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1、名师总结 精品知识点 轴对称知识点（一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
2、。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。5画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称 联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段
3、的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合（四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y）；3、点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。关于谁谁不变，关于原点都相反 名师总结 精品知识点(五）关于坐标轴夹角平分线对称 点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 yx 对称的点的坐标是（y，x）点 P（x，y）关于第二
4、、四象限坐标轴夹角平分线 y x 对称的点的坐标是（y，x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称（七）点 P（x，y）关于直线 xm对称的点的坐标是（2m x，y）；点 P（x，y）关于直线 yn 对称的点的坐标是（x，2ny）；(七）等腰三角形 1、等腰三角形性质：性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）（八）等边三角形（九）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。1、性质和判
5、定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（九）其他结论（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。作图题专练 1如图：已知AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC=PD，且 P 到AOB 两边的距离相等 形重合那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点两个图形关于直
6、线对称也叫做轴对称轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似的轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等对应轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系成轴对称的两个图形是全等形轴对称图形是一个具有特殊形状的图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形这两个图形是全等形并且成轴对称联系名师总结 精品知识点 2已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M（1）如图，在l上
7、求作一点M，使得 AM BM 最小；作法：（2）如图，在l上求作一点M，使得AM BM 最大 作法：（3）如图，在l上求作一点M，使得AM BM 最小 （4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题 变式练习 1、如图，已知直线 MN 与 MN 同侧两点 A、B 求作：点 P，使点 P 在 MN 上，且APMBPN 2如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC 的周长最小；A C D O B 形重合那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分
8、能够互相重合这个图形就叫做轴对如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似的轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等对应轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系成轴对称的两个图形是全等形轴对称图形是一个具有特殊形状的图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形这两个图形是全等形并且成轴对称联系名师总结 精品知识点 3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ a，四边形APQB 的周长最小 4、已知：如图
9、点M在锐角AOB 的内部，在OA 边上求作一点P，在OB 边上求作一点Q，使得PMQ 的周长最小；5、已知：如图314，点M在锐角AOB 的内部，在OB 边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小 6、一条河两岸有 A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接 A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从 A到 B所走的路线最短？形重合那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对如果两个图形关
10、于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似的轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等对应轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系成轴对称的两个图形是全等形轴对称图形是一个具有特殊形状的图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形这两个图形是全等形并且成轴对称联系名师总结 精品知识点 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 轴对称图形：如果_个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够_，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做_。轴对称：对于_个图形，如果沿着一条直
11、线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成_，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做_ 典例 1下列几何图形中，1线段 2角 3直角三角形 4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2图 9-19 中，轴对称图形的个数是（）A 4 个 B3 个 C2 个 D1 个 3正 n 边形有_条对称轴，圆有_条对称轴 考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的_、_完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴_ 关于坐标轴对称 点 P（x，y）关于 x 轴
12、对称的点的坐标是（x，-y）点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（-x，y）关于原点对称 点 P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）关于坐标轴夹角平分线对称 点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y=x 对称的点的坐标是（y，x）点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y=-x 对称的点的坐标是（-y，-x）关于平行于坐标轴的直线对称 点 P（x，y）关于直线 x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点 P（x，y）关于直线 y=n 对称的点的坐标是（x，2n-y）；考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按
