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1、第 1 页 共 10 页20192019 山西考研数学一真题及答案山西考研数学一真题及答案一一、选择题选择题，1818 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 3232 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中，只有一个只有一个选项是符合题目要求的选项是符合题目要求的.1.当0 x时，若xxtan与kx是同阶无穷小，则kA.1.B.2.C.3.D.4.2.设函数,0,ln,0,)(xxxxxxxf则0 x是)(xf的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设 nu是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1nnnuB.n
2、nnu1)1(1.C.111nnnuu.D.1221nnnuu.4.设函数2),(yxyxQ，如果对上半平面（0y）内的任意有向光滑封闭曲线C都有CdyyxQdxyxP0),(),(，那么函数),(yxP可取为A.32yxy.B.321yxy.C.yx11.D.yx1.5.设A是 3 阶实对称矩阵，E是 3 阶单位矩阵.若EAA22，且4A，则二次型AxxT的规范形为A.232221yyy.B.232221yyy.C.232221yyy.D.232221yyy.6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程第 2 页 共 10 页)3,2,1(321idzayaxaiiii组成
3、的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为AA,，则A.3)(,2)(ArArB.2)(,2)(ArArC.2)(,1)(ArArD.1)(,1)(ArAr7.设BA,为随机事件，则)()(BPAP的充分必要条件是A.).()()(BPAPBAPB.).()()(BPAPABPC.).()(ABPBAPD.).()(BAPABP8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布),(2N，则1YXPA.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与2,都有关.D.与2,都无关.二、二、填空题：填空题：914914 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分.9.设函数)(uf
4、可导，,)sin(sinxyxyfz则yzcosyxzcosx11=.10.微分方程0222yyy满足条件1)0(y的特解y.11.幂级数nnnxn0)!2()1(在)0，（内的和函数)(xS.第 3 页 共 10 页12.设为曲面)0(44222zzyx的上侧，则dxdyzxz2244=.13.设），（321为 3 阶矩阵.若21，线性无关，且2132，则线性方程组0 x的通解为.14.设随机变量X的概率密度为，其他，020,2)(xxxf）（xF为X的分布函数，X为X的数学期望，则1XXFP）（.三、三、解答题：解答题：15231523 小题，共小题，共 9494 分分.解答应写出文字说明
5、、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）设函数)(xy是微分方程22xexyy满足条件0)0(y的特解.（1）求)(xy；（2）求曲线)(xyy 的凹凸区间及拐点.16.（本题满分 10 分）设ba,为实数，函数222byaxz在点（3，4）处的方向导数中，沿方向jil43 的方向导数最大，最大值为 10.（1）求ba,；（2）求曲面222byaxz（0z）的面积.17.求曲线)0(sinxxeyx与 x 轴之间图形的面积.18.设dxxxann1021，n=（0，1，2）（1）证明数列 na单调减少，且221nnanna（n=2，3）（2）求1
6、limnnnaa.19.设是锥面)10()1(2222zzyx与平面0z围成的锥体，求的形第 4 页 共 10 页心坐标.20.设向量组TTTa)3,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321，为3R的一个基，T)1,1,1(在这个基下的坐标为Tcb)1,(.（1）求cba,.（2）证明32,aa，为3R的一个基，并求,32aa到321,aaa的过度矩阵.21.已知矩阵20022122xA与yB00010012相似（1）求yx,.（2）求可可逆矩阵P，使得.1BAPP22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为 1 的指数分布，Y的概率分布为),10(,11,1ppYPpYP令XYZ（1）求z
7、的概率密度.（2）p为何值时，X与Z不相关.（3）X与Z是否相互独立?23.（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为,0,2)(),(222xxuxexf其中是已知参数，0是未知参数，是常数，nXXX，21来自总体X的简单随机样本.（1）求；（2）求2的最大似然估计量第 5 页 共 10 页参考答案参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yxxycoscos10.23xe11.xcos12.33213.，T)1,2,1(kk为任意常数.14.3215.解：（1）)()()(2222cxecdxeeexyxxdxxxdx，又0)0(y，故0c，因此.)(221xxexy（2
8、）22221221221)1(xxxexexey，222221221321221)3()3()1(2xxxxexxexxxexxey，令0 y得3,0 xx)3,(3)0,3(0)3,0(3),3(y 000y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线)(xyy 的凹区间为)0,3(和),3(，凸区间为)3,(和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23e，)3,3(23e.16.解：（1）)2,2(byaxz grad，)8,6()4,3(bazgrad，由题设可得，4836ba，即ba，又108622bazgrad，所以，.1ba第 6 页 共 10 页（2）dxdyyzxzSyx22222)()(
9、1=dxdyyxyx22222)2()2(1=dxdyyxyx22222441=dd2020241=20232)41(1212=.31317.18.第 7 页 共 10 页第 8 页 共 10 页19.由对称性，2,0yx，1021021010)1()1(dzzdzzzdxdydzdxdyzdzdvzdvzzzDD=.4131121)1()1(102102dzzdzzz20.（1）123=bc即11112311231bca ，解得322abc.（2）23111111=331011231001，所 以233r，则23，可为3R的一个基.12323=P，则 1231231101=0121002P，
10、.21.（1）A与B相似，则()()tr Atr B，AB，即41482xyxy，解得32xy（2）A的特征值与对应的特征向量分别为1=2，11=20；2=1，22=10；3=2，31=24.第 9 页 共 10 页所以存在1123=P,，使得111212P AP .B的特征值与对应的特征向量分别为1=2，11=00 ；2=1，21=30；3=2，30=01 .所以存在2123=P,，使得122212PAP .所以112211=PAPP AP，即1112112BP P APPPAP其中112111212004PPP.22.解：（I）Z的分布函数 ,1,11F zP XYzP XYz YP XY
11、z YpP Xzp P Xz 从而当0z 时，zF zpe；当0z 时，1111zzF zppep e 则Z的概率密度为,01,0zzpezf zp ez.（II）由条件可得 22E XZE X E ZE XE YEX E YD X E Y，又 1,1 2D XE Yp，从而当12p 时，,0Cov X Z，即,X Z不相关.（III）由 上 知 当12p 时，,X Z相 关，从 而 不 独 立；当12p 时，121111111111,2222222222112P XZP XXYP XXP XXFe 而12112P Xe，121111112222222P ZP XP Xe，显第 10 页 共 10 页然1111,2222P XZP XP Z，即,X Z不独立.从而,X Z不独立.23.解：（I）由2221xAedx，令2xt，则202212tAedtA，从而2A.（II）构造似然函数22112212,1,2,0,niinxinAexinL x xxLL其他，当,1,2,ixinL时，取对数得22211lnlnln22niinLnAx，求导并令其为 零，可 得22241ln1022niidLnxd，解 得2的 最 大 似 然 估 计 量 为211niixn.