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1、第 2 讲 直线与圆的位置关系 1圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 2圆内接四边形的判定定理和性质定理 定理(或推论)内容 判定定理 假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 判定定理的推论 假如四边形的一个外角等于它的内角
2、的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 性质定理 圆的内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 3.圆的切线的性质及判定定理 定义、定理及推论 内容 定义 假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 性质定理的推论 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 4与圆有关的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦 AB、CD 相交于圆内点 P(1)PA PBPC PD(2)CAPBDP(1)在
3、PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一(2)求弦长及角 割线定理 PAB、PCD 是O的割线(1)PA PBPC PD(2)PACPDB(1)求线段 PA、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD 切割线定理 PA切O 于A，PBC是O 的割线(1)PA2PB PC(2)PABPCA(1)PA、PB、PC知二可求一(2)求解 AB、AC 切线长定理 PA、PB 是O 的切线(1)PAPB(2)OPAOPB(1)证线段相等，已知 PA，求PB(2)求角 F考点一_圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题_ (1)(2022 高考江苏卷)如图，AB是圆 O 的直径，C，D 是圆 O上位于AB异侧的
4、两点证明：OCBD.(2)(2021 唐山市统考)如图，ABC 内接于O，ABAC，点 D 在O 上，ADAB，AD 交 BC 于点 E，点 F 在 DA 的延长线上，AFAE，求证：BF 是O 的切线 证明(1)由于 B，C 是圆 O 上的两点，所以 OBOC.故OCBB.又由于 C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，故B，D 为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.(2)连接 BD.由于 ADAB，所以 BD 是O 的直径 由于 AEAF，所以FBAEBA.又由于 ABAC，所以FBAC.又由于CD，DABD90，所以FBAABD90，即 FBD90，所以 BF 是O 的切线
5、 规律方法(1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小(2)判定切线通常有三种方法：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 1.如图，已知圆上的弧ACBD，过 C 点的圆的切线与 BA的延长线交于 E 点求证：(1)ACEBCD；(2)BC2BE CD.证明：(1)由于ACBD，所以BCDABC.又由于 EC 与圆相切于点 C，依据弦切角定理知ACEABC，所以ACEBCD.(2)由于ECA 等于AC所对的圆周角，ACB 等于AB所对的圆周角，所以ECB
6、 等于CAB所对的圆周角，故ECBCDB，又由(1)知EBCBCD，所以BDCECB，故BCBECDBC，即 BC2BE CD.考点二_圆内接四边形的判定及性质_ (2022 高考课标全国卷)如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CBCE.(1)证明：DE；(2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形 证明(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE，由已知 CBCE，理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相
7、等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的四边形的判定定理和性质定理定理或推论判定定理判定定理的推论性质定理内容假如一个四边形的对角互补那么这个四边形的四个顶点共圆假如四边形的一个外角等于它的内角的对角那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形质定理性质定理的推论内容假如一条直线与一个圆有唯一公共点则这条直线叫做这个圆的切线公共点叫做切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经得CBEE，故DE.(2)如图，设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直
8、线 MN 上 又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD.所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE 为等边三角形 规律方法 证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆 2.(2021 长春市调研)如图，AB 是圆 O 的直径，G 是 AB 延长线上的一点，GCD 是圆 O 的割线，过点 G 作 AG 的垂线，交直线 AC 于点 E，交直线 AD 于点 F，
9、过点 G 作圆 O 的切线，切点为 H.(1)求证：C，D，E，F 四点共圆；(2)若 GH8，GE4，求 EF 的长 解：(1)证明：连接 DB，AB 是圆 O 的直径，ADB90，在 Rt ABD 和 Rt AFG 中，ABDAFE，又ABDACD，ACDAFE，C，D，E，F 四点共圆(2)C，D，E，F 四点共圆，GE GFGC GD.GH 是圆 O 的切线，GH2GC GD，GH2GE GF，又 GH8，GE4，GF16，EFGFGE12.考点三_与圆有关的比例线段_ (2022 高考课标全国卷)如图，P 是O 外一点，PA是切线，A为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC
