简单的线性规划典型例题课件资料_高等教育-微积分.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 简单的线性规划 典型例题 例 1 画出不等式组.0 3 30 40 2y xy xy x，表示的平面区域 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分 解：把0 x，0 y代入2 y x中得0 2 0 0 不等式0 2 y x表示直线0 2 y x下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法 例 2 画出3 3 2 y x表示的区域，并求所有的正整数解),(y x 分析：原不等式等价于.3,3 2yx y而求正整数解则意味着x，

2、y 学习必备 欢迎下载 有限制条件，即求.3,3 2,0,0yx yz y z xy x 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知3 3 2 y x表示的区域如下图：对于3 3 2 y x的正整数解，先画出不等式组.3,3 2,0,0yx yz y z xy x所表示的平面区域，如图所示 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来 例 3 求不等式组 11 1x yx y所表示的平面区域的面积 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作

3、出来，判断其形状进而求出其面积 而要将平面区域作出来的关键又是能够等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进

4、行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论 解：不等式1 1 x y可化为)1(x x y或)1(2 x x y；不等式1 x y可化为)0(1 x x y或)0(1 x x y 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(x x y AB：，)1(2 x x y AC：)0(1 x x y DE：，)0(1 x x y DF：则不等式组所表示的平面区域如图 由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和2

5、2 3 所以其面积为23 例 4 若x、y满足条件.0 10 40 10 2 30 12 2y xy xy x，求y x z 2 的最大值和最小值 分析：画出可行域，平移直线找最优解 等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表

6、示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示 作直线z y x l 2:，即z x y2121，它表示斜率为21，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值 18 8 2 2max z 2 2 2 2min z 说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值 例 5 用不等式表示以

7、)4,1(A，)0,3(B，)2,2(C为顶点的三角形内部的平面区域 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线AB的斜率为：1)3(10 4 ABk，其方程为3 x y 可求得直线BC的方程为6 2 x y直线AC的方程为2 2 x y ABC 的内部在不等式0 3 y x所表示平面区域内，同时在不等式0 6 2 y x所表示的平面区域内，同时又在不等式0 2 2 y x所表示的平面区域内（如图）等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域

8、如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组 0 2 2,0 6 2,0 3y xy xy x表示 说明：用不

9、等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线 例 6 已知0 5 y x，0 10 y x求2 2y x 的最大、最小值 分析：令2 2y x z，目标函数是非线性的 而 22 2 2 2y x y x z 可看做区域内的点到原点距离的平方 问题转化为点到直线的距离问题 解：由,0 10,0 5y xy x得可行域(如图所示)为 22 2 2 2y x y x z，而)0,0(到0 5 y x，0 10 y x的距离分别为25和210 所以z的最大、最小值分别是 50 和225 说明：题目中的目标函数是非线性的解决的方法类似于线性规等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入

10、中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 划问题可做出图

11、，利用图进行直观的分析 例 7 设y x z 5 7 式中的变量x、y满足下列条件.*,0 2 3,0 20 3 4N y N xy xy x求z的最大值 分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的*N y x、，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线0 5 7 y x平等的直线再进行观察 解：作出直线0 20 3 41 y x l：和直线0 2 32 y x l：，得可行域如图所示 解方程组 0 2 30 20 3 4y xy x得交点)54,522(A 又作直线0 5 7 y x l：，平等移动过点A时，y x 5 7 取最大值，然而点A不是整数点，故对应的z值不是最优解，此时

12、过点A的直线为5434 5 7 y x，应考虑可行域中距离直线5434 5 7 y x最近的整点，即)4,2(B，有34 4 5 2 7)(Bz，应注意不是找距点A最近的整点，如点)1,4(C为可行域中距A最近的整点，但33 1 5 4 7)(Cz，它小于)(Bz，故z的最大值为 34 说明：解决这类题的关键是在可行域内找准整点 若将线性目标函数改为非线性目标函数呢？等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式

