《线性代数教案_第一章_行列式_研究生考试-考研数学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教案_第一章_行列式_研究生考试-考研数学.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 授课章节 行列式 1.1 n 阶行列式 目的要求 理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。重 点 二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则 难 点 n 阶行列式的计算，克拉默法则 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)本章的重点是行列式的计算，要求在理解 n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、
2、四阶及简单的 n 阶行列式 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算 但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件 1 n 阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题 下面考察二元一次方程组 11
3、 1 12 2 121 1 22 2 2a x a x ba x a x b（1.1）当11 22 12 210 a a a a 时，由消元法知此方程组有唯一解，即 1 22 12 2111 22 12 21,b a a bxa a a a 11 2 21 1211 22 12 21a b a bxa a a a（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数11 12 21 22,a a a a以及常数项 学习必备 欢迎下载 1 2,b b表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。因此，我们引进
4、新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。1、二阶行列式：由 4 个数11 12 21 22,a a a a及双竖线 组成的符号11 1221 22a aa a称为二阶行列式。注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数ija（1,2;1,2 i j=）称为行列式的元素。行列式中的元素用小写英文字母表示，元素ija的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。相等的行数和列数 2 称为行列式的阶。(2)含义：它按规定的方法表示元素11 12 21 22,a a a a 的运算结果，即为：由左上至右下的两元
5、素之积11 22a a，减去右上至左下的两元素之积12 21a a。其中每个积中的两个数均来自不同的行和不同的列。或者说：二阶行列式是这样的两项的代数和，一项是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一项是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。即：11 1221 22a aa a 这就是对角线法则。【例 1】计算下列行列式的值（1）1 23 4（2）1 00 2-（3）2 10 3-【解】（1）1 21 4 2 3 23 4=?-（2）1 01 2 0 0 20 2-=-?-阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉
6、默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载（3）2 12 3(1)0
7、60 3-=?-?【例 2】当为何值时，行列式23 1D 的值为 0？【解】因为223(3)3 1D，要使(3)0，须使0 或3，即知，当0 或3 时，行列式23 1D 的值为 0。如果令11 1211 22 12 2121 22a aD a a a aa a=-1 121 1 22 12 22 22b aD b a a bb a=-，11 12 11 2 1 2121 2a bD a b b aa b=-则当 0 D 时，二元一次方程组（1.1）的唯一解（1.2）可表示为 11,DxD 22DxD 注 1x的分子行列式1D是将系数行列式D中的第 1 列换成方程组的常数项而得到；2x的分子行列
8、式2D则是把系数行列式D中的第 2 列换成方程组的常数项而得到。这样用行列式来表示方程组的解，就得到简便、整齐，便于记忆与运算的形式(亦称克莱姆法则)。【例 3】求解二元线性方程组5 4 8 4 5 6x yx y【解】由于系数行列式5 425 16 9 04 5D，知该方程组有解，再由于18 440 24 166 5D，25 830 32 24 6D，即得方程组的解为 11169DxD，2229 DxD 阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领
9、域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 似乎这样表示线性方程组的解比原来更为烦琐，但这创造了多元线性方程组的解 的公式及其规律性的解法，并为用电脑程序解多元线性方程组打下了良好的基础。更 为下一步学习
10、矩阵知识，为学习高级、大型的管理知识做好了准备。与二阶行列式相仿，对于三元一次线性方程组作类似的讨论，我们得到三阶行列式：2、三阶行列式：由在双竖线 内，排成三行三列的 9 个数组成的符号：11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a 称为三阶行列式。注（1）构成：三阶行列式含有三行，三列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数 3 称为行列式的阶。(2)含义：三阶行列式按规定的方法表示 9 个元素的运算结果，为 6 个项的代数和，每个项均为来自不同行不同列的三个元素之积，其符号的确定如下图所示：33 32 3123 2
