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1、学习必备 欢迎下载 正弦定理教学设计 一、教学内容分析（一）课标分析 对于本节内容，课标要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题”，根据课标的这一要求，本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索，去寻找一般三角形中边、角关系的准确量化关系正弦定理。对于正弦定理的发现，首先要引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边。角关系准确量化的表示。对于此问题，首先研究比较特殊的直角三角形，这样就比较自然地引导到锐角三角函数，证明直角三角形中的正弦定理，进而利用锐角三角形中通一条高的不同表示，证明锐
2、角三角形中的正弦定理；对于钝角三角形则课留给学生自己仿造前面的方法探究得到。（二）教材分析 本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修 5（人教 A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用。本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判断三角形的全等都有密切的联系，解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的位置。根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实
3、际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。二、学情分析 对于高一的学生来说，以前，学生已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力。对于有关三角形边角关系的感性认识，即任意三角形中大边对大角，小边对小角的边
4、角关系，并且在初中比较深刻地研究了直角三角形中的边与边得关系，即勾股定理，但对三角形中边与角的关系的准确量化还缺乏认识。虽然学生能利用高中必修 1 学习的三角函数的定义及变换公式表示直角三角形中边与角的正弦、余弦的关系，但表达出的关系不具有简洁对称性，特别是学生对于一般三角形中的边与角的关系有直观表象上升到抽象公式还有相当大的难度。为此，本节应将正弦定理的形成过程充分底展示给学生，让学生充分地领会从特殊到一般，从直观到抽象的知识形成过程，这也就决定了本节内容的教学要在教师的引导下放手让学生讨论、探究、猜想及论证。带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、教法分析 根据教材的内
5、容和编排的特点，为了更有效地突出重点，突破难点，本节应采用以教师为主导，学生为主体，师生互动的“互助探究”的教学方法，和层层设问“问题驱动”的教学模式。，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，逐步得到深化。学习必备 欢迎下载（1）突破重点的手段，抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，使他们知难而进。另外，抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在以学生为主体的前提下给予适当的提示和指导。（2）突破难点
6、的方法：抓住学生的能力实践，联系方法与技能，使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点。四、学法指导 指导学生掌握“观察类比猜想证明应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究中。让学生在问题情境中学习，并观察、类比、思考、探究、概括、动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生有特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。五、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本
7、探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。六、教学目标：知识与技能 1掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。过程与方法 1让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦
8、定理解决解斜三角形的两类基本问题。2通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。情感、态度与价值观 1通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。2培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。七、教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。八、
9、教学过程：（一）回忆知识，巩固基础 1在ABC 中，ABC ，2222ABC。2在 RtABC 中，2C，则sinaAc，sinbBc.3三角形分类：按三个角的特点分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形按边长特点分为等腰三角形、等边三角形、非等腰三角形 角度关系的探索掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题根据课标的这一要求本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索去寻找一般三角形中边角关系的准确量化关系正弦定理对于正弦定理的发现首先要的表示对于此问题首先研究比较特殊的直角三角形这样就比较自然地引导到锐角三角函数证明直角三角形中的正弦定理进而利用锐角三角形中通一条高的不同表示证
