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1、苏州市 初三中考数学动点型题复习 知 识 点 名师点晴 动点问题中的特殊图形 等腰三角形与直角三角形 利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题 相似问题 利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题 动点问题中的计算问题 动点问题的最值与定值问题 理解最值或定值问题的求法 动点问题的面积问题 结合面积的计算方法来解决动点问题 动点问题的函数图象问题 一次函数或二次函数的图象 结合函数的图象解决动点问题 归纳 1：动点中的特殊图形 基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直 基
2、本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质 注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质【例 1】已知：如图，在 RtABC 中，C=90，AB=5cm，AC=3cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1cm/s 的速度移动，设运动的时间为 t 秒（1）求 BC 边的长；（2）当ABP 为直角三角形时，求 t 的值；（3）当ABP 为等腰三角形时，求 t 的值 归纳 2：动点问题中的计算问题 基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的
3、最大值、线段或面积的定值等问题 基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容 注意问题归纳：在计算的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合 【例 2】如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD 是BAC 的平分线若 P，Q分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（）A125 B4 C245 D5（例 2 图）练习：（2013 日照）问题背景：如图（a），点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B
4、关于 l 的对称点 B，连接 AB 与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求 （1）实践运用：如图（b），已知，O 的直径 CD 为 4，点 A 在O 上，ACD=30 ，B 为弧AD 的中点，P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为 （2）知识拓展：如图（c），在 RtABC 中，AB=10，BAC=45 ，BAC 的平分线交 BC 于点D，E、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程 形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的
5、计算方法来解决动点问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的归纳 3：动点问题的图象 基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合 基本方法归纳：一次函数图象是一条直线，反比例函
6、数图象是双曲线，二次函数图象是抛物线 注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势【例 3】如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，点 E 在边 AD 上，ABE=45，BE=DE，连接 BD，点P 在线段 DE 上，过点 P 作 PQBD 交 BE 于点 Q，连接 QD设 PD=x，PQD 的面积为 y，则能表示 y 与 x 函数关系的图象大致是（）归纳 4：函数中的动点问题 基础知识归纳：函数中的动点问题的背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的
7、性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。基本方法归纳：一是利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题；二是利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。注意问题归纳：化动为静，画出符合条件的图形。【例 4】（20XX 年江苏盐城 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线2yx的对称轴绕着点 P（0，2）顺时针旋转 45 后与该抛物线交于 A、B
8、 两点，点 Q 是该抛物线上的一点.（1）求直线 AB的函数表达式；（2）如图，若点 Q 在直线 AB的下方，求点 Q 到直线 AB 的距离的最大值；（3）如图，若点 Q 在 y 轴左侧，且点 T（0，t）（t0kykx的图像经过点 D 且与边 BA 交于点 E，连接 DE.（1）连接 OE，若 EOA 的面积为 2，则 k=；（2）连接 CA、DE 与 CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点 D，使得点 B 关于 DE 的对称点在 OC 上？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问
