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1、学习必备 欢迎下载 高三数学第二轮总复习讲义 函数与方程的思想 一、方法概述 函数思想是指通过构造函数,从而应用函数图象、性质解决相关问题的一种思想方法,即用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式把这种数量关系表示出来,并研究其内在联系,使问题获解;运用函数思想解题,首先要深入观察题目的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含属性,从而恰当地构造函数,然后利用函数性质去实施解题;函数思想在求变量的取值范围、解不等式、证不等式、方程有解的条件分析、方程的实根个数的讨论等方面,都有着广泛的应用.方程思想是指将反映变量之间的关系式看作是一个方程,或者将所研究的问题化归为一个方程问题,
2、然后通过对方程的讨论,从而使问题获解的一种思想方法.用方程思想处理常量、变量和参数之间的内在联系,是一种重要的解题策略,并与函数思想相辅相成.二、范例剖析【例 1】解不等式 log2(-x)5 的解集为(C)A R+B x|x0 C x|x1 D x|x2【例 2】给出两个命题,甲:不等式|x|+|x-2|1 的解集为(c0)，则 c 的取值范围为c12【例 4】已知关于 x 的方程 x2-2cosx+a=0 有且只有一个实根,则 a 的值为_2 若函数（x）是定义域为 R 的偶函数,在(-,0上是减函数,且（2）=0,则 使得（x）0 恒成立,则实数 x 的取值范围为(B )A(1,3)B
3、(-,1)(3,+)C(1,2)D(-,1)(2,+)【例 8】已知实数 a,b,c 满足:a+b+c=2,abc=4,则 a 的取值范围为(D )A (-,0)B 4,+)C (0,4 D (-,0)4,+)【例 9】不等式 4x-x2 x 的解集为_ (答案(2,4)【例 10】若存在 x21,2,使 log2(ax2-2x+2)=2 成立,求实数 a 的取值范围32,12【例 11】已知函数（x）对一切实数 x、y 均有（x+y）-（y）=（x+2y+1）x 成立，且（1）=0 求（0）之值-2 当（x）+3 2x+a 且 0 x12 恒成立时，求 a 的取值范围 a1 学习必备 欢迎下
4、载【例 12】正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底边长为 3,侧棱长为 6,P 是侧棱 CC1上的一点,求当点 P在何位置时,直线 AP在平面 AB1C上的射影是B1AC的平分线 CP=32(10-1)【例 13】已知数列an、bn满足 a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列an+1-an(nN*)是等差数列,bn-2 是等比数列,问是否存在kN*,使得ak-bk(0,21)?若存在,求出 k 之值,若不存在,说明理由 an=n2-7n+182；bn=4(21)n-1+2；不存在 三、方法技巧提炼 运用函数观点解决问题,主要从下面四个方面着手:一是根据方程与函数的密切关系,
5、可将二元方程转化为函数来解决;二是根据不等式与函数的密切关系,常将不等式问题转化为函数问题,利用函数的图象与性质进行处理;三是在解决实际问题中,常涉及到最值问题,通常是通过建立目标函数,利用求函数最值的方法加以解决;四是中学数学中的某些数学模型(如数列的通项或前 n 项和、含有一个未知量的二项式等)可转化为函数问题,利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决.运用方程观点解决问题主要从以下四个方面着手:一是把问题中对立的已知与未知建立相等关系统一在方程中,通过解方程解决;二是从分析问题的结构入手,找出主要矛盾,抓住某一个关键变量,将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程,利用方程的特
6、征解决;三是根据几个变量间的关系,符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方程等),通过研究方程所具有的性质和特征解决;四是中学数学中常见的数学模型(如函数、曲线等),经常转化为方程问题去解决.函数、方程、不等式是一个有机的整体,我们必须用联系的观点去看待;用函数与方程的思想解决问题时,有时需将具体问题抽象,提炼其本质.数形结合的思想 一、方法概述 数形结合思想是指将数学问题的数量关系和几何图形结合起来进行解题的一种思想方法.它包括“以形助数”和“以数解形”两个方面,即对数的问题,可通过研究其对应的几何图形的性质使问题获解;对形的问题,可利用图中的数量关系使问题获解;运用数形结合思想