13、表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 例 8 设2 2y x z，式中的变量x、y满足.1,25 5 3,3 4xy xy x试求z的最大值、最小值 分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数2 2y x z 应理解为可行域

14、中的点与坐标原点的距离的平方 解：作出直线0 3 41 y x l：，0 25 5 32 y x l：，13 x l：得到如图所示的可行域 由 0 25 5 30 3 4y xy x得)2,5(A 由 10 3 4xy x得)1,1(C 由 10 25 5 3xy x得)522,1(B 由图可知：当),(y x为点)1,1(C时，z取最小值为 2；当),(y x为点)2,5(A时，z取最大值 29 说明：若将该题中的目标函数改为yxz，如何来求z的最大值、最小值呢？请自己探求（将目标函数理解为点),(y x与点)0,0(边线的斜率）例 9 设0 x，0 y，0 z；z y x p 2 3，z

15、y x q 4 2，1 z y x，用图表示出点),(q p的范围 等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式

16、进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 分析：题目中的p，q与x，y，z是线性关系可借助于x，y，z的范围确定),(q p的范围 解：由,1,4 2,2 3z y xq z y xp z y x得),3 4 5(271),3 5 14(271),6 8(271q p zp q yp q x由0 x，0 y，0 z得,0 5 4 3,0 14 5 3,0 8 6q pq pq p做出不等式所示平面区域如图所示 说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x，y，z的取值范围 借助于三元一次方程组分别求出x，y，z，从而求出p，q所满足的不等式组找

17、出),(q p的范围 例 10 某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润 40 元，B种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）混合 烹调 包装 A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 机器小时，烹调的设备至多只能用机器 30 机器小时，包装的设备只能用机器 15 机等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求

18、解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润 分析：找约束条件，建立目标函数 解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件 00900 31

19、800 4 5720 2yxy xy xy x下，求目标函数y x z 50 40 的最大值，作出可行域，其边界 0:y OA 0 900 3:y x AB 0 1800 4 5:y x BC 0 720 2:y x CD 0:x DO 由y x z 50 40 得50 54 zx y，它表示斜率为54，截距为50z的平行直线系，50z越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值 解方程组 300 1201800 4 5720 2，Cy xy x 19800 300 50 120 40max z即生产A种糖果 120 箱，生产B种糖果 300 箱，可得最大利润 19800 元 说明：

20、由于生产A种糖果 120 箱，生产B种糖果 300 箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为 120 2 300 720（分），烹调时间5 120 4 300 1800（分），包装时间 3 120 300 660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有 240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究 等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二

21、元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 例 11 甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：甲 乙 丙 维生素A（单位/千克）600 700 400 维生素B（单位/千克）800 400 500 成本（元/千克）11 9

22、 4 某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成 100 千克的混合食物，并使混合食物至少含 56000 单位维生素A和 63000 单位维生素B（1）用x、y表示混合物成本C（2）确定x、y、z的值，使成本最低 分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解 解：（1）依题意：x、y、z满足y x z z y x 100 100 成本400 5 7 4 9 11 y x z y x C（元）（2）依题意 63000 500 400 80056000 400 700 600z y xz y x y x z 100 0 0130 3160 3 2y xy x

23、y x，作出不等式组所对应的可行域，如图 所示 联立 20 50 160 3 2130 3，交点 A y xy x 作直线C y x 400 5 7则易知该直线截距越小，C越小，所以该直等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所

24、表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 线过 20 50，A时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时 7 50 5 20 400C 850 元 50 x千克，30 z千克时成本最低 例 12 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于 15t，已知生产甲产品 1t需煤 9t，电力 4kW，劳力 3 个（按工作日计算）；生产乙产品 1t需煤 4t，电力 5kW，劳力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12

25、 万元；但每天用煤最不得超过 300 吨，电力不得超过 200kW，劳力只有 300 个问每天各生产甲、乙两种产品多少t，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富 分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为xt和yt，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题 解：设每天生产甲产品xt，乙产品yt，总产值St，依题意约束条件为：.300 10 3,200 5 4,300 4 9,15,15y xy xy xyx 目标函数为y x S 12 7 约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴影部分)等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表