9、题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的5.（20XX 年江苏宿迁 8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（8，1），B（0
10、，3），反比例函数 0kyxx的图象经过点 A，动直线 x=t（0t8）与反比例函数的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N（1）求 k的值；（2）求BMN 面积的最大值；（3）若 MAAB，求 t 的值 6.（20XX 年江苏常州 10 分）如图，一次函数4yx 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，过点 A作 x 轴的垂线 l，点 P 为直线 l 上的动点，点 Q 为直线 AB 与OAP 外接圆的交点，点P、Q 与点 A都不重合（1）写出点 A的坐标；（2）当点 P 在直线 l 上运动时，是否存在点 P 使得OQB 与APQ 全等？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理
11、由（3）若点 M 在直线 l 上，且POM=90，记OAP 外接圆和OAM 外接圆的面积分别是 S1、S2，求1211SS的值 形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设
12、运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的参考答案 例 1.解：（1）在 RtABC 中，BC2=AB2AC2=5232=16，BC=4（cm）；（2）由题意知 BP=tcm，当APB 为直角时，点 P 与点 C 重合，BP=BC=4cm，即 t=4；当BAP 为直角时，BP=tcm，CP=（t4）cm，AC=3cm，在 RtACP 中，AP2=32+（t4）2，在 RtBAP 中，AB2+AP2=BP2，即：52+32+（t4）2=t2，解得：t=，故当ABP 为直角三角形时，t=4 或 t=；（3）
13、当 AB=BP 时，t=5；当 AB=AP 时，BP=2BC=8cm，t=8；当 BP=AP 时，AP=BP=tcm，CP=|t4|cm，AC=3cm，在 RtACP 中，AP2=AC2+CP2，所以 t2=32+（t4）2，解得：t=，综上所述：当ABP 为等腰三角形时，t=5 或 t=8 或 t=【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解 例 2.【答案】C【解析】解：如图，过点 C 作 CMAB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQAC 于点 Q，AD 是BAC 的平分线PQ=PM，这时 PC+P
14、Q 有最小值，即 CM 的长度，AC=6，BC=8，ACB=90 ，AB=，SABC=AB CM=AC BC，CM=考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2角平分线的性质；3勾股定理；4直角三角形的面积 练习：解：（1）作点 B 关于 CD 的对称点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，此时 PA+PB 最小，且等于AE 作直径 AC，连接 C E 根据垂径定理得=ACD=30，AOD=60 ，DOE=30，形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题一次函数或二次
15、函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的AOE=90，C AE=45，又 AC 为圆的直径，AEC=90，C=C AE=45，C E=AE=AC=2，即 AP+BP 的最小值是 2故答案为：2；（2）如图，在斜边 AC
16、上截取 AB=AB，连结 BB AD 平分BAC，B AM=BAM，在B AM 和BAM 中，B AMBAM（SAS），BM=B M，BMA=B MA=90 ，点 B 与点 B 关于直线 AD 对称过点 B 作 B FAB，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段 B F 的长即为所求（点到直线的距离最短）在 RtAFB中，BAC=45，AB=AB=10，B F=ABsin45=AB sin45=10=5，BE+EF 的最小值为 例 3.【答案】C【解析】ABE=45，A=90，ABE是等腰直角三角形，AE=AB=2，BE=2AB=22，BE=DE，PD=x，PE=DEPD=22x，P
17、QBD，BE=DE，QE=PE=22x，又ABE是等腰直角三角形（已证），点 Q 到 AD 的距离=22（22x）=222x,PQD 的面积 y=x（222x）=24（x222x+2）=24（x2）2+22,即 y=24（x2）2+22，纵观各选项，只有 C 选项符合 考点：动点问题的函数图象 例 4.解：（1）如答图 1，设直线 AB 与x轴的交点为 M，45OPA，P（0，2），2,0M .设直线 AB 的解析式为ykxb，形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点
18、问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的则202kbb ，解得12kb.直线 AB 的解析式为2yx.（2）如答图 2，过点 Q 作x轴的垂线 QC，交 AB 于点 C，再过点 Q 作直线 AB 的垂线