7、解题时,要注意数与形转化的抢救无效价性,以及图形的准确性.二、范例剖析【例 1】已知集合 A=(x,y)|x-y+m0,集合 B=(x,y)|x2+y21 全集 U=(x,y)|x R,yR,若 A(UB)=A,则实数 m的取值范围为(B)A(-,2)B(-,-2)C(2,+)D (-2,+)【例 2】函数 y=(x)的反函数 y=-1(x)的图象与 y 轴交于点 P(0,2)(如图所示),则方程(x)=0 在1,4上的根为 x=(C )A 4 B 3 C 2 D 1【例 3】已知关于 x 的方程 x2+(a+1)x+a+b+1=0 有两个实根 x1,x2,且 0 x111 为常数,已知当 x
8、(-1,1)时,不等式 x2-ax1 b0 B 0a1 b1 b0 D 0a0【例 8】函数(x)=x2+2x+17+x2-8x+80 的最小值是_13【例 9】设函数(x)=x(x+1),当 x(0,21)时,不等式(x)0,0)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M(34,0)对称,且在区间0,2上为增函数,则=_=_=2；=2 或23 解、【例 12】若实数 x,y 满足|x-2|+|y-2|=1,则 x2+y2的最小值为_ 92 最大值为_352 【例 13】(2004 年福建)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 30方向 2km 处,河流的沿岸 PQ
9、(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km;现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向B,C 两地转运货物,经测算,从 M 到 B,从 M 到 C 修建公路的费用分别为 a 万元/km,2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低为(B)A(27-2)a 万元 B 5a 万元 C(27+1)a 万元 D(23+3)a 万元 【例 14】如图,OMAB,点 P 在由射线 OM,线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP=xOA+yOB 求出 x 的取值范围 当 x=-21时,求 y 的取值范围 (答案:x(-,0)y(-21,32)【例15】如
10、图,过抛物线y=ax2(a0)上一点P作斜率为k1,k2的两条直线,分别交抛物线 于A,B 两点,且k2+k1=0(-1),设直线 AB 上一点 M 满足BM=MA,试推断线段 PM 的中点是否在 y 轴上,并说明理由 三、方法技巧提炼 数与形的转换的三条途径是:通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解;转化,通过分析数与式的结构特征,把问题转化到形的角度来考虑,如将22ab转化为勾股定理或平面上两点间的距离等;构函数图象性质解决相关问题的一种思想方法即用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系通过函数的形式把这种数量关系表示出来并研究其内在联系使问题获解运用函数思想解题首先要深入观察
11、题目的结构特征揭示内在联式方程有解的条件分析方程的实根个数的讨论等方面都有着泛的应用方程思想是指将反映变量之间的关系式看作是一个方程或者将所研究的问题化归为一个方程问题然后通过对方程的讨论从而使问题获解的一种思想方法用方程思想为则不等式的解集为例给出两个命题甲不等式有解乙方程无实根若甲真乙假则的取值范围为例不等式的解集为则的取值范围为例已知关于的方程有且只有一个实根则的值为若函数是定义域为的偶函数在上是减函数且则使得的的取值学习必备 欢迎下载 造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等.数形结合的主要解题方式有:数转化为形,即根据所给出的“数”的特点,构造符合条件的几何图形,用几何
