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1、学习必备 欢迎下载 线性代数公式大全 第一章 行列式 1逆序数 1.1 定义 n个互不相等的正整数任意一种排列为：1 2 ni i i，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用 1 2 nii i 表示，1 2 nii i 等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。1.2 性质 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 2 11。证明如下：设排列为1 1 1 l m na a ab b bc c，作m次相邻对换后，变成1 1 1 l m na a abb b c c，再作1 m 次相邻对换后，变成1 1 1 l m na
2、 a bb b ac c，共经过2 1 m 次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加 1，要么减少 1，相当于 2 11，也就是排列必改变改变奇偶性，2 1 m 次相邻对换后 2 12 1 11 1m，故原命题成立。2n阶行列式的 5 大性质 性质 1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质 2：互换任意两行（列）其值变号。性质 3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质 4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质 5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不变。行列式的五大性质全部 可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评 注
3、 对性质 4 的重要拓展：设n阶同型矩阵，;ij ij ij ijA a B b A B a b，而行列式只是就某一列分解，所以，A B 应当是2n个行列式之和，即A B A B。评 注 韦达定理的一般形式为：学习必备 欢迎下载 1 21 2 01 2 01 1 10;1n n nnn n nn nn n n i i j ii i j in n na a aa x a x a x a x x x xa a a 一、行列式定义 1定义 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aa a annnj j jj j ja a a 22 1211)()1(其中逆序数 1 2
4、1 nj j j j 后面的1j小的数的个数 2j 后面比2j小的数的个数1 nj后面比1 nj小的数的个数.2三角形行列式 11 12 122 200 0nnnna a aa aa1121 221 20 00n n nnaa aa a a 11 22 nna a a 121 10 00nnn nn nnaaa a a11 12 121 22100 0nna a aa aa 1 2 11 2 1 11n nn n na a a 121 2 1 11n nn n na a a 二、行列式性质和展开定理 1会熟练运用行列式性质，进行行列式计算.2展开定理 1 1 2 2 i k i k in kn
5、 ika A a A a A A A A a A a A ajk nk nj k j k j 2 2 1 1 三、重要公式 设 A 是 n 阶方阵，则 1TA A 211A A 为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主
6、要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 3 1*nA A 4 nkA k A 5AB A B，其中 B 也是 n 阶方阵 6设 B 为 m 阶方阵，则 00A C AA BB C B 010mnA C AA BB C B 7范德蒙行列式 1 22 2 21 211 1 11 21 1 1ni j nj i nn n nnx x xx x x x xx x x 四有关结论 1对于,n n n nA B(1)0 0 A A(2)A
7、B A B 2.A为n阶可逆矩阵 A E A E 行变列变（A与E等价）0 AX 只有惟一零解 AX b 有惟一解（克莱姆法则）A 的行（列）向量组线性无关 A 的 n 个特征值0,1,2,ii n A可写成若干个初等矩阵的乘积)()(B r AB r A AT是正定矩阵 为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行
8、列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 A是 nR中某两组基之间的过渡矩阵 3.A为n阶不可逆矩阵 0 A 0 AX 有非零解 n A r)(0 是A的特征值 A A 4.若A为n阶矩阵，)2,1(n ii 为A的 n 个特征值，则niiA1 5.若B A，则B A 行列式的基本计算方法：1.应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形
9、行列式就是一个常用方法）。2.按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的 n 阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。典型题:一.数字行列式的计算.1.利用行列式的定义.2.利用行列式的基本性质.3.一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式.二.行列式的代数余子式的相关计算.三.A B 类型成抽象行列式的计算.1.与向量成分块矩阵结合 2 与特征值、特征向量结合.4 与代
10、数余子式结合.四.范德蒙行列式与克莱姆法则 第二章 矩阵 一 内容概要 1 矩阵的概念 注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当 A 是一个方阵时候，A才有意义，但是A A；此外当 A 是长方形矩阵时A没有意义。2 矩阵的运算及其运算律（1）矩阵的相等；（2）矩阵的线性运算：a)矩阵的和：A+B 注意 A 和 B 要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列
