2019湖南考研数学二真题及答案.pdf

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1、20192019 湖南考研数学二真题及答案湖南考研数学二真题及答案一、选择题选择题:1:18 8 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 3232 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中，只有一个选项只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.1 1、当0 x 时，若tanxx与kx是 同阶无穷小量，则k（）A、1.B、2.C、3.D、4.【答案】C.【解析】因为3tan3xxx，所以3k，选C.2 2、曲线3sin2cosyxxxx 的拐点是（）A、,.B、0,2.C、,2.D、33,.【答案】

2、C.【解析】cossinyxxx，sinyxx ，令sin0yxx ，解得0 x 或x。当x时，0y；当x时，0y，所以,2是拐点。故选C.3 3、下列反常积分发散的是（）A、0 xxe dx.B、20 xxedx.C、20tan1arxxdxx.D、201xdxx.【答案】D.【解析】A、00001xxxxxe dxxdexee dx ，收敛；B、222001122xxxedxedx，收敛；C、22200tan1arctan128arxxdxxx，收敛；D、2222000111(1)ln(1)1212xdxdxxxx，发散，故选D。4 4、已知微分方程的xyaybyce通解为12()xxyC

3、C x ee，则,a b c依次为（）A、1,0,1.B、1,0,2.C、2,1,3.D、2,1,4.【答案】D D.【解析】由题设可知1r 是特征方程20rarb的二重根，即特征方程为2(1)0r，所以2,1ab。又知*xye是方程2xyyyce的特解，代入方程的4c。故选D。5 5、已知积分区域,2Dx yxy，221DIxy dxdy，222sinDIxy dxdy，2231 cosDIxydxdy，则（）A、321III.B、213III.C、123III.D、231III.【答案答案】A.【解析解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。由2xy，可得22

4、22xy【画图发现2xy包含在圆2222xy的内 部】，令22uxy，则02u，于 是 有sinuu，从 而2222sinDDxy dxdyxy dxdy。令()1 cossinf uuu，则()sincosf uuu，()04f。()f u在0,4内单调减少，在,42 单 调 增 加，又 因 为(0)()02ff，故 在0,2内()0f u，即1 cossinuu，从而2222sin(1 cos)DDxy dxdyxydxdy。综上，选A。6、设函数(),()f x g x的二阶导数在xa处连续，则2()()lim0()xaf xg xxa是两条曲线()yf x，()yg x在xa对应的点处

5、相切及曲率相等的（）A、充分非必要条件.B、充分必要条件.C、必要非充分条件.D、既非充分也非必要条件.【答案】【答案】A.【解析】充分性【解析】充分性：利用洛必达法则，由2()()lim0()xaf xg xxa可得()()lim02()xafxg xxa及()()lim02xafxgx，进而推出()()f ag a，()()fag a，()()fag a。由此可知两曲线在xa处有相同切线，且由曲率公式3221()yKy可知曲线在xa处曲率也相等，充分性得证。必要性必要性：由曲线()yf x，()yg x在xa处相切，可得()()f ag a，()()fag a；由曲率相等332222()(

6、)1()1()fag afag a，可知()()fag a或()()faga。当()()faga 时，所求极限2()()()()()()limlimlim()()2()2xaxaxaf xg xfxg xfxgxfaxaxa，而()fa未必等于 0，因此必要性不一定成立。故选A。7、设A是 4 阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax 的基础解系中只有 2 个向量，则*()r A（）。A、0.B、1.C、2.D、3.【答案】A.【解析】因为方程组0Ax 的基础解系中只有 2 个向量，所以4()2r A，从而()24 1r A，则*()r A0，故选A。8、设A是 3 阶实对称矩阵，E是

7、3 阶单位矩阵，若22AAE,且4A，则二次型Tx Ax的规范型为（）A、222123yyy.B、222123yyy.C、222123yyy.D、222123yyy.【答案】C.【解析】设是A的特征值，根据22AAE得22，解得1或2；又因为4A，所以A的特征值为 1，-2，-2，根据惯性定理，Tx Ax的规范型为222123yyy。故选C。二、填空题：二、填空题：9 91414 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分.请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.9 9、20lim(2)xxxx.【答案】24e。【解析】0222limln1(21)00lim(

