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1、第五讲.数论与杂题习题1.【解析】选C.显然/为偶数，所以。为偶数，且“为质数，所以a = 2,故 = 1999,故a + h = 200l.习题2.【解析】 容斥原理得27+18+15-50=10.(2)连续7个整数模7余数为0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6,再由余数的可乘性知平方后余数为0, 1, 4, 2, 2, 4, 1,再余数可加性0+l + 4 + 2 + 2 + 4 + l = 7x2,故连续7个 整数的平方和为7的倍数.因为2003 = 286 x 7 + 1,“三l(mod7),因此第？天为星期一.习题3.【解析】如果是小琳干的，那么小琳说了假话，小茹和小强说的都是真
2、话，这与两人说假话的条件矛盾，所以，不是小琳.(2)如果小茹干的，那么小琳和小强都说了真话，这又与其中两人说假话的条件矛盾，所以，也不是小茹干的.(3)小强干的，脸证显然符合题意.习题4.【解析】将这1000个整数被7除的余数写出来是：1 , 1 , 3, 0, 3, 6, 1 , 1 , 3, 0,发现这个余数串每隔6个一组，循环一次.1000 = 166 x 6 + 4所以这1000个余数的和为166x14 + 1 + 1+3+0 = 2329.习题5.【解析】包子跳蚤跳3步回到8c边，所以，既然2001能被3整除，第2001步落在3C边上.B兄=4,因 为 8c = 10, C4=6;因
3、为 AC = 9, A?=3;因为 A8 = 8, 8吕=5:因为 3C = 10, CPt=5 : 因为AC = 9, APS =4：因为A4 = 8, BR=4,电子跳蚤跳6步后回到原来位置，2001被6除余3, 820m =5.4与鸟加之间的距离是1 .习题6.【解析】(1)能做到.因为原来最少一堆有8个石子，要使它变为2,最少要经过6次操作.事实上 6 次操作可以成功，例如：(19,8,9) T (21,7,8) T (23,6,7) - (22,5,9) - (24,4,8) T (23,3,10)-(22,2,12).做不到.因为每次操作后，每堆石子数或者减1,或者加2,不妨写为(a,c)T (a-Lb-l,c+2).若a, b, c被3除余数都不相同时，不妨设余数分别为0, 1,2,则操 作后所得三数b-t c + 2被3除余数分别为2, 0, 1,也不相同.(19,8,9)就是这样 一组，所以不管如何操作，都不能达到(12,12,12),后者三数均被3整除.