11、改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）n mij n m ijka a k kA)(；c)一般地，若t t tA k A k A A A A 2
12、2 1 1 2 1k,是同型矩阵，则有意义，称为矩阵tA A A,2 1的一个线性运算；3 矩阵的转置 将矩阵 A 的行列互换，得到新的矩阵A AT 或，称为矩阵 A 的转置。4 矩阵的乘法 矩阵乘法的定义：s mij s n n mC B A 注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而 njjji i i nj in j i j i ijbbba a a b a b a b a c 214 2 1 2 2 1 1 5 关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1）一般地其 BA AB原因是 a)AB 与 BA 不一定同时有意义；b)即使 AB 与 BA 都有意义，AB 与 BA 的
13、阶数也未必一致；例如 同 都有意义，但其阶数不 与，则 BA AB b B a Ajt ij3 2 2 3,；c)即使 AB 与 BA 其阶数相同，但 AB 与 BA 也未必相同；如果 AB=BA，则称 A 与 B 是可以交换的。例如BA AB BA AB B A 都有意义，但是 与，则1 11 1,1 11 1 2）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若0,0,0 0,X A AX C B A AC AB 推不出，例如若，推不出 3）若 T TTA B AB AB 有意义，则 3 几种特殊类型的矩阵（1）0 矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（5
14、）对称矩阵：若 Tji ijn nijA A a a a A，即,；（6）反对称矩阵：若 Tji ijn nijA A a a a A-,，即；关于反对称矩阵常用的结论：1）A 的主对角线上的元素全是 0；2）若 A 是奇数阶行列式，则0 A;为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公
15、因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载(7)正交矩阵：若1 A A E A A AA AT T T或 满足：，则称 A 是正交矩阵。关 于 正 交 矩 阵 与 对 称 矩 阵 的 关 系 有：若 A 是 一 个 实 对 称 矩 阵，则 存 在 一 个 正 交 矩 阵 T 使 得：nnTAT T AT T1211；（8）阶梯形矩阵 若 A 满足：0 行全在非 0 行
16、的下方，非 0 行的第一个非 0 的数它的下面的数全是 0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵 A 都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分块矩阵 当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1）分块矩阵的加法：若 A+B,其对矩阵 A,B 的分块方法完全一致；（2）分块矩阵的乘法
17、：若 AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5 初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（2）初等变换 初等行变换、初等列变换；（3）初等变换与初等矩阵之间的关系 对矩阵 A做一次初等行变换成为 B，则 B=PA（其中 P 是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：B Ar r 1 3 13 1 02 2 11 3 11 3 22 2 12 1)2(即 则 PA B 1 3 11 3 22 2 11 0 00 1 20 0 11 3 13 1 02 2 1B 对于矩阵
18、 A 作一次初等列变换成为 B，则 B=AP（其中 P 是与上述列变换相对应的初等矩阵）。为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行
19、列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 举例说明 B Ac c 1 1 11 1 22 0 11 3 11 3 22 2 12 1)2(1 0 00 1 00 2 11 3 11 3 22 2 11 1 11 1 22 0 1B(4)矩阵 A 与 B 等价 如果 A 能够通过初等变换变为 B 则称 A 与 B 等价，用式子表示就是：j s t tQ P Q Q AQ P P P B,i 2 1 1 1其中 是初等矩阵 每一个矩阵 A 都与矩阵0 00rE等价，其中 r 是矩阵 A 的秩，即存在 0 00,2 1 1
20、 1 irs t t jEQ Q AQ P P P Q P 使得：初等矩阵 6 关于 n 阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设 A 是一个 n 阶矩阵，若有 n 阶方阵 B 使得 AB=E 或 BA=E 则称矩阵 A 是可逆的；(2)n 阶方阵 A 可逆的充要条件 1）用矩阵的方式描述：存在矩阵 B 使得 AB=E 或 BA=E(即定义）；2）用 A 的行列式0 A A来描述：;3）用矩阵的秩来描述：的阶数；是矩阵 这里 A n n A r)(4）用向量的观点来描述：矩阵 A 的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组 AX=0 仅有 0 解；6）用矩阵 A 的特征值来
21、描述：A 的特征值全不 0；（3）逆矩阵的性质 1）若 A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2）若 A,B 是同阶可逆矩阵，则 AB 也可逆，且 1 11 A B AB;3）nn T TA A A A A k A A A A A11 11 1 1111 11,k,)(,，;4）000000,000011111111BAABBABABA（4）逆矩阵的求法 为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对
