《广西桂林、河池、来宾、北海、崇左市2022届高三5月高考联合模拟考试数学（理）试题（含答案与解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西桂林、河池、来宾、北海、崇左市2022届高三5月高考联合模拟考试数学（理）试题（含答案与解析）.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年 高 考 桂 林、河 池、来 宾、北 海、崇 左 市 联 合 模 拟 考 试 数 学（理 科）（时 间：120分 钟 分 值：150分）注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上，写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将
2、 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 大 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1,已 知 集 合 A=X|1%4，B=X|2X 3；则（）A x12 x 4）B.x|2x3 C.x|lx3 D.xlx42.已 知 i是 虚 数 单 位，若 复 数 z=（i+l）3,则|z|=（）A.2 B.75 C.272 D.2后 3.如 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图，其 中 正 视 图 与 侧 视 图 都 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，俯 视
3、 图 是 直 径 为 2 的 圆.则 该 儿 何 体 的 表 面 积 为（）A.3万 B.2%C.也 兀 D.34.某 区 域 有 大 型 城 市 24个，中 型 城 市 18个，小 型 城 市 12个，为 了 解 该 区 域 城 市 空 气 质 量 情 况，现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 9 个 城 市 进 行 调 查，则 应 抽 取 的 大 型 城 市 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.45.在 等 比 数 列 氏 中，已 知 生=3,。4，%,=38，则 公 比 4=（）A.-3 B.V3 C.3 D.36.在 区 间（一 2,6）内 随 机 取 一 个 数 x,
4、使 得 不 等 式 9*l（）x3、+9 00,若/（”3）=/（。+2）,则/（a）=（）A.2B.72 C.1 D.O11.已 知 A,B,C 是 表 面 积 为 16 的 球。的 球 面 上 的 三 个 点，且 A C=A 8=1，Z A B C=3O,则 三 棱 1A.12RV3 c 1 D 6D.-L-/.-12 4 412.已 知 A（1,0）,3（3,0）,P 是 圆 O:f+y2=45上 的 一 个 动 点，则 sinNAPB的 最 大 值 为（）A 石 A-3D.-/-5-r 石 N A/5.-LJ.-3 4 4二、填 空 题：本 大 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共
5、20分，把 答 案 填 在 答 题 卡 上 13.（x+3y）（x 2y）6的 展 开 式 中 尤 5y2的 系 数 为 14.函 数 力=/3+2 的 极 小 值 是.15.已 知 扇 B 是 平 面 内 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，若 向 量 满 足-（3-2 4=0,则 同 的 最 大 值 是 2 216.已 知 鸟 为 双 曲 线 鼻 方=1（4 0/0）的 右 焦 点，经 过 心 作 直 线,与 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 垂 直，垂 足 为 A,直 线/与 双 曲 线 的 另 一 条 渐 近 线 在 第 二 象 限 的 交 点 为 8.若 H 居|=；怛 鸟
6、 则 双 曲 线 的 离 心 率 为.三、解 答 题：共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 17-21题 为 必 考题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 做 答（-）必 答 题：共 60分 17.下 表 是 某 高 校 2017年 至 2021年 的 毕 业 生 中，从 事 大 学 生 村 官 工 作 的 人 数:年 份 2017 2018 2019 2020 2021年 份 代 码 X 1 2 3 4 5y（单 位：人）2 4 47 8经 过 相 关 系 数 的 计 算 和
7、绘 制 散 点 图 分 析，我 们 发 现 y 与 x 的 线 性 相 关 程 度 很 高.（1）根 据 上 表 提 供 的 数 据，用 最 小 二 乘 法 求 出 关 于 x 的 经 验 回 归 方 程$=%+2；（2）根 据 所 得 的 经 验 回 归 方 程，预 测 该 校 2023年 的 毕 业 生 中，去 从 事 大 学 生 村 官 工 作 的 人 数.（七 一 元）（力 一 歹）工 玉 丫 一 呵 参 考 公 式：b=-=4-，a=y-b x.i=l/=!18.AABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为。，b,已 知 匕 sinA=Ja-acosB.（1）求 B；（2）
8、若 b=2,求 AABC的 面 积.在 C 3=2 A,AABC的 周 长 为 遥+2 这 两 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 横 线 上.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.19.如 图，在 五 面 体 48C0E 中，A D,平 面 ABC,AD/BE,A D=2 B E，AB=BC.（1）求 证：平 面 C D E L 平 面 ACC；（2）若 AB=6，A C=2,五 面 体 体 积 为 正，求 直 线 CE与 平 面 ABED所 成 角 的 正 弦 值.20.已 知 椭 圆 C 1+为=1.。0）经 过 点 其 右 顶 点
9、为 A（2,0）.（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）若 点 尸，Q 在 椭 圆 C 上，且 满 足 直 线 AP 与 A Q 的 斜 率 之 积 为 焉.求 AAPQ面 积 的 最 大 值.21.已 知 a 0 且 a w l,函 数/（尤）=（x 0）.ax（1）当 4=2时，求/（X）的 单 调 区 间；(2)若 曲 线 y=/(x)与 直 线 y=l有 且 仅 有 两 个 交 点，求。的 取 值 范 围.(二)选 答 题：共 10分，请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 做 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分，做 答 时 请 写 清 题 号.
