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1、2013年数学（一）真题解析一一、选择题选择题（1）【答案答案】（D）.【解解】方法一方法一由洛必达法则，得limX0 x arctan jc1亠.1+X.lim-=lim工-*0 kx 工-*01 2 丄I.X=hm9 k X-O JCx 2（1+工彳加H于是 1=2,即怡=3,且lim壬二artan工=,应选）.L0 X 33-O(JC 3)得方法二方法二由 arctan xx arctan x工曰 7 o D1-x arctan jc x arctan x 1 宀、斗小、于是k=3,且hm-=lim-=，应选(D)r*0 X 工*0 JQ 3(2)【答案答案】(A).【解解】令 F(z,
2、z)=/+cos(zjy)+w+工，则 n=(F；,F；,F：)=(2_z jysinQy)+1,a：sinQjy)+z),曲面 a：2+cos(xj/)+w+h=0 在点(0,1,1)处的法向量为 n=(1,1,1),切平面方程为 7T:(j?0)(j/一 l)+(z+l)=0,即兀：工 一 y z=一2,应选(A).(3)【答案答案】(C).【解解】将函数于（工）进行奇延拓，再进行周期延拓，函数 g 的正弦级数为”sin“工.n=1S（_z）为正弦级数的和函数，显然S（x）是以2为周期的函数.于是S（沃S S&）.因为工=+为 fG）的连续点，所以 S（）=S（）=S（+）=/（+）=_*
3、，应选（C）.（4）【答案答案】（D）.Di Di=7r-a:2 dx dyDD1(x2+j/2)dj?dj/=7T-扌2tcI2=JJ22-jc2-1牙)山曲=J(1于牙)dr*20皿!*“=密J o 8232兀-jjj：2 dr dy=2tc-x2+j;2)dj?dj/一 D232JJD22k d0 0吃 TT2兀-壬2 一 x2 一 1222k2 厂cosO-r2 sin 942 r dr32=T2 022-j：2 一 1 D4 D4=d0 (1一r2 cos2 9r2sin20)2rdr=J 0 Jo Z兀90因为I,最大，所以应选（D）.（5）【答案答案】（B）.【解解】令 JB=（
4、01,02，,0”），C=（?!,72,/）.由 AB=C，即 A（01,仇，0”）=（丫 1，丫2，7”），得 A0：=化 G=1,2,，7z）,即矩阵 C 的 列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示.因为B可逆，所以A-CB 即A的列向量组可由C的列向量组线性表示.故C的列向量组与A的列向量组等价，应选（B）.,b为列向量，则AX=b等价于ZiS+x2a2 H-+xa=b，即b可由A的列向量表示.令 A=（5,。2,，a”），=（0i,02，0”），C=（yi,人，y”），则 AB=C 等价于 Ap,=y,（z=1,2,/?）,即C的列向量可由A的列向量线性表示.（6）【答案答案】(B).Z
5、1a200【解解】令A=ba，B=0b0haJo00因为A.B都是实对称矩阵，所以A B的充分必要条件是A,E特征值相同.B的特征值为入1 2,A2=6,A3=0.一 a 12 b a1而|2E A|=一 a1a2-b2a-1一 a=2a一 a 11a001a所以a=0,即A=Io1,、b o|,且A的特征值也为入i=2,入2=b,入3=0.0 F故当a=Q,b为任意常数时,A，应选（E）.（7）【答案】（A）.【解】由XiN（0,1）,得们=P2 MX】2=（2）（一2）=2（2）1.X（x 由 X2 N（0,22）,得寸N（O,1）,于是依=P|1 W 于 W 1=2（1）一1.X _5由
6、 X3 N（5,32）,得 丁-N（O,1）,于是p3=F f M X；丿 P 2 力3，应选（人）.（8）【答案】（C）.【解解】因为X/（“），所以存在UN（0,1）,V/a）且相互独立，使得TJ TT2/IX=-,X2 -F（l,/2）,从而 Y=X2,Vvm v/n于是 PYc2=PX2 c2=PX c+PX c=PX c2=PX c+PX c，应选（C）.二、填空题（9）【答案】1.【解解】将工=0代入夕一中，得y=l.y x=两边对 x 求导，得乎 1=（1 y x 警将z=0,夕=1代入，得学ax=F（O）=1.I x=0小/（7）-/（0）,于是lim/?/-1-lim-=/7
