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1、重庆市第八中学重庆市第八中学 20222023 学年下期高学年下期高 2024 届届 7 月调研考试月调研考试数学试题数学试题一、单项选择题（本题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合2log2Axx，则RA（）A.0,4B.,04,C.0,1D.,01,2.设复数z满足1 2i5z，则z（）A.2B.12iC.2D.12i3.已知3sin65，则cos23（）.A.725B.725C.2425D.9254.已知随机变量X服从正态分布21,N，若00.2P X，则12PX（）A.0.2B.0.3C.0.6D.0.85.漳州某校为
2、加强校园安全管理，欲安排 12 名教师志愿者（含甲、乙、丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排 4 名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（）A.1213B.1113C.155D.3556.已知函数 3f xxxa的图像关于原点对称，则与曲线 yf x和214yx均相切的直线 l 有（）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条7.已知22231aabb，且21log1ab，则ab的取值范围是（）A.51,3B.51,4C.,1D.71,48.已知323 2ln32ln4,ln 3,eeMNP，则（）A.PNMB.NPMC.PMND.MNP二、多项选择题（本
3、题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分。）9.下列说法中正确的是（）A.若两个变量x y具有线性相关关系，则经验回归直线至少过一个样本点；B.在经验回归方程0.852yx 中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量 y平均减少 0.85 个单位；C.若某商品的销售量y（件）关于销售价格x（元/件）的经验回归方程为5350yx，则当销售价格为 10 元/件时，销售量一定为 300 件.D.线性经验回归方程ybxa一定过样本中心,x y.10.甲、乙、丙、丁、戊 5 人参加完某项活动后合影
4、留念，则（）.A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有 120 种排法B.5 人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有 24 种排法C.5 人站成一排，甲不在两端，共有 72 种排法D.5 人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有 78 种排法11.若方程ln1xxa x恰有一个实数根，则实数 a 的值为（）A.eB.eC.1D.112.已知定义域为R的函数 fx满足11fxf x ，fx的部分解析式为 21221,017log2,14xxxfxxx，则下列说法正确的是（）A.函数 fx在1 1,4 4上单调递减B.若函数 fx在0,n内满足 1f x 恒成立，则10,2nC.存在实
5、数k，使得 yf x的图象与直线ykx有 7 个交点D.已知方程 0f xm m的解为1234,x x x x，则123414xxxx三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13.已知:p关于x的方程20axbxc有两个异号实数根，:1q ac ，则p是q的_条件.14.用模型ebxya拟合一组数据组,1,2,7iix yi，其中1276xxx.设lnzy，变换后的线性回归方程为5zx，则127y yy_.15.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的 5 位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有 3位，另外一个小组有 2 位，则甲和乙分在不同小组的概率为_
6、.16.已知函数 1lnf xxmxx有三个零点，则实数 m 的取值范围是_.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分 10 分）设集合25,|1|21AxxBx mxm ,(1)若4m，求AB；(2)若BABI，求实数m的取值范围.18（本小题满分 12 分）已知函数 lnf xx.(1)求曲线 yf x在点1,0处的切线方程；(2)求函数 23g xf xxx的单调减区间和极小值.19（本小题满分 12 分）一个口袋中有 4 个白球，2 个黑球，每次从袋中取出一个球(1)若有放回的取 2 次球，求第二次取出的是黑球的概率；(2)
7、若不放回的取 2 次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；(3)若不放回的取 3 次球，求取出白球次数 X 的分布列及E X.20（本小题满分 12 分）已知 612fxx.(1)若 2701271x f xaa xa xa x，分别求出7a，71iia，71iiia的值；(2)求 fx的展开式中系数最大的项.21（本小题满分 12 分）第 40 届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一.其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”