26、示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 现在就要在可行域上找出使y

27、 x S 12 7 取最大值的点),(y x作直线y x S 12 7，随着S取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为12S，可以看出，当直线的纵截距越大，S值也越大 从图中可以看出，当直线y x S 12 7 经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值 解方程组,0 300 10 3,0 200 5 4y xy x 得)24,20(A故当20 x，24 y时，428 24 12 20 7 最大值S(万元)答：第天生产甲产品 20t，乙产品 24t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富 428 万元 说明：解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确

28、画出可行域；(3)利用S的几何意义，求出最优解如本例中，12S是目标函数y x S 12 7 的纵截距 例 13 有一批钢管，长度都是 4000mm，要截成 500mm和 600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于31配套，怎样截最合理？分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求 解：设截 500mm的x根，600mm的y根，根据题意，得 等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次

29、不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载.0,0,3,40 6 5yxx yy x且z y x,作出可行域，如下图中阴影部分 目标函数为y x z，作一组平行直线t y x，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过)8,0(B的直线，

30、这时8 y x 由x，y为正整数，知)8,0(不是最优解 在可行域内找整点，使7 y x 可知点)5,2(，)4,3(，)3,4(，)2,5(，)1,6(均为最优解 答：每根钢管截 500mm的 2 根，600mm的 5 根，或截 500mm的 3根，600mm的 4 根或截 500mm的 4 根，600mm的 3 根或截 500mm的5 根，600mm的 2 根或截 500mm的 6 根，600mm的 1 根最合理 说明：本题易出现如下错解：设截 500mm的x根，600mm的y根，则.0,0,31,4000 600 500yxyxy x即.0,0,3,40 6 5yxx yy x 其中x、

31、y均为整数作出可行域，如下图所示中阴影部分目标函数为y x z，作一组平行直线t y x，经过可行域内的点且和等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能

32、够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 原点相距最远的直线为过A点的直线先求A点的坐标，解 40 6 53y xx y得231202340yx，故23120,2340A，即7 y x，调整为2 x，5 y 经检验满足条件，所以每根截 500mm的 2 根，600mm的 5 根最合理 本题解法错误主要是在作一组平行直线t y x 时没能准确作出，而得到经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过A点的直线 此错误可检验如下：如果直线t y x 通过A点，它是经过可行域内的点且到原点距离最远的直线，那

33、么t 231202340，即7 y x由于x，y为整数，所以点)2355,23171(A不是最优解但在可行域内除A点外，不可能再有其他点满足7 y x，只能在可行域内找满足6 y x的点 如果还没有整数点，则只能在可行域内找满足5 y x的整数点 但我们知道2 x，5 y满足题意，这样，就出现了矛盾，从而判断解法错误，即t y x 通过A点的直线并不是通过可行域内的点且和原点距离最远的直线 等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件

34、即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 例 14 某工厂生产A、B两种产品，已知生产A产品 1kg要用煤 9t，电力 4kW，3 个工作日；生产B产品 1kg要用煤 4t，电力 5kW，10个工作日 又知生产出A产品

35、 1kg可获利 7 万元，生产出B产品 1kg可获利 12 万元，现在工厂只有煤 360t，电力 200kW，300 个工作日，在这种情况下生产A，B产品各多少千克能获得最大经济效益 分析：在题目条件比较复杂时，可将题目中的条件列表 产品 工作日 煤/t 电力/kW 利润/万元 A产品 3 9 4 7 B产品 10 4 5 12 解：设这个工厂应分别生产A，B产品xkg，ykg，可获利z万元 根据上表中的条件，列出线性约束条件为,0,0,200 5 4,360 4 9,300 10 3y xy xy xy x目标函数为y x z 12 7(万元)画 出 如 图 所 示 的 可 行 域，做 直

