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1、学习必备 欢迎下载 20XX年高考数学试题分类汇编三角函数（2010 上海文数）19.（本题满分 12 分）已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg2cos()lg(1sin2)22xxxxx.解析：原式 lg(sinx cosx)lg(cosx sinx)lg(sinx cosx)2 0 （2010 湖南文数）16.（本小题满分 12 分）已知函数2()sin 22sinf xxx（I）求函数()f x的最小正周期。(II)求函数()f x的最大值及()f x取最大值时 x 的集合。（2010 浙江理数）（18）(本题满分 l4 分)在ABC中,角 A、B、C 所对的边分别为
2、a,b,c，已知1cos 24C (I)求 sinC的值；()当 a=2，2sinA=sinC时，求 b 及 c 的长 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为 cos2C=1-2sin2C=14，及 0C 所以 sinC=104.（）解：当 a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理acsinAsinC，得 c=4 学习必备 欢迎下载 由 cos2C=2cos2C-1=14，J及 0C得 cosC=64 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得 b26b-12=0 解得 b=6或 26 所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4 （2
3、010 全国卷 2 理数）（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由 cos ADC=0，知 B.由已知得 cosB=，sin ADC=.从而 sin BAD=sin（ADC-B）=sin ADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于
4、送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.（2010 陕西文数）17.（本小题满分 12 分）在ABC中，已知 B=45,D 是 BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB的长.解 在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式
5、和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载 cos2222ADDCACAD DC=10036 19612 10 62 ,ADC=120,ADB=60 在ABD中，AD=10,B=45,ADB=60，由正弦定理得sinsinABADADBB,AB=310sin10sin602
6、5 6sinsin4522ADADBB.（2010 辽宁文数）（17）（本小题满分 12 分）在ABC中，abc、分别为内角A BC、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（）求A的大小；（）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22 即bccba222 由余弦定理得Abccbacos2222 故120,21cosAA （）由（）得.sinsinsinsinsin222CBCBA 又1sinsinCB，得21sinsinCB 因为900,900CB，故BC 所以ABC是等腰的钝角三角形。（2010 辽宁理数）（1
7、7）（本小题满分 12 分）在ABC 中，a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边，且 2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （）求 A 的大小；（）求sinsinBC的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c 即 222abcb c 分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌
8、握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载 由余弦定理得 2222cosabcbcA 故 1c o s2A，A=120 6 分（）由（）得：s i ns i ns i ns i n(6 0BCBB 31cossin22sin(60)BBB 故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1。12 分 （2010 全国卷 2 文数
9、）（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由ADC与B的差求出BAD，根据同角关系及差角公式求出BAD的正弦，在三角形 ABD 中，由正弦定理可求得 AD。（2010 江西理数）17.（本小题满分 12 分）已知函数 21cotsinsinsin44fxxxmxx。(1)当 m=0 时，求 f x在区间384，上的取值范围；(2)当tan2a 时，35f a，求 m 的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角
10、函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当 m=0 时，22cos1 cos 2sin2()(1)sinsinsincossin2xxxf xxxxxx 1 2sin(2)124x，由已知3,84x，得22,142x 分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由
11、知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载 从而得：()f x的值域为120,2（2）2cos()(1)sinsin()sin()sin44xf xxmxxx 化简得：11()sin 2(1)cos 2 22f xxmx 当tan2，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa，3cos 25a，代入上式，m=-
12、2.（2010 安徽文数）16、（本小题满分 12 分）ABC的面积是 30，内角,A B C所对边长分别为,a b c，12cos13A。()求AB AC；()若1cb，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos13A得sin A的值，再根据ABC面积公式得156bc；直接求数量积AB AC.由余弦定理2222cosabcbcA，代入已知条件1cb，及156bc 求 a 的值.解：由12cos13A，得2125sin1()1313A.又1sin302bcA，15
13、6bc.（）12cos15614413AB ACbcA.（）2222cosabcbcA 212()2(1cos)12 156(1)2513cbbcA ，5a.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是 30，12cos13A，所以先求sin A的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.（2010 重庆文数）(18).(本小题满分 13 分),()小问 5 分，()小问 8 分.)设ABC的内角 A、B、C的对边长分别为 a、b、c,且 32b+32c-32a=42bc.()求 sinA
14、 的值；分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题
15、满分分在中分别学习必备 欢迎下载()求2sin()sin()441 cos 2ABCA 的值.（2010 浙江文数）（18）（本题满分）在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a,b,c,设 S 为ABC的面积，满足2223()4Sabc。（）求角 C的大小；（）求sinsinAB的最大值。（2010 重庆理数）（16）（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）设函数 22cos2cos,32xfxxxR。分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基
16、础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载（I）求 f x的值域；（II）记ABC的内角 A、B、C的对边长分别为 a，b，c，若f B=1，b=1,c=3，求 a 的值。（2010
17、 山东文数）(17)（本小题满分 12 分）已知函数2()sin()coscosf xxxx（0）的最小正周期为，（）求的值；（）将函数()yf x的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()yg x的图像，求函数()yg x在区间0,16上的最小值.分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由
18、知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载 （2010 北京文数）（15）（本小题共 13 分）已知函数2()2cos 2sinf xxx（）求()3f的值；（）求()f x的最大值和最小值 解：（）22()2cossin333f=31144 （）22()2(2cos1)(1cos)f xxx 23cos1,xxR 因为 cos1,1x,所以，当
