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1、定义域为集合1, 2, 3,12上的函数/(x)满足:0/(1) =1； / (x+1) -/(%) |=1 (x=l, 2,，11)；(y (1) /(6) /(12)成等比数列；这样的不同函数/(犬)的个数为155.解：经分析，/(x)的取值的最大值为达 最小值为2- 并且成以2为公差的等差数列，故/(6)的取值为 6, 4, 2, 0, -2, -4./ (12)的取值为 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, - 4, - 6, - 8, - 10,所以能使/(%)中的/(I)、/(6)、/(12)成等比数列时，/(I)、/(6)、/(12)的取值只有两种情况： (1)
2、=1、/(6) =2、/(12) =4； (2 (1) =1、/(6) =-2、/(12) =4.|f (x+1) - f (x) |=1 (尤=1, 2,，11), / (x+1) =/ (x) +1,或者 f (x+1)=于(x) - 1,即得到后项时， 把前项加1或者把前项减1.(1)当/(I) =1、/(6) =2、/(12) =4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从/(I)变 化到/(6),第二步:从/(6)变化的/(12).从/(1)变化到/(6)时有5次变化，函数值从1变化到2,故应从5次中选择3步加1,剩余的两次减1.对 应的方法数为C? = l。种.0从/(6)
3、变化到/(12)时有6次变化，函数值从2变化到4,故应从6次变化中选择4次增加1,剩余两 次减少1,对应的方法数为4=15种.根据分步乘法原理，共有10义15= 150种方法.(2)当/(I) =1、/(6) =-2、/(12) =4时 将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从/(I) 变化到/(6),第二步：从/(6)变化的/(12).从/(I)变化到/(6)时有5次变化，函数值从1变化到- 2,故应从5次中选择1步加1,剩余的4次减1.对应的方法数为C： = 5种. 从/(6)变化到/(12)时有6次变化，函数值从-2变化到4,故应从6次变化中选择6次增加1,对应的方法数为c3 = i种.根据分步乘法原理，共有5义1=5种方法.综上，满足条件的/(x)共有：150+5= 155种.