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1、20202020 年湖北省恩施州中考数学真题及答案年湖北省恩施州中考数学真题及答案一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 1212 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，共分，共 3636 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1（3 分）5 的绝对值是()A5B5C15D152（3 分）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界去年恩施州茶叶产量约为 120000 吨，将数 120000 用科学记数法表示为()A412 10B5
2、1.2 10C61.2 10D60.12 103（3 分）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()ABCD4（3 分）下列计算正确的是()A236aaaB2(1)a aaaC222()ababD235abab5（3 分）函数1xyx的自变量的取值范围是()A1xB1x且0 x C0 x D1x 且0 x 6（3 分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽 2 个、红枣粽 4 个、腊肉粽 3 个、白米粽 2 个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽小明任意选取一个，选到甜粽的概率是()A211B411C511D6117（3 分）在实数范围内定义运算“”：a1bab，例如：23
3、2314 如果 21x，则x的值是()A1B1C0D28（3 分）我国古代数学著作九章算术“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛问 1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是()A5352xyxyB5253xyxyC53125xyxyD35251xyxy9（3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为()ABCD10（3 分）甲乙两车从A城出发前往B城
4、，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是()A甲车的平均速度为60/km hB乙车的平均速度为100/km hC乙车比甲车先到B城D乙车比甲车先出发1h11（3 分）如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在AB上且1BE，F为对角线AC上一动点，则BFE周长的最小值为()A5B6C7D812（3 分）如图，已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴相交于(2,0)A、(1,0)B两点则以下结论：0ac；二次函数2yaxbxc的图象的对称轴为1x ；20ac；0abc其中正确的有()个A0B1C2D3二二、填空题填空题（本大题共有本大题共有 4 4 小题小题
5、，每小题每小题 3 3 分分，共共 1212 分分不要求写出解答过程不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题请把答案直接填写在答题卷相应位置上）卷相应位置上）13（3 分）9 的算术平方根是14（3 分）如图，直线12/ll，点A在直线1l上，点B在直线2l上，ABBC，30C，180，则2 15（3 分）如图，已知半圆的直径4AB，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC若60ABC，则图中阴影部分的面积为（结果不取近似值16（3 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为：(2,0)A，(1,2)B，(1,2)C 已知(1,0)N，作点N关于点A的对称点
6、1N，点1N关于点B的对称点2N，点2N关于点C的对称点3N，点3N关于点A的对称点4N，点4N关于点B的对称点5N，依此类推，则点2020N的坐标为三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 8 8 个小题个小题，共共 7272 分分请在答题卷指定区域内作答请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明、证明证明过程或演算步骤过程或演算步骤）17（8 分）先化简，再求值：22293()6933mmmmmm，其中2m 18（8 分）如图，/AEBF，BD平分ABC交AE于点D，点C在BF上且BCAB，连接CD求证：四边形ABCD是菱形19（8 分）某中学为了解九年级学生对新冠
7、肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查调查结果分为四类：A类 非常了解；B类 比较了解；C类 般了解；D类 不了解现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为；（4）若该校九年级学生共有 500 名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有名20（8 分）如图，一艘轮船以每小时 30 海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45方向），2 小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60方向求此时船与小
