概率的综合运用（解析版）公开课教案教学设计课件资料.pdf

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1、第 0 3讲 概 率 的 综 合 运 用【知 识 点 梳 理】知 识 点 1.古 典 概 型(1)古 典 概 型 考 察 这 些 试 验 的 共 同 特 征，就 是 要 看 它 们 的 样 本 点 及 样 本 空 间 有 哪 些 共 性.可 以 发 现，它 们 具 有 如 下 共 同 特 征：有 限 性：样 本 空 间 的 样 本 点 只 有 有 限 个；等 可 能 性：每 个 样 本 点 发 生 的 可 能 性 相 等.我 们 将 具 有 以 上 两 个 特 征 的 试 验 称 为 古 典 概 型 试 验，其 数 学 模 型 称 为 古 典 概 率 模 型(classical models

2、ofprobability),简 称 古 典 概 型.(2)概 率 公 式 一 般 地，设 试 验 E 是 古 典 概 型，样 本 空 间。包 含 个 样 本 点，事 件 A 包 含 其 中 的 k 个 样 本 点，则 定 义 事 件 A 的 概 率 其 中，“(A)和“(Q)分 别 表 示 事 件 A 和 样 本 空 间 Q 包 含 的 样 本 点 个 数.知 识 点 2.概 率 的 基 本 性 质 一 般 地，概 率 有 如 下 性 质：性 质 1：对 任 意 的 事 件 A,都 有 P(A)K).性 质 2：必 然 事 件 的 概 率 为 1,不 可 能 事 件 的 概 率 为 0,即

3、P(Q)=1,P(0)=O.性 质 3：如 果 事 件 A 与 事 件 8 互 斥，那 么 P(AUB)=P(A)+P(B).性 质 4：如 果 事 件 A 与 事 件 B 互 为 对 立 事 件，那 么 P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性 质 5：如 果 A U B,那 么 P(A)WP(B).性 质 6：设 A,B 是 一 个 随 机 试 验 中 的 两 个 事 件，我 们 有 P(A U B)=P(A)+P(B)-P(ACB).知 识 点 3.事 件 4 与 8 相 互 独 立 对 任 意 两 个 事 件 A 与 8,如 果 P(AB)=P(A)P(B)成 立，则 称 事

4、 件 A 与 事 件 B 相 互 独 立，简 称 为 独 立.(1)事 件 A 与 B 是 相 互 独 立 的，那 么 A 与 瓦 月 与 B,彳 与 心 也 是 否 相 互 独 立.（2）相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率：P（A8）=P（A）P（8）.【题 型 归 纳 目 录】题 型 一：古 典 概 型 题 型 二：概 率 的 基 本 性 质 题 型 三：事 件 的 独 立 性 题 型 四：随 机 模 拟 题 型 五：概 率 的 综 合 运 用【典 型 例 题】题 型 一：古 典 概 型 例 I.（2022.上 海 市 建 平 中 学 高 二 阶 段 练 习）将 一 颗 质

5、 地 均 匀 的 骰 子 先 后 抛 掷 两 次，观 察 向 上 的 点 数，则 点 数 和 为 6 的 概 率 为（）1 c 5 c 1-7A.B.C.-D.9 36 6 36【答 案】B【解 析】【分 析】分 别 求 得 基 本 事 件 的 总 数 和 点 数 和 为 6 的 事 件 数，由 古 典 概 率 的 计 算 公 式 可 得 所 求 值.【详 解】解：一 颗 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 先 后 抛 掷 2 次，可 得 基 本 事 件 的 总 数 为 6x6=36种，而 点 数 和 为 6 的 事 件 为（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5）共 5 种，

6、则 点 数 和 为 6 的 概 率 为 尸=堤.36故 选：B.例 2.（2022.广 西 昭 平 中 学 高 二 阶 段 练 习（理）先 后 两 次 抛 掷 同 一 个 骰 子，将 得 到 的 点 数 分 别 记 为。，b,则 a,b,3 能 够 构 成 等 腰 三 角 形 的 概 率 是（）1 n 1 C 13 7A.一 B.-C.D.6 3 36 18【答 案】C【解 析】【分 析】由 已 知，先 求 解 基 本 事 件 总 数，然 后 再 分 别 列 出 满 足 三 角 形 为 等 腰 三 角 形 的 情 况，然 后 按 照 古 典 概 型 的 计算 方 法 进 行 计 算 即 可.【