19、，垂足为点 D，根据条件可知，QDC是等腰直角三角形.22QDQC.设2,Q m m，则,2C m m，22QCmm .222219 222228QDmmm .当12m时，点 Q 到直线 AB的距离的最大值为9 28.（3）45APT，PBQ中必有一角等于 45.由图可知，45BPQ不合题意.若45PBQ，如答图 3，过点 B 作x轴的平行线与y轴和抛物线 分别交于点FQ、，此时，45PBQ.根据抛物线的轴对称性质，知45PQB，BPQ是等腰直角三角形.PAT与BPQ相似，且45APT，PAT也是等腰直角三角形.i）若90PAT，联立22yxyx ，解得11xy 或24xy.1,1A .221
20、212AP.2PT，此时，0t.ii）若90PTA，1PTAT，此时，1t.若45PQB，是情况之一，答案同上.如答图 4，5，过点 B 作x轴的平行线与y轴和抛物线分别交于点1FQ、，以点F为圆心，FB为形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边
21、形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的半径画圆，则1PBQ、都在Fe上，设Fe与 y 轴左侧的抛物线交于另一点2Q.根据圆周角定理，2145PQ BPQ B，点2Q也符合要求.设 22,2 0Qn nn，由22FQ 得 222242nn解得23n 或24n，而2 0kykx上，5533kkaakkbb.BC=OA=3，AB=OC=5，BD=35k，BE=53k.3335,5553kBCBDkABBE.BCBDABBE，即B
22、CABBDBE.DEAC（3）存在。假设存在点 D 满足条件设,5,3,53kkDE ，则 CD=5k，BD=35k，AE=3k，BE=53k 如答图 2，过点 E 作 EFOC，垂足为 F，易证 BCD EFB，B EB FB DCD，即53355kB Fkk.3kB F.255333kkkCBOCB FOFOCB FAE .在 Rt BCD 中，CB=253k，CD=5k，BD=BD=35k，由勾股定理得，CB CD=BD，222253355kkk ，整理得2101233600kk.解得，122415,52kk（不合题意，舍去）.24,525D.满足条件的点 D 存在，D 的坐标为24,5
23、25 【考点】反比例函数综合题；单动和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行的判定；相似三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）设3,3kE，则 OA=3，AE=3k EOA 的面积为 2，132423kk .形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常
24、与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的（2）设 ,5,3,D aEb ，由 ,5,3,D aEb 在kyx上，得到,5,3,53kkDE ，从而求得BCBDABBE，即BCABBDBE，进而证得 DEAC（3）设,5,3,53kkDE ，作辅助线“过点 E 作 EFOC，垂足为 F”，由 BCD EFB得到B EB FB DCD而求得3kB F，从而在 Rt BCD 中，应用勾股定理列方程求解
25、即可.（4 题答图）（5 题答图）5.解：（1）把点 A（8，1）代入反比例函数 0kyxx得：k=1 8=8，k=8.（2）设直线 AB的解析式为：ykxb，A（8，1），B（0，3），813kbb ，解得：123kb.直线 AB的解析式为：132yx.由（1）得反比例函数的解析式为：8yx，设8132M tN ttt ，则8132MNtt.2218113125343224244BMNStttttt V.BMN 的面积是 t 的二次函数.140，BMN 的面积有最大值.当 t=3 时，BMN 的面积的最大值为254.（3）如答图，过点A作AQy轴于点Q，延长AM交y轴于点P，MAAB，ABQ
26、PAQ.AQPQBQAQ，即848PQ，解得16PQ.0,17P.又A（8，1），直线 AP 的解析式为：217yx .解8217xx 得，121,82xx.12t.【考点】反比例函数综合题；线动问题；待定系数法的应用；曲线上点的代代相传坏蛋方程的关系；二次函数最值的应用；相似三角形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线
27、相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的形的判定和性质 6.解（1）（4，0）.（2）存在理由如下：如答图 1 所示：将 x=0 代入4yx 得：4y，OB=4.由（1）可知 OA=4.在 RtBOA 中，由勾股定理得：224 2ABOBOA BOQAQP，QA=OB=4，BQ=PA 4 24BQABAQ，PA=4 24 点 P 的坐标为（4，4 2
28、4）（3）如答图 2 所示：OPOM，1+3=90 又2+1=90，2=3 又OAP=OAM=90，OAMPAO AOAMPAAO.设 AP=m，则：44AMm，16AMm 在 Rt OAP 中，22216POOAAPm，2211624POmS.在 Rt OAM 中，22221616OMOAAMm，22224162mOMSm.222121141416416mSSmm.形的特殊性质求解动点问题利用相似三角形的对应边成比例对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题一次函数或二次函数的图象结合函图形基础知识归纳等腰三角形的两腰相等直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平行四边形的对边平行且相等矩形的对角线相等菱形的对角线互相垂直基本方法归纳动点问题常与等腰三角形直角三角形平行四边形矩形菱形行四边形矩形菱形的性质例已知如图在中动点从点出发沿射线以的速度移动设运动的时间为秒求边的长当为直角三角形时求的值当为等腰三角形时求的值归纳动点问题中的计算问题基础知识归纳动点问题的计算常常涉及到线段和的