《全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数_中学教育-中考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数_中学教育-中考.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 20XX 年全国各地中考数学压轴题专集答案 四、二次函数 1（北京）已知二次函数y(t1)x 22(t2)x 3 2 在 x0 和 x2 时的函数值相等（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数ykx6 的图象与二次函数的图象都经过点 A（3，m），求 m 和 k的值；（3）设二次函数的图象与 x 轴交于点 B，C（点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象在点 B，C 间的部分（含点 B 和点 C）向左平移 n（n0）个单位后得到的图象记为 G，同时将（2）中得到的直线ykx6向上平移 n 个单位请结合图象回答：平移后的直线与图象 G 有公共点时，n 的取值范围 解：（
2、1）由题意得(t1)2 22(t2)2 3 2 3 2 解得 t 3 2 二次函数的解析式为y 1 2 x 2x 3 2 （2）A（3，m）在二次函数y 1 2 x 2x 3 2 的图象上 m 1 2(3)2(3)3 2 6 点 A的坐标为（3，6）点 A在一次函数ykx6 的图象上 63k6，k4（3）由题意，可得点 B，C 的坐标分别为（1，0），（3，0）平移后，点 B，C 的对应点分别为 B（1n，0），C（3n，0）将直线y4x6 平移后得到直线y4x6n 如图 1，当直线y4x6n 经过点 B（1n，0）时，图象 G（点 B 除外）在该直线右侧 由 04(1n)6n，得 n 2 3
3、 如图 2，当直线y4x6n 经过点 C（3n，0）时，图象 G（点 C 除外）在该直线左侧 由 04(3n)6n，得 n6 由图象可知，符合题意的 n 的取值范围是 2 3 n 6 x O y 1 1 1 O C B x y B 图 1 1 O C B x y C 图 2 学习必备 欢迎下载 2（北京模拟）已知抛物线yx 2(m2)x3(m1)（1）求证：无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点 C，当抛物线与 x 轴有两个交点 A、B（点 A在点 B 的左侧）时，如果CAB或CBA 这两角中有一个角是钝角，求 m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，P 是
4、抛物线的顶点，当PAO 的面积与ABC 的面积相等时，求该抛物线的解析式 （1）证明：(m2)24(1)3(m1)(m4)20 无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有交点（2）解：由题意，m10 当 m4，图象与 x 轴只有一个交点 m1 且 m-4（3）解：令yx 2(m2)x3(m1)解得 x1m1，x23 可求得顶点 P（m2 2 ，(m4)2 4）当 A（m1，0）、B（3，0）时 SPAO SABC，1 2(m1)(m4)2 4 1 2(m4)3(m1)解得 m16 yx 218x45 当 A（3，0）、B（m1，0）时 同理得 1 2 3(m4)2 4 1 2(m4)3(m1)
5、解得 m 8 5 yx 2 8 5 x 9 5 3（上海模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y 1 3 x 2bxc 的图象经过点 A（1，1）和点 B（2，2），该函数图象的对称轴与直线 OA、OB 分别交于点 C 和点 D（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：ABOCBO；（3）如果点 P 在直线 AB上，且POB 与BCD 相似，求点 P 的坐标 y x O A B 1 1-1-1 O C B x y A 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的
6、图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载（1）解：由题意，得 1 1 3 bc2 4 3 2bc 解得 b 2 3 c2 二次函数的解析式为y 1 3 x 2 2 3 x2
7、 对称轴为直线 x1（2）证明：易得直线 OA 的解析式为yx，从而 C 的坐标为（1，1）由 A（1，1），B（2，2），C（1，1）得 ABBC 10，OAOC 2 ABO=CBO（3）解：由直线 OB 的表达式yx，得点 D 的坐标为（1，1）由 A（1，1），B（2，2），得直线 AB的解析式为y 1 3 x 4 3 从而直线 AB与 x 轴的交点 E 的坐标为（4，0）POBBCD 相似，ABOCBO BOPBDC 或BOPBCD 当BOPBDC 时 由BDC135，得BOP135 此时点 P 与点 E 重合 点 P 的坐标为（4，0）当BOPBCD 时 由POBBCD，得 BP B
