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1、2003年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】e7【解解】limCcos x)1*1+工)=ljm 1+(cos jc 1)（2）【答案】2工+4夕一之一5=0【解解】令 F（j:9夕，之）=X1+y1 z,设切点坐标为（工0,勺）,则切平面的法向量为n=F；,Fy,F；|（工。,*0）=2工0,2夕0,1,因为切平面与平面2広+4夕一z=0平行，9 T 9 v 一 1所以3上=y2=，解得工0=1，夕0=2,从而 zo=j+y：=5,L 4 1所求的平面为 2（工1）+4（j/2）（z 5）=0,即 2x+4yz 5=0.（3）【答案】1.【解解】5=f x2 cos 2jc djc=
2、|x2 d（sin 2工）d(cos 2jc)=cos 2工兀/2 3【答案】（_ _/【解解】令 A=（aj,a2）,B=（卩i,02）./2 3设从基ai,a2到基趴仇的过渡矩阵为Q,则B=A Q,于是Q=AiB=（一 1（5）【答案】4【解解】P X-Y 1 /(?)djr dj=（6）【答案】(39.51,40.49).【解解】av 一.一0.05,“o.o25=1.96，统计量-=4(X )N(0,l),(39.51,40.49).由P 1.96 4（X ）1.96=0.95得的置信度为0.95的置信区间为（I乎，工+丁）=（39.51,40.49）.716方法点评：对正态总体XN（
3、y2）的参数进行区间估计分两种情况:情形一：八已知取 U=N(0,1),由 ua V 1一a,得参数的置信度为1a o ,(T 的置信区间为(X-u,X+zu 情形二未知取 丁=-/（1）,由 P t a（t?1）V-t a（1）=1 a，得参数卩S 7 5 74n I 4n-的置信度为1a的置信区间为（X t仝（一1）,X+s（n 1）V Jn 2 Jn 2/二、选择题（7）【答案】（C）.【解解】设尸（工）与丁轴交点的横坐标从左到右分别为a,h,c,显然/（工）有三个驻点工=a,x=b,工=c及一个不可导点2=0.当x 0,当工6（a,b）时,/（工）V0,则鼻=a为心）的极大值点；当g
4、W（6,0）时,十（工）0,则工=b为心）的极小值点；当工G（0,c）时，/（z）V 0,则鼻=0为/（jc）的极大值点；当工 C时,/Z（J7）0,则工=C为/（J7）的极小值点，故/（工）有两个极大值点和两个极小值点，应选（C）.方法点评：求函数的极值时按如下步骤进行：（1）找出fd）的驻点及不可导的点；（2）判断每个点是否为极值点（按照具体情况选用第一充分条件和第二充分条件）.由 lime”=oo 得lim|b”c”|=+,故limb”c”=00,应选(D).（8）【答案】（D）.【解】方法一3取 a”=,b=n=l,c”=,显然（A）,（B）,（C）不成立，应选（D）方法二 取=因为l
5、imb”=Ci1,所以存在N 0,当 N时，bn l|v，从而有bn*当 N时，I久C”丨 丨C”I（9）【答案】（A）.【解解】由1此马王2呼：了=1及 23 的连续性，得/（0,0）=0.lo（2 十 y）yf 0再由 lim 弓打 2阳=1，得 _/(久，夕)xy=(J；2+y2Y+。(工2+j2)2JfO(乂+V)yf 0或 fCx,y)=xy+(a-2+j2)2+o(jr2+j/2)2.当 y=x 时,/(J7,jr)=jf2+4工 4+o(jc 4)x2+o(a-2)0;当 y=一 x 时，/(jr,一 x)=一 x2+4j?4+o(x4)=x 2+o(j?2)VO,则(0,0)不
6、是函数 的极值点，应选(A).(10)答案】(D).【解解】方法一 因为向量组I可由向量组II线性表示，所以r(I)s时，因为r(I)5 r,即向量组I的秩小于向量组I所含的向量个数，所以 向量组I线性相关，应选(D).方法二 取I：ai=(；),U：0i=C),02=(；)，显然向量组I可由向量组n线性表 示且r s,但向量组n线性无关，(e)不对，应选(D).(11)【答案】(B).【解解】方法一 若AX=0的解为BX=0的解，则AX=0的基础解系所含的线性无关 的解向量的个数不超过BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量个数，即n-r(A)r(B)；(4)若AX=0的解为BX=0的解，且