7、详 解】由 已 知，先 后 两 次 抛 掷 同 一 个 骰 子，事 件 总 数 为 36,当 时，=3时，符 合 要 求，有 1种 情 况；当。=2 时，。=2,3时，符 合 要 求，有 2 种 情 况；当。=3时,b=l,2,3,4,5时,符 合 要 求,有 5种 情 况;当。=4 时,b=3,4时,符 合 要 求，有 2 种 情 况;当 a=5时，6=3,5时，符 合 要 求，有 2 种 情 况；当。=6 时，6=6 时，符 合 要 求，有 1种 情 况：所 以 能 够 构 成 等 腰 三 角 形 的 共 有 14种 情 况，因 此 所 求 概 率 为：弓 13.36故 选：C.例 3.（

8、2022.福 建 厦 门 一 中 高 一 阶 段 练 习）投 掷 两 枚 骰 子，分 别 得 到 点 数 a,b,向 量（。力）与 向 量 的 夹 角 为 锐 角 的 概 率 为（）A.!B.C.D.2 3 12 12【答 案】C【解 析】【分 析】由 向 量 夹 角 公 式 可 得，向 量（。山）与 向 量 的 夹 角 为 锐 角 得 到。匕，利 用 列 举 法 和 古 典 概 型 即 可 得 到 所 求 概 率.【详 解】设 向 量（。,讣 向 量（I）的 夹 角 为 凡 则 c。电 袈 晶=方 3r又 因 为 向 量（a,b）与 向 量 的 夹 角 为 锐 角，则 c o s e 0 n

9、 a-A a b；可 知，投 掷 两 枚 骰 子，分 别 得 到 点 数，人 共 有 36种 等 可 能 情 况；当 a 6 时，即 有：。=1 时，。=2,3,4,5,6,有 5种 情 况；a=2时，6=3,4,5,6,有 4 种 情 况；a=3时，b=4,5,6,有 3种 情 况;。=4时，6=5,6,有 2 种 情 况；。=5 时，b=6,有 1种 情 况；所 以 a b,共 有 1+2+3+4+5=15种 等 可 能 情 况，则 向 量（a力）与 向 量（I）的 夹 角 为 锐 角 的 概 率 工 36 12故 选：C.例 4.（2022全 国 高 一 课 前 预 习）有 红、黄、蓝

10、三 种 颜 色 的 旗 帜 各 3面，在 每 种 颜 色 的 3面 旗 帜 上 分 别 标 上 号 码 1、2和 3,现 任 取 3 面，事 件”三 面 旗 帜 的 颜 色 与 号 码 均 不 相 同”所 包 含 的 样 本 点 的 个 数 是.【答 案】6【解 析】【分 析】用 列 举 法 列 举 基 本 事 件，即 可 得 到 答 案.【详 解】把 基 本 事 件 列 举 出 来 有：（红 1,黄 2,蓝 3）,（红 1,黄 3,蓝 2）,（红 2,有 1,蓝 3）,（红 2,黄 3,蓝 1）,（红 3,黄 1,蓝 2）,（红 3,黄 2,蓝 1）.一 共 有 6 种 情 况.故 答 案

11、为：6例 5.（2022 安 徽 合 肥 市 第 六 中 学 模 拟 预 测（理）“田 忌 赛 马”的 故 事 千 古 流 传，故 事 大 意 是：在 古 代 齐 国，马 匹 按 奔 跑 的 速 度 分 为 上、中、下 三 等.一 天，齐 王 找 田 忌 赛 马，两 人 都 从 上、中、下 三 等 马 中 各 派 出 一 匹 马，每 匹 马 都 各 赛 一 局，采 取 三 局 两 胜 制.已 知 田 忌 每 个 等 次 的 马，比 齐 王 同 等 次 的 马 慢，但 比 齐 王 较 低 等 次 的 马 快.若 田 忌 事 先 打 探 到 齐 王 第 一 场 比 赛 会 派 出 上 等 马，田

12、忌 为 使 自 己 获 胜 的 概 率 最 大，采 取 了 相 应 的 策 略，则 其 获 胜 的 概 率 最 大 为.【答 案】#0.5【解 析】【分 析】设 齐 王 有 上、中、下 三 等 的 三 匹 马 A、B、C,田 忌 有 上、中、下 三 等 的 三 匹 马。、b、c,列 举 出 所 有 比 赛 的 情 况，以 及 齐 王 第 一 场 比 赛 会 派 出 上 等 马 的 比 赛 情 况 和 田 忌 使 自 己 获 胜 时 比 赛 的 情 况，结 合 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 所 求 事 件 的 概 率.【详 解】设 齐 王 有 上、中、下 三 等 的 三 匹 马