8、O BD BC 而 BO2 2，BD 2，BC 10，BP 2 5 10 又BE2 10，PE 8 5 10 作 PHx 轴，垂足为点 H，BFx 轴，垂足为点 F 则 PHBF，PH BF PE BE EH EF 而 BF2，EF6，PH 8 5 ，EH 24 5 ，OH 4 5 点 P 的坐标为（4 5 ，8 5）综上所述，点 P 的坐标为（4，0）或（4 5 ，8 5）4（安徽）如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离 x（m）满足关系式ya(x6)2h已知球网与 O 点的水平距离为9m，高度为 2
9、.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m（1）当 h2.6 时，求y与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；（2）当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围 y x O A B 1 1-1-1 P E D C F H 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平
10、移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载 解：（1）当 h2.6 时，ya(x6)22.6 由其图象过点（0，2），得 36a2.62，解得 a 1 60 y 1 60(x6)22.6（2）当 h2.6 时，由（1）知y 1 60(x6)22.6 由于当 x9 时，y 1 60(96)22.62.4
11、52.43，球能越过球网 由 1 60(x6)22.60，x 0，得 x6 15618 或由 x18 时，y 1 60(186)22.60.20，球落地时会出界（3）根据题设知ya(x6)2h 由图象经过点（0，2），得 36ah2 由球能越过球网，得 9ah 2.43 由球不出边界，得 144ah 0 解得 h 8 3 ，所以 h 的取值范围是 h 8 3 5（安徽某校自主招生）已知二次函数yx 22mx1记当 xc 时，相应的函数值为yc，那么，是否存在实数 m，使得对于满足 0 x 1 的任意实数 a、b，总有yayb 1如果存在，求出实数 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由 解：设
12、 f(x)在 0 x 1 的最小值为 M，原问题等价于 2M 1，即 M 1 2 二次函数yx 22mx1 的图象是一条开口向上的抛物线 当对称轴 xm 0 时，由图象可知，x0 时，y最小1，此时 1 1 2 成立 当对称轴 xm 在 0m 1 时，由图象可知 xm 时，y最小 且y最小1m 2 此时有 1m 2 1 2 ，即 m 2 1 2 ，故有 0m 2 2 当对称轴 xm 在 m 1 时，由图象可知，x1 时，y最小 且y最小22m 此时有 22m 1 2 ，即 m 3 4 ，与 m 1 矛盾，故舍去 综上可知，满足条件的 m 存在，且 m 的取值范围是 m 2 2 6（浙江模拟）已
13、知二次函数yx 2axa2 x O y A 2 6 9 18 球网 边界 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积
14、相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载（1）证明：不论 a 取何值，抛物线yx 2axa2 的顶点 P 总在 x 轴的下方；（2）设抛物线yx 2axa2 与y轴交于点 C，如果过点 C 且平行于 x 轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点 D，问：QCD 能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与 x 轴的交点之一为点 A，则能使ACD 的面积等于 1 4 的抛物线有几条？请证明你的结论 解：（1）判别式a 24(a2)(a2)240 抛物线与 x 轴
15、总有两个交点 又抛物线开口向上，抛物线的顶点在 x 轴下方（或由二次函数解析式得：y(x a 2 )2 1 4 a 2a2 抛物线顶点的纵坐标为 1 4 a 2a2 1 4(a2)21 0，当 a 取任何实数时总成立 不论 a 取何值，抛物线的顶点 P 总在 x 轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点 Q(a 2 ，1 4 a 2a2)，点 C(0，a2)当 a0 时，过点 C 存在平行于 x 轴的直线与抛物线相交于另一点 D 此时 CD|a|，点 Q 到 CD 的距离为|(a2)(1 4 a 2a2)1 4 a 2 过 Q 作 QPCD 于 P 要使QCD 为等边三角形，则需 OP 3 2 C
16、D，即 1 4 a 2 3 2|a|由 a0，解得 a2 3（或由 CDCQ，或由 CP 1 2 CO 等求得 a 的值）QCD 可以是等边三角形 此时相应的二次函数解析式为yx 22 3x2 32 或yx 22 3x2 32（3）CD|a|，点 A到 CD 的距离为|a2|由 SACD 1 2|a(a2)|1 4，解得 a1 2 2 或 a1 6 2 满足条件的抛物线有四条 7（江苏镇江）对于二次函数yx 23x2 和一次函数y2x4，把yt(x 23x2)(1t)(2x4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中 t 是不为零的实数，其图象记作抛物线 E 现有点 A（2，0）和抛物线 E 上