11、2 2113 12 11a a aa a aa a a 从图中可见，三阶行列式是这样的六个项的代数和：从左上角到右下角的每条蓝色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取正号；从右上角到左下角的每条红色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取负号。即 11 12 1321 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 3231 32 3311 23 32 12 21 33 13 22 31()()a a aa a a a a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a 运算时，在整体上，应从第一行的11a起，自左向右计算左上到右下方向上的所有的三
12、元乘积，再从第一行的11a起，自左向右计算右上到左下的方向上的所有的三元乘积。对于各项的计算，应按行标的自然数顺序选取相乘的元素。这样较为不容易产生错漏。阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳
13、法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载【例 4】求行列式1 2 34 0 51 0 6 的值。【解】1 2 34 0 51 0 6 1 0 6 2 5(1)3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0(1)10 48 58。【例 5】,a b满足什么条件时有00 01 0 1a bb a。【解】由于2 2 2 200()1 0 1a bb a a b a b，可见，若要使2 20 a b，必须a与b同时为 0，因此，当0 a b 时，00 01 0 1a
14、 bb a。【例 6】1 01 0 04 1 1aa 的充分必要条件是什么？【解】因为21 01 0 14 1 1aa a，而21 0 a 成立的充分必要条件是1 a，因此可得，1 01 0 04 1 1aa 的充分必要条件是1 a。类似于二元线性方程组的行列式求解公式，三元线性方程组也有其系数行列式以及相应未知数的分子行列式，得到如下解法（克莱姆法则）：阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计
15、算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 记三元线性方程组11 12 1321 22 2121 2 31 2 31 2331 3 3 3 3 2 3 a a aa a aax x xx x xx x xbabb a 的系数行列式为 11 12 1321
16、22 2331 32 33a a aD a a aa a a，1x的分子行列式为12 131 22 2332 3123 3a aD abaabab，2x的分子行列式为11 132 21 2133 33 3 12bbba aD a aa a，3x的分子行列式为11 123 21 2231 32213bba aD a aa a b，则当0 D 时，方程组的解为11DxD，22DxD，33DxD。【例 7】求解线性方程组1 2 31 2 31 2 35 2 22 4 9 2 5 3x x xx x xx x x。【解】由于5 1 22 1 1 25 9 8(10 10 18)9 2 5D 42 38
17、 4 0 方程组有解，再计算各分子行列式，得 12 1 24 1 1 10 3 16(4 20 6)29 30 13 2 5D，25 2 22 4 1 100 18 12(15 20 72)9 3 5D 130 107 23，35 1 22 1 4 15 36 8(40 6 18)59 64 59 2 3D，即得方程组的解为：阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握
18、行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 1114DxD，22234DxD，3354DxD。二、排列及其逆序数 从上节的例子我们知道，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，对四阶和四阶以上的行列式就不适用了.怎样计算四阶和四阶以上的行列式呢?我们先从二阶与三阶行列式的计算中找一找规律
19、先看二阶行列式 11 1211 22 12 2121 22a aD a a a aa a=-(1.3)二阶行列式一共有两项，每一项均由不同行不同列的元素组成。其组成的规律是如果行标都取自然数 1，2；列标只能取 1，2 或 2，1。所以二阶行列式中有两项11 22a a，11 22a a 再看三阶行列式 11 12 1321 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 3231 32 3311 23 32 12 21 33 13 22 31()()a a aa a a a a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a 三阶行列式一共有 6 项，每一
20、项均由不同行不同列的元素组成。其组成的规律是 如果行标都取自然数 1，2，3；列标只能取 1，2，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；2，1，3；1，3，2。所以三阶行列式中有 6 项 通过上述分析，我们知道了二阶行列式和三阶行列式项的组成方法。1）行标取自然排列时，列标分别取全排列.2）项的个数就是全排列的个数。另外，还发现无论二阶行列式还是三阶行列式，均有一些项的前面取“+”，一些项的前面取“-”。怎样确定那些项的前面取“+”，那些项的前面取“-”呢？我们发现和排列的顺序有关。1、n 级排列 n 个正整数 1,2,n 组成的一个有序数组 1 2,ni i i称为一个 n 级排列，其中自