12、方法去解决;形转化为数,即根据题目特点,用代数方法去研究几何问题;数形结合,即用数研究形,用形研究数,相互结合起来,使问题变得简捷、直观、明了.利用数形结合思想解决问题,要注意数与形的完美结合,由数想到形时,一定要准确、全面,特别图形一定要准确;准确地作出图形之后,要将图形情况用精确的代数式表示出来.数形结合常用的辅助工具:数轴、两点间距离公式、向量的模、复数的模、曲线的方程、直线的斜率截距、二元一次不等式表示的平面区域等.分类与整合的思想 一、方法概述 分类与整合思想是指将所研究的问题分解为若干类型,然后逐类分析,得出每一类的相应结果,再综合各结果,得到原问题的答案的一种思想方法;分类讨论在
13、解题中的一般步骤是:明确讨论对象及其范围确定分类标准,合理进行分类逐类分析求解整合讨论.在分类讨论过程中,分类标准必须一致,分类不能重复和遗漏,对复杂的情形可实施分级分类;引发分类讨论的原因是多方面的(如数学概念、定理、公式、性质、运算、图形位置关系等），有些分类讨论是可以简化或避免的，解题时需要准确把握 二、范例剖析【例 1】若方程 x2k-4-y2k+4=1 表示双曲线,则它的焦点坐标为(D )A(2k,0)(-2k,0)B(0,2k)(0,-2k)C(2|k|,0)(-2|k|,0)D 由 k 的取值确定【例 2】某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项
14、目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有多少种（D ）A 16 B 36 C 42 D 60 设函数（x）=sin(x2)(-1x0 的 x 的取值范围是_(答案:(0,21)(2,+)点 A 在直二面角-L-的棱 L 上,两条长等于 a 的线段 AB,AC 分别在平面,内,且与 L 都成 45的角,则BC 的长为(C)A a B a 或2a C a 或3a D a 或5a 已知 m,n 是两条异面直线,且 m,n 所成的角为 60,过空间某一点 P 做直线 L,使 L 与 m,n 所成的角都是60,则这样的直线 L (B)A 多于三条 B 恰有三条 C 恰有两条 D 仅有一条【例 6】设等
15、比数列an的公比为 q,前 n 项之和为 Sn0(nN*)求出 q 的取值范围；(-1,0)(0,+)函数图象性质解决相关问题的一种思想方法即用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系通过函数的形式把这种数量关系表示出来并研究其内在联系使问题获解运用函数思想解题首先要深入观察题目的结构特征揭示内在联式方程有解的条件分析方程的实根个数的讨论等方面都有着泛的应用方程思想是指将反映变量之间的关系式看作是一个方程或者将所研究的问题化归为一个方程问题然后通过对方程的讨论从而使问题获解的一种思想方法用方程思想为则不等式的解集为例给出两个命题甲不等式有解乙方程无实根若甲真乙假则的取值范围为例不等式的解集
16、为则的取值范围为例已知关于的方程有且只有一个实根则的值为若函数是定义域为的偶函数在上是减函数且则使得的的取值学习必备 欢迎下载 设 bn=an+2-32 an+1,bn的前 n 项之和为 Tn,试比较 Sn与 Tn的大小.当-1q2 时,TnSn；当-21q2 且 q0 时,Tn0,且 a2+2ab+2ac+4bc=12,则 a+b+c 的最小值是(A )A 23 B 3 C 2 D 3【例 5】已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直,M 为底面 ABC 内一点,点 M 到三个侧面的距离分别为 2,3,6,则 P、M两点间的距离为(A )A 7 B 13 C 6 D 8【例 6】抛物线
17、 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值为_(答案:43)函数图象性质解决相关问题的一种思想方法即用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系通过函数的形式把这种数量关系表示出来并研究其内在联系使问题获解运用函数思想解题首先要深入观察题目的结构特征揭示内在联式方程有解的条件分析方程的实根个数的讨论等方面都有着泛的应用方程思想是指将反映变量之间的关系式看作是一个方程或者将所研究的问题化归为一个方程问题然后通过对方程的讨论从而使问题获解的一种思想方法用方程思想为则不等式的解集为例给出两个命题甲不等式有解乙方程无实根若甲真乙假则的取值范围为例不等式的解集为则的取值范围为例已知关
