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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合4 =-1,0,1,2 ,8 =x|y =l g（l-x）,则（）A.2 B.-1,0 C.-1 D.-1,0,1）2 .已知将函数/（x）=s
2、i n（s+。）（0（o 0,B=xlog2X在AA3C中,荏=2万,网叫回,若丽./=9而则实数几=（）A.瓜L -3B 623D-T12.设龙，万均为非零的平面向量,则”存在负数2,使得比=4万”是“使拓0”的充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.已知函数/(X)=ACOS2(71S +)+1 A0,co0,0(p b 0)的离心率为弓，直线/：x+y-的=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.A为左顶点，过点G(l,0)的直线交椭圆T 于 8,C两点，直线A B,AC分别交直线尤=4于 M
3、,N 两点.(1)求椭圆T的方程；(2)以线段M N为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.1 9.(1 2分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内1 0 0天的空气质量指数(A Q I)的检测数据，结果统计如下：A QI0,5 0(5 0,1 0 0(1 0 0,1 5 0(1 5 0,2 0 0(2 0 0,2 5 0(2 5 0,3 0()空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61 41 82 72 510(1)从空气质量指数属于 0,5 0 ,(5(),HX)的天数中任取3
4、天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；0,&1 0 0,(2)已知某企业每天的经济损失 (单位：元)与空气质量指数1的关系式为y=2 2 0,1 0 0%,2 5 0,试估计该1 4 8 0,2 5 0 0,得 X 1,则集合 3 =x|X 0,则 g(x)=/()=(l x)(l+x)x4=(l-x2)x4|-.3.,.?(X)=(1-X2)/=1X(2-2X2)XJC2XX2_L平面A D E/,且交线为AO,A B r A D,C D A D,所以A B,平面ADEV,CD_L平面所以/BMA和NC0D分 别 是 直 线 与 平 面4).所 成 的 角，所以/BM4=NCM D,所
5、以tanZBM4=tanZOW D,即丝=丝，所以加=2AM.以A为原点建立平面直角坐标系如下图所示，贝UAM MDA(0,0),0(6,0),设M(x,y)(点 M 在第一象限内)，由 MD=2AM得MD?即(x-6)2 +y2=4(f +y 2),化简得(x+2p+y2=42,由于点 在第一象限内，所以“点的轨迹是以G(-2,0)为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分.令x=0代入原的方程，解得了 =2 6,故(0,20)，由于GA=2,所以TT TT 4 乃Z H G A =,所以点”的轨迹长度为土x4=.3 3 3故选：Cy【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法
6、，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.9.D【解析】求出复数，在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数z=l 在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.10.D【解析】求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简5,然后利用补集与交集的运算得答案.【详解】解：i x2+2x-80,得 xV4 或 x2,AA=x|x2+2x-80=x|x2,由/ogMVl,x 0,得 0VxV2,：.B=xlog2xl=x|0 x2,则 A =x|-4W xW 2,.&A)W(O,2).
7、故选：D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.11.D【解析】将 A。、或 用 血、了弓表示，再 代 入,瓦 衣=9%5 A 中计算即可.【详解】由 函+丽+0 心=6，知。为 AA3C的重心，所以=豆+AC)=(而+正)，又 屈=2 西，所 以 或=恁 一 4 后=恁 一 /豆，9 A O-E C =3(AB+A C y(A C-A B)=A B A C-2A B2+3 A C2=A B A C 所以2通 2 =3配 二 石器=J =故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12.B【解析】根据充分
8、条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.【详解】因为历，万均为非零的平面向量，存在负数4,使得庆=彳万，所以向量玩，万共线且方向相反，所以庆力 0,即充分性成立；反之，当向量成，万的夹角为钝角时，满足比无 0,但此时比，万不共线且反向，所以必要性不成立.所以“存在负数X,使得比=2”是“in n 0”的充分不必要条件.故选B.【点睛】判 断 p 是 q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q；二是由条件q 能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.4
9、0 3 0A +l=3A A/(0)=-cos2 +y+l =0,T兀9,2 2 a)A A【解析】.f(x)=A cos2(aix +0)+1 =5 c o s(2 +2 0)+1,由题意，得 A =2解得则/e s g x+9 +2 =2 T i n表 的 周 期 为4,K/(0)=2,/(1)=1,/(2)=2,/(3)=3,所4=、乃以/(I)+/(2)+/(3)+-+/(2 O 1 5)=5 O 3 x 8 +/(l)+/(2)+/(3)=4 0 3 0.考点：三角函数的图像与性质.1 4.0.1 8【解析】根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C
10、的概率即可求解.【详解】由表中信息可知，A胜C的概率为0.3;若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5 x 0.4 =0.2；若D进入决赛，D胜B的概率为0.5,则A胜D的概率为0.5 x 0.8 =0.4；由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P =0.3 X(0.5 X 0.4+0.5 X0.8)=0.1 8.故答案为：0.1 8【点睛】本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.”4 21 5.-n3【解析】由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.【详解】设所给半球的
11、半径为R,则四棱锥的高/z =R,则A B =80=8=04=0/?，由 四 棱 锥 的 体 积 =；（正/?了 Rn R =及，半球的体积为：2万 斤=逑.3 3【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列 方 程（组）求解.1 6.-6【解析】由向量平行的坐标表示得出-2机-4 x 3 =0,求解即可得出答案.【详解】因 为 所 以 一 2L4X3=0,解得机=-6.