19、cos1x 时()f x取最大值 2；当cos0 x 时，()f x去最小值-1。（2010 北京理数）（15）（本小题共 13 分）已知函数(x)f22cos 2sin4cosxxx。（）求()3f的值；分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题
20、是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载（）求(x)f的最大值和最小值。解：（I）2239()2cossin4cos1333344f （II）22()2(2cos1)(1cos)4cosf xxxx =23cos4cos1xx =2273(cos)33x,xR 因为cos x 1,1，所以，当cos1x 时，()f x取最大值 6；当2c os3x 时，()f x取最小值73 （2010 四川理数）（19）
21、（本小题满分 12 分）（）1证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin ；2由C 推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin .（）已知ABC 的面积1,32SAB AC，且35cos B，求 cosC.本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。解：(1)如图，在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角 、与，使角 的始边为Ox，交O 于点 P1，终边交O 于 P2；角 的始边为 OP2，终边交O 于 P3；角 的始边为 OP1，终边交O 于 P4.则 P1(1,0),P2(cos,sin)P3(cos(),s
22、in(),P4(cos(),sin()由 P1P3P2P4及两点间的距离公式，得 cos()12sin2()cos()cos 2 sin()sin 2 展开并整理得：22cos()22(cos cos sin sin)cos()cos cos sin sin.4 分 由易得 cos(2)sin,sin(2)cos sin()cos2()cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin()sin cos cos sin 6 分(2)由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S12bcsinA12 ABACbccosA30 分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大
23、值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载 A(0,2),cosA3
24、sinA 又 sin2Acos2A1，sinA1010,cosA3 1010 由题意，cosB35,得 sinB45 cos(AB)cosAcosBsinAsinB1010 故 cosCcos(AB)cos(AB)101012 分 （2010 天津文数）（17）（本小题满分 12 分）在ABC中，coscosACBABC。（）证明 B=C：（）若cos A=-13，求 sin4B3的值。【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分.（）证 明：在 ABC 中，由 正 弦 定 理 及 已 知 得s i n
25、 Bs i n C=cosBcosC.于 是sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为BC ，从而 B-C=0.所以 B=C.（）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA=13.又 02B,ACOCOCACAC故且对于线段上任意点P 有OPOC，而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在 A、C（包含 C）的任意位置相遇，设COD=(0 90),10 3 tanRt CODCD则在中，OD=10 3cos，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为1010 3tan30t和10 3cost
26、v，所以1010 3tan3010 3cosv，解得15 33,30,sin(+30)sin(+30)2vv又故，从而3090,30tan由于时，取得最小值，且最小值为33，于是 当30时，1010 3tan30t取得最小值，且最小值为23。此时，在OAB中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。（2010 安徽理数）16、（本小题满分 12 分）设ABC是锐角三角形，,a b c分别是内角,A B C所对边长，并且 22sinsin()sin()sin33ABBB。()求角A的值；()若12,2 7AB ACa
27、，求,b c（其中bc）。分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定
28、理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载 （2010 江苏卷）17、（本小题满分 14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC的高度 h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1）tantanHHADAD，同理：tanHAB
29、，tanhBD。ADAB=DB，故得tantantanHHh，解得：tan4 1.24124tantan1.241.20hH。因此，算出的电视塔的高度 H是 124m。（2）由题设知dAB，得tan,tanHHhHhdADDBd，分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函
30、数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载 2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddHHhH HhdH Hhdddd ()2()H HhdH Hhd，（当且仅当()125 121 55 5dH Hh 时，取等号）故当55 5d 时，tan()最大。因为02 ，则02 ，所以当55 5d 时，-最大。故所求的d是55 5m。（2010 江苏卷）23.（本小题满分
31、10 分）已知ABC的三边长都是有理数。（1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分 10 分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为,a b c，222cos2bcaAbc，,a b c是有理数，222bca是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，2222bcabc必为有理数，cosA 是有理数。（2）当1n 时，显然 cosA 是有理数；当2n 时，2cos22cos1AA，因为 cosA 是有理数，cos2 A也是有理数；假设当
32、(2)nk k时，结论成立，即 coskA、cos(1)kA均是有理数。当1nk 时，cos(1)coscossinsinkAkAAkAA，1cos(1)coscoscos()cos()2kAkAAkAAkAA，11cos(1)coscoscos(1)cos(1)22kAkAAkAkA，解得：cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkA cosA，cos kA，cos(1)kA均是有理数，2coscoscos(1)kAAkA是有理数，cos(1)kA是有理数。即当1nk 时，结论成立。综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。（方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC为有理数
33、及余弦定理知 222cos2ABACBCAAB AC是有理数。分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余
34、弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别学习必备 欢迎下载（2）用数学归纳法证明 cosnA 和sinsinAnA都是有理数。当1n 时，由（1）知cos A是有理数，从而有2sinsin1 cosAAA 也是有理数。假设当(1)nk k时，cos kA和sinsinAkA都是有理数。当1nk 时，由cos(1)coscossinsinkAAkAAkA，sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin)cos(sinsin)cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA，及和归纳假设，知cos(1)kA和sinsin(1)AkA都是有理数。即当1nk
35、时，结论成立。综合、可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。分已知函数求函数的最小正周期求函数的最大值及取最大值时的集合浙江理数本题满分分在中角所对的边分别为已知求的值当时求及的长解析本题主要考察三角变换正弦定理余弦定理等基础知识同事考查运算求解能力解因为及所以点求命题意图本试题主要考查同角三角函数关系两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用考查考生对基础知识基本技能的掌握情况参考答案由知由已知得从而由正弦定理得所以点评三角函数与解三角形的综合性问题是近几年高太大改变解决此类问题要根据已知条件灵活运用正弦定理或余弦定理求边角或将边角互化陕西文数本小题满分分在中已知是边上的一点求的长解在中由余弦定理得学习必备欢迎下载在中由正弦定理得辽宁文数本小题满分分在中分别