10、【选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程】22.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 直 线/的 参 数 方 程 为.(为 参 数)，曲 线。的 方 程 为 y=tsmax2+y2+8y+7=0.以 坐 标 原 点。的 极 点，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系.(1)求 直 线/及 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程；设 直 线/与 曲 线 C 相 交 于 N 两 点，满 足|。照 一|。训=26，求 直 线/的 斜 率.【选 修 4-5：不 等 式 选 讲】(1)画 出/(x)的 图 象，若 g(x)=x+m 与 y=/(x)的 图 象 有 三 个 交
11、点，求 实 数 机 的 取 值 范 围；1 9(2)已 知 函 数/(X)的 最 大 值 为，正 实 数 a,b,C满 足+-=，求 证：a+2b+3c3.a+c b+c参 考 答 案 一、选 择 题：本 大 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 集 合 A=X H X 4，B-X|2X 3；则 A D 5=()A.x|2Wx4 B.x|2x3 C,x|lx3 D.xlx4【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 交 集 的 定 义 求 解 即 可.【详 解】.A=xlx4,3
12、=x|2WxW3,在 数 轴 上 分 别 表 示 A 和 8 的 范 围，根 据 交 集 的 定 义 有 4。8=2,3；故 选：B.2.已 知 i是 虚 数 单 位，若 复 数 z=(i+l)3,贝 U|z|=()A.2 B.y/5 C.2A/2 D.2也【答 案】C【解 析】【分 析】利 用 复 数 运 算 求 得 z,由 此 求 得|z|.【详 解】z=(i+i)3=i3+3i2+3i+l=-i-3+3i+l=-2+2i,所 以 忖=J(2+22=2 0.故 选：C3.如 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图，其 中 正 视 图 与 侧 视 图 都 是 边 长 为 2 的 等 边
13、三 角 形，俯 视 图 是 直 径 为 2 的 圆.则 该 几 何 体 的 表 面 积 为()俯 视 图 A.3万 B.2%C.JLr D.3【答 案】A【解 析】【分 析】由 三 视 图 可 还 原 几 何 体 为 圆 锥，利 用 圆 锥 表 面 积 公 式 可 求 得 结 果.【详 解】由 三 视 图 可 知 几 何 体 是 如 下 图 所 示 的 圆 锥，其 中 圆 锥 的 底 面 圆 半 径 为 1，母 线 长 为 2，,几 何 体 的 表 面 积 S=xl2+-xlx2=3.故 选:A4.某 区 域 有 大 型 城 市 24个，中 型 城 市 18个，小 型 城 市 12个，为 了
14、解 该 区 域 城 市 空 气 质 量 情 况，现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 9 个 城 市 进 行 调 查，则 应 抽 取 的 大 型 城 市 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】D【解 析】【分 析】先 算 抽 样 比，然 后 由 大 型 城 市 数 乘 以 抽 样 比 可 得.应 抽 取 的 大 型 城 市 个 数 为 24x=4 个.6故 选：D.5.在 等 比 数 列%中，己 知=3,。4=3*，则 公 比 4=（）A.-3 B.73 C.3 D.3【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 等 比 数 列 的 性 质 求 得,再 结 合 已 知 条