21、然数ki为 1,2,n 中的某个数，称作第 k 个元素，k 表示这个数在 n 级排阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱
22、姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 列中的位置。n 个不同元素共有 n！个不同的 n 级排列。例如，1234 是一个 4 级排列，3412 也是一个 4 级排列，52341 是一个 5 级排列，而 1235，3231 不是排列。由数码 1，2，3 组成的所有 3 级排列为：123，132，213，231，312，321，共有 3!=6 个。2、逆序数 数字由小到大的 n 级排列 1234n 称为标准次序排列在一个排列1 2,ni i i中，较大的数在较小的数前面就产生一个逆序数，所有逆序数的总和称为这个排列的逆序数，记
23、做),(2 1 ni i i。容易看出，标准次序排列的逆序数为 0 逆序数的计算方法：以 3 2 4 1 5 为例，从第一个数依次查起，分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.【例 8】求排列 3,2,5,1,4 的逆序数【解】在排列 3,2,5,1,4 中 3 排在首位,逆序数为 0；2 的前面比 2 大的数只有一个 3,故逆序数为 1；5 的前面没有比 5 大的数,其逆序数为 01 的前面比 1 大的数有 3 个,故逆序数为 3；4 的前面比 4 大的数有 1 个,故逆序数为 1。3 2 5 1 4 0
24、1 0 3 1 于是排列的逆序数为5)32514(【例 9】求 362154 的逆序数【解】8 1 0 1 4 2)362154(【例 10】j i4 21是一个 5 级别排列，试确定j i,的值及其逆序数。【解】由于是 5 级排列，因此j i,可以取 3 或 5 若53ji，则排列为21345，1)21345(若35ji，则排列为21543，4)21543(3、排列的奇偶性 阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则
25、本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列。可以看出例 4 是奇排列，例 5 是偶排列。自然排列 123n 是偶排列。而三级排列共有 3！=6 个，其中奇排列有：132，2
26、13，321；偶排列有 123，231，312；奇、偶排列各占一半。4、对换 将一个排列中的某两个数的位置互换而其余的数不动,这样得到一个新的排列.这种变换称为对排列作一次对换,将相邻的两个数对换称为相邻对换。例 如3421 3241)4,2(，对 换 前4)3241(，3241 是 偶 排 列；对 换 后5)3421(，4231 是奇排列。定理 1.1 对排列进行一次对换将改变其奇偶性.推论 在全体 n级排列(n1)中，奇排列和偶排列各占一半，各有2!n个。定理 1.2 任意一个 n级排列与 12n都可以经过一系列对换互换，并且所作的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。三、n阶行列式 在给出
27、 n 阶行列式的定义之前，先来看一下二阶和三阶行列式的定义.11 1211 22 12 2121 22a aD a a a aa a 11 12 1321 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 3231 32 33a a aD a a a a a a a a a a a aa a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31a a a a a a a a a 我们可以从中发现以下规律：(1)二阶行列式是 2！项的代数和，三阶行列式是 3！项的代数和；(2)二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，
28、它们也是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号 通过上述分析，我们找到了构造二阶行列式和三阶行列式有别于对角线法的新的方法。下面我们将用新的方法定义一般的 n价行列式，当然，我们希望用新的方法定义的 n价行列式可以原来解一般的 n 元线性方程组.阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶
29、行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 定义 由排成 n 行 n 列的 n2个元素 aij(i，j=1,2,n)组成的 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aDa a a（1.4）称为 n 阶行列式。它是取自不同行和不同列的 n 个元
30、素的乘积 1 21 2nj j nja a a 的代数和，其中1 2 nj j j 是1,2,n的一个排列。当1 2 nj j j 是偶排列时，（1.4）式带有正号；当1 2 nj j j 是奇排列时，（1.4）式带有负号，也就是可写成 1 21 21 211 12 121 22 2()1 21 2(1)nnnnn j j jj j njj j jn n nna a aa a aa a aa a a（1.5）这里1 2 nj j j表示对所有 n 级排列求和。行列式 D 通常 可简记为 det()ija 或ijna.注：(1)行列式是一种特定的算式，最终的结果是一个数；(2)n阶行列式是!n项