17、的点 B（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当 t2 时，抛物线yt(x 23x2)(1t)(2x4)的顶点坐标为_；（2）判断点 A是否在抛物线 E 上；（3）求 n 的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于 t 取任何不为零的实数，抛物线 E 总过定点，坐标为_ 【应用 1】二次函数y3x 25x2 是二次函数yx 23x2 和一次函数y2x4 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出 t 的值；如果不是，说明理由；【应用 2】以 AB 为边作矩形 ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线 E 经过 A、B、C、D 其中的三点，求出所有符合条件的 t 的值 函数的解析式若
18、一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备
19、 欢迎下载 解：尝试（1）（1，2）（2）将 x2 代入yt(x 23x2)(1t)(2x4)，得y0，所以点 A（2，0）在抛物线 E 上（3）将 x1 代入 nt(x 23x2)(1t)(2x4)6 发现 A（2，0），B（1，6）应用 1 x1 代入y3x 25x2，计算得y66 抛物线y3x 25x2 不经过点 B 二次函数y3x 25x2 不是二次函数yx 23x2 和一次函数y2x4 的一个“再生二次函数”应用 2 如图，作矩形 ABC1D1和 ABC2D2，过点 B 作 BKy轴于点 K，过点 B 作 RMx 轴于点 M 易得 AM3，BM6，BK1，KBC1MBA 则 AM B
20、M C1K BK ，即 3 6 C1K 1 ，求得 C1K 1 2 ，点 C1（0，13 2）易知KBC1GAD1，得 AG1，D1G 1 2 ，点 D1（3，1 2）易知OAD2GAD1，得 D1G OD2 AG OA 由 AG1，OA2，D1G 1 2 ，求得 OD21，点 D2（0，1）易知TBC2OD2A，得 TC2AO2，BTOD21，点 C2（3，5）抛物线 E 总过定点 A（2，0），B（1，6）符合条件的三点只可能是 A、B、C 或 A、B、D 当抛物线 E 经过 A、B、C1时，将 C1（0，13 2）代入yt(x 23x2)(1t)(2x4)，求得 t1 5 4 当抛物线
21、E 经过 A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得 t2 5 8 ，t3 1 2 ，t4 5 2 满足条件的所有 t 的值为：5 4 ，5 8 ，1 2 ，5 2 8（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米 某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y（千米）与飞行的水平距离 x（千米）满足关系式ykx 1 20(1k 2)x 2（k0），其中 k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过多
22、少时，炮弹可以击中它？请说明理由 O x(千米)y(千米)O A 1 1 x y O G D1 D2 A M C1 C2 B K T H 1 1 x y 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时
23、如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载 解：（1）令y0，得 kx 1 20(1k 2)x 20 由实际意义和题设条件知 x0，k0 x 20k 1k 2 20 1 k k 20 2 10，当且仅当 k1 时取等号 炮的最大射程为 10 千米（2）a0，炮弹可以击中目标 存在 k0，使 ka 1 20(1k 2)a 23.2 成立 关于k的二次方程a 2k 220aka 2640 有正根(20a)24a 2(a 264)0，解得 a6 当它的横坐标a 不超
24、过 6 千米时，炮弹可以击中它 9（江苏模拟）已知一次函数y1kxm 与二次函数y22ax 22bxc（b 为整数）的图象交于 A（22 2，32 2）、B（22 2，32 2）两点，二次函数y22ax 22bxc 和二次函数y3ax 2bxc1 的最小值的差为 l（1）求y1、y2、y3的解析式；（2）若y1与y3的图象交于 C、D 两点，求 CD 的长；（3）P 是y轴上一点，过点 P 任意作一射线分别交y2、y3的图象于 M、N，过点 M 作直线y1 的垂线，垂足为 G，过点 N 作直线y3 的垂线，垂足为 H是否存在这样的点 P，使 PMMG、PNNH 恒成立，若存在，求出 P 点的坐