13、 A、B、C,田 忌 有 上、中、下 三 等 的 三 匹 马 a、b、c,所 有 比 赛 的 方 式 有：Aa B b、Cc；Aa Be、Cb；A b、Ba Cc；Ab.Be、Ca；Ac、Ba、Cb；Ac、Bb、Ca,一 共 6 种.若 齐 王 第 一 场 比 赛 派 上 等 马，则 第 一 场 比 赛 田 忌 必 输，此 时 他 应 先 派 下 等 马 c参 加.就 会 出 现 两 种 比 赛 方 式：4c、B a、CO和 Ac、B b、Ca,其 中 田 忌 能 获 胜 的 为 Ac、Ba、Cb,故 此 时 田 忌 获 胜 的 概 率 最 大 为 1故 答 案 为：.例 6.(2022.江

14、苏.高 一 单 元 测 试)“2021年 全 国 城 市 节 约 用 水 宣 传 周“已 于 5 月 9 日 至 15日 举 行.成 都 市 围 绕“贯 彻 新 发 展 理 念，建 设 节 水 型 城 市 这 一 主 题，开 展 了 形 式 多 样，内 容 丰 富 的 活 动，进 一 步 增 强 全 民 保 护 水 资 源，防 治 水 污 染，节 约 用 水 的 意 识.为 了 解 活 动 开 展 成 效，某 街 道 办 事 处 工 作 人 员 赴 一 小 区 调 查 住 户 的 节 约 用 水 情 况，随 机 抽 取 了 300名 业 主 进 行 节 约 用 水 调 查 评 分，将 得 到

15、的 分 数 分 成 6 组：70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100,得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图.频 率(1)求。的 值，并 估 计 这 300名 业 主 评 分 的 中 位 数、平 均 数、众 数；(2)若 先 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 评 分 在 90,95)和 95,1001的 业 主 中 抽 取 5 人，然 后 再 从 抽 出 的 这 5 位 业 主 中 任 意 选 取 2 人 作 进 一 步 访 谈，求 这 2 人 中 至 少 有 1人 的 评 分 在 95,100概 率.【答 案】(l)a=0.040,

16、中 位 数 为 85,平 均 数 为 84.625,众 数 为 87.5 工 10【解 析】【分 析】(1)由 频 率 分 布 直 方 图 的 的 性 质，所 有 小 矩 形 的 面 积 之 和 为 1，可 解 得。的 值，由 中 位 数 的 定 义，找 到 频 率 之 和 为 0 5 的 点，平 均 数 的 估 计 值 公 式 为 每 个 小 矩 形 的 中 点 值 与 对 应 小 矩 形 面 积 的 乘 积 之 和，众 数 估 计 值 为 最 高 小 矩 形 的 中 点；（2）首 先 根 据 两 个 分 组 的 人 数 之 比，采 用 分 层 抽 样 的 方 法，得 到 每 个 分 组 抽

17、 取 的 人 数，则 采 用 列 举 法，罗 列 多 有 情 况 和 符 合 题 意 的 情 况，根 据 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 得 到 答 案.(1)/第 三 组 的 频 率 为 1-(0.020+0.025+0.030+0.035+0.050)x5-0.200,又 第 一 组 的 频 率 为 0.025x5=0.125,第 二 组 的 频 率 为 0.035x5=0.175,第 三 组 的 频 率 为 0.200.：前 三 组 的 频 率 之 和 为 0.125+0.175+0.200=0.500,.这 300名 业 主 评 分 的 中 位 数 为 85.平 均 数 为

18、 72.5x0.025x5+77.5x0.035x5+82.5x0.040 x5+87.5x0.050 x5+92.5x0.030 x5+97.5x0.020 x5=84.625.众 数 为（85+90）+2=87.5.（2）由 频 率 分 布 直 方 图，知 评 分 在 90,95）的 人 数 与 评 分 在 95,100 的 人 数 的 比 值 为 3：2.，采 用 分 层 抽 样 法 抽 取 5 人，评 分 在 90,95）的 有 3 人，评 分 在 95,100 有 2 人.不 妨 设 评 分 在 90,95）的 3 人 分 别 为 A，&，4;评 分 在 95,100 的 2 人 分

19、 别 为 综%则 从 5 人 中 任 选 2 人 的 所 有 可 能 情 况 有：A/,Ai）,A/,A.;）,Ai,Bi,Ai,&,A2,A，,A2,Bi）,Aj,B2,&,Bi,A“Bi,Bi,&,共 10种.其 中 选 取 的 2 人 中 至 少 有 1人 的 评 分 在 95,100 的 情 况 有：Ai,Bi,A,&,A2,B：,A2,&,A3,Bi,4,B2,B I,B2,共 7 种.7故 这 2 人 中 至 少 有 1人 的 评 分 在 95,100 的 概 率 为。=例 7.（2022 四 川 成 都 七 中 高 二 阶 段 练 习（文）我 校 近 几 年 加 大 了 对 学