8、2)lim1(21)xxxxxxxxxxxxe0212 lim2(1 ln2)24xxxxeee.1010、曲线sin1 cosxttyt 在32t对应点处的切线在y轴上的截距为。【答案答案】322.【解析【解析】斜率32sin11 costdytdxt，切线方程为322yx ，截距为322。1111、设函数()f u可导，2()yzyfx，则2zzxyxy。【答案】【答案】2yyfx.【解析】【解析】3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx，22zzyxyyfxyx1212、曲线lncos(0)6yxx的弧长为【答案答案】1ln32【解析解析】2211tansecdsy dxxdx

9、xdx66001secln(sectan)ln3.2sxdxxx1313、已知函数21sin()xtf xxdtt，则10()f x dx【答案答案】1(cos1 1)4【解析解析】设21sin()xtF xdtt,则1111122200000111()()()()()222f x dxxF x dxF x dxx F xx dF x211112222000011sin111()sincos(cos1 1)22244xx F x dxxdxxx dxxx .1414、已 知 矩 阵1100211132210034A，ijA表 示 元 素ija的 代 数 余 子 式，则1112AA【答案答案】4

10、.【解析解析】由行列式展开定理得11121100100011111 12111211112101043221312103403400340034AAA 三三、解答题解答题：15152323 小题小题,共共 9494 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.1515、（本题满分本题满分 1010 分分）已知函数2,0()1,0 xxxxf xxex，求()fx，并求函数()f x的极值【解 析解 析】当0 x 时，22 ln()xxxf xxe，2()2(ln1)xfxxx；当0 x 时，()(1

11、)xfxxe；22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxf xfxxxfxx，即()f x在0 x 处不可导综合上述：22(ln1),0()(1),0 xxxxxfxxex；令()0fx得驻点1211,xxe；0 x 是函数()f x的不可导点。当1x 时，()0fx；当10 x 时，()0fx；当10 xe时，()0fx；当1xe时，()0fx；故11x 是函数的极小值点，极小值为1(1)1fe；21xe是函数的极小值点，极小值为21()efee；函数()f x在0 x 处连续且有极大值(0)1f1616、（本题满分（本题满分 1010 分）分）求不定积分2236

12、(1)(1)xdxxxx【解析解析】设222236(1)(1)1(1)1xABCxDxxxxxxx（1）两边同乘以2(1)x 且令1x，可得3B；（2）两边同乘以x且令x，可得0AC；（3）两 边 分 别 令0 x，1x ，可 得63244ABDABCD；解 得2,2,1ACD。则2222362321(1)(1)1(1)1xxxxxxxxx，于是2222362321(1)(1)1(1)1xxdxdxxxxxxxx2223(1)32ln12ln1ln(1)111d xxxxxxCxxxx 。1717、（本题满分（本题满分 1010 分）分）设函数()y x是微分方程2212xyxyex满足条件(

13、1)ye的特解（1）求()y x的表达式；（2）设平面区域(,)|12,0()Dx yxyy x，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积【解析解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程由通解公式可得222()22211()()()()22xxxxdxx dxy xeeedxCedxCexCxx，把初始条件(1)ye代入，得0C，从而得到22().xy xxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVy xdxxe dxee1818、（本题满分、（本题满分 1010 分）分）设平面区域22 34(,)|,()Dx yxy xyy，计算二重积分22Dxydxdyxy【解析解析】显然积分区域D

14、关于y轴对称，由对称性可得220Dxdxdyxy；将2234()xyy化为极坐标，有20sinr，于是23sin4222204sinDDxyydxdydxdydrdrxyxy3352244441143 2sin(1 cos)cos22120dd .1919、（本题满分、（本题满分 1010 分）分）设n是正整数，记nS为曲线sin(0)xyexxn与x轴所形成图形的面积，求nS，并求lim.nnS【解析】【解析】当2,(21)xkk时，sin0 x；当(21),(22)xkk时，sin0 x，故曲线sin(0)xyexxn与x轴之间图形的面积应表示为(1)00sinsinnnkxxnkkSex