18、于的方程有且只有一个实根则的值为若函数是定义域为的偶函数在上是减函数且则使得的的取值学习必备 欢迎下载【例 7】已知点列：P1(x1,1),P2(x2,2),Pn(xn,n),其中 x1=1,n N*,且向量PnPn+1与向量a=(2n,1)共线,设集合 M表示直线 x-ny=0 右下方的平面区域,试推测当 n 取何值时,点 PnM?并证明你的结论.当 n5 时,点 PnM【例 8】设(x)=4x4x+2,则(12003)+（22003）+（32003）+（20022003）=_(答案:1001)已知 x1 时,(x)的表达式是_(答案:x2-4x+5)对于抛物线 y2=4x 上的任意一点 Q
19、,点 P(a,0)满足|PQ|a|,则 a 的取值范围是(B)A(-,0)B(-,2 C 0,2 D(0,2)将组成篮球队的 12 个名额分配到 7 所学校,每一个学校至少一人,则有多少种分配方案_(答案:C611=462)函数(x)=cos2x-23sinxcosx 的最小正周期为_(答案:)【例 9】如图所示，一个计算装置示意图,J1、J2是数据入口，C 是计算结果的出口；计算过程由 J1、J2 分别输入自然数 m 和 n,经过计算所得结果由出口 C 输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：若 J1、J2 分别输入 1，则输出结果为 1 若 J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数
20、增大 1，则输出结果比原来增大 2 若 J2输入 1，J1输入自然数增大 1，则输出结果为原来的 2 倍 试问：若 J1输入 1，J2输入自然数 n,则输出结果为多少?（1,n）=2n-1 若 J2输入 1，J1输入自然数 m,则输出结果为多少?（m,1）=2m-1 若 J1输入 m，J2输入自然数 n,则输出结果为多少?（m,n）=2m-1+2n-2【例 10】设二次函数(x)=x2+bx+c(b,cR),且对于任意的实数,恒有（sin）0,（2+cos）0 求证;b+c=-1 求证：c3 三、方法技巧提炼 转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式,
21、其基本原理是简单化、熟悉化、直观化.在运用时应注意用“变换”的方法去解决数学问题,依据问题本身提供的信息,去寻求有利于解决问题的变换途径和方法,进行合理的选择.因而,在转化时要注意转化的方向性,使转化的目的明确,以致解题思路自然流畅,同时要注意转化前后的等价性.运用转化与化归思想寻求解题思路时,常用如下几种策略:已知与未知的转化:由已知想可知,由未知想需知,通过联想,寻找解题途径;正面与反面的转化;在处理某一问题时,按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难,甚至不可能时,用逆向思维的方法去解决,往往能达到突破性的效果.(正难则反)数与形的转化:数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合,可
22、以使许多概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求.一般与特殊的转化:特殊问题的解决往往是比较容易的,可以利用特殊中内含的本质联系,通过归纳演绎,得出一般结论,从而使问题得以解决.复杂与简单的转化:把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决,这是数学解题的一条重要原则.我们在平时的训练中,应重视数学思想方法的应用,强化在解决数学问题中的应变能力,提高自身解决数学问题的思维能力和技能.函数图象性质解决相关问题的一种思想方法即用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系通过函数的形式把这种数量关系表示出来并研究其内在联系使问题获解运用函数思想解题首先要深入观察题目的结构特征揭示内在联式方程有解的条件分析方程的实根个数的讨论等方面都有着泛的应用方程思想是指将反映变量之间的关系式看作是一个方程或者将所研究的问题化归为一个方程问题然后通过对方程的讨论从而使问题获解的一种思想方法用方程思想为则不等式的解集为例给出两个命题甲不等式有解乙方程无实根若甲真乙假则的取值范围为例不等式的解集为则的取值范围为例已知关于的方程有且只有一个实根则的值为若函数是定义域为的偶函数在上是减函数且则使得的的取值