8、，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取 7 家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：体验店ABCDEFG广告支出/万元3468111516销售额/万元6101517233845对进入 G 体验店的 400 名游客进行统计得知，其中女性游客有 280 人，女性游客中体验汉服的有 180 人，男性游客中没有体验汉服的有 80 人.(1)请将下列 22 列联表补充完整，依据小概率值0.001的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；性别是否体验汉服合计体验汉服没有体验汉服女180280男80合计40
9、0(2)设广告支出为变量 x（万元），销售额为变量 y（万元），根据统计数据计算相关系数 r，并据此说明可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系（若0.75r，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；(3)建立 y 关于 x 的经验回归方程，并预测广告支出为 18 万元时的销售额（精确到 0.1）.附：参考数据及公式：721727iix，7214648iiy，711827iiix y，143.74，103.17，72.64，相关系数1222211niiinniiiix ynx yrxnxyny，在线性回归方程中ybxa$中，1221niiiniix ynx ybxnx，aybx$.22n
10、adbcabcdacbd，nabcd.0.050.010.001x3.8416.63510.82822（本小题满分 12 分）已知函数21()ln12f xxxaxx有两个极值点12,x x，且12xx.(1)求1()f x的取值范围；(2)若122xx，证明：2128xx数学数学答案答案123456789101112BDBBDCBCBDBCDBCDBCD部分选择题解析：6.函数 3f xxxa的图像关于原点对称，则有 fxfx，即33xxaxxa ，解得0a，所以 3f xxx，由 231fxx，所以 yf x在点 11,xf x处的切线方程为 32111131yxxxxx，整理得23113
11、12yxxx.设 214g xx，直线 l 与 g x的图像相切于点22,x g x，因为 2gxx，所以切线方程为2222124yxxxx，整理得222124yx xx，则2123212312,12,4xxxx （*），整理得222343221111111131193229860224424xxxxxxxx，当2119860 xx时，284 9 60 ，方程有两个非零实数根，10 x 也满足方程，故1x有 3 个解，所以方程组（*）有 3 组解，故满足题中条件的直线 l 有 3 条.7.222331aabbabab，21log1ab，122ab，所以30ab，设,3abm abn，则1mn，
12、则 11113222abababmnmm，1,22m，由双钩函数的性质可得1ymm在1,12单调递减，在1,2上单调递增，min 1 12y ，12m 时，52y；m2 时，52y，ab的取值范围为：51,4.8.由2322eelnln3 2ln3ln32ln432,ln 3,eee3e23MNP，构造函数 ln(0)xF xxx，则 2ee,3,32MFNFPF.由 21lnxFxx可知：当0ex时，0,FFxx单调递增，当ex时，0,FxF x单调递减，当ex时，F x取得最大值1e.由 2ee0e,23F x在0,e单调递增可知：2ee23PFMF，即PM.由3e,在单调递减区间，令ln
13、xtx有两个解12x x，且12xx，则1211e,0,exx t，可得21212121lnlnlnlnxxxxtxxxx，得12121lntxxx x，令 21ln1xg xxx，则 22(1)(1)xgxx x，当1x 时 0,gxg x在1,上单调递增，当1x 时，10g xg，即1,x时，21ln1xxx.若21xxx，即212121lnln2xxxxxx，结合，得122lnttx x，则有212ex x.又2e1e3,3当21e3x 时，222ee3x，故23x，由 F x在e,单调递减知：212e33MFF xF xFN，即MN.故PMN.11.令()ln,0,f xxx x，则(
14、)ln1fxx，当10,ex时，()0fx，()f x单调递减，当1,ex时，()0fx，()f x单调递增，当1x 时，()0f x，当 x 趋向正无穷大时，()f x趋向正无穷，故作出()yf x的大致图象，如图所示：由题意，方程ln1xxa x恰有一个实数根，即函数()yf x的图象与直线1ya x的图象有一个公共点，易知点(1,0)为函数()yf x的图象与直线1ya x的公共点，又曲线()yf x在点(1,0)处的切线方程为1yx，所以1a，显然0a也成立，故实数 a 的值为1a 或0a，12.因为11fxf x ，所以函数 fx为奇函数，函数 fx的图象如图所示，对于选项 A，函数
15、在1 1,4 4上不单调，故 A 错误；对于选项 B，2112122121f，结合图象可知10,2n，故 B 正确：对于选项 C，令221xxkx，即22110 xkx，由2180k，解得2 21k 或2 21，将1,2代入ykx中，得到2k，分析可得，当2 212k 时，yf x的图象与直线ykx有 7 个交点，故 C 正确；对于选项 D，当方程 0f xm m的解为 4 个时，718m，不妨设1234xxxx，根据对称性可得2312xx.分析图象可知，当1m 时，方程 f xm的解为 3 个，1231519,828xxx，又因为11xx，43xx，所以123414xxxx，故 D 正确.1
16、3.必要不充分14.41e15.35/0.616.2,16.1lnf xxmxx，0,x，222111mxmxfxxxx，设21yxmx，24m，当0 时，210yxmx 恒成立，即 0fx恒成立，fx单调递增，不满足；故0，即m2或2m ，当2m 时，0fx在0,上恒成立，fx单调递增，不满足，故m2，现证明m2时满足条件：设方程的两个解为1x，2x，不妨取12xx，12121x xxxm，1201xx，当10,xx和2,xx时，()0fx，函数单调递增；当12,xx x时，0fx，函数单调递减；10f，故 10f x，20f x，当x趋近0时，fx趋近，当x趋近时，fx趋近，故 fx在10
