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1、统计概率知识点梳理总结 第一章 随机事件与概率 一、教学要求 1理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算 2了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算 3理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算 4理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算 5掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率 本章重点：随机事件的概率计算 二、知识要点 1随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1)试验可以在相同的条件下重复地进行；(2
2、)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作 e 2随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)看作特殊的随机事件 3*事件的关系及运算 (1)包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记作AB(或BA)(2)相等：若两事件A与B相互包含，即AB且BA，那么，称事件A与B相等，记作AB
3、 (3)和事件：“事件 A 与事件 B 中至少有一个发生”这一事件称为 A与 B 的和事件，记作AB；“n 个事件1,2,nAAA中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,nAAA的和，记作12nAAA（简记为1niiA）(4)积事件：“事件 A 与事件 B 同时发生”这一事件称为 A 与 B 的积事件，记作AB(简记为AB)；“n 个事件1,2,nAAA同时发生”这一事件称为1,2,nAAA的积事件，记作12nAAA（简记为12nAAA或1niiA)(5)互不相容：若事件 A 和 B 不能同时发生，即AB，那么称事件 A与 B 互不相容(或互斥)，若 n 个事件1,2,nAAA中任意两个事件不
4、能同时发生，即ijAA(1ij几)，那么，称事件 1,2,nAAA互不相容 (6)对立事件：若事件 A 和 B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB且AB，那么，称 A 与 B 是对立的事件 A 的对立事件(或逆事件)记作A (7)差事件：若事件 A 发生且事件 B 不发生，那么，称这个事件为事件 A 与 B 的差事件，记作AB(或AB)握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本
5、空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 (8)交换律：对任意两个事件和 B 有 ABBA ，ABBA (9)结合律：对任意事件 A，B，C 有()()ABCABC，()()ABCABC (10)分配律：对任意事件 A，B，C 有()()()ABCABAC，()()()ABCABAC (1
6、1)德 摩根（De Morgan）法则：对任意事件 A 和 B 有 ABAB,ABAB.4频率与概率的定义 (1)频率的定义 设随机事件 A在 n 次重复试验中发生了An次，则比值Ann 称为随机事件 A 发生的频率，记作()nfA，即()AnnfAn.(2)概率的统计定义 在进行大量重复试验中，随机事件 A 发生的频率具有稳定性，即当试验次数 n 很大时，频率()nfA在一个稳定的值p(0p1)附近摆动，规定事件 A 发生的频率的稳定值p为概率，即()P Ap (3)*古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i)试验的样本空间是个有限集，不妨记作12,ne ee;
7、(ii)在每次试验中，每个样本点ie(1,2,in）出现的概率相同，即 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常
8、把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生12()()()nPePePe 在古典概型中，规定事件 A的概率为()AnAP An中所含样本点的个数中所含样本点的个数 (4)几何概率的定义 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为()AP A 的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）(5)概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为，随机事件 A 是的子集，()P A是实值函数，若满足下列三条公理：公理 1(非负性)对于任一随机事件，有()P A0；公理
9、 2(规范性)对于必然事件，有()1P ；公理 3(可列可加性)对于两两互不相容的事件1,2,nA AA，有 11()()iiiiPAP A，则称()P A为随机事件的概率 5*概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1)()0P (2)(有限可加性)设 n 个事件1,2,nA AA两两互不相容，则有 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性
10、的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生121()()nniiP AAAP A (3)对于任意一个事件 A：()1()P AP A (4)若事件 A，B 满足AB，则有()()()P BAP BP A,()()P AP B (5)对于任意一个事件 A，有()1P A (6)(加法公式)对于任意两个事件 A，B
11、，有()()()()P ABP AP BP AB.对于任意 n 个事件1,2,nA AA，有 111111()()()()(1)()nnniiijijkniijnijkniPAP AP A AP A A AP AA .6*条件概率与乘法公式 设 A 与 B 是两个事件在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率称为条件概率，记作(|)P A B当()0P B，规定()(|)()P ABP A BP B.在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质 乘法公式：对于任意两个事件 A与 B，当()0P A,()0P B 时，有()()(|)()(|)P ABP A P B AP B P A B.7*随机
12、事件的相互独立性 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的