10、2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E.证明：(1)BEEC；(2)AD DE2PB2.证明(1)连接 AB，AC.由题设知 PAPD，故PADPDA.由于PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC.因此 BEEC.(2)由切割线定理得 PA2PB PC.由于 PAPDDC，所以 DC2PB，BDPB.由相交弦定理得 AD DEBD DC，所以 AD DE2PB2.规律方法 相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分
11、在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理 3.(2021 辽宁省五校联考)如图，A、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的四边形的判定定理和性质定理定理或推论判定定理判定定理的推论性质定理内容假如一个四边形的对角互补那么这个四边形的四个顶点共圆假如四边形的一个外角等于它的内角的对角那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形质
12、定理性质定理的推论内容假如一条直线与一个圆有唯一公共点则这条直线叫做这个圆的切线公共点叫做切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经径，D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点，已知 AC4，BE10，且 BCAD，求 DE 的长 解：设 CBADx，则由割线定理得：CA CDCB CE，即 4(4x)x(x10)，化简得 x26x160，解得 x2 或 x8(舍去)，即 CD6，CE12.连接 AB(图略)，由于 CA 为小圆的直径，所以CBA90，即 ABE90，则由圆的内接四边形对角互补，得D90，则 C
13、D2DE2CE2，所以 62DE2122，所以 DE6 3.1.如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，以 D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O交于点 F，连接 CF 并延长交 AB 于点 E.(1)求证：E 是 AB 的中点；(2)求线段 BF 的长 解：(1)证明：由题意知，AB与圆 D 和圆 O 相切，切点分别为 A和 B，由切割线定理有：EA2EF ECEB2，EAEB，即 E 为 AB 的中点(2)由 BC 为圆 O 的直径，易得 BFCE，S BEC12BF CE12CB BE，BFBECBCE，BF55a.2(2021 郑州市质量猜想)如图，AB 为
14、圆 O 的直径，CD 为垂直于AB的一条弦，垂足为 E，弦 BM 与 CD 交于点 F.(1)证明：A、E、F、M 四点共圆；(2)若 MF4BF4，求线段 BC 的长 解：(1)证明：如图，连接 AM，由 AB 为直径可知AMB90，又 CDAB，所以AEFAMB90，因此 A、E、F、M 四点共圆(2)连接 AC，由 A、E、F、M 四点共圆，可知 BF BMBE BA，在 Rt ABC 中，BC2BE BA，又由 MF4BF4，知 BF1，BM5，所以 BC25，BC 5.3(2021 山西省四校联考)如图所示，PA为圆 O 的切线，A为切点，PO 交圆 O于 B，C 两点，PA10，P
15、B5，BAC 的角平分线与 BC 和圆 O分别交于点 D 和 E.(1)求证：ABACPAPC；(2)求 AD AE的值 解：(1)证明：PA为圆 O 的切线，PABACP，又P 为公共角，PAB PCA，ABACPAPC.(2)PA为圆 O 的切线，PC 是过点 O 的割线，PA2PB PC，PC20，BC15，理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的四边形的判定定理和性质定理定理或推论判定定理判定定理的推论性质定理内容假如一个四边
16、形的对角互补那么这个四边形的四个顶点共圆假如四边形的一个外角等于它的内角的对角那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形质定理性质定理的推论内容假如一条直线与一个圆有唯一公共点则这条直线叫做这个圆的切线公共点叫做切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经又CAB90，AC2AB2BC2225，又由(1)知ABACPAPC12，AC6 5，AB3 5，连接 EC(图略)，则CAEEAB，ACE ADB，ABAEADAC，AD AEAB AC3 56 590.4.(2021 河北石家庄质量检测)如图，已知 AB为圆 O 的一条直径
17、，以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 C，D 两点，交圆 O 于 E，F 两点，过点 D 作垂直于 AD 的直线，交直线 AF 于 H 点 (1)求证：B，D，H，F 四点共圆；(2)若 AC2，AF2 2，求BDF 外接圆的半径 解：(1)证明：由于 AB 为圆 O 的一条直径，所以 BFFH.又 DHBD，故 B，D，F，H 四点在以 BH 为直径的圆上 所以，B，D，F，H 四点共圆(2)由题意得 AH 与圆 B 相切于点 F，由切割线定理得 AF2AC AD，即(2 2)22 AD，AD4，所以 BD12(ADAC)1，BFBD1.又AFBADH，则DHBFADAF，得 DH 2.
18、连接 BH(图略)，由(1)可知 BH 为BDF 外接圆的直径BHBD2DH2 3，故BDF 的外接圆半径为32.5(2022 高考辽宁卷)如图，EP 交圆于 E、C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PGPD，连接 DG并延长交圆于点 A，作弦 AB垂直 EP，垂足为 F.(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若 ACBD，求证：ABED.证明：(1)由于 PDPG，所以PDGPGD.由于 PD 为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于 AFEP，所以PFA90，于是 BDA90，故 AB 是直径(2)连接
19、BC，DC.由于 AB是直径，故BDAACB90.在 Rt BDA 与 Rt ACB 中，ABBA，ACBD，从而 Rt BDA Rt ACB.于是DABCBA.又由于DCBDAB，所以DCBCBA，故 DCAB.由于 ABEP，所以 DCEP，DCE 为直角 理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的四边形的判定定理和性质定理定理或推论判定定理判定定理的推论性质定理内容假如一个四边形的对角互补那么这个四边形的四个顶点共圆假如四边形的一