7、0）=1.Tl（10）【答案】c.e+c2e3j-rce2j:（C1,C2 为任意常数）.【解】设二阶常系数非齐次线性微分方程为y+py+qy=/（）.由线性微分方程解的结构得 y3=e3j,y2 =e为方程_y+py+qy=0的两个解，则该方程的特征值为A j=1,入2=3,故方程yr，+pyf qy=/（jr）的通解为y=Cie+C2x-xxCx,C2 为任意常数）.（11）【答案答案】V2.【解解】dy dj/dr do*/dtsin t+cos t sin tcos tdjr2 djr dx cos td?千早业 于是而(12)答案答案】In 2.【解解】In x(1+工)2djr止）
8、In x1+JCdr=In+=In 2.rrH(1+工)x1+11无(1+2)（13）【答案答案】一一1【解】由A“=J,得d=A*，两边取行列式，得|A|=（-1）3|A*|=-|a|2 于是|A|=0 或|A|=1.因为A为非零矩阵，所以a,j（i,j=1,2,3）不全为零，不妨设an H 0,由 U|=2 n A h+a 12 A 12+a 13 A13 (a：i+a%+a)V0,得|A|=1.方法点评：在行列式计算中，若出现A”或者A*时，一般使用如下两个性质:+ai2Ai2 H-a,A in=|A|G=1,2,“）；（2）|A*|=|A I（14）【答案答案】1 丄.e（1 e【解解
9、】由YE，得Y的分布函数为FQ）=。，z$0,工a_Pa a=1-F(a)a (a+1)j eae=1丄e三三、解答题解答题(15)【解解】dr=2 f f x)d()=2/(jc)2 f ff(jc)/x djrJo VZ Jo 0 Jori ri in(T _i_ i)ri _=2 ff Cx)dx=一一 2-djr=4 ln(jr+1)d(丿尸)Jo Jo 后 Jo=4 Jx ln(j?+1)1+4 f Ax=一一 41n 2+4 fI o J 0 J；+1 Joh 十 1Q=41n 2+8 f-dr=41n 2+8 (1 -_)dtJo 1+r Jo 1+r/=41n 2+8 8arc
10、tan t =41n 2+8 2兀方法点评：计算定积分时，若出现变积分限函数求定积分时，一般采用分部积分法.如：设/(jc)=J e，则J/(jc)dj?xf)|J x ff x)dx=J jc er dx e|=1迈上.(16)【解解】(I)由逐项可导性得SQ)=,n=lS(兀)=丫 z?(72 anx n2=艺(72+2)(n+l)an+2n n=2 n=Q由 a_2 nn l)a=0,得 a”=(n+2)(+l)a 卄2(=0,1,2,),于是 S(jc)=S(工)或 S(z)S(工)=0.(II)S(_z)S(j?)=0 的特征方程为 A 2 1=0,特征值为 A!=1,A 2=1,S
11、(_z)=Cie_J+C2er；,CX+C2=3,由S(0)=a()=3,S(0)=a 1=1,得/、解得Ci=1,C2=2,故幕级数的和函I Ci+C2=1,数 S(_z)=eP+2e(17)【解解】函数fd,y)在整个平面上有定义.:=2+V+Je，=0,工=一1,工=1,由丿 3 得(_ 2(_ 4X=G+才+1)严=0,P=_fL=(2工+2j?+)严，/X=(*+y+1)严，/yy=(夕+奇+2)严,$=1,当 2时，由AC-B2 VO,得(-1,-)不是函数f(x,y)的极值点；A=(1,_十)=3e J B=)=e J C=-|)=e 3,由AC-B2=2e 0且A0,得(1,-
12、y)为的极小值点，极小值为(18)【证明】(I)方法一 因为/(J?)为奇函数，所以/(x)f(x),于是/(0)=0.由拉格朗日中值定理，存在w e(0,1),使得尸苛)一彳=.10方法二 因为/（j?）为奇函数，所以y（工）=一/（工），于是f（0）=0.令卩（工）=yQ）夂，则卩（0）=0,申（1）=于（1）1=0,由罗尔定理，存在w e（0,1）,使 得卩（W）=0.而卩（工）=/（工）一1,于是十0）=1.（U）因为十（工）为偶函数，所以r（-e）=i.令 hS=”（工）一1/（）=A（e）=o,由罗尔定理，存在乃 6（一1,1）,使得 h（q）=0.而 Az（J；）=f0工）e+_