22、换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法：1|A B B E E A，则一系列初等行变换 2）对于抽象的矩阵 A,求
23、此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵 B 使得：AB=E，或 BA=E，此时的 B 就是所求的逆矩阵；3）如果要判断矩阵 A 是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5）关于伴随矩阵 1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2)伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵 A 均有此伴随矩阵*A E A A A AA*使得 当0 0,10*1 A A AA A AAA A 时：当 时，对于一般地方阵 A，其伴随矩阵*A的秩为：2)(01)(1)()(*n A rn A rn A r nA r若若若 当0 0,0*1*A A A A An时 当 时，。（6）关于矩阵的秩 1）矩阵秩的定义：在
24、矩阵 A 中，有一个不等于 0 的 r 阶子式rD，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么 r称为矩阵 A 的秩，rD称为矩阵 A 的最高阶非 0 子式。规定 0 矩阵的秩是 0。2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵 A实行初等变换其秩不变)()(B r A r B A，则 一系列初等变换 3）矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵 A 的秩其一般方法是 是阶梯型矩阵），（一系列初等变换T T A 行的行数 的非）（则 0)(T T r A r 4）有关矩阵秩的重要结论 是实矩阵）（若 A AA r A r A rT T n m A r A,min)(1 0，则 若 为标准次序当
25、某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学
26、习必备 欢迎下载)()(|)(),(max,)(),(min),()()(B r A r B A r B r A r B r A r AB r B r A r B A r 若 P、Q 分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则)()()()(PAQ r AQ r PA r A r)()(00),()(00B r A rBAr B r A rBAr 若 A 为n m矩阵，B 为s n矩阵，且 AB=0，则：n B r A r)()(此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。二 常见题型 题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查 在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用E A A A
27、A 1 1来进行。题型二：矩阵可逆的计算与证明（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；（2）如果给定了抽象的条件，要求1 A，此时注意将条件转化为 AB=E，或 BA=E,此时的 B 就是要求的1 A。在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。题型三：关于伴随矩阵 逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。题型四：有关初等矩阵及其初等变换的问题 题型五：解矩阵方程 将所给的条件转化为矩阵方程：这里 或 或 B AXC B XA B A
28、X 的矩阵 A,C 一般地都是可逆矩阵。对于矩阵方程 D E B A B AX|初等行变换，其一般的解法为：，则这里的矩阵B A D1；或者先求出B A A1 1，再计算。对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。题型六：关于矩阵的秩 1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵 A 实行初等变换使之称为阶梯形矩阵 T,由此可求出矩阵 A 的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；2 利用矩阵的秩，等于矩阵 A 的行向量组的秩，等于矩阵 A 的列向量组的秩等性质。为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之
29、和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 3 注意矩阵秩的有关不等式。题型七：求一个方阵的高次幂 当 A 是一个方阵的时候，kA才有意义，否则没
30、有意义。第三章 n 维向量空间 3.1 n 维向量的定义 1.定义 定义：n个数na a a,2 1构成的有序数组,记作),(2 1 na a a,称为n维行向量 ia 称为向量的第i个分量 R ia 称为实向量（下面主要讨论实向量）C ia 称为复向量 零向量：)0,0,0(负向量：),()(2 1 na a a 列向量：n个数na a a,2 1构成的有序数组,记作naaa21,或者T2 1),(na a a,称为n维列向量 零向量：000 负向量：naaa21)(若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组 3.2 n 维向量的线性运算 1定义 线性运算：),(2 1
31、na a a,),(2 1 nb b b 相等：若),2,1(n i b ai i,称 加法：),(2 2 1 1 n nb a b a b a 数乘：),(2 1nka ka ka k 减法：)(),(2 2 1 1 n nb a b a b a 2线性运算律：),(2 1 na a a,),(2 1 nb b b,),(2 1 nc c c(1)(5)1(2)()(6)()(l k l k(3)(7)k k k)(4)(8)l k l k)(3.3 向量组的线性相关性 1线性组合与线性表示 为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所