13、关系及运算包含若事件发生 如果事件 A 与 B 满足()()()P ABP A P B，那么，称事件 A 与 B 相互独立 关于事件 A，月的独立性有下列两条性质：(1)如果()0P A，那么，事件 A与 B 相互独立的充分必要条件是(|)()P B AP B；如果()0P B，那么，事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是(|)()P A BP A 这条性质的直观意义是“事件 A与 B 发生与否互不影响”(2)下列四个命题是等价的：(i)事件 A 与 B 相互独立；(ii)事件 A 与B相互独立；(iii)事件A与 B 相互独立；(iv)事件A与B相互独立 对于任意 n 个事件1,2,nA
14、 AA相互独立性定义如下：对任意一个2,kn，任意的11kiin ，若事件1,2,nA AA总满足 11()()()kkiiiiP AAP AP A，则称事件1,2,nA AA相互独立这里实际上包含了21nn 个等式 8*贝努里概型与二项概率 设在每次试验中，随机事件发生的概率()(01)P App，则在 n 次重复独立试验中，事件恰发生k次的概率为 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机
15、试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生()(1),0,1,kn knnP kppknk，称这组概率为二项概率 9*全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：如果事件1,2,nA AA两两互不相容，且1niiA，()0iP A，1,2,in，则 1()(|)(|),1,2,()(|)k
16、kkniiiP A P B AP ABknP A P B A 第二章 离散型随机变量及其分布 一、教学要求 1理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握 0-1 分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用 理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率 理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布 4掌握离散型随机变量独立的条件 5.会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布 本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算 二、知识要点 1一维随机变量 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率
17、的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 若对于随机试验的样本空间中的每个试验结果
18、e，变量X都有一个确定的实数值与e相对应，即()XX e，则称X是一个一维随机变量 概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布 2*离散型随机变量及其概率函数 如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量 设离散型随机变量X的可能取值为(1,2,)ia in，(),1,2,.iipP Xain 若11iip，则称(1,2,)ip in离散型随机变量X的概率函数，概率函数也可用下列表格形式表示：X 12naaa rP 12nppp *概率函数的性质 (1)0ip，1,2,;in (2)11iip 由已知的概率函数可以算得概率()iiaSP XSp，
19、其中，S是实数轴上的一个集合 *常用离散型随机变量的分布 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作
20、与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 (1)01 分布(1,)Bp，它的概率函数为 1()(1)iiP Xipp，其中，0i 或 1，01p (2)二项分布(,)B n p，它的概率函数为()(1)in inP Xippi，其中，0,1,2,in，01p ()泊松分布()P，它的概率函数为()!iP Xiei，其中，0,1,2,in，0 ()均匀分布，它的概率函数为 1()iP Xan，其中，0,1,2,in 二维随机变量 若对于试验的样本空间中的每个试验结果e，有序变量(,)X Y都有确定的一对实数值与 e 相对应，即()XX e，()YY e，则称(,)X Y为
21、二维随机变量或二维随机向量 6*二维离散型随机变量及联合概率函数 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然
22、事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 如果二维随机变量(,)X Y仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(,)X Y为二维离散型随机变量 二维离散型随机变量(,)X Y的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),1,2,ijijP Xa Ybpi j 其中，0,1,2,1ijijijpi jp 7二维离散型随机变量的边缘概率函数 设(,)X Y为二维离散型随机变量，ijp为其联合概率函数（,1,2,i j），称概率()(1,2,)iP Xai为随机变量X的边缘概率函数，记为ip并有.(),1,2,iiijjpP Xap i，称概率()(1,2,)jP Ybj为
23、随机变量 Y的边缘概率函数，记为.jp，并有 .jp=(),1,2,jijiP Ybpj.8随机变量的相互独立性 设(,)X Y为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为,1,2,.ijijpp pi j对一切 多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论 9随机变量函数的分布 设X是一个随机变量，()g x是一个已知函数，()Yg X是随机变量X的函数，它也是一个随机变量对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全
24、概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 设离散型随机变量X的概率函数为 X 12naaa rP 12nppp 则随机变量函数()Yg X的概率函数可由下表求
25、得()Yg X 12()()()ng ag ag a rP 1p 2p np 但要注意，若()ig a的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率ip相加 第三章 连续型随机变量及其分布 一、教学要求 1理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用 2理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率 3理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布 4理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件 5掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数