8、岛P的距离（结果保留整数，参考数据：21.414，31.732)21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线3(0)yaxa a与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线(0)kyxx的一个交点为C，且12BCAC（1）求点A的坐标；（2）当3AOCS时，求a和k的值22（10 分）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高 20元，且用 900 元购买A品牌足球的数量用 720 元购买B品牌足球的数量相等（1）求A、B两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共 90 个，且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的 2倍，购买两种品牌足球的
9、总费用不超过 8500 元设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？23（10 分）如图 1，AB是O的直径，直线AM与O相切于点A，直线BN与O相切于点B，点C（异于点)A在AM上，点D在O上，且CDCA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F（1）求证：CE是O的切线；（2）求证：BEEF；（3）如图 2，连接EO并延长与O分别相交于点G、H，连接BH若6AB，4AC，求tanBHE24（12 分）如图 1，抛物线214yxbxc 经过点(6,0)C，顶点为B，对称轴2x 与x轴相交于点A，D为线段BC的中
10、点（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将MPC逆时针旋转90，记点P的对应点为E，点C的对应点为F 当直线EF与抛物线214yxbxc 只有一个交点时，求点M的坐标（3）MPC在（2）的旋转变换下，若2PC（如图2)求证：EAED当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长20202020 年湖北省恩施州中考数学试卷年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 1212 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，共分，共 3636 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
11、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1（3 分）5 的绝对值是()A5B5C15D15【分析】根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点(O点）的距离叫做该数的绝对值，绝对值只能为非负数；即可得解【解答】解：在数轴上，数 5 所表示的点到原点 0 的距离是 5；故选：A2（3 分）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界去年恩施州茶叶产量约为 120000 吨，将数 120000 用科学记数法表示为()A412 10B51.2 10C61.2 10D60.12 10【分析
12、】科学记数法的表示形式为10na的形式，其中1|10a，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：51200001.2 10，故选：B3（3 分）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形故选：D4（3 分
13、）下列计算正确的是()A236aaaB2(1)a aaaC222()ababD235abab【分析】利用同底数幂的乘法运算法则、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则计算求出答案即可判断【解答】解：A、235a aa，原计算错误，故此选项不符合题意；B、2(1)a aaa，原计算正确，故此选项符合题意；C、222()2abaabb，原计算错误，故此选项不符合题意；D、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B5（3 分）函数1xyx的自变量的取值范围是()A1xB1x且0 x C0 x D1x 且0 x【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于
14、0 列式计算即可得解【解答】解：根据题意得，1 0 x 且0 x，解得1x且0 x 故选：B6（3 分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽 2 个、红枣粽 4 个、腊肉粽 3 个、白米粽 2 个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽小明任意选取一个，选到甜粽的概率是()A211B411C511D611【分析】粽子总共有 11 个，其中甜粽有 6 个，根据概率公式即可求出答案【解答】解：由题意可得：粽子总数为 11 个，其中 6 个为甜粽，所以选到甜粽的概率为：611，故选：D7（3 分）在实数范围内定义运算“”：a1bab，例如：232314 如果 21x，则x的值是()A1B1C0
15、D2【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值【解答】解：由题意知：2211xxx ，又 21x，11x，0 x故选：C8（3 分）我国古代数学著作九章算术“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛问 1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是()A5352xyxyB5253xyxyC53125xyxyD35251xyxy【分析】根据“5 个大桶加上 1 个小
16、桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解【解答】解：依题意，得：5352xyxy故选：A9（3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为()ABCD【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从正面看易得第一列有 2 个正方形，第二列底层有 1 个正方形故选：A10（3 分）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是()A甲车的平均速度为60/km hB乙车的平均速度为100/km hC乙车比甲车先到