36、线0 12 7 y x l：，做 一 组 直 线t y x 12 7与l平行，当l过点A时t最大由,200 5 4,300 10 3y xy x得A点坐标为)24,20(把A点坐标代入l的方程，得428 t(万元)答：应生产A产品 20t，B产品 24t，能获最大利润 428 万元 说明：把实际问题转化为线性规划问题的难点在于找出题目中的等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下

37、图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 所有线性约束条件 同时本题的可行域形状较复杂，要注意分析目标函数的斜率和各边界斜率的关系：从而确定在何处取得最优解 解应用题时还应注意设出未知量和做答这两个必要步骤 例 15 某公司每天至少要运送 180t货物 公司有 8 辆载重

38、为 6t的A型卡车和 4 辆载重为 10t的B型卡车，A型卡车每天可往返 4 次，B型卡车可往返 3 次，A型卡车每天花费 320 元，B型卡车每天花费 504元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少 分析：设A型卡车x辆，B型卡车y辆问题转化为线性规划问题同时应注意到题中的x，y只能取整数 解：设A型 卡 车x辆，B型 卡 车y辆，则,1 8 0 30 24,10,4 0,8 0y xy xyx即,30 5 4,10,4 0,8 0y xy xyx 目标函数y x z 504 320 做如图所示的可行域，做直线0 504 320 y x l：在可行域中打上网格，找出)0,8(，)1,8(，)

39、2,8(，)1,7(，)2,7(，)3,7(，等整数点做t y x l 504 320：与l平行，可见当l过)0,8(时t最小，即2560 320 8min z(元)等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来

40、判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 说明：整数解的线性规划问题如果取最小值时不是整数点，则考虑此点附近的整数点 例 16 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各 50 吨、63 吨、65 吨问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A、B、C又与这两种燃料有关，且这三种产品的

41、产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解 解：设该厂使用燃料甲x吨，燃料乙y吨，甲每吨t 2元，则成本为)3 2(3 2 y x t ty tx z 因此只须求y x 3 2 的最小值即可 又由题意可得x、y满足条件.65 13 5,63 9 7,50 5 10y xy xy x 作出不等式组所表示的平面区域（如图）等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的

42、区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载 由.63 9 7,50 5 10y xy x得)1156,1127(A 由.65 13 5,63 9 7y xy x得)2370,23117(B 作直线

43、0 3 2 y x l：，把直线l向右上方平移至可行域中的点B时，2344423703231172 3 2 y x z 最小成本为t23444 答：应用燃料甲23117吨，燃料乙2370吨，才能使成本最低 说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？例 17 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克，乙种饮料每杯含奶粉 4 克、咖啡 5 克、糖 10 克已知每天原料的使用限额为奶粉 3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元，每天在原料的使用限

44、额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组 只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案 解：设每天配制甲各饮料x杯、乙种饮料y杯可获得最大利润，利润总额为z元 由条件知：y x z 2.1 7.0 变量x、y满足 等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表

45、示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直学习必备 欢迎下载.0,0,3000 10 3,2000 5 4,3600 4 9y xy xy xy x 作出不等式组所表示的可行域（如图）作直线0 2.1 7.0 y x l：，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，y x z 2.1 7.0 取最大值 由方程组：.0 2000

46、 5 4,0 3000 10 3y xy x 得A点坐标)240,200(A 答：应每天配制甲种饮料 200 杯，乙种饮料 240 杯方可获利最大 等式所表示的平面区域然后求其公共部分解把代入中得不等式表示直线下方的区域包括边界即位于原点的一侧同理可画出其他两部分不等式组所表示的区域如图所示说明图解法是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方 件即求解依照二元一次不等式表示的平面区域知表示的区域如下图对于的正整数解先画出不等式组所表示的平面区域如图所示容易求得在其区域内的整数解为说明这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来然后在不等式组所表示 式组所表示的平面区域作出来判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够学习必备欢迎下载对不等式组中的两个不等式进行化简和变形如何变形需对绝对值加以讨论解不等式可化为或不等式可化为或在平面直