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1、2015年数学（一）真题解析一一、选择题选择题（1）【答案答案】（C）.【解解】设fO=0左边的零点为H=a,右边的零点为x=b,又在x=0处/（z）不存在.因为工=a的左、右两侧于（工）都大于零，所以（a,/（）不是拐点；因为工=0左、右两侧fx）异号，所以（0,/（0）为拐点；因为工=b左、右两侧）异号，所以（6,/（6）为拐点，故有两个拐点，应选（C）.方法点评:本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二 阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上 对应的点为拐点.（2）【答案答案】（A）.【解解】因为;y=+孑+（広）e
2、为y+ay+by=ce的特解，所以y+ay+=0的特征方程的特征值为入1=1 2=2,则a 3,b=2.显然y 为原方程的特解，将代入原方程得c=1,应选（A）.（3）【答案答案】（E）.【解解】因为a”条件收敛，所以的收敛半径为1,n=1 n=ooa”（工一l）n的收敛区间为一1V1,即0 工2.77=1因为Vy 1 G（1）9 3 1 幺l9所以级数工a（乂 一1）在工=3处绝对收敛，在x=3处发散，n=l因为（工一1）与工5（攵一 1）收敛半径相同、收敛区间相同97?=1 =1OO所以一1）在攵=3处绝对收敛，在乂=3处发散，应选（E）.n=（4）【答案答案】（E）.亠.A=rcos，（
3、兀”c 兀 1 /1 ,【解解】令 一 W厂W/,则y rsin 0,I 4 3 丿2sin 20 J sin 20 丿JJ/（jr,j/）clrd_y=d0 j*：/（rcos 0,rsin（9）rdr,应选（B）.D 4 5/2 sin 20（5）【答案答案】（D）.【解解】因为AX=b有无数个解，所以r（A）=r（A）3,由|A|=（q l）（a 2）=0 得 a=1山=2,1 1:11 0：d-10 0:d2 3d 十 2当a=1时，Z111111 IA=121010八1 一I41川30J 因为方程组有无数个解，所以d-1或=2；当a=2时9I111卩111 IA=122小111 一4
4、44d233因为方程组有无数个解，所以=1或=2,应选（D）.1101d 1d2 一 3d+2110方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线准方程组有无数个解 的两个关键点、为：厂（A）P(AB),所以 P(A)+P(B)-P(AB)P(AB),.D/AQ、x P(A)+P(B)宀住/八、故 P(AB)0 x 工-*0 x 工-*0 x Lsin x方法二1.ln(cos x)cos x 1.sin xlim-:-=lim-=-lim-x0 X Xo 2x 2 x 0 X丄1cos XK2(io)【答案答案】T T【解解】sin x-y 1+COS X一兀|jr|djc=2A
5、 22 7tJC dj：=o 4方法点评：本题考查定积分的奇偶性质，即/(J7)djf=a/(J7)+工)dz，特别地,0当/()=f(JC)时，/(jr)d:r=2 f x)djrJ o当 f(一x)=f O 时,/(J7)dj：=0.a(11)答案答案】一山.一山.【解解】方法一 将工=0,夕=1代入e=+z十ez+xyz+j;+cos工=2两边分别对x,y求偏导得 dz_ 3x訂+夕z+工cos X=2 中，得 z=0,z Z+1 一 sin jr=0,ez -x3yN+夕3z 八3z=1 代入得器dx=I dj?+字|djy=-dz.I(0,1)djc I(0,1)dy|(0,1)方法
6、二 将j：=0=1代入e”+xyz+工+cos jc=2中得n=0ez+xyz+无+cos=2两边求全微分得ez dz+yzdx+xzAy+xydz+dr sin x Ax=0,0 代入得 dz|(0.1)=dx.故dz(0,1)(0,1)=0,(0,1)将 z=o q(12)【答案答案】44【解解】方法一由对称性得J(_z+2y+3z)dQ=6Q Q=6drJ 0=(1jr)3dj?J o 4方法二 0=(无9夕9之)|(乂，夕)G D,0WnW1hj/9其中1)=(工9)|0冬力1，0丿1“9则lTy(jc+2y+3n)dz01 9之(0,1)1x0l_zpzdz03clzJ 0(1 乂)
7、41X(1 一 x 一 y2 Ay oi 1o=TIJJ(jc+2jz+3n)dvQJj dyDDdrJ o(j?+2j/)(l x 一 y)+-(1 一 x 一 y)2 ckr dj/3x+2夕)(1 一 x 一 夕)+(1 z y)2=4(13)答案答案】2+i2.202020-12【解解】D2D”一i+2 X A lr,2200002X(-1)T=2D”t+2=2D”-i=2(2D-1I+2 X(1)+i 八i i)=llj”_2+2)十 2=25,1+22+2.=2”-2?+2=：)=2,+1 2.1 2(14)【答案答案】j.【解解】因为p=0,所以X,Y独立且不相关，且XN(1,1
8、),YN(0,l),PXY-Y 0-P(X-1)Y 0=PX Q+PX1PYQ=*(PX 1)=y-方法点评：本题考查二维正态分布的性质.设(x,y)服从二维正态分布，则x,y独立与X,Y不相关等价.三、解答题2 3 3(15)【解解】方法一 由 ln(l+H)=H*-+2-+o(h3),sin x=x +o(jc 3)得Z 3 62 3/、/(jc)=x ax 号b|bx2+o(h3)=(1+q)jc+(b 守+3+o(jc3)9因为fCx)g(工)，所以 1+a=0,6 -|-=0,-|-=,解得 a=l,h=-yk=-.方法二 由1=1)Z01.x r a ln(1+jc)+sin x2
