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1、学习必备 欢迎下载 三角形的边角关系 练习题 回顾：1、三角形的概念 定义：由_直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2、三角形的分类 按角分：锐角三角形三角形 直角三角形钝角三角形 按边分：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 3、三角形的重要线段 在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的_部。（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的_部。（3）_三角形的三条高的交点在三角形的内部；_三角形的三条高的交点是直角顶点；_三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。4、三角形
2、三边的关系 定理：三角形任意两边的和_第三边；推论：三角形任意两边的差_第三边；说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。5、三角形各角的关系 定理：三角形的内角和是_度；推论：（1）当有一个角是 90时，其余的两个角的和为 90；（2）三角形的任意一个外角_和它不相邻的两个内角的和。（3）三角形的任意一个外角_任意一个和它不相邻的内角。说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。三角形的计数 学习必备 欢迎下载 例 1 如图，平面上有 A、B、C、D、E五个点，其中 B、C、D及
3、 A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有（）A、4 个 B、6 个 C、8 个 D、10 个 解析：连接 AB、AD、BE、DE。课件出示答案：C。小结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法。举一反三：1、已知ABC是直角三角形，且BAC=30，直线 EF与ABC的两边 AC，AB分别交于点 M，N，那么CME+BNF=（）A、150 B、180 C、135 D、不能确定 解析：因为A=30，所以NMA+MNA=180-30=150，所以CME+BNF=NMA+MNA=150.故选 A.三角形的三边关系 例 2 边长为整数，周长为 20 的等腰三角形的个数是
4、。解析：根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式和方程，求出其中一边长的范围，再求其正整数解.形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形的重要线段在三角形中最重要的三种线段是三角形的中线三角形的角的三条高的交点在三角形的内部三角形的三条高的交点是直角顶点三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形三边的关系定理三角形任意两边的和第三边推论三角形任意两边的差第三边说明运用三角形中任意两边的和大角形的内角和是度推论当有一个角是时其余的两个角的和为三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和三
5、角形的任意一个外角任意一个和它不相邻的内角说明任一三角形中最多有三个锐角最少有两个锐角最多有一个钝角最多学习必备 欢迎下载 答案：解：设三角形三边分别为 a、b、c 且 abc，a+b+c=20，则 a7，又由 b+ca，得 a10，因此79a，可求出（a，b，c）为（9，9，2），（9，8，3），（9，7，4），（9，6，5），（8，8，4），（8，7，5），（8，6，6），（7，7，6），其中等腰三角形有（9，9，2），（8，8，4），（8，6，6），（7，7，6），所以填 4.小结：利用已知的等量关系及三角形的三边关系，建立不等式与方程，进而组成不等式与方程的混合组，求其正整数解.举一反
6、三：2、现有 3 cm，4 cm，7 cm，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）。A.1 B.2 C.3 D.4 三角形的内角和定理 例 3 已知三角形三个内角的度数之比是 x：y：z，且 x+yz，则这个三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 解析：设三角形三个内角为 x,y,z.根据三角形内角和定理，得 x+y+z=180，结合 x+yz，利用不等式的性质进行判断.答案：解：三角形的内角和为 180，设三角形三个内角为 x，y，z，则 x+y+z=180，又 x+yz，即180-z90，故这个三角形是钝角三
7、角形。故选C。小结：利用三角形内角和为 180建立等量关系是常用的解题方法。例 4 如图（1），有一个五角星形 ABCDE 图案，（1）你能说明A+B+C+D+E=180吗？（2）当 A点向下移动到 BE上 如图（2），上述结论是否仍然成立？（3）当 A点移到 BE的另一侧 如图（3），上述结论是否仍然成立？请说明理由。形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形的重要线段在三角形中最重要的三种线段是三角形的中线三角形的角的三条高的交点在三角形的内部三角形的三条高的交点是直角顶点三角形的三条高所在
8、直线的交点在三角形的外部三角形三边的关系定理三角形任意两边的和第三边推论三角形任意两边的差第三边说明运用三角形中任意两边的和大角形的内角和是度推论当有一个角是时其余的两个角的和为三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和三角形的任意一个外角任意一个和它不相邻的内角说明任一三角形中最多有三个锐角最少有两个锐角最多有一个钝角最多学习必备 欢迎下载 解析：（1）连接 CD，设 BD与 EC相交于 F，分别在ACD及BEF、CDF中运用三角形内角和定理.课件出示答案：（1）解：设 BD与 CE相交于 F点 在BEF中，B+E+1=180 又A+C=2 有1=2+D=A+C+D 所以 A+B+C+D+
9、E=180 解法二：解：（1）以题图（1）为例，说明如下：如图，连接 CD，设 BD与 EC相交于 F，在BEF中，B+E+3=180 在CDF中，1+2+4=180，所以B+E+3=1+2+4 所以B+E=1+2 在ACD中，A+ACD+ADF=180，即A+ACF+1+ADF+2=180，所以A+ACF+ADF+B+E=180 下一步（2）（3）：根据（1）的解答方法独立完成（2）和（3）的探索。小结：在解决新问题时，往往将其转化为比较熟悉的问题，再加以解决.（2）本例中出现的“对顶三角形”（如图），有如下结论：1+23+4.形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形三角形直角三角形钝角三角
10、形按边分三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形的重要线段在三角形中最重要的三种线段是三角形的中线三角形的角的三条高的交点在三角形的内部三角形的三条高的交点是直角顶点三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形三边的关系定理三角形任意两边的和第三边推论三角形任意两边的差第三边说明运用三角形中任意两边的和大角形的内角和是度推论当有一个角是时其余的两个角的和为三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和三角形的任意一个外角任意一个和它不相邻的内角说明任一三角形中最多有三个锐角最少有两个锐角最多有一个钝角最多学习必备 欢迎下载 举一反三 4 如图，BDC=98，C=