32、有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 对 n维向量 及 m,1,若有数组mk k,1使得 m mk k 1
33、1,称为m,1的线性组合,或可由m,1线性表示 例如，有，所以称是4 3 2 1,的线性组合，或可由4 3 2 1,线性表示。判别是否可由向量组m,3 2 1线性表示的定理：定理 1 向量可由向量组m,3 2 1线性表示的充分必要条件是：以m,3 2 1为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。2向量组的线性相关性 对n维向量组m,1,若有数组mk k,1不全为 0,使得 01 1 m mk k 称向量组m,1线性相关,否则称为线性无关 线性无关：对n维向量组m,1,仅当数组mk k,1全为 0 时,才有 01 1 m mk k 称向量组m,1线性无关,否则称
34、为线性相关 定理 2 向量组m,2 13 2 1 41 2 0 线性相关 其中至少有一个向量可由其余3 2 1,个向量线性表示 推论：向量组m,2 13 2 1 41 2 0 线性无关 任何一个向量都不可由其余3 2 1,个向量线性表示 定理 3 n 维向量组m,2 1线性相关 0 Ax有非零解，其中),(2 1 mA。推论：n 维向量组m,2 1线性无关 0 Ax只有零解，其中),(2 1 mA。定理 4 若向量组m,2 1线性无关,2 1 m线性相关,则可由m,2 1线性表示,且表示式唯一 一些结论：(1)单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2)含零向量的任何向量组线性相关；(3)
35、基本向量组ne e e,2 1线性无关；(4)有两个向量相等的向量组线性相关；(5)mn 时，m 个 n 维向量必线性相关.特别：m=n+1；(6)n 个 n 维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零；(7)n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含 n 向量.3.4 向量组的极大线性无关组 1.等价向量组 1 2 3 42 1 0 0 05 0 1 0 0,3 0 0 1 00 0 0 0 1 2 1 0 0 05 0 1 0 02 5 3 03 0 0 1 00 0 0 0 1 1 2 3 4=2 5 3 0 即为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序
36、数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 设向量组 rT,:2 1 1,sT,:2 1 2
37、 若),2,1(r ii 可由s,2 1线性表示,称 1T可由 2T线性表示；若 1T与 2T可以互相线性表示,称 1T与 2T等价(1)自反性：1T与 1T等价(2)对称性：1T与 2T等价2T与 1T等价(3)传递性：1T与 2T等价,2T与3T等价1T与3T等价 等价向量组的基本性质：定理 设s,2 1与s,2 1是两个向量组，如果(1)向量组s,2 1可以由向量组s,2 1线性表示；(2)t s 则向量组s,2 1必线性相关。推论 1 向量组s,2 1可以由向量组s,2 1线性表示，并且 s,2 1线性无关，那么t s。推论 2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。2向量
38、组的极大线性无关组 设向量组为A,如果在A中有r个向量 r,2 1满足：(1)0A:r,2 1线性无关；(2)任意1 r个向量线性相关（如果有1 r个向量的话）称 r,2 1为向量组为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。注：(1)只含零向量的向量组没有极大无关组；(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；(3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。例如，在向量组 1412,4524,13123 2 1 中，首先 2 1,线性无关，又3 2 1,线性相关，所以 2 1,组成的部分组是极大无关组。还可以验证3 2,也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大
39、无关组的基本性质：性质 1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。性质 2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。3向量组的秩与矩阵秩的关系 3.1 向量组的秩 定义 3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做),(2 1 sr。例如，向量组1412,4524,13123 2 1 的秩为 2.关于向量组的秩的结论:(1)零向量组的秩为 0；为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇
40、偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载(2)向量组s,2 1线性无关s rs),(2 1，向量组s,2 1线性相关.),(2 1s rs，(3)如果向量组s,2 1可以由向量组t,2
41、1线性表示，则);,(),(2 1 2 1 s sr r(4)等价的向量组必有相同的秩。注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。3.2 矩阵的秩 3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义 4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？引理 1:矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。引理 2：矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩
42、。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩矩阵的列秩。定义 5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为 r(A),或 rankA，或秩 A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。3.2.2 矩阵秩的求法 首先复习:行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数 求矩阵秩的方法:把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。求向量组的秩、极大无关组的步骤：(1)向量组s,2 1作列向量构成矩阵A；(2)B A 初等行变换(行最简形矩阵)
43、(3)求出 B 的列向量组的极大无关组(4)A 中与 B 的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为 A 的极大无关组。3.2.3 矩阵秩的性质(1)等价的矩阵，秩相同；(2)任意矩阵A，有)()(TA r A r；(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。若P可逆，对于任意的矩阵A，有)()()(AP r A r PA r(4)对于,p n n mB A.)()(;)()()();(),(min)();()()(n B r A r O ABn B r A r AB rB r A r AB rB r A r B A r有 时，当 3.3 矩阵的秩与行列式的关系 定理 n阶方阵A，A n A
44、r)(的n个行(列)向量组线性无关,0 A 即A为可逆矩阵(也称为满秩矩阵)A n A r)(的n个行(列)向量组线性相关.0 A 3.5 向量空间 为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质
45、的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 1向量空间的概念 定义 1：设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间 说明：集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指,V 有;V,R k V 有.V k 一般地，由向量组ma a a,2 1所生成的向量空间为,2 1 2 2 1 1R a a a x Vm m m 2向量空间的基与维数 定义 2：设 V 是向量空间，如果 r 个向量Vr,2
46、1，且满足(1)r,2 1线性无关；(2)V 中任何一向量都可由 r,2 1线性表示，那么，就称向量组 r,2 1是向量空间 V 的一个基，r 成为向量空间 V 的维数，记作 dimV r，并称 V 是 r 维向量空间。注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为 0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V 的基就是向量组的极大无关组，V 的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。3向量在基下的坐标 定义 3：设向量空间V的基为 r,1,对于V,表示式 r rx x 1 1 唯一（定理 2）,称T1),(rx x 为在 基 r,1下的坐标（列向量）注：为n维向量,在V的基 r,
47、1下的坐标为r维列向量 因为线性无关的“n维向量组”最多含有n个向量,所以由 n维向量构成的向量空间的基中最多含有n个向量,故n r 3.5 欧式空间 1 内积的概念 定义 1：n 维实向量n nbbbaaa 2121,，称n nb a b a b a 2 2 1 1),(Tnnbbba a a 212 1,为和的内积。若,为行向量，则T),(。向量空间的性质：(1),(),(2),(),(),(3),(),(k k(4)0),(等号成立当且仅当0 定义 2 实数2 2221),(na a a 为向量的长度(或模，或范数)。若1，称为单位向量。为标准次序当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就
48、说有一个逆序数该排列全部逆序数的总合用表示等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和性质一个排列中任意两个元素对换排列改变奇偶性即证明如下设排列为作次相 减少相当于也就是排列必改变改变奇偶性次相邻对换后故原命题成立阶行列式的大性质性质转置行与列顺次互换其值不变性质互换任意两行列其值变性质任意某行列可提出公因子到行列式符外性质任意行列式可按某行列分解为两个 行列式的运算主要是利用这五个性质评注对性质的重要拓展设阶同型矩阵而行列式只是就某一列分解所以应当是个行列式之和即评注韦达定理的一般形式为学习必备欢迎下载一行列式定义定义其中逆序数后面的小的数的个数后面比学习必备 欢迎下载 把向量单位化：若,0
49、 则 0，考虑 11),(1),(22 2，即 的模为 1，为单位向量，称 为把 单位化。向量长度的性质：(1)非负性：当0 时，0；当0 时，0；(2)齐次性：k k；(3)柯西-施瓦兹不等式：),(；(4)三角不等式：定义 3：设实向量,称),(arccos,)0(为与之间的夹角 定义 4：若0),(,称与正交,记作(1),时,2；(2)或 时,有意义,而,无意义 注：（1）零向量与任何向量都正交。（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。2标准正交基的向量组 定义 5 正交向量组：非零实向量s,2 1两两正交。正 交 单 位 向 量 组(标 准 正 交 向 量 组)：非 零 实 向 量s,
50、2 1两 两 正 交，且 每 个 向 量 长 度 全 为 1，即)(0)(1),(j ij ij i。定理：正交向量组是线性无关的。例如，书 p100 例 3.5.1 例 1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求3使3 2 1,构成三维空间的一个正交基.3 正交矩阵 定义 6：A 是一个 n 阶实矩阵，若E A AT，则称A为正交矩阵。定理：设 A、B 都是 n 阶正交矩阵，则(1)1 A或1 A(2)TA A 1(3)(1 TA A 即也是正交矩阵(4)AB也是正交矩阵。定理：n 阶实矩阵 A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。注：n 个 n 维向量，若长度为 1，且两两正交