17、,x和2,x 上分别有一个零点，满足条件.综上所述：实数 m 的取值范围是2,.故答案为：2,.17.（1）当4m 时，|57Bxx，|25,|27AxxABxx ；5 分（2）,BABBA，6 分当B 时，满足题意，此时1 21mm，解得2m；8 分当B 时，21215121mmmm 解得23m，9 分实数 m 的取值范围为,3.10 分18.（1）函数 ln,0f xx x，求导得 1,11fxfx，4 分所以曲线 yf x在点1,0处的切线方程为01yx，即10 xy.6 分（2）函数 223ln3,0g xf xxxxxx x，求导得 2211123123xxxxgxxxxx，8 分当
18、102x或1x 时，()0g x，当112x时，()0g x，因此函数()g x在1(0,),(1,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减，10 分所以函数()g x的单调减区间是1(,1)2，在1x 处取得极小值(1)2g.12 分19.（1）设iA“第i次取到白球”，iB“第i次取到黑球”，因为是有放回的取 2 次球，则每次都是从 6 个球中取球，每次取球的结果互不影响，所以221()63P B.3 分（2）问题相当于“从 3 个白球，2 个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以所求概率25P；6 分（3）不放回的依次取出 3 个球，则取到白球次数 X 的可能取值为 1，2，3，所以4
19、 2 1 31(1)6 5 45P X ；2 4 3 33(2)6 5 45P X ；4 3 21(3)6 5 45P X .9 分则 X 的分布列为：X123P153515故131()1232555E X .12 分20.（1）解：由 6270127112xxaa xa xa x，二项式61 2x的展开式的通项公式为16=C2,0,1,2,.,6rrrTxr，2 分则6676C 264a ，令0 x，得01a，3 分令1x，得017.0aaa，所以711iia，4 分由 6270127112xxaa xa xa x，求导得：56127581227xxa xa xa x，5 分令1x，得761
20、271273iiiaaaa；6 分（2）612fxx的展开式的通项公式为16=C2,0,1,2,.,6rrrTxr，设第 r+1 项为系数最大，则11661166C 2C2C 2C2rrrrrrrr，即 6!6!2!6!1!7!6!2 6!6!1!5!rrrrrrrr，9 分解得111433r，则4r，11 分所以 fx的展开式中系数最大的项是44456=C2240Txx.12 分21.（1）根据题意，列联表完成如下：性别是否体验汉服合计体验汉服没有体验汉服女180100280男4080120合计2201804002 分假设为0H：性别与体验汉服之间无关联.根据列联表数据，经计算得到220.0
21、01400180 80 100 4032.51610.828280 120 220 180 x，3 分根据小概率值0.001的独立性检验，推断0H不成立.即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001.4 分（2）由数据可知，因为3468 11 15 1697x，61015 17233845227y，6 分171122222277718277 9 2244116012607277 9464872277iiiiiiix yx yrxxyy 4410.98120 14，因为0.980.75，7 分所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.8 分（3）由数据
22、及公式可得：17122774412.81607iiiiix yx ybxx，9 分2222.8 93.aybx，10 分故y关于x的经验回归方程为2.83.2 yx，11 分当18x 万元时，销售额预计为22.8 183.247.y 万元.12 分22.（1）()lnfxxax在0,上有两个变号零点，即lnxax有两个不等实根，设 2ln1 ln,xxg xgxxx，当0ex时，()0g x，当ex时，()0g x，则 g x在0,e上单调递增，在e,上单调递减，max1()eg x，而 10g，且当1x，恒有 0g x 成立，于是10ea，且121xex，即有 2111111ln12f xx
23、xaxx，又11lnxax，则21111111111ln11ln1ln122xfxxxxxxxxx，令 1ln1,1,e2h xx xxx，求导得 1ln102h xx，即 h x在1,e上单调递减，从而 e(1,0)2h x，所以 1e(1,0)2f x.4 分（2）由（1）知，方程ln0 xax的两个实根12,x x，即1122ln,lnxaxxax，亦即2121lnlnxxa xx，从而2121lnlnxxaxx，设21xtx，又1202xx，即2t，要证2128xx，即证123ln2ln2lnxx，即证123ln22axax，即证2123ln2axx，即证212121lnln23ln2xxxxxx，即证2211212ln3ln2xxxxxx，即证22121121ln3ln21xxxxxx，即证21ln3ln21ttt，令 212ln321ln,(2),(2)1(1)tttttt ttttt，设 222111112ln3,(2),20ttF ttttFttttt，则 F t在2,上单调递增，有 32ln202F tF，于是 0t，即有 t在2,上单调递增，因此 23ln2t，即21ln3ln21ttt，所以2128xx成立.12 分