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1、2021年数学（一）真题解析一、选择题【答案答案】(D).er _ 1【解解】由lim/(j?)=lim-=1=/(0)得/(工)在无=0处连续；-1”再由lim 2)*)=岛-=加 _工=1曲刍二当得r-*0 X x-O x X-*O X 2f(0)=H 0,应选(D).(2)【答案答案】(C).【解解】f(工+l,e)=x x+l)?两边对x求导得f Q+1,于)+e丁；Q+1,于)=Q+1严+2工(+1),取工=0 得 f(1,1)+几(1,1)=1；/(x,jc2)=2o?Jln x两边对工求导得/1(z,_z$)+2工兀(x 2)=4jc In x+2x,取工=1 得 f(1,1)+
2、2/；(1,1)=2,解得 f(1,1)=0,/；(1,1)=1,故 d/(l,l)=1歹，应选(0.(3)【答案答案】(A).【解解】因为/&）=洱冷为奇函数，所以b=0；1+工x3 1由 sin x=x+。（工），-7=1 x2+o（j?3）得6 1+工f G 工2=X-久3+o（j?3）,1+工 6应选（A）.（4）【答案答案】（E）.【解解】lim/（2_1（5）【答案答案】（B）.2“=lim n n-*Tlr，应选（B）.阖令j11211,X，则 f=XvAX,0工31A-1-11 0 0由|AE-A|=-1 A-21=(A+1)1 A-2-2-1-1A-1-1 A-1(A+1)(
3、入一3A)=0得入i=1,入2=0,入3=3,应选(E).(6)【答案】(A).【解解】由施密特正交化得/尸罟需=4厶=証暮=彳=4,应选.方法点评：将线性无关的向量组化为两两正交的规范向量组即施密特正交规范化，实对 称矩阵的对角化的正交变换法需要将线性无关的特征向量进行正交化和单位化.设 a,a2a3 线性无关，0i=a 1,p2=a2 hPi 03=叭匕庆 k2p,且0】,02 03 线性无关,mi 7 _(a?,0i)厶 _(。3，01)(a3,02)刘Z1=斫瓦7紅=(小心)2=莎瓦亍(7)【答案】(C).【解】r(o 卜心)+心加=2心)；/A AB 列/A O /A AB Mo f
4、lo爲得仏A；由A t)旦rf)得厂r)=2心)，应选(C).BA A1 2 S A1 At/1-P(B)2 2c 2 I 2 oC I咒 2 6十几一印宀、土、=-1-7 npcf!o 2=-9 应述(CJ.n n n ri(8)【答案】(D).【解解】由F(A|B)=P(A)得P(AB)=P(A)P(B),即事件独立,P(AB)P(A)P(B)于是 P(A|B)=-=-=F(A)；P(B)P(B)由 P(4|B)P(A)得 P(AB)F(A)P(B),P(A B)从而 P(A|B)=-P(B)1-P(A)-P(B)+P(AB)1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)1-P(B)=1-P(A
5、)=P(A)；由 P(A|B)P(A|B)得P(AB)P(B)P(A)-P(AB)1-P(B)，整理得 P(AB)P(A)P(B),则 P(A|B)=P(AB)P(B)、P(A)P(B)PCB)=P(A)，应选(D).(9)【答案】(C).【解解】N则eV)=e(乂)一e()=幻一“2=0；D()=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)2/2 9 一 一 一=+Cov(Xi,Y)+Cov(X2,y)H-Cov(X,Y)n n n2 2=空+丄一$Cov(X|,Y!)+Cov(X2,y2)H-Cov(X”，Y”)n n n(10)答案答案】(B).【解解】由题乂N(11.5，+)，
6、或兰JN(0,l),犯第二类错误的概率为PX 11 1,5 +a”_iz+axjcy+aoy )的方程称为欧拉方程.令攵=e，则zj/=Dy=,2=D(D l)y=坐，dt dr drxy(=D(D 1)(D 一 n l)y,代入原方程得高阶常系数线性微分方程，求出其通解，再将t=n.z代入即可得原方程的通解.（14）【答案答案】4tt.【解解】设工所围成的几何体为0，由高斯公式得无 2 dy c!n y 2 Az Ajc+n dr d(2工+2+l)du，Q由积分的奇偶性得dv=2 JJ dr dyn d-ry=2 7T 1 2=4兀3（15）【答案答案】y1a 12a 13【解解】|小=|