11、38，B=23，A的度数是（）A、61 B、60 C、37 D、39 解析：连接 AD并延长，可证明BDC=A+B+C,所以A=98-38-23=98-61=37.故选 C.三角形的外角和 例 5 如图 3-7，ABC 中，A、B、C的外角分别记为，若：=3：4：5，则 A：B：C=（）A、3：2：1 B、1：2：3 C、3：4：5 D、5：4：3 解析：设=3x,=4x,=5x,根据三角形的外角和等于 360列方程，再求A、B、C.答案：解：设=3x，=4x，=5x，则 形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三
12、角形等边三角形三角形的重要线段在三角形中最重要的三种线段是三角形的中线三角形的角的三条高的交点在三角形的内部三角形的三条高的交点是直角顶点三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形三边的关系定理三角形任意两边的和第三边推论三角形任意两边的差第三边说明运用三角形中任意两边的和大角形的内角和是度推论当有一个角是时其余的两个角的和为三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和三角形的任意一个外角任意一个和它不相邻的内角说明任一三角形中最多有三个锐角最少有两个锐角最多有一个钝角最多学习必备 欢迎下载 3x+4x+5x=360 解得 x=30 即：=90，=120，=150，所以A=180-=18
13、0-90=90，B=180-=180-120=60，C=180-=180-150=30 所以A：B：C=90：60：30=3：2：1 小结：（1）三角形的外角和等于 360；（2）方程思想是解决几何计算的常用方法.举一反三：5、将一副直角三角板如图 3-11放置，使含 30角的三角板的短直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合，则1 的度数为（）学生分小组来解决这道题目，老师给予适当的指导，最后来讲解一下。课件出示解析：145+3075.举一反三：6、如图 3-12所示，求A+B+C+D+E+F的度数。解析：设 BE、CF、AD 相互交于 G、H、K.因为在AFK 中，A+F+4=180,在
14、BCG 中，B+C+5=180,在EDH 中，D+E+6=180,所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540.又因为1+3+2180，14，25，36，所以A+F+B+C+D+E=360.形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形的重要线段在三角形中最重要的三种线段是三角形的中线三角形的角的三条高的交点在三角形的内部三角形的三条高的交点是直角顶点三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形三边的关系定理三角形任意两边的和第三边推论三角形任意两边的差第三边说明运用三角形中任意两边的
15、和大角形的内角和是度推论当有一个角是时其余的两个角的和为三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和三角形的任意一个外角任意一个和它不相邻的内角说明任一三角形中最多有三个锐角最少有两个锐角最多有一个钝角最多学习必备 欢迎下载 三角形与平行线的综合运用 例 6 如图，直线 ACBD，连接 AB，直线 AC,BD及线段 AB把平面分成、四部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点 P落在某个部分时，连接 PA,PB，构成PAC，APB，PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0角。）（1）当动点 P 落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点 P落在第部分时，A
16、PB=PAC+PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点 P 在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点 P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。解析：（1）延长 BP 交 AC 于点 E，运用平行线的性质和三角形内角和定理及推论；答案:（1）解法一：如图（1），延长 BP 交直线 AC 于点 E。ACBD，PEA=PBD APB=PAE+PEA APB=PAC+PBD 解法二：如图（2），过点 P 作 FPAC，PAC=APF，ACBD ，FPBD FPB=PBD APB=APF+FPB=PAC+PBD （2）不成立（3）运用平行线的性质或三角形内
17、角和定理的推论解决.（a）当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是PBD=PAC+APB 如图（3），连接 PA、PB，设 PB交 AC于 M，形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形的重要线段在三角形中最重要的三种线段是三角形的中线三角形的角的三条高的交点在三角形的内部三角形的三条高的交点是直角顶点三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形三边的关系定理三角形任意两边的和第三边推论三角形任意两边的差第三边说明运用三角形中任意两边的和大角形的内角和是度推论当有一个角是时其余的两个角的和
18、为三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和三角形的任意一个外角任意一个和它不相邻的内角说明任一三角形中最多有三个锐角最少有两个锐角最多有一个钝角最多学习必备 欢迎下载 ACBD，PMC=PBD。又 PMC=PAM+APM，PBD=PAC+APB （b）当动点 P 在射线 BA 上时，结论是PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD（任写一个即可）。证明：如图（4）点 P 在射线 BA 上，APB=0 ACBD ，PBD=PAC，PBD=PAC+APB或PAC=PBD+APB或APB=0，PAC=PBD。（c）当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是PAC=
19、APB+PBD。证明：如图（5），连接 PA、PB，设 PB 交 AC 于 F，ACBD，PFC=PBD，PAC=APF+PFA，PAC=APB+PBD。小结：解此类探索性命题的关键是由图形提供的信息，探索、猜想、归纳出点在不同位置上有关角之间的变化规律.形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形的重要线段在三角形中最重要的三种线段是三角形的中线三角形的角的三条高的交点在三角形的内部三角形的三条高的交点是直角顶点三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形三边的关系定理三角形任意两边的和第三边推论三角形任意两边的差第三边说明运用三角形中任意两边的和大角形的内角和是度推论当有一个角是时其余的两个角的和为三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和三角形的任意一个外角任意一个和它不相邻的内角说明任一三角形中最多有三个锐角最少有两个锐角最多有一个钝角最多