26、的概率意义 (不考)6会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大
27、量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生(不考)会求简单随机变量函数的概率分布 本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算 二、知识要点 1*分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X取值不大于实数x的概率()P Xx称为随机变量X的分布函数，记作()F x,即()(),F xP Xxx 2分布函数()F x的性质 (1)0()1;F x ()()F x是非减函数，即当12xx时，有12()()F xF x；(3)()0,()1limlimxxF xF x;
28、(4)()F x是右连续函数，即0()()limxaF xF a 由已知随机变量X的分布函数()F x，可算得X落在任意区间(,a b内的概率()()();P aXbF bF a 也可以求得()()(0)P XaF aF a 3联合分布函数 二维随机变量(,)X Y的联合分布函数规定为随机变量X取值不大于x实数的概率，同时随机变量Y取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y，即 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事
29、件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生(,)(,),F x yP Xx Yyxy 4联合分布函数的性质 (1)0(,)1F x y；(2)(,)F x y是变量x(固定y)或y(固定x)的非减函数；(3)(,)0,(,)0limli
30、mxyF x yF x y，(,)0,(,l i ml i mxxyyFxyFxy ；(4)(,)F x y是变量x(固定y)或y(固定x)的右连续函数；(5)121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P xXxyYyF xyF xyF x yF x y 5*连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X的分布函数为()F x，如果存在一个非负函数()f x，使得对于任一实数x，有()()xF xf x dx 成立，则称 X为连续型随机变量，函数()f x称为连续型随机变量X的概率密度 6*概率密度()f x及连续型随机变量的性质 （）()0;f x （）()1f x dx；（）连续型随
31、机变量X的分布函数为()F x是连续函数，且在()F x的连续点处有()()Fxf x；（4）设X为连续型随机变量，则对任意一个实数 c，()0P Xc；握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可
32、能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 (5)设()f x是连续型随机变量X的概率密度，则有()()()()P aXbP aXbP aXbP aXb ()baf x dx 7*常用的连续型随机变量的分布 (1)均匀分布(,)R a b，它的概率密度为 1,;()0,axbf xba 其余.其中，)ab (2)指数分布()E，它的概率密度为,0;()0,xexf x其余.其中，0 (3)正态分布2(,)N，它的概率密度为 22()21(),2xf xex ，其中，,0 ，当0
33、,1时，称(0,1)N为标准正态分布，它的概率密度为 221(),2xf xex ，标准正态分布的分布函数记作()x，即 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试
34、验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生()x221()2txxedt，当出0 x 时，()x可查表得到；当0 x 时，()x可由下面性质得到()1()xx 设2(,)XN，则有 ()()xF x；()()()baP aXb *二维连续型随机变量及联合概率密度 对于二维随机变量(X，Y)的分布函数(,)F x y，如果存在一个二元非负函数(,)f x y，使得对于任意一对实数(,)x y有(,)(,)xyF x yf s t dtds 成立，则(,)X Y为二维连续型随机变量，(,)f x y为二维连续型随
35、机变量的联合概率密度 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1)(,)0,f x yx y ；(2)(,)1f x y dxdy ；(3)设(,)X Y为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L，有(,)0PX YL；(4)在(,)f x y的连续点处有 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可
36、能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生2(,)(,)F x yf x yx y;(5)设(,)X Y为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有(,)(,)DPX YDf x y dxdy 1，*二维连续型随机变量(,)X Y的边缘概率密度 设(,)f x y为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为()(,)Xfxf x y dy；Y的边缘概率密度为(
37、)(,)Yfyf x y dx 11常用的二维连续型随机变量 (1)均匀分布 如果(,)X Y在二维平面上某个区域 G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为 1,(,)x yf x yG，（)G;的面积0,其余.(2)二维正态分布221212(,)N 如果(,)X Y的联合概率密度 2211212222112112()()()()11(,)exp22(1)21xxyxf x y 则称(,)X Y服从二维正态分布，并记为 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件
38、的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生221212(,)(,)X YN .如果221212(,)(,)X YN ，则211(,)XN，222(,)YN，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布 12*随机变量的相互