17、B城D乙车比甲车先出发1h【分析】根据图象逐项分析判断即可【解答】解：由图象知：A甲车的平均速度为30060/105km h，故A选项不合题意；B乙车的平均速度为300100/96km h，故B选项不合题意；C甲 10 时到达B城，乙 9 时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D甲 5 时出发，乙 6 时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D11（3 分）如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在AB上且1BE，F为对角线AC上一动点，则BFE周长的最小值为()A5B6C7D8【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时BFE的周长最小，利用勾股定
18、理求出DE即可得到答案【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，四边形ABCD是正方形，点B与点D关于AC对称，BFDF，BFE的周长BFEFBEDEBE，此时BEF的周长最小，正方形ABCD的边长为 4，4ADAB，90DAB，点E在AB上且1BE，3AE，225DEADAE，BFE的周长516，故选：B12（3 分）如图，已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴相交于(2,0)A、(1,0)B两点则以下结论：0ac；二次函数2yaxbxc的图象的对称轴为1x ；20ac；0abc其中正确的有()个A0B1C2D3【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系
19、数a、b、c满足的关系综合判断即可【解答】解：对于：二次函数开口向下，故0a，与y轴的交点在y的正半轴，故0c，故0ac，因此错误；对于：二次函数的图象与x轴相交于(2,0)A、(1,0)B，由对称性可知，其对称轴为：21122x ，因此错误；对于：设二次函数2yaxbxc的交点式为2(2)(1)2ya xxaxaxa，比较一般式与交点式的系数可知：ba，2ca，故20ac，因此正确；对于：当1x 时对应的yabc，观察图象可知1x 时对应的函数图象的y值在x轴上方，故0abc，因此正确只有是正确的故选：C二二、填空题填空题（本大题共有本大题共有 4 4 小题小题，每小题每小题 3 3 分分，
20、共共 1212 分分不要求写出解答过程不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题请把答案直接填写在答题卷相应位置上）卷相应位置上）13（3 分）9 的算术平方根是3【分析】9 的平方根为3，算术平方根为非负，从而得出结论【解答】解：2(3)9，9的算术平方根是|3|3故答案为：314（3 分）如图，直线12/ll，点A在直线1l上，点B在直线2l上，ABBC，30C，180，则2 40【分析】利用等腰三角形的性质得到430C ，利用平行线的性质得到1380 ，再根据三角形内角和定理即可求解【解答】解：如图，延长CB交2l于点D，ABBC，30C，430C ，12/ll，180，1380 ，32
21、4180C ，即3080230180 ，240 故答案为：4015（3 分）如图，已知半圆的直径4AB，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC若60ABC，则图中阴影部分的面积为2 3（结果不取近似值【分析】根据60特殊角求出AC和BC，再算出ABC的面积，根据扇形面积公式求出扇形CAD的面积，再用三角形的面积减去扇形面积即可【解答】解：AB是直径，90ACB，60ABC，30CAB，122BCAB，2 3AC，112 3 22 322ABCSAC BC，30CAB，扇形ACD的面积22301(2 3)36012AC，阴影部分的面积为2 3故答案为：2 316（3 分
22、）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为：(2,0)A，(1,2)B，(1,2)C 已知(1,0)N，作点N关于点A的对称点1N，点1N关于点B的对称点2N，点2N关于点C的对称点3N，点3N关于点A的对称点4N，点4N关于点B的对称点5N，依此类推，则点2020N的坐标为(1,8)【分析】先求出1N至6N点的坐标，找出其循环的规律为每 6 个点循环一次即可求解【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为(1,0)，N点关于A点对称的1N点的坐标为(3,0)，1N点关于B点对称的2N点的坐标为(5,4)，2N点关于C点对称的3N点的坐标为(3,8)，3N点关于A点对称的4N点的坐标
23、为(1,8)，4N点关于B点对称的5N点的坐标为(3,4)，5N点关于C点对称的6N点的坐标为(1,0)，此时刚好回到最开始的点N处，其每 6 个点循环一次，202063364，即循环了 336 次后余下 4，故2020N的坐标与4N点的坐标相同，其坐标为(1,8)故答案为：(1,8)三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 8 8 个小题个小题，共共 7272 分分请在答题卷指定区域内作答请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明、证明证明过程或演算步骤过程或演算步骤）17（8 分）先化简，再求值：22293()6933mmmmmm，其中2m【分析】根据分式的混合运算
24、法则，先化简括号内的，将除法运算转化为乘法运算，再化简成最简分式，代入m值求解即可【解答】解：22293()6933mmmmmm22(3)(3)33(3)3mmmmmm2333()33mmmmm233mmmm1m；当2m 时，原式122218（8 分）如图，/AEBF，BD平分ABC交AE于点D，点C在BF上且BCAB，连接CD求证：四边形ABCD是菱形【分析】由/AEBF，BD平分ABC得到ABDADB，得到ABAD，再由BCAB，得到对边ADBC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形ABCD为菱形【解答】证明：/AEBF，ADBDBC，BD平分ABC，DBCABD
