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1、学习必备 精品知识点 全等三角形复习 知识要点 一、全等三角形 1判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL）性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；全等三角形面积相等 2证题的思路：）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAA
2、SSASAASSSSHLSAS 性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的高对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)运用 1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、
3、对应边相等。而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺学习必备 精品知识点 序写一致，为找对应边，角提供方便。3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。5、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 做题技巧 一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条
4、件 另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。（二）实例点拨 例 1 （2010 淮安）已知：如图，点 C 是线段 AB 的中点，CE=CD，ACD=BCE。求证：AE=BD。解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下：证明：点 C 是线段 AB 的中点 AC=BC ACD=BCE ACD+DCE=BCE+DCE 即ACE=BCD 在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ACEBCD（SAS）AE=BD 反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或
5、构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。例 2 已知：AB=AC，EB=EC，AE 的延长线交 BC 于 D，试证明：BD=CD 解析：此题若直接证 BD、CD 所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形E B C A D 边和一条直角边对应相等判定一般三角形边角边角边角角角边边边边对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等证题的思路性质找夹角找直角对角找夹已知边的另一角找两角的夹边找任意一边性质全等三角形的对应角相等对应边相等全等三角形
6、的对应边上的高对应相等全等三角形的对应角平分线相等全等三角形的对应中线相等全等三角形面积相等全等三角形周长相等以全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用性质中三角形全等是条件结论是对应角对应边相等而全等的判定却刚好学习必备 精品知识点 全等得到有用的角、边相等的结论用来证明 BD、CD所在的三角形全等。证明如下：证明：在ABE 和ACE 中 AB=AC，EB=EC，AE=AE ABEACE (SSS)BAECAE 在ABD 和ACD 中 AB=AC BAE=CAE AD=AD ABD ACD (
7、SAS)BD=CD 反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。例 3.（2009 洛江中考）如图，点 C、E、B、F 在同一直线上，ACDF，ACDF，BCEF，求证：AB=DE.【证明】ACDF，FC 在中和 DFEACB EFBCFCDFAC和 DFE中和 DFEACB，AB=DE.17、（2010 潼南中考）如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连结 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，1=2，3=4.(1)证明
8、：ABEDAF；（2）若AGB=30，求 EF 的长.边和一条直角边对应相等判定一般三角形边角边角边角角角边边边边对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等证题的思路性质找夹角找直角对角找夹已知边的另一角找两角的夹边找任意一边性质全等三角形的对应角相等对应边相等全等三角形的对应边上的高对应相等全等三角形的对应角平分线相等全等三角形的对应中线相等全等三角形面积相等全等三角形周长相等以全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用性
9、质中三角形全等是条件结论是对应角对应边相等而全等的判定却刚好学习必备 精品知识点 【解析】（1）四边形 ABCD 是正方形，AB=AD，在ABE 和DAF 中，3412DAAB，ABEDAF.（2）四边形 ABCD 是正方形，1+4=90o 3=4,1+3=90o AFD=90o 在正方形 ABCD 中，ADBC,1=AGB=30o 在 RtADF 中，AFD=90o AD=2,AF=3,DF=1,由(1)得ABEADF,AE=DF=1,EF=AF-AE=13.例4、（2009 吉林中考）如图，,ABAC ADBCDADAEABDAEDEF于点，平分交于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其