39、独立性 如果X与Y的联合分布函数等于,X Y的边缘分布函数之积，即(,)()(),XYF x yFx Fyx y 对一切，那么，称随机变量X与Y相互独立 设(,)X Y为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为(,)()(),XYf x yfx fy在一切连续点上.如果221212(,)(,)X YN 那么，X与Y相互独立的充分必要条件是0 多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论 13随机变量函数的分布 *一维随机变量函数的概率密度 设连续型随机变量X的概率密度为()Xfx，则随
40、机变量()Yg X的分布函数为()()()()()yYyXIFyP YyP g XyP XIfx dx 其中，yXI与()g Xy是相等的随机事件，而|()yIxg xy是实数轴上的某个集合随机变量Y的概率密度()Yfy可由下式得到：()()YYfyFy 连续型随机变量函数有下面两条性质：握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的
41、条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 (i)设连续型随机变量的概率密度为()Xfx，()Yg X是单调函数，且具有一阶连续导数，()xh y是()yg x的反函数，则()Yg X的概率密度为()()|()|Yfyf h yh y (ii)设2(,)XN，则当0k 时，有22(,)YkXbN kb k，特别当1,kb 时，有(0,1)YkX
42、bN，(0,1)XN 特别有下面的结论：设211(,)XN，222(,)YN，且X与Y相互独立，则221212(,)XYN 第四章 随机变量的数字特征 一、教学要求 1理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差，2掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差 3 会根据随机变量X的概率分布计算其函数()g X的数学期望()E g X；会根据随机变量(,)X Y的联合概率分布计算其函数(,)g X Y的数学期望正(,)E g X Y (不考)4理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。本章重
43、点：随机变量的期望。方差的计算 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的
44、随机事件事件的关系及运算包含若事件发生二、知识要点 1*数学期望 设X是离散型的随机变量，其概率函数为(),1,2,iiP Xapi 如果级数iiia p绝对收敛，则定义X的数学期望为()iiiE Xa p；设X为连续型随机变量，其概率密度为()f x，如果广义积分()xf x dx绝对可积，则定义X的数学期望为()()E Xxf x dx 2*随机变量函数的数学期望 设X为离散型随机变量，其概率函数(),1,2,iiP Xapi 如果级数()iiig ap绝对收敛，则X的函数()g X的数学期望为 ()()iiiE g Xg ap 设(,)X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),1
45、,2,ijijP Xa Ybpi j 如果级数(,)ijijjig a bp绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为 (,)(,)ijijjiE g X Yg a bp；握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作
46、随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生 特别地();()iijjijiijiE Xa pE Yb p.设X为连续型随机变量，其概率密度为()f x，如果广义积分()()g x f x dx绝对收敛，则X的函数()g X的数学期望为 ()()()E g Xg x f x dx 设(,)X Y为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy 绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g
47、X Y的数学期望为 (,)(,)(,)E g x yg x y f x y dxdy ；特别地 ()(,)E xx fx y d x d y,()(,)E Yyf x y dxdy .3*数学期望的性质 (1)()E cc(其中 c 为常数)；(2)()()E kXbkE Xb(,k b为常数)；(3)()()()E XYE XE Y；(4)如果X与相互独立，则()()()E XYE X E Y.4*方差与标准差 随机变量X的方差定义为 2()()D XE XE X 计算方差常用下列公式：握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌
48、握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件简称事件通常把必然事件记作与不可能事件记作看作特殊的随机事件事件的关系及运算包含若事件发生22()()()D XE XE X 当X为离散型随机变量，其概率函数为(),1,2,iiP Xapi
49、 如果级数2()iiiaE Xp收敛，则X的方差为 2()()iiiD XaE Xp；当X为连续型随机变量，其概率密度为()f x，如果广义积分2()()xE Xf x dx收敛，则X的方差为 2()()()D XxE xf x dx.随机变量X的标准差定义为方差()D X的算术平方根()D X.5*方差的性质 (1)()0D c (c 是常数)；(2)2()()D kXk D X(k为常数)；(3)如果X与Y独立，则()()()D XYD XD Y.6原点矩与中心矩 随机变量X的k阶原点矩定义为()kE X；随机变量X的k阶中心矩定义为()kE XE X；随机变量(,)X Y的(,)k l阶
50、混合原点矩定义为()klE X Y；随机变量(,)X Y的(,)k l阶混合中心矩定义为()()klE XE XYE Y 握事件之间的关系与运算了解概率的各种定义掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算理解条件概率的概念掌握概率的乘法公式全概率公式贝叶斯公式并能运用这些公式进行概率计算理解事件的独立性概念掌握运用事件概率本章重点随机事件的概率计算二知识要点随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验试验可以在相同的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个但事先知道每次试验所有可能的结果每次试验前不能确定哪样本点作随机事件在随机试验中把一次试验中可能发生也可能不发生而在大量重复试