15、件，即 可 求 得 结 果.【详 解】由 等 比 数 列%=3）解 得%=3,所 以/=%=33,所 以 g=3.出 故 选：D.6.在 区 间（2,6）内 随 机 取 一 个 数 x,使 得 不 等 式 9-10 x3+90成 立 的 概 率 为（）1 1A.B.一 4 3 2-3C.D.一 3 4【答 案】A【解 析】【分 析】先 解 不 等 式，然 后 由 区 间 长 度 比 可 得.【详 解】因 为 9一 10 x3*+9()0(3*)2-10-3*+90O(3 叫(3,-9)0O I 3，9=0 X 2，所 以 不 等 式(3)21 0 3+9 2=4%相 交 于 A,8 两 点，若
16、 线 段 A 8 中 点 的 横 坐 标 为 2,贝=()A.4 B.5 C.6 D.7【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 中 点 坐 标 公 式 可 求 得 芭+%，利 用 抛 物 线 焦 点 弦 长 公 式 可 求 得 结 果.【详 解】设 A(4 yj,B(W，M)，4 8 中 点 横 坐 标 为%,则%=七 强=2,解 得：为+占=4；|AB|=x,+x,+2=6.故 选：C.8.曲 线 y=d+i 在 点(f a)处 的 切 线 方 程 为()A.y=3x+3 B,y-3x+1 C,y=-3x-l D,y=-3x-3【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 导 数 的 几 何 意
17、义 得 到 切 线 的 斜 率，利 用 点 斜 式 求 出 切 线 方 程.【详 解】=/(x)=d+l/.fx)=3x2,所 以 r(-1)=3,又 当 x=-1 时，a=x3+1=1+1=0,所 以 y=d+i在 点(一 1,。)处 的 切 线 方 程 为：y=3(x+l),即 y=3x+3.故 选：A.9.设 a,/7为 两 个 不 同 的 平 面，则 a 4的 一 个 充 分 条 件 可 以 是()A.a 内 有 无 数 条 直 线 与 夕 平 行 B.a 尸 垂 直 于 同 一 条 直 线 C.平 行 于 同 一 条 直 线 D.垂 直 于 同 一 个 平 面【答 案】B【解 析】【
18、分 析】利 用 线 面，面 面 平 行 垂 直 的 判 定 或 性 质 对 各 个 选 项 进 行 分 析 即 可 得 到 答 案.【详 解】对 于 4,内 有 无 数 条 直 线 与 夕 平 行 不 能 得 出。尸，两 个 平 面 可 以 相 交，故 A 错；对 于 8，垂 直 于 同 一 条 直 线 可 以 得 出 a 4，反 之 当 a/时，若 a 垂 直 于 某 条 直 线，则 也 垂 直 于 该 条 直 线，正 确：对 于 C,必 夕 平 行 于 同 一 条 直 线，则 两 个 平 面 可 以 平 行 也 可 以 相 交，故 错 误；对 于 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 个 平
19、 面 可 以 平 行 也 可 以 相 交，故 错 误；故 选：B.(x+3%010.已 知 厂 一，若/(a 3)=/(a+2),则/(4)=()A.2 B.72 C.1 D.O【答 案】B【解 析】【分 析】由 题 可 得。一 3+3=而 2,进 而 即 得.,、fx+3,x0必 有 a 3解 得 a=2或 a=-l(舍 去)，/(a)=/(2)=V2.故 选：B.11.已 知 A,B,C 是 表 面 积 为 16万 的 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点，且 AC=AB=1,ZABC=30,则 三 棱 锥 0-ABC 的 体 积 为()A _L B 百 12 12【答 案】c【解 析】
20、D-T【分 析】设 球 的 半 径 为 R,AABC外 接 圆 的 半 径 为 r,根 据 题 意 求 出 r,R,再 根 据 球 心。到 AABC的 距 离 4=奴-/，即 三 棱 锥 0-ABC 的 高，从 而 可 得 出 答 案【详 解】解：设 球 的 半 径 为 A,AABC外 接 圆 的 半 径 为，在 AABC 中，由 AC=AB=1,ZABC=30。，则 N6AC=120sr得 2r=-=2,所 以 厂=1,sin ZABC因 为 球。的 表 面 积 为 16%，则 4乃 及 2=16万,解 得 火=2,所 以 球 心 0 到 ABC的 距 离 d=，火 2 产=G,即 三 棱