20、生 强 基 考 试 的 培 训，为 了 选 择 培 训 的 对 象，今 年 我 校 进 行 一 次 数 学 考 试，从 参 加 考 试 的 同 学 中，选 取 50名 同 学 将 其 成 绩（百 分 制，均 为 整 数）分 成 六 组:第 1 组 40,50），第 2 组 50,60），第 3 组 60,70）,第 4 组 70,80），第 5 组 80,90），第 6 组 90,100,得 到 频 率 分 布 直 方 图（如 图），观 察 图 形 中 的 信 息，回 答 下 列 问 题:频 率 w0.0300.0260.020086。loo(oooso.0.(1)利 用 组 中 值 估 计

21、本 次 考 试 成 绩 的 平 均 数；(2)已 知 学 生 成 绩 评 定 等 级 有 优 秀、良 好、一 般 三 个 等 级，其 中 成 绩 不 小 于 90分 时 为 优 秀 等 级，若 从 第 5 组 和 第 6 组 两 组 学 生 中，随 机 抽 取 2 人，求 所 抽 取 的 2 人 中 至 少 1人 成 绩 优 秀 的 概 率.【答 案】66.8呜【解 析】【分 析】(1)根 据 频 率 分 布 直 方 图 中 平 均 数 计 算 方 法 计 算 即 可：(2)根 据 频 率 分 布 直 方 图 计 算 出 第 5 组 和 第 6 组 学 生 人 数，利 用 列 举 法 写 出

22、基 本 事 件，结 合 古 典 概 型 的 概 率 公 式 即 可 求 解.(1)本 次 考 试 成 绩 的 平 均 数 为 45 x 0.1+55 x 0.26+65 x 0.2+75 x 0.3+85 x 0.08+95 x 0.06-66.8.第 五 组 与 第 六 组 学 生 总 人 数 为(0。8+0.06)x50=7,其 中 第 五 组 有 4 人，记 为 b、c、d,第 六 组 有 3 人，记 为 A、B、C,从 中 随 机 抽 取 2 人 的 情 况 有：ab、ac、ad、aAy aB、aC、be、bd、bAy bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB,A C

23、、BC 共 有 21 种，设”所 抽 取 的 2 人 中 至 少 1人 成 绩 优 秀 的 事 件”为。.O包 含 的 基 本 事 件 有：aA,aB.aC、bA.bB、bC、cA,cB、cC、dA、dB、dC、AB,AC,8c 共 有 15 种，所 以 所 抽 取 的 2 人 中 至 少 1人 成 绩 优 秀 的 概 率 P(0=W=g.例 8.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)某 中 学 为 研 究 本 校 高 三 学 生 在 市 联 考 中 的 语 文 成 绩，随 机 抽 取 了 100位 同 学 的 语 文 成 绩 作 为 样 本，得 到 以 80,90),90,100),1

24、00,110),110,120),120,130),130,140),140,150分 组 的 样(1)求 直 方 图 中 X 的 值；(2)请 估 计 本 次 联 考 该 校 语 文 成 绩 的 中 位 数 和 平 均 数；(3)样 本 内 语 文 分 数 在 130,140),140,150 的 两 组 学 生 中，用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 5 名 学 生，再 从 这 5 名 学 生 中 随 机 选 出 2 人，求 选 出 的 两 名 学 生 中 恰 有 一 人 成 绩 在 130,140)中 的 概 率.【答 案】(1)0.01;(2)中 位 数 是 与，平 均 数 是 1

25、07.4：(3)|.【解 析】【分 析】(1)利 用 频 率 分 布 直 方 图 宜 接 列 式 计 算 作 答.(2)利 用 频 率 分 布 直 方 图 求 中 位 数、平 均 数 的 方 法 列 式 计 算 作 答.(3)求 出 分 数 在 130,140),140,150 的 人 数，再 用 列 举 法 结 合 古 典 概 率 公 式 计 算 作 答.(1)由 频 率 分 布 直 方 图 得：x=0.1-(0.012+0.022+0.028+0.018+0.008+0.002)=0.01.(2)由 频 率 分 布 直 方 图 知，分 数 在 区 间 80,100)、80/10)的 频 率