20、个外角等于它的内角的对角那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形质定理性质定理的推论内容假如一条直线与一个圆有唯一公共点则这条直线叫做这个圆的切线公共点叫做切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经于是 ED 为直径由(1)得 EDAB.6.(2021 山西省忻州市联考)如图，直线 AB 经过O 上的点 C，并且 OAOB，CACB，O 交直线 OB于 E、D，连接 EC、CD.(1)求证：直线 AB是O 的切线；(2)若 tan CED12，O 的半径为 3，求 OA 的长 解：(1)证明：如图，连接 OC，OAOB，CA
21、CB，OCAB.OC 是O 的半径，AB是O 的切线(2)ED 是直径，ECD90，EEDC90，又BCDOCD90，OCDEDC，BCDE，又 CBDEBC，BCD BEC，BCBEBDBC，BC2BD BE.tan CEDCDEC12，BCD BEC，BDBCCDEC12，设 BDx，则 BC2x，BC2BD BE，(2x)2x(x6)，BD2，OAOBBDOD235.1.(2021 兰州市、张掖市联考)如图，ABC 是直角三角形，ABC90，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E，点 D 是 BC 边的中点，连接 OD 交圆 O 于点 M.(1)求证：O、B、D、E 四点共圆；(2
22、)求证：2DE2DM ACDM AB.证明：(1)连接 BE、OE(图略)，则 BEEC.又 D 是 BC 的中点，所以 DEBD，又 OEOB，ODOD，所以ODEODB.所以OEDOBD90，所以 O、B、D、E 四点共圆(2)延长 DO 交圆 O 于点 H(图略)由于 DE2DM DHDM(DOOH)DM DODM OH，所以 DE2DM(12AC)DM(12AB)，所以 2DE2DM ACDM AB.2(2021 云南省第一次统一检测)已知：如图，P 是O 的直径 AB延长线上的一点，割线 PCD 交O 于C、D 两点，弦 DF 与直径 AB 垂直，H 为垂足，CF 与 AB 交于点
23、E.(1)求证：PA PBPO PE；(2)若 DECF，P15，O 的半径等于 2，求弦 CF 的长 解：(1)证明：连接 OD.AB 是O 的直径，弦 DF 与直径 AB垂直，H 为垂足，C 在O 上，DOADCF，PODPCE.又 DPOEPC，PDO PEC，PDPEPOPC，即 PD PCPO PE.由割线定理得 PA PBPD PC，PA PBPO PE.理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的四边形的判定定理和性质定理定
24、理或推论判定定理判定定理的推论性质定理内容假如一个四边形的对角互补那么这个四边形的四个顶点共圆假如四边形的一个外角等于它的内角的对角那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形质定理性质定理的推论内容假如一条直线与一个圆有唯一公共点则这条直线叫做这个圆的切线公共点叫做切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经(2)由已知，直线 AB是弦 DF 的垂直平分线，EDEF，DEHFEH.DECF，DEHFEH45.由PECFEH45，P15，得 DCF60.由DOADCF，得DOA60.在 Rt DHO 中，OD2，DHODsin D
25、OH 3，DEEFDHsin DEH 6，CEDEtan DCE 2，CFCEEF 2 6.3.(2021 沈阳市教学质量监测)如图，已知圆 O1与圆 O2外切于点 P，直线 AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于 A、B 两点，AC 是圆 O1的直径，过 C 作圆 O2的切线，切点为 D.(1)求证：C、P、B 三点共线；(2)求证：CDCA.证明：(1)连接 PC，PA，PB，BO2，AC 是圆 O1的直径，APC90.连接 O1O2必过点 P，AB 是两圆的外公切线，A，B 为切点，BAPACP，AO1P2.由于 O1AAB，O2BAB，BO2P 2，O2BP.又ABPO2BP90，AB
26、PBAP90，C、P、B 三点共线(2)CD 切圆 O2于点 D，CD2CP CB.在ABC 中，CAB90，又APBC，CA2CP CB，故 CDCA.4.如图，点 A是以线段 BC 为直径的O 上一点，ADBC 于点 D，过点 B 作O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，点 G 是 AD 的中点，连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F，连接 AF 并延长与 CB 的延长线相交于点 P.(1)求证：BFEF；(2)求证：PA是O 的切线 证明：(1)BE 是O 的切线，EBBC.又ADBC，AD BE.可以得知BFCDGC，FEC GAC，BFDGCFCG，EFAGCFCG，BFDG
27、EFAG，又G 是 AD 的中点，DGAG.BFEF.(2)如图，连接 AO，AB.BC 是O 的直径，BAC90.在 Rt BAE中，由(1)得知 F 是斜边 BE 的中点，理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的四边形的判定定理和性质定理定理或推论判定定理判定定理的推论性质定理内容假如一个四边形的对角互补那么这个四边形的四个顶点共圆假如四边形的一个外角等于它的内角的对角那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形质定理性质定理的推论
28、内容假如一条直线与一个圆有唯一公共点则这条直线叫做这个圆的切线公共点叫做切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经 AFFBEF.FBAFAB.又OAOB，ABOBAO.BE 是O 的切线，EBO90.EBOFBAABOFABBAOFAO90，PA是O 的切线 理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等推论半圆或直径所对的圆周角是直角的圆周角所对的四边形的判定定理和性质定理定理或推论判定定理判定定理的推论性质定理内容假如一个四边形的对角互补那么这个四边形的四个顶点共圆假如四边形的一个外角等于它的内角的对角那么这个四边形的四个顶点共圆圆的内接四边形质定理性质定理的推论内容假如一条直线与一个圆有唯一公共点则这条直线叫做这个圆的切线公共点叫做切点经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经