21、锥。一 ABC的 高 为 6,S.ABC=2 A8 AC sin ABAC=宁，所 以 三 棱 锥 O-ABC的 体 积=；乂 与 乂 上 看 故 选：C.12.已 知 A（1,0）,3（3,0）,P 是 圆 0:/+,2=4 5上 的 一 个 动 点，则 sinNAP3的 最 大 值 为（）AV3 c 布 D 指 3 3 4 4【答 案】D【解 析】【分 析】设 P（“），分 别 表 示 出 AB=4，AP=d 2m+46,PB=454 6加，由 余 弦 定 理 得 到:42 2/?1 _cos NAPB=j2?+.x、4 6?，利 用 sin Z A P B=V 1-cos2 ZAPB 求
22、 出 最 大 值.【详 解】设 P（W），贝 IJ苏+“2=4 5，其 中 一 3石 4 m 石.因 为 4(一 1,0),8(3,0),所 以 AB=4.AP=+=72m+46,PB=(/-3)2+2=1 5 4-6加,由 余 弦 定 理 得：,“nc+忸 尸 2m+46+54-6m-16 42-2m 21-m2APxBP-2 j2.+4 6 x j5 4 6加-5/2m+46x54 _ 6-J 一+2 3 x j2 7-3 m,因 为-3行 4?43石，所 以 cosZAP50.所 以 sin NAPB=V 1-cos2 ZAPB=I-4/+1 8 3 _ 2百 J 加+45 V-3m2-
23、42m+621 3-m2-14/n+207记 y=-m2+45-m2-14帆+207,(-3y/5 m 0,解 得：-3 6 4 初 3；令 y 0,解 得：ym 3y/5；15所 以 s i n N A P%n=f+45153I 7 J|-14x+207=正 _一 彳 故 选：D【点 睛】解 析 几 何 中 与 动 点 有 关 的 最 值 问 题 一 般 的 求 解 思 路：几 何 法：利 用 图 形 作 出 对 应 的 线 段，利 用 几 何 法 求 最 值；代 数 法：把 待 求 量 的 函 数 表 示 出 来，利 用 函 数 求 最 值.二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每
24、小 题 5 分，共 2 0分，把 答 案 填 在 答 题 卡 上 13.(x+3y)(x 的 展 开 式 中 尤 5y2的 系 数 为.【答 案】24【解 析】【分 析】利 用 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式，进 行 计 算 求 解 即 可.【详 解】(x+3y)(x 2y)6=x(x 2y)6+3y(x 2y)6,因 为 x(x 2y)6的 展 开 式 为：7；+1=C；x7-r(-2),y,当 r=2 时，该 展 开 式 中 炉 产 的 系 数 为 C：(-2)2=60.而 3y(x 2y)6的 展 开 式 为：Tk+=3C*x6-*(-2)A/+1,当=1时，该 展 开 式 中
25、尤 5y2的 系 数 为-6C；=-36.所 以，该 展 开 式 中 的 系 数 为 a)-36=24.故 答 案 为：2414.函 数“X)=fe+2 的 极 小 值 是.【答 案】2【解 析】【分 析】利 用 导 数 分 析 函 数“X)的 单 调 性，由 此 可 求 得 函 数“X)的 极 小 值.【详 解】由 题 意 可 得 了(x)=(v+2x)1.由/(x)0,得 0；由/(x)0,得-2 x 0,则 在(-8,-2)和(0,+的 上 单 调 递 增，在(一 2,0)上 单 调 递 减，则/(X)极 小 值=/(。)=2.故 答 案 为：215.已 知 2,5是 平 面 内 两 个
26、 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，若 向 量 满 足 一,仅-20=0,则 同 的 最 大 值 是【答 案】此 2【解 析】【分 析】由 题 意 可 设 的 坐 标，设)=(x,y),利 用 0-。-0-2?=0 求 得=月 的 终 点 的 轨 迹 方 程，即 可 求 得 答 案.【详 解】因 为 4 是 平 面 内 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，故 不 妨 设 a=(1,O),B=(0,1),设 c=(x,y),由(a _0,b0)的 右 焦 点，经 过 心 作 直 线,与 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 垂 直,垂 足 为 A,直 线/与 双 曲 线 的 另 一 条