9、)=映kx3alim1+-:-p b sin x bx cos xV+x 丿曰“2 9 彳可 a=193k j:2再由1=limx-*01-丄3kx2+6sin x+bx cos x=limx-*0z:-p b sin x-Ybx cos x1+3kx2limx-*0再由1=limr f 0-r+2b cos x 一 bx sin x(1+J，得 5丄 I&kx1.1_cos,+_,sln,亍齐g 怛融&kx123+sin x!（1+工）1 伯 Lhm-=_ 百，得&乂0 bk 3k丄Qk（16）【解解】y f（x）在点（工（），/（攵0）处的切线方程为y f（x0）力0）,/（J?o）令；y
10、=0,贝 Iz=工 一 r-r,J（工。）切线、工=工。及工轴所围成区域的面积为S=”Cz）卜 _（几卷汕=4,即寺夕？=4夕，变量分离得=dr,积分得=x+C,2 VO 因为夕（0）=2,所以C=4,故所求的曲线为y=-.4 一 x（17）【解解】咒（工，夕）=1+夕，fy=1+j?fCx,y）在点（工，夕）的方向导数取的最大值的方向即梯度的方向，且最大值即梯度的模,则最大值为 g（z,夕）=|grad/（jr,y）|+1）2+（j；+1）2.令F=（工+1）2+（y+l）2十入（工彳+夕彳+広夕一3）,fFj=2（工+1）+2Xx+Xy=0由F；=2（夕+1）+2小+入工=0,解得f/=x
11、2+y2+xy-3=0口=1,任=1,住=2,Ij:=一1,ly=1,b=1,I=1,b=2.由 g（l,l）=松,g（l,l）=0,g（2,1）=丽=3,g（1,2）=禹=3 得方向导数的 最大值为3.方法点评：本题考查方向导数与梯度的关系.方向导数为琴=罕cos a+字cos/?=*，dI djc dy dx dy cos a,cos B,其中=grad f,cos a,cos=e为与射线/方向相同的单位向量9设梯度grad于与e的夹角为&，则cos 9,当cos 0=1，即0=0或grad f与仑同向时9方向导数达到最大值.故梯度的方向即为方向导数取最大值的方向，且方向导数的最大值为梯度
12、的模.（18）【证明证明】（I）令于（无）=%（工）讥工），=况（工+Ajr）u（力+Ajr）一 W（JC）=况（E+工）u（工+Aj?）U（X）77（J7+Ajr）+m（H）U（Z+Ajr）一（Z）U（Z）=_u（jr+工）?/（工）讥z+乂）+（工）讥+A j?）一 讥无）wv（jr+乂）+w（jc）Av，则 _U(J7)77(J7=lim Y-=lim-v（x+Ajt）+lim w（x）-心-o Zkr0 Ajf=wz（j:）v（jc）+（n）=/1（工）况2（工）八况”（乂）+弘1（乞）/2（工）况（无）+况1（无）2（无）八/（工）ix=COS t，（19）【解解】L的参数方程为L
13、X=V2sin/，其中起点t=守，终点 u 守，则R=COS t 9I=2(施sin t+cos t)(一 sin t)ck+施sin t Vcos fdf+2sin2cos2Z(一 sin t)dt=2麗 f2 sin2Zdz=2麗 X X 善=-tc.J o 2 2 2I 2 0 1(20)【解解】(I)(“1/2#3)=(5卫2,5)020、2b 0 k+12 0 1 因为 0 2 0=4 工0,所以厂(“i,02，0：Q=厂(a i 9。2 9x 3)=3 92k 0 k+1即儿卩23线性无关，所以趴2屆为R3的一组基.(H)令g在两组基下的坐标都是(工口2山3)，由 1 1+x2a2
14、+JC 3 3=无101+,02+039 或 工 1(01 a 1)+工 2(02。2)+力 3(03。3)=0，整理得 无(a I 2ba 3)I jt*2 a 2 I 工 3(a I kct 3)0 9 因为为非零向量，所以jc 1(a 1+2ka3)+j?2a2+攵3(a 1+ka 3)=0有非零解，从而|a i I 2ba 3 a?a】I ba 3|0,10 1而1 a+2ku39。29。1-|-ka 3 I=|(/9。29。3 1*01 011,a 9 a 2 9 a 3|t2 0 92k0 k101则01()=0，故 k=0.2k0k当&=0时，由乂 (a 1 2 怡 a 3)I
15、乂 2 a 2 1 工 3(a】+k(Z3)=0，/!01即a xxi+a 2r 2+a,jr3.a2,a3)010=0,000因为a,a2,a3为一个基，所以（a t,a2,a3）可逆，/I 0/攵*于是0 1 0 j：2=（）故g在基a（.a2,a3或01比,0下坐标为、0 0 J J(C为任意常数).方法点评：本题考查向量空间的理论.向量空间理论是数学一的专门考查内容，包括：向量空间的概念、基、过渡矩阵、向量在基下的坐标.tr A=tr B.(21)【解】(I)因为AB,所以仁.I|A|=|B|,(0!4 r 011得8 00J(2_ 300、令P=0-1,贝9 P AP=010o11 1o05丿(22)【解】1)令P=PX 3=2一工ln2d.=-2-ir=4y的可能取值为2,3,-,y的分布律为Py=p cl p(!-p)k 2=(b 一卩)12(&=2,3,).(1)ECY)=kPY=k=p2k(k-1)(1 k=2 k=2（23）【解解】（I）E（X）=P=驻,=驻,J 0 L 一 C7 c令E（X）=乂，则9的矩估计量为9=2X1.（n）似然函数为L（0）=打、”（。WW，W W 1/=1,2,“）,（1 一 C7）d 77因为而L（0）=0,所以L（0）关于&为增函数，d（7（1 9）故0的最大似然估计量为0=min X,.