13、f（x）le=）+/z（j?）一 le且 e HO,所以 f5）+/Z（7）=1.方法点评：本题考查中值定理.中值定理部分最难以掌握的部分就是辅助函数的构造，事 实上构造辅助函数有一整套的方法，就本题辅助函数构造作如下补充：（1）若结论为+附6）=0,辅助函数为F（jr）=eV（）；（2）若结论为/（）+对（）=0,辅助函数为 F（j?）xkf（.x）；（3）本题第二问，先将+/（”）1 改为 fG）+/z（zr）1=0,整理得LfQ）-1了+/（工）一1=0,显然辅助函数为 FQ）=eL/（z）叮.（19）【解解】（I）直线L的方向向量为乔=（一 1,1,1）,直线zy_T1设M Q,y,z
14、）为曲面工上任意一点，其所在的圆位于L上的点为。（工。，,2）,圆心为T（0,0,z）,由|MT|=|Mo T I，得工?+y2 xl+y.jr n 1 v n?jC o:=:1 Z 9因为 Mo（JCO,?o,N）G L 9 所以-=，从而 代入 X2 y2=1 1 1=N,j：o+j/為得工：工2+y2=(1 z)2+，9 艮卩 S-jc2+y2=2z2 2n+1n（n）设。的形心坐标为（d，n），由对称性得工=o,夕=o9之2dz0由业山=nn得Z=M 9故形心坐标为（，0，g）*dx dy=7r2+y2 2z2-2z+2 zdz0HZn2 10(2/2z+l)d=re,o 3djr d
15、jy=7TX2+y2 2z2-2z+亠一、/7-5)*2 14(2n3 2z2+N)dz=7T 9 o 3（20）【解解】B 3令C=+axx 2+ax 4乂2严 1 x2/I a/JC!+JC 2S 八1 0 丿=ax i工3乂 2+0兀3AC-CA=(无 i z 3 H 4ax i+jc 2+az 43力2az 3一 x 2+ax 3=0 9ax i+无 2+a戈 4=19 由 AC-CA=B,得2JC i JC 3 X 4=1,X 2 CLJC 3=b 设以上方程组对应的系数矩阵为D,则D=，0-1a000_ 1a00 a10a101a01+a10-1-1110-1-11、01a0b,0
16、1a0b.11-11001一 a000000001+a1+a b10当Q=_i=0时，线性方程组AC-CA=B有解,故0=由D10111011000000000000.，得AC-CA=B的通解为k!+k2+1X=k.1rTkx+k2+l-1+k 20+0=-kx100k.0丄0.为任意常数).(紅息 k 2 仁(21)【证明】(I)令X=g，则J/X 3(/-2XT a2 (a】心，5)X 1丁 b2(b,b2,b3)Xa 3 b 3=XT(2aaT)X+XTWT)X=XT(2aaT+JJT)X,则二次型f的矩阵为2aaT+pp(H)由Aa=(2ad十00)a=2a,得a为A的属于特征值入i=
17、2的特征向量;由AJJ=(2aaT+妙)0=0,得0为A的属于特征值A2=1的特征向量；因为厂(A)=(2aa+00T)三 r(2aaT)+r(/J/?T)=r(a)+r(0)=2 3,所以入3=0为A的特征值，故二次型f在正交变换下的标准形为2y+北.f*3 i 19(22)【解解】(I)PY=1=PX$2=石工2山=J 2 9 Z/p 1 PY=2=PX1=x2 dj?=zz，Jo y 厶(P1 Y 2=1丄_?27 _27FY(y)=P Y y,当 y V 1 时，Fy(y)=0；当 1 Wy V2 时，Fy(y)=PY=1+P1 Y 319卩 1 2i 19,b 1 18+b27 J
18、i 9 27 27 27当，$2 时,Fy(JZ)=1,于是Fy(y)0,18+b27.1,y 1，1 J V2,y$2.(n)px y=px y i y-ipy=1+px y 1 y=2py=2+pxy 1 iy2Piy219 17=t!fx 1+px 2+px y19 8,7 8 -i=-27 X 27-27 X 27-27-27方法点评：本题考查随机变量函数的概率分布.本题X为连续型随机变量，由X生成的随 机变量Y既不是连续型随机变量又不是离散型随机变量，在计算关于X,Y的概率分布时，一 定要针对Y使用全概率公式.(23)【解解】(I)E(X)=+30 x f x)dz=*+Q2 _e_e djc 0 X0tX I*-oo e_7d 0,0=1,2,，zi),2 7?最大似然估计量为9”2 7?n 1