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1、狄利克雷问题狄利克雷问题(Dirichlet problem)就是在给定边界条件的区域。内求解拉普拉斯方程 的问题，即V2w = 0, (x) = /(x)(x e dD)当区域。是一个长为3宽为/的矩形时，即D = x,y):Qxl,0此时狄利克雷问题就变成了求解带有若干边界条件的二阶偏微分方程，即Uxx + Uyy = M(x,0) = /(x), u(x,L) = f2(x (0,y) = g(y), (/,y) = g2(y)根据叠加原理，分别求解当& =弘=0和=&=0时方程的解，其解的加和即为原方 程的解。同时g=g2=0与工=力=0这两种情形是等价的，因此只需要求解其中一个 问题
2、，并改变相应的变量就可以得到另一个解。因此我们这里求解& =g2=0的情形， 即Uxx + Uyy -0(X, 0)=工(x), (羽 L) = f2 (x), (0, y)= (/, y) = 0根据变量分离法，首先假设函数(x,y)可以写作(,y) = X(%)y(y)代入微分方程可得X(x)Yt) = -Xx)Y(y)移项整理得X(x)_ y“(y)_ 20X(x) y(y)(可以证明，当上式中的比例常数为非负数时，方程只有。解，与题设不符)于是有Xx) = -v2X(x)Yy) = v2Y(y)对于方程X(x) + y2x(%) = 0,其对应的特征根方程有两个共辗的复根土沅，因此其通
3、 解为X(x) = e(G cos vx + C2 sin vx)将边界条件(0, y) = (I, y) = 0代入微分方程可得X(0) = X(/) = 0所以G = 0, sin vl = 0进而有7rutvl -肛 v -所以X(x) = C2 sin x当G=1时，就得到了特征值廿=(万)2对应的特征函数，即X(x) = sin 丝 x对于方程y”(y)-V2y(y)=。，其对应的特征根方程有两个不同的实根土因此其通解由于双曲余弦函数泮+ e- cosh vy =双曲正弦函数sinh vy = -所以函数y(y)可以表示为Y(y) = an cosh vy + /3n sinh vy
4、将以 =竺代入上式得Y(y) = % cosh y + pn sinh y/、万(x，y) = sin (n 兀H7T Ax an cosh y + p sinh yfl7，7，I ，1 /由上式可知，对于每个不同的心 都有一个(x,y)与之对应。而(x,0) = /(x),(x,L) = (x),由于工(x),人(x)都是给定的函数，所以此处得到的还不是方程的解。构造函数。(x,y)为一切(x,y)的加和，即88(、u (x, y) = Un (x, y) = sin ? X an cosh 等 y + / sinh 与 yn=n= III )由初始条件(%, 0) = 1(%),由%, L
5、)=力(X)可得8力 TT8FITF(x) = Zsin cosh 0 + /3n sinhO) = an sin xn= In=I其中力(x)= sin? n= I/ 7. nji= Lbn sin 丁xn=I( i njiL八.i 几ttL x an cosh卜 pn sinh其中.,njiL 门. i miLbn = an coshF pn sinh可以解得7i njiLbn - an COSh 7f3 = = /? cscha coth.njiL n I n Isinh所以00U(x, y) = inn=n7i,x an coshrui(7 i njiLy+ cschan cothI
6、InnL . Yin sinhyI ) I其中= y./i (%) sin 与 xdxbnf2(x) sin-xdx因为=力=。时的情形为:(,0)= (无乙)=0, (o,y) = gi(y), (/,y) = g2(y)由于此情形与&=& =0时的情形完全等价，所以此情形下的解为其中V(%，y) = siny gcoshn= L7171 Lx+ dcschYlTll1 H7rly 一 cn cornL ).i nnsinh xL2 rLn 兀= 7Jo &(y)sin-j-ydyZ-/Ld =2 1 ( - n71 A7Jo Osin必LZ-/所以，方程最终的解为(羽 y) = U (x, y) + V (x, y)