10、明锐角三角形中的正弦定理对于钝角三角形则课留给学生自己仿造一课时是在高一学生学习了三角等知识之后显然是对三角知识的应用本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系判断三角形的全等都有密切的联系解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连两个定理在日常生活和工业生产学习必备 欢迎下载 A B C 4在三角形中有：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；大角对大边，小角对小边。（二）导入新课，激发兴趣 教师：在河两岸有三处标志性建筑物，不过河，能否知道 AB之间的距离。学生：思考提出测量角 A，C 及 AC的距离。教 师：若 已 知 测 得75BAC，45ACB，300 3AC，你能解决吗？教
11、师：如何解决此类问题，大家可以课后用初中所学的方法试着求解一下，今天我们学习为了简捷解决此类问题的知识。（三）温故知新，提出猜想 大家首先回忆来初中所学的知识：在Rt ABC中，C为直角，A，B，C的对边分别为a，b，c。由锐角三角函数的定义，你能写出sin A和sin B吗？（引导学生自己写出来）sinaAc，sinbBc，因为两式中的c是相同的，于是发现sinsinabcAB，因为90C ，所以sin1C，上式可拓展为sinsinsinabcABC。此结论在直角三角形中成立，在其他一般的三角形中是否成立呢？（四）验证猜想，获得新知 当ABC是锐角三角形时，我们可以添加三角形的高，化归为直角
12、三角形，如图，CD是AB 边 上 的 高，在Rt BCD中，s i nCDBa，有s i nC DaB，在R t A C D中sinCDAb，有s i nC D bA，于是sinsinaBbA，写成比例式sinsinabAB。同理，添加 BC边上的高，可得sinCsincbB，所以锐角三角形中，总有sinsinsinabcABC。我们运用转化的思想，把锐角三角形问题，转化到直角三角形中。当ABC时钝角三角形时，设C为钝角，过 A做 BC边上的高 AD，交 BC 的延长线于 D，在Rt ABD中，sinADBc，有s i nA DcB，在R tA C中sinsinCADACDb，有s i n C
13、A Db，于 是sinsincBbC，写成比例式sinsinbcBC。同理，作AC边上的高，可得sinCsinAca，于是钝角三角形中，总有sinsinsinabcABC。通过分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况讨论，我们发现三角形中，各边DCBADCBA角度关系的探索掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题根据课标的这一要求本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索去寻找一般三角形中边角关系的准确量化关系正弦定理对于正弦定理的发现首先要的表示对于此问题首先研究比较特殊的直角三角形这样就比较自然地引导到锐角三角函数证明直角三角形中的正弦定理进而利用锐角三角形中通一条高的
14、不同表示证明锐角三角形中的正弦定理对于钝角三角形则课留给学生自己仿造一课时是在高一学生学习了三角等知识之后显然是对三角知识的应用本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系判断三角形的全等都有密切的联系解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连两个定理在日常生活和工业生产学习必备 欢迎下载 和它对角的正弦的比值相等，即sinsinsinabcABC。还有其它证明方法吗？（让学生相互讨论，思考，教师的引导，可以得到以下一些方法）法二：（等积法）对于任意ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：111222ABCSAC BDCB AEBA CF，而 由 图 中 可 以 看 出：sinBDBACAB，s
15、inAEACBAC，sinCFABCBC sinBDABBAC，sinAEACACB，sinCFBCABC 111222ABCSAC BDCB AEBA CF 111sinsinsin222AC ABBACCB CAACBBA BCABC 111sinsinsin222b cBACa bACBc aABC 等式111sinsinsin222bcBACa bAC BcaABC中 均除以abc21后 可得sinsinsinBACABCACBabc，即sinsinsinabcBACABCACB。教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高sinsinAEcABCaA
16、BC，三角形的面积：12ABCSa AE，能否得到新面积公式 学生：111sinsinsin222ABCSbcBACabACBcaABC 得到三角形面积公式111sinsinsin222ABCSabCcaBbcA 还有其他的证明方法吗？法三：（外接圆法）比如：sinaA、sinbB、sincC都等于同一个比值k，那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？学生：在前面的检验中，Rt ABC中，sinsinsinabccABC，c恰为外接接圆的直径，即2ckR，所以作ABC的外接圆O，O为圆心，连接BO并延长交圆O于B，把一般三角形转化为直角三角形。证明：连续BO并延长交圆于B 90B
17、AB，BC cbaFEDCBA角度关系的探索掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题根据课标的这一要求本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索去寻找一般三角形中边角关系的准确量化关系正弦定理对于正弦定理的发现首先要的表示对于此问题首先研究比较特殊的直角三角形这样就比较自然地引导到锐角三角函数证明直角三角形中的正弦定理进而利用锐角三角形中通一条高的不同表示证明锐角三角形中的正弦定理对于钝角三角形则课留给学生自己仿造一课时是在高一学生学习了三角等知识之后显然是对三角知识的应用本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系判断三角形的全等都有密切的联系解三角形问题与前面所学三角函数也
18、紧密相连两个定理在日常生活和工业生产学习必备 欢迎下载 在Rt B AB中，sinABB BB 2sinsinABABB BRBC 即2sincRC 同理可证：2sinaRA，2sinbRB 2sinsinsinabcRABC 教师：从刚才的证明过程中,2sinsinsinabcRABC，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理。教师：能否利用其他知识来证明正弦定理？在对必修 4 的学习中曾说过，平面向量是我们数学中的一种工具，能否利用向量积来证明正弦定理呢？法四：（向量法）在锐角三角形ABC中，ABBCAC，作单位向