31、的代数和；(3)n阶行列式的每个乘积项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积；(4)每一项1 21 2nj j nja a a的符号为).(2 1)1(nj j j；(5)一阶行列式 11 11a a，不要与绝对值的概念相混淆；(6)对角线法则对 4 阶及 4 阶以上的高阶行列式不适用。为了熟悉 n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题【例 11】在 5 阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？【解】这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为 23514 因 4)23514(，故这一项应取正号。【例 12】写出 4 阶行列式中，带负号且包含因子 a11a23的项
32、。【解】包含因子 a11a23项的一般形式为 4 34 34 3 23 11)13()1(j jj ja a a a 按定义，j3可取 2 或 4，j4可取 4 或 2，因此包含因子 a11a23的项只能是 a11a23a32a44或 a11a23a34a42 但因需要带负号所以此项只能是 a11a23a32a44 阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质
33、的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载【例 13】利用行列式的定义证明 1121 2211 22 33 4431 32 3341 42 43 440 0 00 00aa aD a a a aa a aa a a a【证明】由行列式的定义知 4 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2
34、 1)()1(j j j jj j j jj j j ja a a a D 所以只需找出一切可能的非零项即可。第 1 行除11a外其余元素全为 0，所以11 j，第 2 行除22 21,a a外其余元素全为 0，又11 j，所以22 j以此类推，4,34 3 j j 注(1)例 13 的结论可推广到一般n阶下三角行列式的计算：1121 2211 221 20 00nnn n nnaa aa a aa a a 类似地，上三角行列式 的值也成立同样的结论：11 12 122 211 2200 0nnnnnna a aa aa a aa（2）11 1,1 1(1)21 2,121 2,1 110(1
35、)0 0n nn nnn n nna a aa aD a a aa.（3）对角行列式：121 20 00 00 0nnD（4）1(1)221 20 00 0(1)0 0n nnnD.阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化
36、三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 在行列式的定义中，为了确定每一项的正负号，我们把每个乘积项元素按行指标 排起来。事实上，数的乘法是可交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的。一般地，n 阶行列式中的乘积项可以写成 1 1 2 2 n np q p q p qa a a 其中1 2 1 2,n np p p q q q是两个 n 级排列。由于每交换两个元素对应的行标列标都做了一次对换，因此由定理 1.1 知：它们的逆序
37、数之和的奇偶性不变.因此有 1 2 1 2 1 21 2()()()1 2(1)(1)n n nnp p p q q q j j jj j nja a a 由此可见，行指标与列指标的地位是对称的.因此为了确定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 1 21 21 211 12 121 22 2()1 21 2(1)nnnnn i i ii i i ni i in n nna a aa a aa a aa a a 阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其
38、他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 授课章节 第一章 2 行列式的性质 目的要求 掌握 n 阶行列式的性质 重 点 n 阶行列式的性质及其应用 难 点 n 阶行列式
39、的计算 2 行列式的性质 行列式的计算是行列式的重点，对于低阶或者零元素很多的行列式可以用定义计算，但对于(4)n n阶行列式来说用定义计算将非常繁琐或几乎不可能，因此我们有必要探究行列式的一些性质，以简化其运算，并且这些性质对行列式的理论研究也有重要意义.记 nn n nnna a aa a aa a aD 2 12 22 211 12 11，nn n nnnTa a aa a aa a aD 2 12 22 121 21 11，行列式 DT是由行列式 D 的行与列对应互换所得到，称行列式 DT为行列式 D 的 转置行列式。例如 D=1 23 4，则1 42 3TD，可知这两个行列式是相等的
40、。性质 1 行列式与它的转置行列式相等，即 TD D。证明 因为 D 中元素ija 位于 TD 的第 j 行第 i 列，所以 1 2 1 21 2 1 21 2 1 2()()T1 2 1 2(1)(1)n nn nn nj j j j j jj j nj j j j nj j j j j jD a a a a a a D 性质 1.1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因此凡是有关行的性质，对列也同样成立，反之亦然。性质 2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。证明 设 11 12 11 211 21 2nk k knl l lnn n nna a aa a aDa a aa
41、a a，11 12 11 221 21 2nl l lnk k knn n nna a aa a aDa a aa a a 阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章