10、中一对加以证明 【解析】（1）ADBADC、ABDABE、AFDAFE、ACBDEFG1423边和一条直角边对应相等判定一般三角形边角边角边角角角边边边边对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等证题的思路性质找夹角找直角对角找夹已知边的另一角找两角的夹边找任意一边性质全等三角形的对应角相等对应边相等全等三角形的对应边上的高对应相等全等三角形的对应角平分线相等全等三角形的对应中线相等全等三角形面积相等全等三角形周长相等以全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边和一条
11、直角边对应相等的两个直角三角形全等运用性质中三角形全等是条件结论是对应角对应边相等而全等的判定却刚好学习必备 精品知识点 BFDBFE、ABEACD（写出其中的三对即可）.（2）以ADB ADC为例证明 证明：,90ADBCADBADC .在 RtADB和 RtADC中，,ABAC ADAD RtADBRtADC.要点二、角平分线的性质与应用 例 5、（2009 温州中考）如图，OP 平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为 A，B下列结论中不一定成立的是（）A.PAPB B.PO平分APB C.OAOB D.AB垂直平分OP【解析】选 D.由 OP 平分AOB，PAOA，PBOB，可得PA
12、PB，由 HL 可得 RtAOPRtBOP，所以可得PO平分APB，OAOB.例 6、（2009 厦门中考）如图，在 ABC中，C=90,ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若 BD=10 厘米，BC=8 厘米，则点 D 到直线 AB 的距离是_厘米。【解析】过点 D 作 DE 垂直于 AB 于 E,由勾股定理得68102222BCBDCD,由角平分线性质得6 CDDE 答案：6.边和一条直角边对应相等判定一般三角形边角边角边角角角边边边边对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等证题的思路性质找夹角找直角对角找
13、夹已知边的另一角找两角的夹边找任意一边性质全等三角形的对应角相等对应边相等全等三角形的对应边上的高对应相等全等三角形的对应角平分线相等全等三角形的对应中线相等全等三角形面积相等全等三角形周长相等以全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用性质中三角形全等是条件结论是对应角对应边相等而全等的判定却刚好学习必备 精品知识点【实弹射击】1、如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。2、如图：AC 与 BD 相交于 O，ACBD，ABCD，求证：CB 3、如图，已知 AB=CD，AD
14、=CB，E、F 分别是 AB，CD 的中点，且 DE=BF，说出下列判断成立的理由.ADECBF A=C 4、已知：BECF 在同一直线上，AB DE，ACDF，并且 BE=CF。求证：ABC DEF C A B D E 第 1 题图 O A C D B 第 2 题图 A D B C F E 第 3 题图 FEDCBA第 4 题图 边和一条直角边对应相等判定一般三角形边角边角边角角角边边边边对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等证题的思路性质找夹角找直角对角找夹已知边的另一角找两角的夹边找任意一边性质全等三角形的对应
15、角相等对应边相等全等三角形的对应边上的高对应相等全等三角形的对应角平分线相等全等三角形的对应中线相等全等三角形面积相等全等三角形周长相等以全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用性质中三角形全等是条件结论是对应角对应边相等而全等的判定却刚好学习必备 精品知识点 FEDCBA5、如图,已知：AB BC于 B,EFAC于 G,DF BC于 D,BC=DF 求证：AC=EF 6、如图，ABC的两条高 AD、BE相交于 H，且 AD=BD，试说明下列结论成立的理由。（1）DBH=DAC；（2）BDH A
16、DC。7、如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形 i.除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；ii.你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程 8、已知等边三角形中，与相交于点，求的大小。FGEDCBAABCDEH边和一条直角边对应相等判定一般三角形边角边角边角角角边边边边对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等证题的思路性质找夹角找直角对角找夹已知边的另一角找两角的夹边找任意一边性质全等三角形的对应角相等对应边相等全等
17、三角形的对应边上的高对应相等全等三角形的对应角平分线相等全等三角形的对应中线相等全等三角形面积相等全等三角形周长相等以全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用性质中三角形全等是条件结论是对应角对应边相等而全等的判定却刚好学习必备 精品知识点 9、如图所示，P为AOB的平分线上一点，PCOA于 C，OAP+OBP=180，若 OC=4cm，求 AO+BO 的值 10、如图：四边形 ABCD 中，AD BC，AB=AD+BC ，E是 CD的中点，求证：AE BE。11、如图，ABCD是正方形，点G是
18、BC上的任意一点，DEAG于E，BFDE，交AG于F求证：AFBFEF D C B A E F G PDACBOADBCE边和一条直角边对应相等判定一般三角形边角边角边角角角边边边边对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等证题的思路性质找夹角找直角对角找夹已知边的另一角找两角的夹边找任意一边性质全等三角形的对应角相等对应边相等全等三角形的对应边上的高对应相等全等三角形的对应角平分线相等全等三角形的对应中线相等全等三角形面积相等全等三角形周长相等以全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用性质中三角形全等是条件结论是对应角对应边相等而全等的判定却刚好