13、原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形 DA形重合那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似的轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等对应轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系成轴对称的两个图形是全等形轴对称图形是一个具有特殊形状的图
14、形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形这两个图形是全等形并且成轴对称联系名师总结 精品知识点 图（2）QCABEFPEDCBA典例：1、如图，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D为 AB中点，P为 BC上一动点，连接 AP、DP,则 AP+DP 的最小值是 2、已知等边 ABC，E在 BC的延长线上，CF平分DCE，P为射线 BC上一点，Q为 CF上一点，连接 AP、PQ.若 AP=PQ，求证APQ是多少度 考点四、线段垂直平分线的性质 线段是轴对称图形，它的对称轴是_ 线段的垂直平分线上的点到_相等归类回忆角平分线的性质 角是轴对称图形，其对称轴是_ 角平分线上的点到_相等 典例 1
15、、如图，ABC中，A=90，BD为ABC平分线，DE BC，E是 BC的中点，求C的度数。2、如图，ABC中，AB=AC，PB=PC，连 AP并延长交 BC于 D，求证：AD垂直平分 BC 3、如图,DE 是ABC中 AC边的垂直平分线，若 BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC 的周长为（）A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米 4、如图，BAC=30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PD AC，PD=28,则AM=5、如图，在 RtABC中，ACB=90，BA C的平分线交 BC 于 D.过 C点作 CGAB于 G，交 AD于 E.过 D点作 DFAB 于 F.下列结论
16、：CED=CDE；AECSACSAEGAG；AD F=2ECD；DFBCEDSS；CE=DF.其中正确结论的序号是()A B C D 考点五、等腰三角形的特征和识别 BDCAPMDACPBCEBDAF E D C B A G 形重合那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似的轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平
17、分轴对称图形上对应线段相等对应轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系成轴对称的两个图形是全等形轴对称图形是一个具有特殊形状的图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形这两个图形是全等形并且成轴对称联系名师总结 精品知识点 FCDBEA等腰三角形的两个_相等（简写成“_”）等腰三角形的_、_、_互相重合（简称为“_”）特别的：（1）等腰三角形是_图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应_.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的_也相等（简称为“_”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分
18、线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形 典例 1、如图，ABC中，AB=AC=8，D在 BC上，过 D作 DE AB交 AC于 E，DFAC 交 AB于 F，则四边形 AFDE 的周长为_ 。2、如图，ABC中，BD、CD分别平分ABC与ACB，EF过 D 且 EFBC，若 AB=7，BC=8，AC=6，则AEF周长为()A.15 B.14 C.13 D.18 3、如图,点 B、D、F在 AN上,C、E在 AM上，且 AB=BC=CD=ED=EF,A=20o,则FEB=_度 4、已知等腰三角形一腰上的高与另
19、一腰的夹角为 40，则它的一个底角的度数是_ 5、ABC中，DF 是 AB的垂直平分线，交 BC于 D，EG是 AC的垂直平分线，交 BC于 E，若DAE=20，则 BAC等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 7、已知，在ABC中，ACB=90，点 D、E在直线 AB上，且 AD=AC，BE=BC，则DCE=度.8、如图：在ABC中，AB=AC，AD BC，DEAB于点 E,DFAC于点 F。试说明 DE=DF。9、如图,E 在ABC的 AC边的延长线上，D点在 AB边上，DE交 BC于点 F，DF=EF，BD=CE.求证：A
20、BC是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别 等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_ 三个角相等的三角形是_三角形 有一个角是 60的_三角形是等边三角形 N M F E C D B A FEDABCF E D C B A 形重合那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似的轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连接任意一对对应点的线段
21、被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等对应轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系成轴对称的两个图形是全等形轴对称图形是一个具有特殊形状的图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形这两个图形是全等形并且成轴对称联系名师总结 精品知识点 乙ODCBAFECBA特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_ 典例1、下列推理中，错误的是 ()AABC，ABC 是等边三角形 BAB AC，且BC，ABC 是等边三角形 CA60，B60，ABC 是等边三角形 DAB AC，B60，ABC是等边三角形 2、如图，等边三角形 ABC中，D是 AC的中点，E为 BC延长线上一点，
22、且 CE CD，DM BC，垂足为 M。求证：M是 BE的中点。考点七、30所对的直角边是斜边的一半 典例 1、如图，是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁 AB的中点，立柱 BC、DE垂直 于横梁 AC，AB=8m，A=30，则 DE等于（）A1m B2m C3m D4m 2、如图：ADC中，A=15，D=90，B在 AC的 垂直平分线上，AB=34，则 CD=()A.15 B.17 C.16 D.以上全不对 3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知 AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为 120，求桌面到地面的距离是多少？4、如图，AB
23、=AC，DE AB于 E，DFAC 于 F，BAC=120o，BC=6，则 DE+DF=5、在ABC中，120ABACA，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E如果1DE，求BC的长 甲 ABDCEDCBAA B C D E M FECBAD第 4 题图 形重合那么就说这两个图形关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似的轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等对应轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系成轴对称的两个图形是全等形轴对称图形是一个具有特殊形状的图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形这两个图形是全等形并且成轴对称联系