25、标，并探究 PM PN 是否为定值；若不存在，请说明理由 解：（1）将 A（22 2，32 2）、B（22 2，32 2）代入y1kxm，得(22 2)km32 2(22 2)km32 2 解得：k1m1 y1x1 将 A、B 两点的坐标代入y22ax 22bxc，整理得：8a2b1 易得y22ax 22bxc 的最小值为 c b 2 2a ，y3ax 2bxc1 的最小值为 c1 b 2 4a 由题意，|c b 2 2a (c1 b 2 4a )|1，即|1 b 2 4a|1 又 8a2b1，得|1 2b 2 12b|1 1 2b 2 12b 1，解得 b0 或 1 2b 2 12b 1，整
26、理得 b 22b10，此方程无整数解 b0，代入 8a2b1，得 a 1 8 y2 1 4 x 2c 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是
27、抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载 令 x1 1 4 x 2c，得 x 24x4c40 x1x24，x1x24c4(x1x2)2(x1x2)24x1x2 22 2(22 2)232 4 24(4c4)32，c0 y2 1 4 x 2，y3 1 8 x 21（2）令 x1 1 8 x 21，得 x 28x160 x3x48，x3x416(x3x4)2(x3x4)24x3x4 8 24(16)128|x3x4|8 2|CD|28 216（3）设 P（0，t），M（x，y）则 PM 2x 2(ty)2x 2t
28、 22tyy 2 MG 2(y1)2y 22y1 y 1 4 x 2，x 24y PM 24yt 22tyy 2y 22y1 2y2tyt 210，即 2y(1t)(t 21)0 要使 2y(1t)(t 21)0 对任意y恒成立 则 1t0 且 t 210，t1 当点 P 的坐标为（0，1）时，PMMG 恒成立 此时 PN 2x 2(1y)2x 212yy 2 NH 2(y3)2y 26y9 y 1 8 x 21，x 28y8 PN 28y812yy 2y 26y9 PN 2NH 2，即 PNNH 故存在点 P（0，1），使 PMMG、PNNH 恒成立 设直线y1、y3 分别与y轴交于 E、F
29、，连接 PG、PH MG、NH 分别是直线y1、y3 的垂线 MGNH，PMGPNH PMMG，PNNH，MPGMGP，NPHNHP MPGNPH，P、G、H 三点在同一直线上 PM PN PG PH PE PF ，又 PE112，PF134 PM PN 2 4 1 2 ，即 PM PN 为定值 1 2 10（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与 x 轴交于 A（m2，0）、B（m2，0）两点，顶点为 C，且 ACBC（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；（2）点 Q 在直线ykx1 上移动，O 为原点，当 m4 时，直线ykx1 上只存在一个点 Q 使得OQB90，求此时直线ykx1 的解
30、析式 解：（1）设抛物线的解析式为ya(xm2)(xm2)a(xm)24a P G H E N M F O x y y1 y3 y2 1 4 x y3 1 8 x 21 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交
31、点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载 ACBC，由抛物线对称性知ABC 是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB(m2)(m2)4 C（m，2），4a2，a 1 2 抛物线的解析式为y 1 2(xm)22（2）当 m4 时，B（6，0），设直线ykx1 与 x 轴交于 H（t，0），与y轴交于 E（0，1）并设 OB 中点为 G，以 OB 为直径作G 当直线与G 切于点 Q 时，只存在一个点 Q 使得OQB90 设 HOt，HQ 是G 的
32、切线，GQH90 EOH 又QHGOHE，QHGOHE QG QH OE OH 而 QG3，OE1，QH3OH3t 在 Rt中，QH 2QG 2HG 2(3t)23 2(3t)2，解得 t0（舍去）或 t 3 4 H（3 4 ，0），把 H（3 4 ，0）代入ykx1，得 3 4 k10，k 4 3 所求直线为y 4 3 x1 11（湖南娄底）已知二次函数yx 2(m 22)x2m 的图象与 x 轴交于点 A（x1，0）和点 B（x2，0），x1x2，与y轴交于点 C，且满足 1 x1 1 x2 1 2 （1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线yx3 上是否存在一点 P，使四边形 PA
33、CB 为平行四边形？如果有，求出点 P 的坐标；如果没有，请说明理由 解：（1）由已知得：x1x2m 22，x1x22m 1 x1 1 x2 1 2 ，即 x1x2 x1x2 1 2 ，m 22 2m 1 2 解得 m1，或 m2 当 m1 时，yx 2x2，得 A（2，0），B（1，0）当 m2 时，yx 22x4，与 x 轴无交点，舍去 这个二次函数的解析式为yx 2x2（2）由（1）得 A（2，0），B（1，0），C（0，2）假设存在一点 P，使四边形 PACB 是平行四边形，则 PBAC 且 PBAC 根据平移知识可得 P（1，2）经验证 P（1，2）在直线yx3 上 故在直线yx3