26、 分 别 为 0.34,0.62,因 此，该 校 语 文 成 绩 的 中 位 数 m e 100,110),则(机-100)x0.028=0.16,解 得 m=与 740语 攵 成 绩 的 平 均 数 为 7=85x0.12+95x0.22+105x0.28+115x0.18+125x0.10+135x0.08+145x0.02=107.4,所 以 该 校 语 文 成 绩 的 中 位 数 是 7与 40，语 文 成 绩 的 平 均 数 是 107.4.(3)由 频 率 分 布 直 方 图 知，分 数 在 130,140),140,150 内 分 别 有 8 人 和 2 人，Q因 此 抽 取 的

27、 5 人 中，分 数 在 130,140)内 有 x 5=4 人，在 140,150 内 有 1人，记 130,140)内 的 4 人 为“，b,c,d,在 140,150 内 的 1人 为 F,从 5 人 中 任 取 2 人 的 结 果 有：ab,ac,ad,aF,be,bd,bF,cd,cF,dF,共 10个 不 同 结 果，它 们 等 可 能，选 出 的 2 人 中 恰 有 一 人 成 绩 在 130,140)中 的 结 果 是：aF,bF,cF,dF,所 以 选 出 的 两 名 学 生 中 恰 有 一 人 成 绩 在 130,140)中 的 概 率 是 尸=江，.例 9.(2022江

28、西 萍 乡 三 模(文)袋 中 装 有 6个 形 状、大 小 完 全 相 同 的 球，其 中 标 有 数 字“1”的 球 有 2 个，标 有 数 字“2”的 球 有 2 个，标 有 数 字“3”的 球 有 2 个.规 定 取 出 一 个 标 有 数 字“1”的 球 记 1分，取 出 一 个 标 有 数 字“2”的 球 记 2 分，取 出 一 个 标 有 数 字“3”的 球 记 3分.在 无 法 看 到 球 上 面 数 字 的 情 况 下，首 先 由 甲 取 出 3个 球，并 不 再 将 它 们 放 回 原 袋 中，然 后 由 乙 取 出 剩 余 的 3球.规 定 取 出 球 的 总 积 分 多

29、 者 获 胜.(1)求 甲、乙 平 局 的 概 率；(2)从 概 率 的 角 度 分 析 先 后 取 球 的 顺 序 是 否 影 响 比 赛 的 公 平 性.【答 案】:先 后 取 球 的 顺 序 不 影 响 比 赛 的 公 平 性【解 析】【分 析】(1)记 标 数 字“1”的 球 为 b,标 数 字“2”的 球 为 d,标 数 字“3”的 球 为 e、f,列 举 出 所 有 的 基 本 事 件，并 确 定 所 求 事 件 所 包 含 的 基 本 事 件，利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 所 求 事 件 的 概 率；(2)利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 计

30、算 出 先 取 者 获 胜 的 概 率，再 利 用 对 立 事 件 的 概 率 概 率 计 算 后 取 者 获 胜 的 概 率，比 较 大 小 后 可 得 出 结 论.(1)解：记 标 数 字“I”的 球 为。、b,标 数 字“2”的 球 为。、d,标 数 字“3”的 球 为 e、f,则 甲 的 可 能 取 球 共 有 以 下 20 种 情 况：abc、abd、abe abf、acd、ace、acf、ade、adf、aef、bed、hce、bef、bde、bdf、bef、cde、cdf.cef y def,由 于 6个 小 球 总 分 为：1x2+2x2+3x2=12分，故 甲、乙 平 局 时

31、 都 得 6分，所 以 甲 取 出 的 三 个 小 球 是 1个 数 字“1”的 球 和 1个 数 字“2”的 球 和 1个 数 字“3”的 球，即 ace、acf、ade、adf、bee、bef、bde、bdf,共 有 8 种 情 况，Q 7故 平 局 的 概 率 合=;解：先 后 取 球 的 顺 序 不 影 响 比 赛 的 公 平 性.理 由 如 下：甲 获 胜，得 分 只 能 是 7分 或 8 分，即 取 出 的 是 1个 数 字“1”的 球 和 2 个 数 字“3”的 球，或 2 个 数 字“2”的 球 和 1个 数 字“3”的 球，或 1个 数 字“2”的 球 和 2 个 数 字“3