27、渐 近 线 在 第 二 象 限 的 交 点 为 8.若 H 居|=孑 怛 周，则 双 曲 线 的 离 心 率 为.【答 案】6【解 析】【分 析】设/：y=-c),与 双 曲 线 两 渐 近 线 联 立 可 求 得 A,8 坐 标，利 用 力=3%可 构 造 齐 次 方 程 b求 得 离 心 率.由 题 意 可 设：I:y=-(x-c),b由 y=_?(x_c):得：by=xaa2c“=户 工 abccfc abca2-b2)y=-/x-c)由 人 得:x-caby 二 一 ci i 11 c l o 口 r abc 3av|A/|=-|B/|,:.yB=3yA f 即=工/、2二 c=39
28、a）=3 0 一 2,r），即 2c2=6/，e 3,解 得：e=/3 即 双 曲 线 的 离 心 率 为 故 答 案 为：/3【点 睛】思 路 点 睛：求 解 圆 锥 曲 线 离 心 率 或 离 心 率 取 值 范 围 问 题 的 基 本 思 路 有 两 种：（1）根 据 已 知 条 件，求 解 得 到。的 值 或 取 值 范 围，由 e=求 得 结 果；a（2）根 据 已 知 的 等 量 关 系 或 不 等 关 系，构 造 关 于。工 的 齐 次 方 程 或 齐 次 不 等 式，配 凑 出 离 心 率 e,从 而 得 到 结 果.三、解 答 题：共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说
29、明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 17-21题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 做 答（一）必 答 题：共 60分 17.下 表 是 某 高 校 2017年 至 2021年 的 毕 业 生 中，从 事 大 学 生 村 官 工 作 的 人 数：经 过 相 关 系 数 的 计 算 和 绘 制 散 点 图 分 析，我 们 发 现 y与 x的 线 性 相 关 程 度 很 高.年 份 2017 2018 2019 2020 2021年 份 代 码 X 1 2 3 4 5y（单 位：人）2 4 47 8（1）根
30、 据 上 表 提 供 的 数 据，用 最 小 二 乘 法 求 出 关 于 x的 经 验 回 归 方 程 1=晟+近；（2）根 据 所 得 的 经 验 回 归 方 程，预 测 该 校 2023年 的 毕 业 生 中，去 从 事 大 学 生 村 官 工 作 的 人 数._，1（%-可（%-9）%必-何 参 考 公 式：白=上-=4-，a=y-b x.f（西-可 打；一 位 2/=1/=1【答 案】（1）9=L5x+0.5 11人【解 析】【分 析】（1）利 用 最 小 二 乘 法 计 算 可 得 经 验 回 归 方 程;（2）将 x=7代 入 经 验 回 归 方 程 即 可 求 得 所 求 预 估
31、 值.小 问 1详 解】由 表 格 数 据 知:_ 1+2+3+4+5.x=-=3,2+44-4+7+855 5=2+8+12+28+40=9 0,工；=1+4+9+16+25=55,/=i=l 9 0-5 x 3 x 555-5x9=1.5,.,.5=5-1.5x3=0.5,关 于 X 的 经 验 回 归 方 程 为：y=1.5x+0.5.【小 问 2 详 解】2023年 对 应 的 x=7,则 9=1.5x7+0.5=11,即 该 校 2023年 的 毕 业 生 中，去 从 事 大 学 生 村 官 工 作 的 人 数 约 为 11人.18.AABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别
32、 为，h,c.已 知。sinA=0 a acosB.（1）求 B；（2）若 b=2,求 AABC的 面 积.在 C B=2 A,AABC的 周 长 为 几+2 这 两 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 横 线 上.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.71【答 案】（1）-4（2）答 案 见 解 析【解 析】【分 析】（1）由 正 弦 定 理 sin6=J cosB，利 用 三 角 公 式 整 理 化 简 sin6+（）=l,从 而 求 出 4（2）选 择 条 件：先 求 出 C=2工，A=-,利 用 正 弦 定 理 得。=&,sinC=