34、上存在一点 P（1，2），使四边形 PACB 为平行四边形 12（湖北荆州、荆门）已知：y关于 x 的函数y(k1)x 22kxk2 的图象与 x 轴有交点 O x y O x y G B H E Q O x y B C A P 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直
35、线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载（1）求 k的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x122kx2k24x1x2 求 k的值；当 kx k2 时，请结合函数图象确定y的最大值与最小值 解：（1）当 k1 时，函数为一次函数 y2x3，其图象与 x 轴有一个交点 当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点 令 y0
36、，得(k1)x 22kxk20(2k)24(k1)(k2)0，解得 k 2，即 k 2 且 k1 综上所述：k的取值范围为 k 2（2）x1x2，由（1）知 k 2 且 k1 由题意得(k1)x12(k2)2kx1 （*）将（*）代入(k1)x122kx2(k2)4x1x2中得：2k(x1x2)4x1x2 又x1x2 2k k1 ，x1x2 k2 k1 2k2k k1 4 k2 k1 ，解得：k11，k22（不合题意，舍去）所求 k值为1 k1，y2x 22x12(x 1 2 )2 3 2 且1x 1 由图象知：当 x1 时，y最小3；当 x 1 2 时，y最大 3 2 y的最大值为32，最小
37、值为3 13（湖北随州）在次数学活动课上，老师出了道题：（1）解方程 x 22x30 巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于 x 的方程 mx 2(m3)x30（m 为常数，且 m0）老师继续巡视，及时观察、点拨大家再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于 x 的函数ymx 2(m3)x3（m 为常数）求证：不论 m 为何值，此函数的图象恒过 x 轴、y轴上的两个定点（设 x 轴上的定点为 A，y轴上的定点为 C）；若 m0 时，设此函数的图象与 x 轴的另一个交点为 B，当ABC 为锐角
38、三角形时，求 m 的取值范围；当ABC 为钝角三角形时，观察图象，直接写出 m 的取值范围 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.x y 3 3 6 3 6 3 6 0 O y 3 2 1 1 x 1 x 1 2 3 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得
39、由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载 解：（1）由 x 22x30，得(x1)(x3)0，x11，x23（2）方法一：由 mx 2(m3)x30 得(x1)(mx3)0 m0，x11，x2 3 m 方法 2：由公式法：x1,2 3m (m3)212m 2m 3m (m3)2 2m 3m|m3|2m x11，x2 3 m （3）1 当 m0 时，函数ymx 2(m3)x3 为y3x3 令y0，得
40、 x1，令 x0，得y3 直线y3x3 过定点 A（1，0），C（0，3）2 当 m0 时，函数ymx 2(m3)x3 为y(x1)(mx3)抛物线y(x1)(mx3)恒过两定点 A（1，0），C（0，3）和 B（3 m ，0）当 m0 时，由可知抛物线开口向上，且过点 A（1，0），C（0，3）和 B（3 m ，0）观察图象可知，当ABC 为直角三角形时，有AOCCOB AO CO CO BO ，|OC|2|OA|OB|3 21|OB|，OB9，即 B（9，0）当 03 m 9，即 m 1 3 时，ABC 为锐角三角形 观察图象可知，当 0m1 3 时，B 点在（9，0）的右侧，ACB90
41、当 m0 且 m3 时，点 B 在 x 轴的负半轴上，B 与 A不重合 ABC 中ABC90 或BAC90，ABC 为钝角三角形 当 0m1 3 或 m0 且 m3 时，ABC 为钝角三角形 14（广东肇庆）已知二次函数ymx 2nxp 图象的顶点横坐标是 2，与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0），x10 x2，与y轴交于点 C，O 为坐标原点，tanCAOtanCBO1（1）求证：n4m0；（2）求 m、n 的值；（3）当 p0 且二次函数图象与直线yx3 仅有一个交点时，求二次函数的最大值 解：（1）将 2 代入顶点横坐标得：n 2m 2，n4m0（2）已知二次函数图象与 x 轴
42、交于 A（x1，0）、B（x2，0），且由（1）知 n4m x1x2 n m 4m m 4，x1x2 p m x10 x2，在 RtACO 中，tanCAO OC OA OC x1 在 RtCBO 中，tanCBO OC OB OC x2 x y 1 3 6 3 6 3 0 B A C 9 B x y 1 3 6 3 6 3 0 B A C 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平