32、”的 球，即 bef、cde、cdf、cef、def,共 6 种 情 况.故 先 取 者 获 胜 的 概 率 片=2，后 取 者 获 胜 的 概 率 2=1-点 即 片=6，先 取 后 取 获 胜 的 概 率 一 样，故 先 后 取 球 的 顺 序 不 影 响 比 赛 的 公 平 性.题 型 二：概 率 的 基 本 性 质 例 1.（2022 全 国 高 一 单 元 测 试）抛 掷 一 个 质 地 均 匀 的 骰 子 的 试 验，事 件 4 表 示“小 于 5 的 偶 数 点 出 现“，事 件 8 表 示“不 小 于 5 的 点 数 出 现“，则 一 次 试 验 中，事 件 A 或 事 件 B

33、 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 为（）A.-B.-C.-D.-3 3 2 6【答 案】A【解 析】由 古 典 概 型 概 率 公 式 分 别 计 算 出 事 件 4 和 事 件 B 发 生 的 概 率,又 通 过 列 举 可 得 事 件 A 和 事 件 B 为 互 斥 事 件，进 而 得 出 事 件 A 或 事 件 8 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 即 为 事 件 A 和 事 件 B 的 概 率 之 和.【详 解】事 件 A 表 示“小 于 5 的 偶 数 点 出 现“，事 件 B 表 示“不 小 于 5 的 点 数 出 现”，2 1 2 1 尸 5）=丁 彳，尸（8）=丁

34、 彳，6 3 6 3又 小 于 5 的 偶 数 点 有 2 和 4,不 小 于 5 的 点 数 有 5 和 6,所 以 事 件 A 和 事 件 B 为 互 斥 事 件，则 一 次 试 验 中，事 件 A 或 事 件 B 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 为1 1 2P（A U 8）=P（A）+P（B）=-+-=-,3 3 3故 选:A.【点 睛】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 计 算 公 式，以 及 互 斥 事 件 概 率 加 法 公 式 的 应 用，属 于 中 档 题.例 2.（2022甘 肃 兰 州 市 第 三 十 三 中 学 高 二 期 末（文）某 城 市 2017年 的

35、空 气 质 量 状 况 如 下 表 所 示:污 染 指 数 T 30 60 100 110 130 140概 率 产 1W_6_3730215130其 中 污 染 指 数 T450时，空 气 质 量 为 优；5074100时，空 气 质 量 为 良；100TV150时，空 气 质 量 为 轻 微 污 染，该 城 市 2017年 空 气 质 量 达 到 良 或 优 的 概 率 为（）A.3 1C.12 5D.95 1oO 19 6【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 互 斥 事 件 的 和 的 概 率 公 式 求 解 即 可.【详 解】由 表 知 空 气 质 量 为 优 的 概 率 是 需，由

36、 互 斥 事 件 的 和 的 概 率 公 式 知，空 气 质 量 为 良 的 概 率 为：6 3 21 1 3所 以 该 城 市 2017年 空 气 质 量 达 到 良 或 优 的 概 率 尸=自+=,故 选：A【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 互 斥 事 件，互 斥 事 件 和 的 概 率 公 式，属 于 中 档 题.例 3.（2022新 疆 喀 什 一 模（理）从 装 有 若 干 个 大 小 相 同 的 红 球、白 球 和 黄 球 的 袋 中 随 机 摸 出 1个 球，摸 到 红 球、白 球 和 黄 球 的 概 率 分 别 为,2,，从 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球，记 下 颜

37、色 后 放 回，连 续 摸 3 次，则 记 下 的 颜 色 中 有 红 有 白，但 没 有 黄 的 概 率 为（）【答 案】C【解 析】【分 析】概 率 等 于 没 有 黄 球 的 概 率 减 去 只 有 白 球 或 只 有 红 球 的 概 率，计 算 到 答 案.【详 解】根 据 题 意：概 率 等 于 没 有 黄 球 的 概 率 减 去 只 有 白 球 或 只 有 红 球 的 概 率.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 概 率 的 计 算，意 在 考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 应 用 能 力.例 4.（2022甘 肃 兰 州 市 第 三 十 三 中 学 高 二 期 末（文）

38、从 装 有 2 个 红 球 和 2 个 白 球 的 口 袋 内 任 取 2 个 球，那 么 互 斥 而 不 对 立 的 两 个 事 件 是（）A.“至 少 有 1个 白 球”和“都 是 红 球”B.“至 少 有 2 个 白 球”和“至 多 有 1个 红 球”C.“恰 有 1个 白 球”和“恰 有 2 个 白 球”D.“至 多 有 1个 白 球”和“都 是 红 球”【答 案】C【解 析】【分 析】结 合 互 斥 事 件 与 对 立 事 件 的 概 念，对 选 项 逐 个 分 析 可 选 出 答 案.【详 解】对 于 选 项 A,“至 少 有 1个 白 球”和“都 是 红 球”是 对 立 事 件，