25、，ADBABD，ABAD，又ABBC，ADBC，/AEBF，即/ADBC，四边形ABCD为平行四边形，又ABAD，四边形ABCD为菱形19（8 分）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查调查结果分为四类：A类 非常了解；B类 比较了解；C类 般了解；D类 不了解现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了50名学生；（2）补全条形统计图；（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为；（4）若该校九年级学生共有 500 名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有名【分析】（
26、1）根据条形图和扇形图得出B类人数为 20 名，占40%，即可得出总数；（2）根据总人数减去A，B，D的人数即可得出C的人数；（3）用360乘以D类部分所占百分比即可得出圆心角的度数；（4）用 500 乘以非常了解的部分所占百分比即可得出答案【解答】解：（1）本次共调查的学生数为：2040%50（名)故答案为：50；（2）C类学生人数为：501520510（名)，条形图如下：（3）D类所对应扇形的圆心角为：53603650故答案为：36；（4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：1550015050（名)故答案为：15020（8 分）如图，一艘轮船以每小时 30 海里的速度自东向
27、西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45方向），2 小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60方向求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：21.414，31.732)【分析】过P作PHAB，设PHx，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解【解答】解：如图，过P作PHAB，设PHx，由题意得：30260AB，906030PBH，904545PAH，则PHA是等腰直角三角形，AHPH，在Rt PHA中，设AHPHx，在Rt PBH中，22PBPHx，60BHABAHx，3tantan303PHPBHBH，3360 xx，解得：30(31)x，
28、260(31)44PBx（海里），答：此时船与小岛P的距离约为 44 海里21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线3(0)yaxa a与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线(0)kyxx的一个交点为C，且12BCAC（1）求点A的坐标；（2）当3AOCS时，求a和k的值【分析】（1）令3(0)yaxa a中0y 即可求出点A的坐标；（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，证明BCMBAO，利用12BCAC和3OA 进而求出CM的长，再由3AOCS求出CN的长，进而求出点C坐标即可求解【解答】解：（1）由题意得：令3(0)yaxa a中0y，即30axa，解得3x
29、，点A的坐标为(3,0)，故答案为(3,0)（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：显然，/CMOA，BCMBAO，且ABOCBO，BCMBAO，BCCMBAAO，即：133CM，1CM，又132AOCSOA CN即：1332CN，2CN，C点的坐标为(1,2)，故反比例函数的1 22k ，再将点(1,2)C代入一次函数3(0)yaxa a中，即23aa，解得1a ，故答案为：1a ，2k 22（10 分）某校足球队需购买A、B两种品牌的足球已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高 20元，且用 900 元购买A品牌足球的数量用 720 元购买B品牌足球的数
30、量相等（1）求A、B两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共 90 个，且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的 2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过 8500 元设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【分析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为(20)x 元，根据用 900 元购买A品牌足球的数量用 720 元购买B品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m个A品牌足球，则购买(90)m个B品牌足球，根据总价单价数量，结合总价不
31、超过 8500元，以及A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的 2 倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论【解答】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为(20)x 元，根据题意，得90072020 xx，解得：100 x，经检验100 x 是原方程的解，2080 x，答：购买A品牌足球的单价为 100 元，则购买B品牌足球的单价为 80 元；（2）设购买m个A品牌足球，则购买(90)m个B品牌足球，则10080(90)207200Wmmm，A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的 2 倍，购买两种品牌足球的总费用不超过 8500 元，10