33、也，即 可 求 出 12 6 4 ABC的 面 积；选 择 条 件：利 用 余 弦 定 理 求 得 ac=2-0，即 可 求 出 AABC的 面 积.【小 问 1详 解】由 正 弦 定 理 得 sin Bsin A=V2 sin A-sin Acos B，因 为 sin A wO,所 以 sin3=0 cos3，所 以 sin 8+cos 6=0 sin 1 8+(J=0,即 sin 1 8+(J=1.因 为 3 e(O,4)，所 以 8+生=生，所 以 6=工.7 4 2 4【小 问 2 详 解】选 择 条 件：77r T C因 为 C B=2 A,所 以 C=，A=二，12 6因 为 8=
34、2,所 以 一=/一,解 得 4=正，sinC=sin(A+B)=迷+8,sin B sin A 4所 以 AABC的 面 积 为 L ab sin C=1 土 1,2 2选 择 条 件：因 为 AABC的 周 长 为 太+2,所 以 a+c=#，因 为 8=工,所 以 82-a2+c2-/2ac=(a+c)2-(2+y/2)ac,4所 以 ac=2-V2-所 以 AASC 面 积 为 J_acsin6=也 二 L2 21 9.如 图，在 五 面 体 ABCQE 中，4)，平 面 ABC,AD!/B E,AD=2 B E，A B B C.（1）求 证：平 面 COE，平 面 ACC；若 AB=
35、5 AC=2,五 面 体 A8CQE的 体 积 为 血，求 直 线 CE与 平 面 ABE。所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；亚 3【解 析】【分 析】（1）若。是 A C中 点，连 接。8,作 O z/A D,根 据 题 设 可 得 Oz,QB,AC两 两 垂 直，构 建 空 间 直 角 坐 标 系，令 AD=2BE=2a,O3=c,OA=OC=b 并 确 定 点 坐 标，求 面 C O E、面 A C O的 法 向 量，应 用 空 间 向 量 夹 角 的 坐 标 表 示 即 可 证 结 论.（2）根 据 已 知 体 积，结 合 棱 锥 的 体 积 公 式 求
36、出 A。,B E,进 而 求 面 ABE。的 法 向 量、直 线 CE的 方 向 向量，应 用 空 间 向 量 夹 角 的 坐 标 表 示 求 线 面 角 的 正 弦 值.【小 问 1详 解】若。是 A C中 点，连 接。8,作 O z/A,由 AB=8 C 知：O B V A C,因 为 43_1_面 48。，则 OzJ面 ABC,又。B,A C u面 ABC,所 以 0 z，08,O z l AC,综 上，0z,08,A C两 两 垂 直，故 可 构 建 如 下 图 示 的 空 间 直 角 坐 标 系。-孙 z,令 AD=2BE=2a,OB=c,OA=OC=b,则。(0,8,2a),C(0
37、,Z?,0),E(c,Q,a),所 以 函=(0,242a),CE=(c,-b,a),若 加=(x,y,z)是 面 CDE的 一 个 法 向 量，即，._.,令 z=b,则 加=(0,a力)，m-CE=ex-by+a z-0又=(1,0,0)是 面 ACD的 一 个 法 向 量，贝!/.=()，所 以 面 CDE 面 ACD.【小 问 2详 解】由 A D L面 ABC,)u 面 48E。，则 面 A BE。，面 ABC,故。到 面 ABED的 距 离，即 为 ABC中 上 的 高，l 3+3-4 1 2 万 因 为 AB=BC=J 5，AC=2,则 COSB=X 岛 百=,故 sinB=q-
38、，所 以 A 5上 的 高=8 C sin3=2.3又 ABi 面 ABC,则 A D L A B，而 AD/BE,有 B E 1 A B，AD=2B E，所 以 ABE。为 直 角 梯 形，令 AD=2BE=2 a,则 5顺 m=；x 3 a x=生 学，综 上，匕=x亚 x拽 q=缶=及，故 a=l.A o C Z x o 3 3 2由 知:A(0-1,0),0(0,-1,2),C(0,l,0),(V2,0,l),所 以 而=(0,0,2),D=(V2,1,-1),_ lA D=2k=0 _ l若/=(加,)是 面 ABE。的 一 个 法 向 量，即 _ 广，令?=T，则/=(1,虚,0)