39、不 符 合 题 意；对 于 选 项 B,“至 少 有 2 个 白 球”表 示 取 出 2 个 球 都 是 白 色 的，而“至 多 有 1个 红 球”表 示 取 出 的 球 1个 红 球 1个 白 球，或 者 2 个 都 是 白 球，二 者 不 是 互 斥 事 件，不 符 合 题 意；对 于 选 项 C,“恰 有 1个 白 球”表 示 取 出 2 个 球 I 个 红 球 1个 白 球，与“恰 有 2 个 白 球”是 互 斥 而 不 对 立 的 两 个 事 件，符 合 题 意；对 于 选 项 D,“至 多 有 1个 白 球”表 示 取 出 的 2 个 球 1个 红 球 1个 白 球，或 者 2 个

40、 都 是 红 球，与“都 是 红 球”不 是 互 斥 事 件，不 符 合 题 意.故 选 C.【点 睛】本 题 考 查 了 互 斥 事 件 和 对 立 事 件 的 定 义 的 运 用，考 查 了 学 生 对 知 识 的 理 解 和 掌 握，属 于 基 础 题.例 5.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）一 个 盒 子 内 装 有 大 小 相 同 的 红 球、白 球 和 黑 球 若 干 个，从 中 摸 出 1个 球,若 摸 出 红 球 的 概 率 是 0.4 5,摸 出 白 球 的 概 率 是 0.2 5,那 么 摸 出 黑 球 或 红 球 的 概 率 是 A.0.3 B.0.55 C.

41、0.7 D.0.75【答 案】D【解 析】【分 析】由 题 意 可 知 摸 出 黑 球 的 概 率，再 根 据 摸 出 黑 球，摸 出 红 球 为 互 斥 事 件，根 据 互 斥 事 件 的 和 即 可 求 解.【详 解】因 为 从 中 摸 出 1个 球，若 摸 出 红 球 的 概 率 是 0 4 5,摸 出 白 球 的 概 率 是 0.25,所 以 摸 出 黑 球 的 概 率 是 1-（045+0.25）-0.3,因 为 从 盒 子 中 摸 出 1个 球 为 黑 球 或 红 球 为 互 斥 事 件，所 以 摸 出 黑 球 或 红 球 的 概 率 P=0.3+0.45=0.7 5,故 选 D.

42、【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 两 个 互 斥 事 件 的 和 事 件，其 概 率 公 式 尸（AU8）=P（A）+P（8）,属 于 中 档 题.例 6.（2022四 川 省 通 江 中 学 高 二 开 学 考 试（理）已 知 从 某 班 学 生 中 任 选 两 人 参 加 农 场 劳 动，选 中 两 人 都 是 男 生 的 概 率 是：，选 中 两 人 都 是 女 生 的 概 率 是 尚，则 选 中 两 人 中 恰 有 一 人 是 女 生 的 概 率 为.Q【答 案】11【解 析】【分 析】记“选 中 两 人 都 是 男 生”为 事 件 A,“选 中 两 人 都 是 女 生”为 事 件

43、 B,“选 中 两 人 中 恰 有 一 人 是 女 生”为 事 件 C,根 据 A B为 互 斥 事 件，A U 8与 C 为 对 立 事 件，从 而 可 求 出 答 案.【详 解】记“选 中 两 人 都 是 男 生”为 事 件 A,“选 中 两 人 都 是 女 生”为 事 件 B,“选 中 两 人 中 恰 有 一 人 是 女 生”为 事 件 C,易 知 A B为 互 斥 事 件，A U 8与 C 为 对 立 事 件，1 2 7又 P（A B）=P（A）+尸（8）=1+石=石,7 R所 以 P（C）=l-P（A u B）=l-不=7 ro故 答 案 为：.例 7.(2022.全 国 高 一 课

44、 时 练 习)口 袋 里 装 有 1红，2 白，3黄 共 6 个 形 状 相 同 的 小 球，从 中 取 出 2 球，事 件 4=”取 出 的 两 球 同 色“，8=”取 出 的 2 球 中 至 少 有 一 个 黄 球，C=取 出 的 2 球 至 少 有 一 个 白 球”，。=取 出 的 两 球 不 同 色，E=”取 出 的 2 球 中 至 多 有 一 个 白 球”.下 列 判 断 中 正 确 的 序 号 为.A 与。为 对 立 事 件：8 与 C 是 互 斥 事 件；C 与 E 是 对 立 事 件：尸(CUE)=l;P(B)=P(C).【答 案】【解 析】【分 析】在 中，由 对 立 事 件