19、量i垂直于AC，AC iAB iBC i 即0cos(90)cos(90)cAaC sinsin0cA aC sinsincaCA 同理：sinsinbaBA sinsinsinabcABC 对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。法五：（坐标法）建立直角坐标系，借助三角函数定义进行证明，在如图所示的直角坐标系中，点 B，C的坐标分别为(cos,sin)B cA cA，(,0)C b，于是1sin2ABCSbcA，同理11sinsin22ABCSabCacB，从 而 可 证 明sinsinsinabcABC。（五）巩固训练，深化提高 一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，
20、b，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。在三角形中，根据已知条件，共有以下几种类型：已知三个角（根据初中所有的知识B/CBAcbaCBA Oyx角度关系的探索掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题根据课标的这一要求本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索去寻找一般三角形中边角关系的准确量化关系正弦定理对于正弦定理的发现首先要的表示对于此问题首先研究比较特殊的直角三角形这样就比较自然地引导到锐角三角函数证明直角三角形中的正弦定理进而利用锐角三角形中通一条高的不同表示证明锐角三角形中的正弦定理对于钝角三角形则课留给学生自己仿造一课时是在高一学
21、生学习了三角等知识之后显然是对三角知识的应用本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系判断三角形的全等都有密切的联系解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连两个定理在日常生活和工业生产学习必备 欢迎下载 可知，这样的三角形有无数多个，无法确定三角形，此类问题不属于我们要解决的解三角形的问题）；已知一边两角；已知两边一角；已知三边。（1）对于已知一边两角问题，不管是哪两个角，我们都可以利用三角形内角和公式，求出第三个角，然后利用正弦定理求出另外两边。例 1：在ABC中，已知30A，45B ，6acm，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为180求出第三个
22、角C，再由正弦定理求其他两边。巩固练习：（2）如果已知两边与其中一边的对角 例 2：在ABC中，已知2 2a，2 3b，45A，解三角形。分析“已知三角形中两边与其中一边的对角，求其他元素”，第一步可由正弦定理求出第二个角B，再利用三角形内角和为180求出第三个角C，最后再利用正弦定理求出第三边。但在解决本题时要注意，求B 时，因为已知ba，可知045B，因此060B 和0120B 都符合这一条件，故有两种情况，最后的结论也要分情况写清楚。巩固练习：第 4 页（练习第 1、2 题）（六）改变条件，反思问题 思考：如果已知两边及其角，怎么解三角形呢？（课后思考）（七）归纳小结，回顾新知 1本节通
23、过探究，发现了三角形一个重要性质正弦定理（任意三角形的各边和它所对角的正弦的比相等，都等于该三角形外接圆的直径）。2利用正弦定理能够解决三角形中的两类问题：（1）已知一边两角；（2）已知两边一对角。3我们本节课在解决数学问题中，主要利用了数形结合与分类讨论的数学思想。（八）作业设计 作业：第 10 页（习题 1.1A 组第 1、2 题）。思考题：（1）例 2 中2 3b 分别改为2 6b，5b，并解三角形。（2）已知两边夹角，如何求解三角形。九、设计思路：本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察实验归纳猜想证明
24、”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。1利用实际，激发兴趣 兴趣是学生学习最重要的动机之一，利用现实生活的实际，学生希望能够解决现实问题，激发了学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，以及学习能够解决问题的知识，学生的学习兴趣会更浓，学习效率会更高。2证明猜想，得出定理 引导启发学生从多角度思考，合作讨论，进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解角度关系的探索掌握正弦定理并能
25、解决一些简单的三角形度量问题根据课标的这一要求本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索去寻找一般三角形中边角关系的准确量化关系正弦定理对于正弦定理的发现首先要的表示对于此问题首先研究比较特殊的直角三角形这样就比较自然地引导到锐角三角函数证明直角三角形中的正弦定理进而利用锐角三角形中通一条高的不同表示证明锐角三角形中的正弦定理对于钝角三角形则课留给学生自己仿造一课时是在高一学生学习了三角等知识之后显然是对三角知识的应用本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系判断三角形的全等都有密切的联系解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连两个定理在日常生活和工业生产学习必备 欢迎下载 决问
26、题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。角度关系的探索掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题根据课标的这一要求本节内容的教学应首先着眼于通过对一般三角形中边角的探索去寻找一般三角形中边角关系的准确量化关系正弦定理对于正弦定理的发现首先要的表示对于此问题首先研究比较特殊的直角三角形这样就比较自然地引导到锐角三角函数证明直角三角形中的正弦定理进而利用锐角三角形中通一条高的不同表示证明锐角三角形中的正弦定理对于钝角三角形则课留给学生自己仿造一课时是在高一学生学习了三角等知识之后显然是对三角知识的应用本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系判断三角形的全等都有密切的联系解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连两个定理在日常生活和工业生产