39、，l-DE=42m+n-k=0而 CE=(V2,-l,l),贝 11 cos|=|!|=,|/|CE|6 x 2 3所 以 直 线 CE与 平 面 A8EQ所 成 角 的 正 弦 值 为 逅.32 220.已 知 椭 圆 C：=+二=1（。/,0）经 过 点 a h，其 右 顶 点 为 4（2,0）.（1）求 椭 圆 C 的 方 程;（2）若 点 尸，Q 在 椭 圆 C 上，且 满 足 直 线 AP 与 A Q 的 斜 率 之 积 为 二-.求 AAPQ面 积 的 最 大 值.20v-2【答 案】（1）+y2=l4-（2）1【解 析】【分 析】（1）根 据 题 意 可 得.3 4 I，再 结
40、合。2=02+02,即 可 解 出 a,4c,从 而 得 出 椭 圆 Cf l=2v V=1的 方 程;（2）依 题 可 设 P Q：丫=匕+1,再 将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立，即 可 得 到+，斗 与，然 后 结 合 心/=，可 找 到 加，人 的 关 系，从 而 可 知 直 线 尸。经 过 定 点 8,于 是 APQ面 积 等 于,即 可 求 出 其 最 大 值.【小 问 1详 解】解：依 题 可 得,a=213+4 tA 了 32 1 2 2a=b+c解 得 c i=22b=l，所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 上+丁=1.c f 4【小 问 2 详 解】解：易 知
41、 直 线 4P 与 A Q 的 斜 率 同 号，所 以 直 线 R2 不 垂 直 于 x轴,故 可 设 P Q：y=丘+机，k H 0,。（%,方）,。（2，%），由,2 _ 4+）可 得，（1+4左 2）兀 2+8加 辰+4/-4=0,y=kx+m所 以，Xj+x2-Smk 4m2 4A=16（4A:2+l-W72）0,而&A/A Q=上，即.一 三=9?化 简 可 得，20（例+机）（如+加）=（玉 一 2）（9 2）,20%z X2一 乙，u因 为（1+4公 卜 2+Smkx+4m2-4=（1+4攵 2）（%七 乂 工 一），所 以，令 x=2可 得，（x 一 2）（马 一 2）=图 二
42、 1出 华 史 二，八-）1+4/m2令=-生 可 得，m V,2 k2 20m2-80Z:2k 20（向+加）（如+旬=20-卜+5 卜+利=2。公=，把 代 入 得，16%2+16mk+4m2=20m2 80A:2，化 简 得 6k2+mk m1=0，所 以，m-2k或 加=3%,所 以 直 线 尸 Q：y=%（%一 2）或 丁=Z（x+3）,因 为 直 线 PQ 不 经 过 点 A,所 以 直 线 PQ经 过 定 点（3,0）.设 定 点 3（3,0）,所 以,S AAPQ 二,小 帆 5*3。|=5 乂|243,加%|=k|k 一 工 21_ 5冈 J16（4左 2+1一 也 _ i（
43、）J（i 5二 快 2,-2 1+4左 2-1+4/因 为 1 5%2 0,所 以 0（公 1,设 4k+1 e f 1,j,所 以 具,。5-5r+14t-92 V?当 且 仅 当 f=亍 9即,1=值 时 取 等 号，即 APQ面 积 的 最 大 值 为 15.21.已 知。0 且 o w l,函 数/（九）=（x 0）.ax（1）当 4=2时，求“X）的 单 调 区 间；(2)若 曲 线 y=/(x)与 直 线 y=l有 且 仅 有 两 个 交 点，求。的 取 值 范 围.【答 案】(1)10,高 上 单 调 递 增；高,+8)上 单 调 递 减；(2)(l,e)U(e,+s).【解 析
44、】【分 析】(1)求 得 函 数 的 导 函 数，利 用 导 函 数 的 正 负 与 函 数 的 单 调 性 的 关 系 即 可 得 到 函 数 的 单 调 性；(2)方 法 一：利 用 指 数 对 数 的 运 算 法 则，可 以 将 曲 线 y=/(x)与 直 线 y=l有 且 仅 有 两 个 交 点 等 价 转 化 为 方 程(=学 有 两 个 不 同 的 实 数 根，即 曲 线 y=g(x)与 直 线 y=/有 两 个 交 点，利 用 导 函 数 研 究 g(x)的 单 调 性，并 结 合 g(x)的 正 负，零 点 和 极 限 值 分 析 g(x)的 图 象，进 而 得 到 0 等 发