45、 定 义 得 A 与。为 对 立 事 件；有 中，B 与 C 有 可 能 同 时 发 生；在 中，C 与 E 有 可 能 同 时 发 生；在 中，P(CUE)=P(C)+P(E)-P(CE)=1；在 中 从 而 P(B)丰 P(C).【详 解】,口 袋 里 装 有 1红，2 白，3 黄 共 6 个 形 状 相 同 小 球，从 中 取 出 2 球，事 件 A=”取 出 的 两 球 同 色，B=”取 出 的 2 球 中 至 少 有 一 个 黄 球”，C=取 出 的 2 球 至 少 有 一 个 白 球，D=”取 出 的 两 球 不 同 色，E=”取 出 的 2 球 中 至 多 有 一 个 白 球”,

46、，由 对 立 事 件 定 义 得 A 与。为 对 立 事 件，故 正 确；，B 与 C 有 可 能 同 时 发 生，故 B 与 C 不 是 互 斥 事 件，故 错 误；，C 与 后 有 可 能 同 时 发 生，不 是 对 立 事 件，故 错 误；A 3 14，P(C)=1-=-,P(E)=一，P(CE)=,15 5 15 15从 而(CUE)=P(C)+P(E)-尸(CE)=1,故 正 确；，C*B,从 而 尸(B)k P(C),故 错 误.故 答 案 为：.【点 睛】本 题 考 查 命 题 真 假 的 判 断，是 基 础 题，考 查 对 立 互 斥 事 件，解 题 时 要 认 真 审 题，注

47、 意 对 立 事 件、互 斥 事 件 等 基 本 概 念 的 合 理 运 用.例 8.(2022福 建 泉 州 高 一 期 中)己 知 两 个 事 件 A 和 B 互 斥，记 事 件 五 是 事 件 B 的 对 立 事 件，且 P(A)=0.3,P(B)=0.6,则 P(A U B)=.【答 案】0.7.【解 析】先 计 算 P(B)=0.4,再 根 据 尸(A U 8)=P(A)+尸(B)计 算 得 到 答 案.【详 解】P(司=0.6得?(8)=0.4,且 事 件 A 与 8 互 斥，则 P(AU B)=尸(A)+P(B)=0.7故 答 案 为：0.7【点 睛】本 题 考 查 了 互 斥

48、事 件 和 对 立 事 件 概 率 的 计 算，意 在 考 查 学 生 对 于 互 斥 事 件 和 对 立 事 件 的 理 解.例 9.(2022.陕 西 西 北 农 林 科 技 大 学 附 中 高 一 期 中)下 表 为 某 班 的 英 语 及 数 学 成 绩，全 班 共 有 学 生 5 0人,成 绩 分 为 卜 5 分 五 个 档 次.设 x、y 分 别 表 示 英 语 成 绩 和 数 学 成 绩.表 中 所 示 英 语 成 绩 为 4 分 的 学 生 共 14人，数 学 成 绩 为 5 分 的 共 5 人.y 分 人 数 力 分 5 4 3 2 15 1 3 1 0 14 1 0 7 5

49、 13 2 1 0 9 32 1 h 6 0 a1 0 0 1 1 3(l)x=4的 概 率 是 多 少？尸 4 且 产 3 的 概 率 是 多 少？x 3的 概 率 是 多 少？(2)x=2的 概 率 是 多 少？。+人 的 值 是 多 少？71 0：【占 案】石，方(2)-3.【解 析】【分 析】(1)求 出 事 件 k 4”、概 率 公 式 计 算 作 答.，%=4且 产 3”的 人 数，再 用 古 典 概 率 求 解，求 出“尸 3”、“尸 5”的 概 率，利 用 互 斥 事 件(2)利 用 对 立 事 件 的 概 率 公 式 求 出 事 件“尸 2”的 概 率，进 而 求 出+的 值

50、.(1)14 7由 数 表 知，A 4 的 事 件 有 14人，其 概 率 为：P(x=4)=,7入;4 且 尸 3 的 事 件 有 7 人，其 概 率 为：P(x=4 且*=3)=前，15 3应 3 的 事 件 是 户 3 的 事 件，的 事 件，x=5的 事 件 的 和，它 们 互 斥，JfffP(x=3)=,P(x=5)=,50 253 7 3 7因 此，P(x3)=P(x=3)4-P(x=4)+P(x=5)=+=.10 25 25 10(2)产 1 的 事 件 概 率 为 P(x=D=4 q,x=2的 事 件 的 对 立 事 件 是 A l 的 事 件 与 忘 3 的 事 件 的 和，