7、小=21a 22Q 23=2(A I】+A 2i+A3i)=3，则1a32a 333Ah+A2i+A31=（16）【答案答案】寺寺0【解解】（X,Y）的可能取值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）,PX=0,Y=0=PX=0,Y=l=ypx=i,y=o=兀PX=1,Y=1=*3 _ 3?_=102 _1r=T2 _1T-二亍3 _ 3=To,由胡;2由;21 J 得 E(X)=*,E(X2)=*,D(X)=扌；2 11得E（y）=y,E（y2）=y,o（y）2由；40得e（xyu脣,10Z3 11Cov(X,y)E(XY)-E(X)E(Y)=-T=-,P!-J120TT7 7丄三、
8、解答题（17）【解解】方法一方法一/1+e，At lim-e 11 sin x=lim1+J e At J sin x 一 e+1(e 1)sin xi-*()()=lim-j.-*0匚.2.e dt0-eT+1limx-*-0sin x2 J X才t2.e d sin x 一 eJ+1+j?oX 2limj-*0 x(2.e dt sin x e+1+z oX 2lim.r-0sin xe ckoxi.eJ x limj-*0X 22lime limx-*0 x-*0eJ-1 i 1-=-2工 2丄方法二工 2e d/0liJ-.-r-*0 e 11sin xlimx*0工 2e dt01e
9、x 1 er 1 sin x由 lim；.o ex 2e dt 工 2=lim-=19olimx*0I1sin x 一 e+1-=lim-:-=limlo(ez l)sin xx-*0sin x-ex+1-2X冷limZ j-*oCOS X=(sin 工一M)=-La X-*0 2得応匚h*o eH.2 e dt0sm x方法三,2由泰勒公式得e从而工 2e dt=x03+O（工3）9于是有1+limjr-O才 M-於dt0Isin jr=limr f 03-1+无+才+o(j?3)_ 11+2sin x=lim.丫ro 11sin jc=limTf 0lim er 1 x-*o11=1+li
10、mjr*Osin x e+1 sin x e+1-:-=1 十 lim-；-(e2 一 l)sin x 工。x 2=1+limjr*0COS Xe sin x 12工=1+!戈-2-=亍(18)【解解】工“”(才)=丫n=1”=1(n+1)x当 lim：-=ex 0 时,enJ”=1收敛;-J-.(72+1)5+2)再由hm-n-*177(77+1)当攵=1时，Yn=11得工(士 1)”+】7?(72+1)卄1 Xi n(?+1)二 1的收敛半径为R=1,=1,故工:广丄1、的收敛域为1,1，1 7?（7?+1）故级数工”（攵）的收敛域为（0,1.n=1才+】令S(z)=“”(工)=+工”=1
11、 71=1_ 11-_ eJ-15(=Si(工)+S?Q)97?(77 十 JL)卄1 Xz?(n+1)00”+i+1 Xn+1=工n=100 nXn 0,D即 D=(D)|x2+y2 W 4 9 则=(4 x2 一 y2)dO,Lo在L内，取逆时针)，设OU与広所围成的区域为 Lo围成的区域为，则0D2人2 2|,2(re-v+y)dz+(4ye )dj/x2+4y23Di+L0/2 丄 d 2.2,a 2(zeF 十 y)dz+(4ye+2 z)dy 川+3(jr er+iy+j/)cLz 十(4ye+iy 一x 2+4y2(xer+4jz+3/)dr+(4y er 4y 一 x)dy j
12、c 2+4y2,2 丄4 2 _ 2,2(工 +j;)clz+(4jy x)dyx2+4y22 2 2 2=-7(o-eJ+o+3/)d+(4jeJ+o h)*r JLo=gJ(8工 ye点+4,1 azye+“-l)djr dy r D22心一2 r厂 JJ r 2D2故 r(x er+43+y)cLr+(4ye z)dy(21)【解】(I)由=(A 一 a+1)2(入一a 2)=0,A a一11入a+1(入一a+1)0-1A a=1A a 111A a11 A a1-10(A a+1)-1A a111A a100(A a+1)-1A a-1112Aa0 得入=4=a 1对应的线性无关0 由
13、 71 1特征向量为a3(a 2，卩 J b2/0十2对应的得正交矩阵P=0 0 ia 一 1使得P AP=0 0a-1 00 a+2/4 0(II)由 P(a+3)E AP=0 4o 01/40(a+3)E-A=P 04o0JI20令 c=p o20 P1,o0J(20I20P 020 Pv P 020 Po0J0I1/5-111-151J 115/则 C2=(a+3)E-A.（22）【解】（I）X的密度函数为Fz(z)=jPZ Wn=P 1 Wn卩，0 JT 1,于 xO)=Io,其他.（H）由 y=2 X得纟二笃兰，A当 z 1 时,Fz(z)=P X 120,=1-2z+l 1,Fz(z)=2：一 1Z+1$1，Id j?即z 一 12+1故z的密度函数为0,/zZ)=2(z+1)2z1.（ni）EXEi X-djr=21n 2 一 1.o z 一 x