45、 现 这 正 好 是 0 g(a)。,当 了 不 丁 时，f，(x)0,m2 In 2 m2.函 数/(X)在(o,备 上 单 调 递 增；高,+8)上 单 调 递 减；(2)方 法 一【最 优 解】：分 离 参 数 f(x)=-=lax=xa=彳 1110=.1118=1=,设 函 数 8(%)=,ax x a x则 g(x)=l；尤，令 g(x)=O,得 x=e,在(0,e)内 g(x)0,g(x)单 调 递 增；在(e,+oo)上 g(X)=/(X)与 直 线 y=1有 且 仅 有 两 个 交 点，即 曲 线=g(x)与 直 线 y=等 有 两 个 交 点 的 充 分 必 要 条 件 是
46、 0?：，这 即 是 0 g(a)g(e),所 以 的 取 值 范 围 是(l,e)U(e,+s).方 法 二:构 造 差 函 数 由 y=/(x)与 直 线 y=1有 且 仅 有 两 个 交 点 知/(x)=1,即 犬=ax在 区 间(0,+8)内 有 两 个 解，取 对 数 得方 程 a In x=xln。在 区 间(0,+0)内 有 两 个 解.构 造 函 数 g(x)=a In x-xln a,x e(0,+8),求 导 数 得 g，Q)=q-In a=a-x X n a.X X当 0a 0*()0,8(%)在 区 间(0,+00)内 单 调 递 增，所 以，g(x)在(0,+8)内
47、最 多 只 有 一 个 零 点，不 符 合 题 意；当 al时，lna(),令 g(x)=O得 x=一,当 二 时，g(x)0；当 xe-,+oo 时，Ina V in a J Ina)g(x)0；所 以，函 数 g(x)的 递 增 区 间 为(o,9-,递 减 区 间 为 l/L,+s.V Ina J lna)由 于 Ove 0 l-,gm a=1 e Ina vO当 X f+00时，有 alnxcxlna,即 g(x)0,所 以 a e,In a J I In a)In a即。一 elnQ0.构 造 函 数 加 a)=a elna,则(a)=1 一=幺 二,所 以(a)递 减 区 间 为(
48、l,e),递 增 区 间 为 a a(e,+8),所 以/z(a)N/i(e)=O,当 且 仅 当 a=e时 取 等 号，故 久。)0 的 解 为 a 1且 a He.所 以，实 数 的 取 值 范 围 为(l,e)D(e,Ko).方 法 三 分 离 法：一 曲 一 直 xa曲 线 y=fix)与 y=1有 且 仅 有 两 个 交 点 等 价 为 二=1在 区 间(0,+8)内 有 两 个 不 相 同 的 解.ax因 为 x=a，所 以 两 边 取 对 数 得 alnx=xlna,即 lnx=W,问 题 等 价 为 g(x)=lnx与 ap(x)=上 有 且 仅 有 两 个 交 点.a 当 0
49、。1时，.l时，取 g(x)=lnx上 一 点(天，1|1%)*()=，送(%()=工 送(%)在 点(事 11天)的 切 线 方 程 为 x xoy-lnx0=-(x-x0),即 y=L-l+lnXo.X。%na _ 1a/，得/lnxo-l=O,当 y=-1+InX。与 P(x)=史 吧 为 同 一 直 线 时 有 玉)aln _ 1a eAQ c.直 线。)=里 吧 斜 率 满 足：0 皿!时，g(x)=lnx与(幻=弛 9 有 且 仅 有 两 个 交 点.a a e a记(4)=g0,(4)?,令/2(a)=o,有=6.。(1霜),的(。)0,/7(。)在 区 间(1储)内 单 调 递
50、 增；。e+00),/2(。)1且 a r e 时 有 0 0),/(x)=-s-xa a-x n a)ax因 为 x 0,由/(x)=0 得 Ina当 Ovavl时，在 区 间(0,+oo)内 单 调 递 减，不 满 足 题 意；当 时，二 0,由/(x)o得 0 x J(x)在 区 间 内 单 调 递 增，由/*)号,/(X)在 区 间 二,+8 内 单 调 递 减.In a I In a)a因 为 lim/(x)=0,且 lim/(%)=。，所 以/X T+0 aIna：,即(Ina)1,即【In 4a,i(1/为(lna)”,a F l n a，两 边 取 对 数，得-嬴 Jna In