7、r(A)=r(B),则AX=0与BX=0同解.（12）【答案】（C）.【解解】因为X/（“），所以存在UN（O,1）,V杉（“）且独立,使得急庁是骼注意到bx2（i）且与v独立，故yF5,i）,应选（C）.三、解答题（13）【解解】（I）方法一 设切点坐标为（a,In a）,由导数的几何意义得山二=丄，解得aa ae,即切点坐标为（e,l）,故切线为e方法二 设切点坐标为（a,Ina）,所求的切线为 _ JQy n a=（工一q）9或夕=-In a 1,a a因为切线经过原点，所以In a 1=0,即a=e，故所求的切线为j,=-e所以AIn x dx=-1.1 2j X eX 1-（H）切线
8、y=壬，工=e及工轴围成的三角形区域绕鼻=e旋转而成的圆锥体的体积为 e7re2Vi=y X Tte2 X 1 3,曲线y=n x,x=e及jc轴围成的区域绕z=e旋转而成的体积为V2.取工,x+dj?U 口，e,dV2=2兀（e x）X In jc Xdz,V2=2兀 j（x esln dy 一 ye）工 e_sin，djy 一I.sin 十e+e心）de,D）d esindj/yesmTdx=（n）ck+（e+已心）站 D/sin v I sin y sin i i sin x、_(e 十 e+e 十 e)da（16）【解解】（2+2）d（x=2rr2.D（I）设次击打桩打进地下深度为工汽
9、锤第71次击打所做的功为W”，则 b 2乂1kjc djr=0kx dj?=0于则tD12=7t),W22 kx Ax=f(云!2/),)9W3由W2由W3o Akx djr=(j?32 2=rW x 得云 一 a2=ra2 解得云=(1+r)a2=rW2=r2Wx,得云 一(1+r)a2=r2a2 或工=(1+r+r2)0(t 0),o(0)=0,得(/)0(/0),于是 FU)0(/0),故 F&)在(0,+oo)(P(t)Q(t 0),内单调增加.r/(r2)drJ o由7t(n)g&)=/(r2)drJ o当 t 0 时,F()G()0 等价于f(rz)drl r2f(r2)dr7C
10、J 0 JoJ/(r2)dr|r2/(r2)dr r/(r2)drjht)=/()/(厂2)(/_ 厂)2卄，当 0 时/(/)0,J 0h(0)=0,hit)0(1 0),令 h(t)=由(19)【解解】7C02,h(0)=0,0 20.0方法一得 hdt)0(/0),于是 F(z)G(z).7T|A|=3222322237,111由/322102320122300I1得A|AlA-1001001丄7_272 7丄75_72 7丄7_277100A0100015_72 77_2_7_57_2_727277J:、0100得厂011Q10100100，5-2-2?)-25-2p-2-250101
11、卩000110100卜0101000100010011010-101于是 B=P A*P=1B+2E=，9_ 2-207-2-25-2-2-25010100011，7 0-2 5-2-2043由丨入E(B+2E)|=A0-72A04-5(A-3)(A-9)2=0,=入 3=9.A-922得十2E的特征值为A 1=3,入2当人1=3时，解方程组3E-(B+2E)X=0,r6由 3E-(B+2E)=2 20420 Z1 0401-2/0 0冷得5寺征值0 的特征向量为g t当入2=入3=9时，解方程组9E-(B+2E)X=0,/0I112由 9E-(B+2E)=224-A 000,得B+2E的属于
12、特征值入2=入3=9的线J2o0性无关的特征向量为2故U+2E的特征值为；li=3,入2=入3=9,属于入i=3的全部特征向量为 为任意非零常数)；属于入2=入3=9的全部特征向量为怡22+怡33毎2&3为不全为 零的任意常数).A 3 2 2方法二 由丨 AE-A|=-2 A-3-2=(A-1)2(A-7)=0 得矩阵 A 的特2 2 A 3征值为入1=A 2=】9入3=7：入 3=7 代入 QE-A)X=0,入 1=&=1 代入 QE A)X=0,/I1 1、由 E A-00 0|得A的属于A 1=A 2=1的线性无关的特征向量为o0 J/_1/a i=1|,a 2=0 0 1丿I1 0-
