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1、精品资料 欢迎下载 一元二次方程的解法经典例题精讲 例 1 解方程0 25 x2 分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好 解：0 25 x2，25 x2，25 x，x 5 5 x 5 x2 1，例 2 解方程2)3 x(2 分析：如果把 x 3 看作一个字母 y，就变成解方程2 y2了 解：2)3 x(2，2 3 x，2 3 x 2 3 x，或，2 3 x 2 3 x2 1，例 3 解方程0 81)2 x(42 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好 解：0 81)2 x(42 整理，81)2 x(42，481)2 x(2，292 x，25x2
2、13x2 1，注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x2，则a x；若b)a x(2，则a b x 例 4 解方程0 2 x 3 x2 分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解 解法一：0 2 x 3 x2，(x 2)(x 1)0，x 2 0，x 1 0，精品资料 欢迎下载 2 x 1 x2 1，解法二：a 1，b 3，c 2，0 1 2 1 4)3(ac 4 b2 2，21 3x 1 x 2 x2 1，注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值，先计算“”的值，若 0，则方程无解，就不必解了 例 5 解关于 x
3、 的方程0 n)n m 2 x 3(m x2 2 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于 x 的方程，即 x 为未知数，m，n 为已知数在确定0 ac 4 b2 的情况下，利用公式法求解 解：把原方程左边展开，整理，得 0)n mn m 2(mx 3 x2 2 2 a 1，b 3m，2 2n mn m 2 c，)n mn m 2(1 4)m 3(ac 4 b2 2 2 2 2 2n 4 mn 4 m 0)n 2 m(2 2)n 2 m(m 3x2 2)n 2 m(m 3 n m x n m 2 x2 1，注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一
4、样，都要先把方程化为一般形式，确定 a、b、c 和ac 4 b2的值，然后求解但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的 a、b、c 与方程中字母系数的 a、b、c 相混淆；(3)在ac 4 b2开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2 m()n 2 m(2 例 6 用配方法解方程x 7 3 x 22 分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住 解：x 7 3 x 22，023x27x2，精品资料 欢迎下载 0234747x27x2 2，1625
5、47x2，4547x 21x 3 x2 1，注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为 1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方 例 7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)0 4 x 3 x 22；(2)y 24 9 y 162；(3)0 x 7)1 x(52 分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4 b2 的值的符号就可以了 解：(1)a 2，b 3，c 4，0 41)4(2 4 3 ac 4 b2 2 方程有两个不相等的实数根(2)a 16，b 24，c 9，0 9 16 4)24(a
6、c 4 b2 2 方程有两个相等的实数解(3)将方程化为一般形式0 x 7 5 x 52，0 5 x 7 x 52 a 4，b 7，c 5，5 5 4)7(ac 4 b2 2 49 100 510 方程无实数解 注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定 a、b、c 的符号 例 8 已知方程0 6 kx x 52 的一个根是 2，求另一根及 k 的值 分析：根据韦达定理 acx xabx x2 1 2 1，易得另一根和 k 的值再是根据方程解的意义可知 x 2 时方程成立，即把 x 2 代入原方程，先求出 k 值，再求出方程的另一根但方法不如第一种 解：设另一根为2x，则 精品资料 欢
7、迎下载 56x 25kx 22 2，53x2，k 7 即方程的另一根为 53，k 的值为 7 注意：一元二次方程的两根之和为 ab，两根之积为 ac 例 9 利用根与系数的关系，求一元二次方程0 1 x 3 x 22 两根的(1)平方和；(2)倒数和 分析：已知 21x x23x x2 1 2 1，要求(1)2221x x，(2)2 1x1x1，关键是把2221x x、2 1x1x1转化为含有2 1 2 1x x x x、的式子 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的 2 倍，即ab 2 b a)b a(2 2 2，所以ab 2)b a(b a2 2 2，由此可求出(1)同样，可用两
8、数和与积表示两数的倒数和 解：(1)21x x23x x2 1 2 1，2 122 12221x x 2)x x(x x 212232 149 413；(2)2 11 22 1x xx xx1x1 2123 3 注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式 例 10 已知方程0 m x 4 x 22 的两根平方和是 34，求 m的值 精品资料 欢迎下载 分析：已知34 x x2mx x 2 x x2221 2 1 2 1，求 m 就要在上面三个式子中设法用2221 2 1x x x x 和来表示2 1x x，m便可求出
9、解：设方程的两根为2 1x x、，则 2mx x 2 x x2 1 2 1，2 122 12221x x 2)x x(x x，)x x()x x(x x 2222122 1 2 1 34)2(2 30 2mx x2 1，m 30 注意：解此题的关键是把式子2221x x 变成含2 1 2 1x x x x、的式子，从而求得m的值 例 11 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2、10 分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为 1)0 q px x2 的形式如设其根为2 1x x、，根据根与系数的关系，得q x x p x x2 1 2 1，将 p、q 的值代入方程0 q px x2 中
10、，即得所求方程0 x x x)x x(x2 1 2 12 解：设所求的方程为0 q px x2 2 10 p，2 10 q，p 12，q 20 所求的方程为0 20 x 12 x2 注意：以2 1x x、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个 例 12 已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数 分析：把这两个数看作某个二次项系数为 1 的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是 8，常数项应该是 9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数 解：设这两个数为2 1x x、，以这两个数为根的一元二次方程为0 q px x2 q x x p 8 x x2 1 2
11、1，方程为0 9 x 8 x2 解这个方程得7 4 x 7 4 x2 1，这两个数为7 4 7 4 和 精品资料 欢迎下载 例 13 如图 22-2-1，在长为 32m，宽为 20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为2m 540，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为 x m，则两条道路的面积和为2x x 20 x 32 题中的等量关系为：草地面积道路面积长方形面积 解：设道路的宽度为 x m，则 20 32 x x 20 x 32 5402 0 100 x 52 x2，(x 2)(x 50)0，x 2 0，x 50 0，50 x
12、 2 x2 1，x 50 不合题意，取 x 2 答：道路的宽度为 2m 注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x 因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积2x 例 14 某钢铁厂去年 1 月份钢的产量为 5000 吨，3 月份上升到 7200 吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为 x，则增长一次后的产量为 5000(1 x)，增长两次后的产量是2)x 1(5000，增长 n 次后的产量 b 是 n)x 1(5000 b 这就是重要的增长率公式 解：设平均每月增长的百分率为 x则 7200)x 1(50002，2536)x 1(2，56x 1，2 2 x 2 0 x2 1.，.(不合题意，舍去)答：平均每月增长的百分率是 20%注意：解方程时，由 1 x 的值求 x，并舍去负值