32、080(90)85002(90)mmmm，解不等式组得：6065m，所以，m的值为：60，61，62，63，64，65，即该队共有 6 种购买方案，当60m 时，W最小，60m 时，206072008400W（元)，答：该队共有 6 种购买方案，购买 60 个A品牌 30 个B品牌的总费用最低，最低费用是 8400 元23（10 分）如图 1，AB是O的直径，直线AM与O相切于点A，直线BN与O相切于点B，点C（异于点)A在AM上，点D在O上，且CDCA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F（1）求证：CE是O的切线；（2）求证：BEEF；（3）如图 2，连接EO并延长与O分别
33、相交于点G、H，连接BH若6AB，4AC，求tanBHE【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可知：CADCDA，OADODA，再根据切线的性质可知90CAOCADOADCDAODAODC ，由切线的判定定理可得结论；（2）连接BD，根据等边对等角可知ODBOBD，再根据切线的性质可知90ODEOBE，由等量减等量差相等得EDBEBD，再根据等角对等边得到EDEB，然后根据平行线的性质及对顶角相等可得EDFEFD，推出DEEF，由此得出结论；（3）过E点作ELAM于L，根据勾股定理可求出BE的长，即可求出tanBOE的值，再利用倍角公式即可求出tanBHE的值【解答】解：（1）如图 1 中，连
34、接OD，CDCA，CADCDA，OAODOADODA，直线AM与O相切于点A，90CAOCADOAD ，90ODCCDAODA ，CE是O的切线（2）如图 2 中，连接BD，ODOB，ODBOBD，CE是O的切线，BF是O的切线，90OBDODE，EDBEBD，EDEB，AMAB，BNAB，/AMBN，CADBFD，CADCDAEDF ，BFDEDF，EFED，BEEF（3）如图 2 中，过E点作ELAM于L，则四边形ABEL是矩形，设BEx，则4CLx，4CEx，222(4)(4)6xx，解得：94x，934tan34BEBOEOB，2BOEBHE，22tan3tan1tan4BHEBOEB
35、HE，解得：1tan3BHE或3(3不合题意舍去），1tan3BHE补充方法：如图 2 中，作HJEB交EB的延长线于J34BEtab BOEOB，可以假设3BEk，4OBk，则5OEk，/OBHJ，OBOEEBHJEHEJ，4539kkkHJkEJ，365HJk，275EJk，2712355BJEJBEkkk1tan3BJBHJHJ，BHEOBEBHJ ，1tan3BHE24（12 分）如图 1，抛物线214yxbxc 经过点(6,0)C，顶点为B，对称轴2x 与x轴相交于点A，D为线段BC的中点（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，
36、将MPC逆时针旋转90，记点P的对应点为E，点C的对应点为F 当直线EF与抛物线214yxbxc 只有一个交点时，求点M的坐标（3）MPC在（2）的旋转变换下，若2PC（如图2)求证：EAED当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45，因此设直线EF的解析式为yxb，设点M的坐标为(,0)m，推出点(,6)F mm，直线EF与抛物线2134yxx 只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据
37、根的判别式为 0 得到关于m的方程，解方程得点M的坐标注意有两种情况，均需讨论（3）过点P作PGx轴于点G，过点E作EHx轴于点H，设点M的坐标为(,0)m，由2PC 及旋转的性质，证明EHMMGP，得到点E的坐标为(1,5)mm，再根据两点距离公式证明EAED，注意分两种情况，均需讨论；把(1,5)E mm代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长【解答】解：（1）点(6,0)C在抛物线上，103664bc，得到69bc，又对称轴2x，2122()4bbxa ，解得1b，3c，二次函数的解析式为2134yxx；（2）当点M在点C的左侧时，如图21中：抛物线的解析式为2134yxx，对称轴
38、为2x，(6,0)C点(2,0)A，顶点(2,4)B，4ABAC，ABC是等腰直角三角形，145；将MPC逆时针旋转90得到MEF，FMCM，2145 ，设点M的坐标为(,0)m，点(,6)F mm，又245，直线EF与x轴的夹角为45，设直线EF的解析式为yxb，把点(,6)F mm代入得：6mmb，解得：62bm，直线EF的解析式为62yxm，直线EF与抛物线2134yxx 只有一个交点，262134yxmyxx，整理得：213204xm，240bac，解得32m，点M的坐标为3(2，0)当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45，因此直线EF与抛物线2134yx
39、x 不可能只有一个交点综上，点M的坐标为3(2，0)（3）当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PGx轴于点G，过点E作EHx轴于点H，2PC，由（2）知45BCA，1PGGC，点(5,0)G，设点M的坐标为(,0)m，将MPC逆时针旋转90得到MEF，EMPM，90HEMEMHGMPEMH ，HEMGMP，在EHM和MGP中，EHMMGPHEMGMPEMMP ，()EHMMGP AAS，5EHMGm，1HMPG，点(1,0)H m，点E的坐标为(1,5)mm；222(12)(50)21634EAmmmm，又D为线段BC的中点，(2,4)B，(6,0)C，点(4,2)D，222(14)(52)21634EDmmmm，EAED当点M在点C的右侧时，如下图：同理，点E的坐标仍为(1,5)mm，因此EAED当点E在（1）所求的抛物线2134yxx 上时，把(1,5)E mm代入，整理得：210130mm，解得：52 3m 或52 3m，2 31CM或12 3CM