43、移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载 tanCAOtanCBO1，OC x1 OC x2 1 x10 x2，OC|p|0 1 x1 1 x2 1 OC 1|p|，即 x1x2 x1x2 1|p|4 p m 1|p|，p4m|p|当 p0 时，m 1 4 ，此时 n1
44、当 p0 时，m 1 4 ，此时 n1（3）当 p0 时，二次函数的表达式为：y 1 4 x 2xp 二次函数图象与直线yx3 仅有一个交点，方程组 y 1 4 x 2xpyx3 仅有一个解 一元二次方程 x3 1 4 x 2xp 即 1 4 x 2p30 有两个相等根 0 24(1 4 )(p3)0，解得：p3 此时二次函数的表达式为：y 1 4 x 2x3 1 4(x2)24 a 1 4 0，y有最大值 4 15（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y12x 和函数y2x6，不论 x 取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值（1）求y0关于 x 的函数关系式；（2）现有二次函数yx 2
45、8xc，若函数y0和y都随着 x 的增大而减小，求自变量 x 的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求 c 的取值范围 解：（1）y0 2x（x 2）x6（x 2）（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣 1 分）（2）对于函数y0，y0随 x 的增大而减小，y0 x6（x 2）又函数yx 28xc 的对称轴为直线 x4，且 a10 当 x 4 时，y随 x 的增大而减小 2x 4（3）若函数yx 28xc 与y0 x6 只有一个交点，且交点在 2x 4 范围内 则 x 28xcx6，即 x 27x(c6)0(7)24(c6
46、)734c0，得 c 73 4 此时 x1x2 7 2 ，符合 2x 4 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积
47、相等时求该抛物线的解析式证明无论为任何实数抛物线与轴总有交点解由题意当图象与轴只学习必备 欢迎下载 c 73 4 若函数yx 28xc 与y0 x6 有两个交点，其中一个在 2x 4 范围内，另一个在 2x 4 范围外 则734c0，得 c 73 4 方法一：对于函数y0，当 x2 时，y04；当 x4 时y02 又当 2x 4 时，y随 x 的增大而减小 若yx 28xc 与y0 x6 在 2x 4 内有一个交点 则当 x2 时yy0；当 x4 时yy0 即当 x2 时y4；当 x4 时y2 也即 416c41632c2 解得 16c 18 又 c 73 4 ，16c 18 综上所述，c 的
48、取值范围是：c 73 4 或 16c 18 方法二：由函数yx 28xc 与y0 x6 的一个交点在 2x 4 范围内，另一个交点在 2x 4 范围外 可得：2 7 734c 2 47 734c 2 2 或 2 7 734c 2 47 734c 2 4 解第一个不等式组，可得 c16c18 即无解 解第二个不等式组，可得 c16c18 即 16c 18 又 c 73 4 ，16c 18 16（甘肃兰州）若 x1、x2是关于 x 的一元二次方程yax 2bxc（a0）的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数 a、b、c 有如下关系：x1x2 b a ，x1x2 c a 把它们称为一元二次方程根
49、与系数关系定理 如果设二次函数yax 2bxc（a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为：AB|x1x2|(x1x2)24x1x2(b a)2 4c a b 24ac a 2 b 24ac|a|参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax 2bxc（a 0）的图象与 x 轴的两个交点 A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC 为等腰三角形（1）当ABC 为等腰直角三角形时，求 b 24ac 的值；（2）当ABC 为等边三角形时，求 b 24ac 的值；（3）当 ac1，且ACB90 时，
50、试问如何平移此抛物线，才能使ACB60？y B C A x 函数的解析式若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点求和的值设二次函数的图象与轴交于点点在点的左侧将二次函数的图象在点间的部分含点和点向左平移个单位后得到的图象记为同时将中得到的直线向上平移个单位请结合的坐标为点在一次函数的图象上由题意可得点的坐标分别为平移后点的对应点分别为将直线平移后得到直线如图当直线经过点时图象点除外在该直线右侧如图当直线经过点时图象点除外在该直线左侧由得由得由图象可知符合题意的交于点当抛物线与轴有两个交点点在点的左侧时如果或这两角中有一个角是钝角求的取值范围在的条件下是抛物线的顶点当的面积与的面积相等时求该抛物