12、故答案为：-6【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1）472（2）（x-i y+（y-3）2=2.【解析】（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为V +y 2=8 y,当时，线段A3取得最小值，利用几何法求弦长即可.（2）当 点 用 与 点P不重合时，设M（x,y）,由C?M利用向量的数量积等于0可求解，最后验证当点与点P重合时也满足.【详解】解（1）曲线G的方程化成直角坐标方程为V +y 2 =8 y即 犬+（），-4=1 6,圆心G（，4），半径r =4,曲线G为过定点P（2,2）的直线，易知P(2
13、,2)在圆G内,当 P C21 A B 时，线段A B长最小为2 Jr2 T p e=2,16 一 (2 O+(2 4月 二，垃(2)当点M与点P不重合时，设M(x,C2M P M,：.C2MP M=x(x 2)+(y 4)(y 2)=0,化简得：(X-1)2+(1)2=2,当点”与点p重合时，也满足上式,故点M的轨迹方程为(尤一 1)2+(y-3)2=2.【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.2 218.(1)亍+、=1；(2)是，定点坐标为(7,0)或(1,0)【解析】(1)根据相切得到匕=6,根据离心率得到。=2,得到椭圆方程.
14、(2)设直线8C的方程为X =ty+1,点8、C的坐标分别为(玉,弘)，(马,必)，联立方程得到X+为9-T-.计算点M的 坐 标 为4,3厂+4 I6乂、%+2,点N的坐标为(4,芈；I Z+2J,圆的方程可化为6t3产+4(x-4)(x-4)+/+6/y-9=0,得到答案.【详解】(1)根据题意：b胃四=百 因 为5=用7 =曰所以 2 2 2所以椭圆T的方程为L+2 1 =i.4 3(2)设直线8C的方程为x=)+l,点3、C的坐标分别为(石,%)，(%,%)，把直线B C的方程代入椭圆方程化简得到(3/+4)/+6 ty-9 =0,宙1、1 6t 9所 以 乂+%=一 仃，.=一二所
15、以%赴=必必+（弘+必）+14-12r3r+4玉 +1 +)2 +1 =83r+4因为直线AB的斜率%=所 以 直 线”的方程y=（，+2）,6%+6%=6%+6%=3%+1 8(y+为)=_6/%1 +2 X2+2。1+3 ty2+3 f2yly2+3，(M+%)+9所以圆的方程可化为(1-4)(%-4)+9+6 7 9=0,令y=0,则有(4y=9,所以定点坐标为（7,0）或（1,0）.【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2319.（1）（2）9060 元114【解析】（1）根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；（2）任选一天，设该天的
16、经济损失为X元，分别求出P（X=0）,尸（X=220）,P（X=1480）,进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【详解】解：（1）设4为选取的3天中空气质量为优的天数，则P传.土 尸 心 小。传=3）=兽+等=养C20 C2 0 U-（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0,220,1480,P（X=0）=P（O：100）20 _ 1100-5P(X=220)=P(100,250)70 _ 71GO-1OP(X =1 4 8 0)=P(2 5 0 X,3 0 0)=1 0 11 0 0-1 0*1 7 1所以 E X=0 x +2 2 0 x +1 4
17、8 0 x =3 0 2 (元)，5 1 0 1 0故该企业一个月的经济损失的数学期望为3 0 X=9 0 6 0 (元).【点 睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.2 0.(1)a W 2 e 1 (2)0,X X所 以g(x)在 1,+0。)上 单 调 递 增,所 以g(X)m i n =g 6 =2e-1,所 以a 4 2 e l.(2)当 a=l 时，/(%)=nx-xeA+x(x 0).则/(x)=J (x+l)e*+l =(x +l)J-e,令 m(x)=-ev,则 加(x)=-y 0,帆(1)0满 足 加(毛)=0,即 源=.当(0,尤0)时，2(x
18、)0,fx)0；当6(%,+00)时，m(x)0,f(x),./3，P).在 /蚀 中，由勾股定理得P D _ L A P,平面 Q4 6,即可得PD LPB；(2)以P为坐标原点建立空间直角坐标系，由 空 间 向 量 法 和 异 面 直 线 与C E所 成 角 的 余 弦 值 为 巫，得点M的5坐标，从而求出二面角A B P的余弦值.【详解】(1).平面 A B C D J平面 PAO，平面 A BC)n 平面 PAD=AO，性质定理得AB,平面/.A 6J _P。，在MAD中，A P =：s i n/A O P =工 s i n/A P Q,2Z A P D =90,即 P D_L A P,.P D，平面：.PD PB.(2)以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(h )(Ji i _ (h iE ,0,0,设 A/a,c i,a()W a W 1),则 B M a,一0,h0,所以一b+f4a.4(当且仅当b一 二4一aa h a b4 8即=力=一 时等号成立),3 3所 吟5+却 也a h,x(5 +4)=；2(2)证明:a b2A1 14+-+-a b22因为a+0=4故 I a)2+【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.