 4 S所 以 五 棱
20、锥 A B C E F D 体 积1 6 9 2 3 22 2.3 4 2 V考 点:空 间 中 的 线 面 关 系 判 断,几 何 体 的 体 积.【结 束】(2 0)(本 小 题 满 分 1 2 分)【答 案】()2 2 0.x y;(),2.【解 析】试 题 分 析:()先 求 定 义 域,再 求()f x,(1)f,(1)f,由 直 线 方 程 得 点 斜 式 可 求 曲 线()y f x 在(1,(1)f处 的 切 线 方 程 为 2 2 0.x y()构 造 新 函 数(1)()l n1 a xg x xx,学.科 网 对 实 数 a 分 类 讨 论,用 导数 法 求 解.试 题
21、解 析:(I)()f x 的 定 义 域 为(0,).当 4 a 时,1()(1)l n 4(1),()l n 3 f x x x x f x xx,(1)2,(1)0.f f 曲 线()y f x 在(1,(1)f 处 的切 线 方 程 为 2 2 0.x y(I I)当(1,)x 时,()0 f x 等 价 于(1)l n 0.1 a xxx令(1)()l n1 a xg x xx,则22 21 2 2(1)1(),(1)0(1)(1)a x a xg x gx x x x,(i)当 2 a,(1,)x 时,2 22(1)1 2 1 0 x a x x x,故()0,()g x g x在(
22、1,)x 上 单调 递 增,因 此()0 g x;(i i)当 2 a 时,令()0 g x 得92 21 21(1)1,1(1)1 x a a x a a,由21 x 和1 21 x x 得11 x,故 当2(1,)x x 时,()0 g x,()g x 在2(1,)x x 单 调 递 减,学.科 网 因 此()0 g x.综 上,a 的 取 值 范 围 是,2.考 点:导 数 的 几 何 意 义,函 数 的 单 调 性.【结 束】(2 1)(本 小 题 满 分 1 2 分)【答 案】()1 4 44 9;()32,2.【解 析】试 题 分 析:()先 求 直 线 A M 的 方 程,再 求
23、 点 M 的 纵 坐 标,最 后 求 A M N 的 面 积;()设 1 1,M x y,将 直 线 A M 的 方 程 与 椭 圆 方 程 组 成 方 程 组,消 去 y,用 k 表 示1x,从 而 表 示|A M,同 理 用 k 表 示|A N,再 由 2 A M A N 求 k.试 题 解 析:()设1 1(,)M x y,则 由 题 意 知10 y.由 已 知 及 椭 圆 的 对 称 性 知,直 线 A M 的 倾 斜 角 为4,又(2,0)A,因 此 直 线 A M 的 方 程 为 2 y x.将 2 x y 代 入2 214 3x y 得27 12 0 y y,解 得 0 y 或1
24、 27y,所 以11 27y.因 此 A M N 的 面 积1 1 2 1 2 1 4 422 7 7 4 9A M NS.(2)将 直 线 A M 的 方 程(2)(0)y k x k 代 入2 214 3x y 得2 2 2 2(3 4)16 16 12 0 k x k x k.由21 216 12(2)3 4kxk 得21 22(3 4)3 4kxk,故221 21 2 1|1|2|3 4kA M k xk.1 0由 题 设,直 线 A N 的 方 程 为1(2)y xk,故 同 理 可 得221 2 1|4 3k kA Nk.由 2|A M A N 得2 223 4 4 3kk k,即
25、3 24 6 3 8 0 k k k.设3 2()4 6 3 8 f t t t t,则 k 是()f t 的 零 点,2 2()12 12 3 3(2 1)0 f t t t t,所 以()f t 在(0,)单 调 递 增,又(3)1 5 3 2 6 0,(2)6 0 f f,因 此()f t 在(0,)有 唯 一 的 零 点,且 零 点 k 在(3,2)内,所 以 3 2 k.考 点:椭 圆 的 性 质,直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系.【结 束】请 考 生 在 2 2、2 3、2 4 题 中 任 选 一 题 作 答,如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分,做 答 时
26、 请 写 清 题 号(2 2)(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4-1:几 何 证 明 选 讲【答 案】()详 见 解 析;()12.【解 析】试 题 分 析:()证,D G F C B F 再 证,B C G F 四 点 共 圆;()证 明,R t B C G R t B F G 四 边 形B C G F 的 面 积 S 是 G C B 面 积G C BS的 2 倍.试 题 解 析:(I)因 为 D F E C,所 以,D E F C D F 则 有,D F D E D GG D F D E F F C BC F C D C B 所 以,D G F C B F 由 此 可 得,D G
27、 F C B F 由 此0180,C G F C B F 所 以,B C G F 四 点 共 圆.(I I)由,B C G F 四 点 共 圆,C G C B 知 F G F B,连 结 G B,由 G 为 R t D F C 斜 边 C D 的 中 点,知 G F G C,故,R t B C G R t B F G 因 此 四 边 形 B C G F 的 面 积 S 是 G C B 面 积G C BS的 2 倍,即1 1 12 2 1.2 2 2G C BS S 1 1考 点:三 角 形 相 似、全 等,四 点 共 圆【结 束】(2 3)(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 44:坐 标
28、 系 与 参 数 方 程【答 案】()212 c os 11 0;()153.【解 析】试 题 分 析:(I)利 用2 2 2x y,c o s x 可 得 C 的 极 坐 标 方 程;(I I)先 将 直 线 l 的 参 数 方 程 化 为 普通 方 程,学.科 网 再 利 用 弦 长 公 式 可 得 l 的 斜 率 试 题 解 析:(I)由 c o s,s i n x y 可 得 C 的 极 坐 标 方 程212 c os 11 0.(I I)在(I)中 建 立 的 极 坐 标 系 中,直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为()R 由,A B 所 对 应 的 极 径 分 别 为1 2,将
29、l 的 极 坐 标 方 程 代 入 C 的 极 坐 标 方 程 得212 c os 11 0.于 是1 2 1 212 c os,11,2 21 2 1 2 1 2|()4 1 4 4 c o s 4 4,A B 由|1 0 A B 得23 1 5c o s,t a n8 3,所 以 l 的 斜 率 为153或1 53.考 点:圆 的 极 坐 标 方 程 与 普 通 方 程 互 化,直 线 的 参 数 方 程,点 到 直 线 的 距 离 公 式.【结 束】(2 4)(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 45:不 等 式 选 讲【答 案】()|1 1 M x x;()详 见 解 析.1 2【
30、解 析】试 题 分 析:(I)先 去 掉 绝 对 值,再 分12x,1 12 2x 和12x 三 种 情 况 解 不 等 式,即 可 得;(I I)采 用 平 方 作 差 法,再 进 行 因 式 分 解,进 而 可 证 当 a,b 时,1 a b a b 试 题 解 析:(I)12,21 1()1,2 212,.2x xf x xx x 当12x 时,由()2 f x 得 2 2,x 解 得 1 x;当1 12 2x 时,()2 f x;当12x 时,学.科 网 由()2 f x 得 2 2,x 解 得 1 x.所 以()2 f x 的 解 集|1 1 M x x.(I I)由(I)知,当,a b M 时,1 1,1 1 a b,从 而2 2 2 2 2 2 2 2()(1)1(1)(1)0 a b ab a b a b a b,因 此|1|.a b a b 考 点:绝 对 值 不 等 式,不 等 式 的 证 明.【结 束】