15、dxexdx，先计算(1)sinkxkkbexdx，作变量替换ux k，于是有()0sin()u kkbeukdu0sinkueeudu001sinsincos2kukueeudueeuu12kee.所以00(1)(1)(1)(1)(1)22(1)2(1)knnnnnkkkeeeeeeSbee，因此(1)(1)1limlim2(1)2(1)nnnneeeSee。2020、（本题满分本题满分 1111 分分）已知函数(,)u x y满足关系式222222330uuuuxyxy 求,a b的值，使得在变换(,)(,)ax byu x yv x y e之下，上述等式可化为函数(,)v x y的不含一

16、阶偏导数的等式【解析解析】在变换(,)(,)ax byu x yv x y e之下(,)ax byax byuveav x y exx，(,),ax byax byuvebv x y eyy222222(,)ax byax byax byuvveaea v x y exxx，222222(,)ax byax byax byuvvebeb v x y eyyy；把上述式子代入关系式222222330uuuuxyxy，得到22222222(43)(34)(223)(,)0vvvvababb v x yxyxy根据要求，显然当33,44ab 时，可化为函数(,)v x y的不含一阶偏导数的等式212

17、1、（本题满分（本题满分 1111 分）分）已知函数()f x在0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1ff，10()1f x dx，证明：（1）至少存在一点(0,1)，使得()0f；（2）至少存在一点(0,1)，使得()2f 证明：（1）令0()()xxf t dt，则10(0)0,(1)()1f x dx，则由于()f x在0,1连续，则()x在0,1上可导，且()()xf x，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)，使得1()(1)(0)1，即1()1f；又因为(1)1f，对()f x在1,1上用罗尔定理，则至少存在一点1(,1)(0,1)，使得()0f；（2）令2()()F

18、xf xx，显 然()F x在0,1具 有 二 阶 导 数，且211(0)0,(1)2,()1FFF 对()F x分别在 110,1上用拉格朗日中值定理，至少存在一点11(0,)，使得2111111()(0)11()10FFF；至少存在一点21(,1)，使得1211()(1)()11FFF；对()()2F xfxx在12,上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理，则 至 少 存 在 一 点12(,)(0,1)，使得211212111()()()0FFF，又因为()()2Ff，故()2f 2222（本题满分（本题满分 1111 分）分）已知向量组：12321111,0,2443a ；向量组：123

19、21011,2,3313aaa若向量组和向量组等价，求常数a的值，并将3用123,线性表示【解析解析】向量组和向量组等价的充分必要条件是123123123123(,)(,)(,;,)rrr 1231232222111101111101(,;,)1021230110224433 130011 11aaaaaaaa （1）当1a 时，显然，123123123123(,)(,)(,;,)2rrr ，两个向量组等价此时，123311111023(,;)0112011200000000 ，方程组112233xxx的通解为123231210 xxxkx，也就是3123(23)(2)kkk，其中k为任意常数

20、；（2）当1a 时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,;,)0110220110220011 11001 111aaaaaa 显然，当1a 且1a 时，123123123(,)(,;,)3rr ，同时123101101101,02202201111101001aaa，123(,)3r，也就是123123123123(,)(,)(,;,)3rrr ，两个向量组等价这时，3可由123,线性表示，表示法唯一：3123（3）当=1a时，123123111101,011022000220 ,此时两个向量组不等价.综上所述，综上所述，当向量组和向量组等价时，1a 。232

21、3、（本题满分（本题满分 1111 分）分）已知矩阵22122002Ax与21001000By相似，（I）求,x y；（II）求可逆矩阵P，使得1P APB.【解析【解析】（I）由于A与B相似，根据矩阵相似必要条件，有()()ABtr Atr B，即2(24)2222 1xyxy ，解得3,2xy。（II）矩阵B是上三角矩阵，易得B的特征值为2,1,2。又因为A与B相似，所以A的特征值也是2,1,2。对 于 矩 阵对 于 矩 阵A：解 方 程 组()0(1,2,3)iEA xi，可 得 属 于 特 征 值12,21,32 的线性无关的特征向量为：1(1,2,0)T，2(2,1,0)T，3(1,2,4)T 对 于 矩 阵对 于 矩 阵B：解 方 程 组()0(1,2,3)iEB xi，可 得 属 于 特 征 值12,21,32 的线性无关的特征向量为：1(1,0,0)T，2(1,3,0)T，3(0,0,1)T令1123(,)P ，2123(,)P，则有111122212P APP BP，即112112P P APPB，令1112121110111212030212004001004PPP ，则有1P APB，证毕。