13、1,卓、由7E A I 0 1 一1|得A的属于入3=7的特征向量为o 0 0|A|=7,A*的特征值为单1=7,J=7,陶=1,入1 人2 人3因为B A*,所以B的特征值为入1=心=7,入3=1，从而B+2E的特征值为9,9,3.B+2E的相应于特征值9,9,3对应的线性无关的特征向量为方法点评：本题考查矩阵的特征值与特征向量.矩阵与其关联的矩阵特征值与特征向量之间有一定的关系，主要有如下结论:(1)设 Aa=入()。，则 f(A)a f(X0)a,匚-】_ 1A a=-(X 9 人0特别地，若A可逆，则Q,即A与AT,A 特征向量相同.(2)设Aa=Aoa且P AP=B,则B P a=A
14、0P-1a,即A与B特征值相同，B的属于特 征值;I。的特征向量为P a.(20)【证明】方法一必要性：设三条直线交于一点(工。，)，即方程组AX=O有非零解(Ho，%,l)T,其中(a 26 3c b 2c 3a 9 则|A|=0,c 2a 3b=一3(a+6+c)(a bY+(6 c)2+(c a)2 且(a b)2+(b c)2+(c a)2 丰 09 故 Q-pb+c=0充分性：设a+b+c=O,将方程组前两个方程相加得方程组的同解方程组为a2b3 c123123而A|=b2c3a=(Q+b+c)b2c3a=(a+6+c)02c-2b3a3bc2a3bc2a3b02a一 2c3b3c=
15、6(a+b+C)(a?+快+C2 _ab ac be)ax+2by=一 3c 9 bx+2cy=一 3a a 2b因为=2ac 62)=2a(a+b)+62=a2+b2+(a+bY H 0,b 2c所以方程组有唯一解，即三条直线交于一点.方法二ax+2by=一 3c，必要性：设三条直线交于一点，即方程组bx+2cy=-3a,有唯一解，ex+2ay=3b/a 2b令 A=b 2c一 3a 1，则 r(A)=r(A)=2,c 2a-3丿从而|A|=3(q+b+c)(q b)2+(b c)2+(ca)2=C)9 而(a 6)2+(6 c)2+(c a2 HO9 故 a+6+c=0.充分性：设a+6+
16、c=0,则厂(A)V3,a 2b.o又=2(ac b)=2a(a+b)+b2=/+尸+(0+b)2HC)9b 2cax+2by 一 3c,则厂(A)=2 9从而r(A)=r(A)=2，即方程组丿处+2cy=3q,有唯一解9 cz+2ay=3b故三条直线交于一点.(21)【解解】(I)方法一 X的可能取值为0,1,2,3,PX=0PX=1=920PX=2120为；201 2 3 _9_ _9_ 丄，于是 E(X)20 20 20方法二人 卩，从甲箱中所取的第Z件产品为次品，【0，从甲箱中所取的第2件产品为合格品八,、1 MX：的分布律为X：I 1 1 I(z=1,2,3),T 2设乙箱中的次品个
17、数为X,则x=x1+x2+x3,3 故 E(X)=E(X】)+E(X2)+E(X3)=.(H)令A,=X=门(。=0,l,2,3),B=从乙箱中取一件产品为次品,12 3PCB I Ao)=0,P(B I AJ=-,P(B I A2)=-,P(B|A3)=-,由全概率公式得 6 6 63 1P(B)=工P(A,)P(B I A,).t=o 4方法点评：本题考查一维离散型随机变量的分布及全概率公式.若一件事需要两步完成，第一步发生的结果未知，求第二步某事件的概率时，一般采用全 概率公式，第一步构造完备事件组A1,人2,，A”，第二步事件为则PCB)=|A,).i=l(22)【解解】(I)总体X的分布函数为F(_z)=P X W z =J/(jc)dj;,当 z 山=J e于是F（工）=0,1 严r x =1 一 P X_z,X2h,，X”x =1 PX1zPX2 x-PX x=1 口一 PX1-l-PX2-FX e今亠 C+C+8因为E（0）=J工匕（工）吐=工叫2/7（工一。）2“(才 一(9)=t+8/t Jo 0+T+o山+/山=9+oo 1r e ck=0+9 o 2n所以9不是0的无偏估计量.