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1、数理统计的基本概念数理统计的基本概念 本文关键词：数理，基本概念，统计数理统计的基本概念 本文简介：第六章数理统计学的基本概念引例：某公司要选购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品，但该批产品总有一个不合格品率p，由此，若从该产品中随机抽取一件，用X表示这一件产品的不合格数，不难看出X听从一个二点分布b(1,p)，但分布中的参数p却是不知道的。明显，p的大小确定了该批产品的质量，它干脆影响选购数理统计的基本概念 本文内容：第六章数理统计学的基本概念引例：某公司要选购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品，但该批产品总有一个不合格品率p，由此，若从该产品中随机抽取一件，用X表示这一件产品的
2、不合格数，不难看出X听从一个二点分布b(1,p)，但分布中的参数p却是不知道的。明显，p的大小确定了该批产品的质量，它干脆影响选购行为的经济效益。因此，人们会对p提出一些问题，比如：（1）p的大小如何；（2）p也许落在什么范围内；（3）能否认为p满意设定的要求（如p0.05）。引例中探讨的问题属于统计学的范畴。统计学是一门应用性特别强的学科，它的历史已有三一百零一多年，即使从皮尔逊（K.Pearson，1857-1936）和费舍尔（R.A.Fisher，1890-1962）的工作算起，统计学的发展也已有一一百零一零一多年的历史，并且取得了良好的社会和经济效益。一般认为，统计学是一门探讨如何运用
3、有效的方法去收集、整理和分析带有随机性影响的数据的学科。也就是说，统计学是干脆从随机现象的视察值去探讨它的客观规律。经过多年的探讨和发展，统计学已深化到了多个学科中，可以说，凡是一个实际问题涉及一批数据，我们都应当利用统计学方法去分析它、解决它。统计学是唯一的对数据进行整理和分析的学科。随着统计学的发展和完善，其探讨内容也特别丰富，且形成了多个学科分支，如抽样调查、试验设计、回来分析、多元统计分析、时间序列分析、非参数统计、贝叶斯(Bayes)方法，等等。6.1总体与样本6.1.1总体与个体总体(母体)：探讨对象的全体所构成的一个集合；个体：构成总体的每一个成员；对多数实际问题，总体中的个体是
4、一些实在的人或物。比如，我们要探讨本校学生的身高状况，则本校的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体。事实上，每个学生有很多特征：性别、年龄、身高、体重、民族、籍贯，等等，而在该问题中，我们关切的只是本校学生的身高如何，对其他的特征暂不予考虑。这样，每个学生（个体）所具有的数量指标值身高就是个体，而将全部身高全体看成总体。这样一来，若抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数有大有小，有的出现的机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的，从这个意义看，总体就是一个分布，而其数量指标就是听从这个分布的随机变量。例6.1.1磁带的一个质量指标是一卷磁带（20m）上的伤痕
5、数。每卷磁带都有一个伤痕数，全部磁带的伤痕数构成一个总体。这个总体中相当一部分是0（无伤痕，合格品），但也有1,2,3等，但多于8个的伤痕数特别少见。探讨表明，一卷磁带上的伤痕数X听从泊松分布P()，但分布中的参数却是不知道的。明显，的大小确定了一批产品的质量，它干脆影响生产方的经济效益。本例中总体分布的类型是明确的，是泊松分布，但总体中还含有未知参数，故总体还不是一个特定的泊松分布。要确定最终的总体分布，就是要确定，这是统计的任务。在有些问题中，我们对每一探讨对象可能要观测两个甚至更多个指标，此时可用多维随机变量及其联合分布来描述总体，这种总体称为多维总体。依据总体中所包含个体的个数，将总体
6、分为有限总体和无限总体。6.1.2样本为了了解总体的分布，我们从总体X中随机地抽取n个个体，记为X1,X2,Xn，并记其指标值为x1,x2,xn，或称为样本值，则X1,X2,Xn称为总体的一个样本，n称为样本容量，或简称为样本量，样本中的个体称为样品。我们首先指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是一个随机变量，用大写字母X1,X2,Xn表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值。此时，用小写字母x1,x2,xn表示也是恰当的。但由于抽样是随机的，所以样本值x1,x2,xn也是随机的。例6.1.2
7、啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为500g，由于随机性，事实上不行能使得全部的啤酒净含量均为500g。现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果（单位：g）：502410149349250150041014964944101这是一个容量为10的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。从总体中抽取样本可以有不同的抽法，为了能由样本对总体作出较牢靠的推断，就希望样本能很好地代表总体。这就须要对抽样方法提出一些要求，最常用的“简洁随机抽样”有如下两个要求：（1）样本具有随机性，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这便意味着每个样品Xi与总体X有相同的分布。（2
8、）样本要有独立性，即要求样品中每一样品的取值不影响其他样品的取值，这便意味着X1,X2,Xn相互独立。用简洁随机抽样方法得到的样本称为简洁随机样本，也简称样本。于是，样本X1,X2,Xn可以看成是相互独立的具有同一分布的随机变量，又称为i.i.d样本，其共同分布即为总体分布。易知，对有限总体而言，采纳放回抽样就能得到简洁随机样本，不放回抽样不能保证X1,X2,Xn的独立性，但放回抽样运用起来不便利，当个体的总数N要比得到的样本容量n大得多时，在实际中可将不放回抽样近似地当作放回抽样来处理；但对无限总体而言，因抽取一个个体不影响它的分布，所以不放回抽样也得到简洁随机样本。除非特殊说明，我们所说的
9、样本一般皆为简洁随机样本。6.1.3样本的概率分布设总体X具有分布函数F(x)，X1,X2,Xn为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为F(x1,x2,xn)=i=1nF(xi).特殊地，若总体是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合概率密度函数为f(x1,x2,xn)=i=1nf(xi).若总体是离散型随机变量，其分布律为PX=xi=pi，i=1,2,3,，则(X1,X2,Xn)的分布律为PX1=x1,X2=x2,Xn=xn=i=1nPXi=xi.6.2统计量第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页