42、的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 111 2()1 1(1)k l nk l nnj j j jj kj lj njj j jD a a a a 111 2()1(1)l k nl k nnj j j jj lj kj njj j ja a a a 111 2()1 2(1)k l nk l nnj j j jj kj lj njj j ja a a a D 推论 行列式中有两行（或两列）元素对应相同，则此行列式为零。证明 交换元素相同的两行（列），由性质 2 知 D D，即
43、 0 D.性质 3 行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式符号的外面，或者说以一数乘行列式的某行（列）的所有元素等于用这个数乘此行列式.即 11 12 1 11 12 11 2 1 21 2 1 2n ni i in i i inn n nn n n nna a a a a aka ka ka k a a aa a a a a a 证明 容易得出 1 11 11 2 1 2()()1 1(1)()(1)i n i ni n i nn nj j j j j jj ij nj j ij njj j j j j ja ka a k a a a 即性质 3 成立.推论 1 如果行列式中某行（列）元
44、素全为零，那么行列式为零.推论 2 如果行列式中两行（列）元素成比例，那么行列式为零.例如，行列式2 4 13 6 35 10 4D，因为第一列与第二列对应元素成比例，根据推论 2，可直接得到 0 D.性质 4 如果某一行（列）的元素是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行元素外全与原来行列式对应行的元素一样.即 11 12 1 11 12 1 11 12 11 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2n n nn n n nn n mm n n nn n n nna a a a a a a a ab c b c b c b b b c c ca a a
45、 a a a a a a（强调：只拆一行，其余行不变）。证明 左端111 2()1(1)()i ni nnj j jj i i j njj j ja b c a 阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法
46、数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载 1 11 11 2 1 2()()1 1(1)(1)i n i ni n i nn nj j j j j jj ij nj j ij njj j j j j ja b a a c a 右端 性质 5 行列式中某行（或列）的元素 k 倍地加到另一行对应元素上，此行列式的值不变。即 nn n nj in j i j iin i innn n nj j jin i ina a aa ka a ka a kaa
47、a aa a aa a aa a aa a aa a a 2 11 1 2 1 12 11 12 112 11 1 12 11 12 11 为使行列式 D 的计算过程清晰醒目，特约定以下记号：(1)i jr r（i jc c）表示交换 D 的第 i 行（列）与第 j 行（列）；(2)()i ikr c 表示用数 k 乘 D 的第 i 行（列）所有元素；(3)j ir kr（j ic kc）表示把 D 的第 i 行（列）元素的 k 倍加到第 j 行（列）的对应元素上.二、利用行列式的性质计算行列式 利用行列式性质计算：目标是化为三角形行列式，利用三角行列式的计算结论。【例 1】计算行列式2 2
48、2 25 1 02 1 1【解】因为第三行是第一行的2倍，所以该行列式等于 0.【例 2】计算行列式3 3 72 2 41 1 2【解】因为行列式的第二、三列相等，故该行列式等于 0。【例 3】计算行列式 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3x y x y x yx y x y x yx y x y x y【解】1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3x y x y x yx y x y x yx y x y x y提取每行的公因子1 2 31 2 3 1 2 31 2 3y y yx x x y y yy y y性质 40。【例 4】计
49、算行列式 阶行列式计算行列式的性质克拉默法则难点阶行列式的计算克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的是线性代数中的一个基本概念它在线性代数其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着 方程组克莱姆法则本章的重点是行列式的计算要求在理解阶行列式的概念掌握行列式性质的基础上熟练正确地计算三阶四阶及简单的阶行列式计算行列式的基本思路是按行列展开公式过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性 用定义法化三角形法降阶法递推法数学归纳法利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组克莱姆法则要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式解方
50、程是代数中一个基本的学习必备 欢迎下载【解】将第一、二行互换，第三、五行互换，得 将第一、五列互换，得【例 5】计算行列式 2 0 11 4 11 8 3-【例 6】计算行列式 3 3 5 11 1 0 24 3 1 52 1 1 3 D【解】3 1 1 25 1 3 42 0 1 11 5 3 3D 1 21 3 1 21 5 3 40 2 1 15 1 3 3c c 2 14 11 3 1 20 8 4 65 0 2 1 10 16 2 7r rr r 2 31 3 1 20 2 1 10 8 4 60 16 2 7r r 3 24 21 3 1 24 0 2 1 10 0 8 10 80